métodos quantitativos FICHA DE ESTUDO-EIXO II

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PROF. Gerliane Martins Cosme
MÉTODOS QUANTITATIVOS
EIXO II – PROPORCIONALIDADE E PORCENTAGEM
Apresentação
Neste eixo os conteúdos serão abordados do seguinte modo: 
AULA 1 – Proporcionalidade;
AULA 2 – Porcentagem .
EIXO II – PROPORCIONALIDADE E PORCENTAGEM
PROPORCIONALIDADE: CONCEITOS
Razão: dados dois números reais a e b a razão de a por b é igual ao quociente de a por b, sendo b.
Exemplo 1: A razão entre 270 e 90 é 3, pois ;
AULA 1
Proporção: é uma igualdade entre duas razões.
Exemplo 2: ou 3 : 4 = 36 : 48. Dizemos que 3 está para quatro, assim como 36 está para 48. Na proporção acima, os números 3 e 48 são chamados de extremos e os números 4 e 36 são chamados de meios. 
- Propriedade fundamental das proporções: em uma proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
Observe, na proporção do exemplo 2, que 3 x 48 = 144 (produto dos extremos) é igual a 4 x 36 = 144 (produto dos meios). 
Utilizaremos esta propriedade para resolver alguns problemas.
AULA 1
Exemplo 3 (adaptado de FAPES, 2008): A pesquisa do Ibope (Instituto Brasileiro de Opinião Pública e Estatística) revela o número de pontos que cada programa obtém. Cada ponto do Ibope equivale a determinado número de telespectadores na Grande São Paulo. Em certa semana do mês de junho, um jornal da capital apresentou o seguinte resultado: (Alguns valores foram omitidos propositalmente da tabela.)
	Programas	Pontos do Ibope	Número de telespectadores 
da Grande São Paulo
	Musical	22	 
	Humorístico	 	1.200.000
	Esportivo	27	 
	De auditório	12	 
	Entrevista	2	160.000
	Telejornal	32	 
	Novela	 	2.400.000
	Filme	28	 
AULA 1
AULA 1
Observando a tabela anterior, qual é o número de telespectadores correspondente a 1 ponto no Ibope? 
Solução:
Note que 2 pontos na tabela correspondem a 160 000 telespectadores, logo 1 ponto corresponderá a 80 000 telespectadores. Com essa informação, podemos determinar todos os valores que estão faltando na tabela acima. 
Por exemplo:
Para determinar o número de telespectadores correspondente a 22 no Ibope do programa musical, basta multiplicarmos 22 x 80000 = 1 760 000. Assim, o programa Musical teve audiência de 1 760 000 telespectadores.
b) De modo inverso, podemos obter o número de pontos do Ibope de um programa se conhecemos o número de telespectadores. A Novela teve audiência de 2 400 000 telespectadores. Para obtermos a quantidade de pontos no Ibope deste programa, basta dividirmos 2 400 000 por 80 000e obteremos 30 pontos no Ibope.
Número de telespectadores = Pontos no Ibope x 80 000 
Ou equivalente
Pontos no Ibope = 
AULA 1
Agora é com você, complete os espaços restantes da tabela obtendo os valores que foram omitidos.
Depois de completar a tabela calcule a razão entre dois pontos quaisquer do Ibope, por exemplo, entre os pontos do programa de auditório (12) e os pontos da entrevista (2). Em seguida, calcule a razão entre os números de telespectadores correspondes (960 000 e 160 000). Note que as razões são iguais, , o que gera uma proporção.
Quando isso ocorre com duas grandezas, como aconteceu com o número de pontos no Ibope e o número de telespectadores, dizemos que tais grandezas são diretamente proporcionais.
Vejamos agora outra situação envolvendo grandezas proporcionais. 
AULA 1
Exemplo 4 (adaptado de FAPES, 2008): A tabela a seguir indica diferentes velocidades e os tempos a elas correspondentes para se percorrer uma mesma distância. 
Note inicialmente que, quanto menor a velocidade, maior é o tempo gasto para percorrer a referida distância. Além disso, se dobramos o tempo, por exemplo, de 1 para 2 minutos, a velocidade correspondente reduz à metade, de 60 para 30 km/h, ou, se triplicamos o tempo, a velocidade reduz à terça parte, de 60 para 20 km/h. Observe que neste caso, as razões entre os valores de tempo e entre os valores de velocidades são inversas:. Dizemos então, que as grandezas tempo e velocidade são inversamente proporcionais.
	Tempo (min)	1	2	3		6	8
	Velocidades (km/h)	60	30	20	12		
AULA 1
Vamos agora determinar os valores que foram omitidos na tabela. Comecemos determinando o tempo referente à velocidade de 12 km/h. Chamemos este tempo de t. Sabemos que o tempo 1 está para a velocidade 60. A velocidade 12, representa a quinta parte de 60. Então, com a velocidade reduzida à quinta parte, o tempo deverá ficar multiplicado por 5. Logo, t = 1 x 5 = 5, que é o tempo correspondente à velocidade de 12 km/h.
AULA 1
Podemos escrever a situação anterior utilizando frações:
: razão entre os tempos; : razão entre as velocidades correspondentes. 
Como tais razões são inversas, elas não formam uma proporção. Mas se consideramos o inverso de uma delas, por exemplo, o inverso de , obtermos uma proporção.
AULA 1
Pela propriedade fundamental das proporções, podemos escrever:
Resolvendo a equação:
De modo análogo, obtemos os demais valores omitidos na tabela. 
 Tente obtê-los!
AULA 1
Exemplo 5 (adaptado de FAPES, 2008) : Sabendo que a quantidade de 25 quilos de um composto químico custa R$ 32,00, quanto custam 45 quilos do mesmo composto?
Solução:
Temos uma situação envolvendo duas grandezas proporcionais. Além disso, aumentando a quantidade do composto, o preço aumentará proporcionalmente. Deste modo, podemos escrever:
AULA 1
Onde p representa o preço correspondente a 45 quilos do composto. Utilizando a propriedade fundamental das proporções, reescrevemos a expressão e resolvemos a equação acima:
Portanto, 45 kg do composto custa R$ 57,60.
AULA 1
Exemplo 6: Em uma viagem, um carro leva 15 dias para percorrer um trajeto a uma velocidade média de 80 km/h. Quantos dias serão necessários para percorrer o mesmo trajeto se a velocidade média for de 120 km/h?
Solução: 
Como o trajeto é o mesmo, aumentando-se a velocidade média, o tempo t gasto para percorrer o trajeto reduzirá na razão inversa ao aumento do tempo. Isso caracteriza as grandezas como inversamente proporcionais, ou seja: . Invertendo então a primeira razão, obtemos uma proporção:
AULA 1
Utilizando a propriedade fundamental das proporções, reescrevemos a expressão a equação acima:
Logo, o tempo gasto para percorrer o trajeto com velocidade de 120 km/h será 10 dias.
AULA 1
PORCENTAGEM
Porcentagem é qualquer razão na qual o número b é igual a 100. Uma porcentagem pode ser representada de diferentes formas. Por exemplo, cinquenta por centopode ser escrito como 
Quando afirmamos que 50% dos alunos de uma turma são meninas, queremos dizer que (1 em cada dois, ou seja, a metade) dos alunos são meninas. Ao falarmos 50% de certa quantidade ou valor queremos dizer que vamos fracionar em 100 partes iguais e delas considerarmos 50.
Vejamos algumas situações envolvendo porcentagens.
AULA 1
Exemplo 1: Fabrício trabalha no comércio e recebe por comissão. Por mês ele recebe 4% de suas vendas. No mês de fevereiro ele vendeu R$ 12 000,00 (doze mil reais). De quanto foi a sua comissão? 
Solução:
Para obter o valor da comissão de Fabrício no mês de fevereiro devemos calcular 5% de 1 200 reais. Calculamos isso fazendo:
Assim, a comissão de Fabrício será de R$ 60,00. Isso indica que 5% de 1 200 é 60.
AULA 1
Exemplo 2 (FAPES, 2008):Marta queria comprar um televisor. Durante a compra ela conseguiu um desconto de R$ 60,00 em um aparelho que custava R$ 480,00. Qual o percentual de desconto obtido por Marta?
O que procuramos encontrar é a fração que um valor representa de outro, ou seja:
= 0,125=12,5% 
 
Logo, o desconto obtido foi de R$ 12,5%.
AULA 1
Exemplo 3 (FAPES, 2008): : O Preço de um artigo sofreu dois descontos sucessivos, de 30% e de 20%. Qual foi a taxa total de desconto?
Solução: 
Com o primeiro desconto (de 30%) o produto passa a valer 70% do que valia no início. Desta quantia (70%) serão descontados 20%. Ou seja:
20% de 70% = 0,20 x 0,70 = 0,14 = 14%
Isso indica que o segundo desconto de20% que é calculado sobre o valor obtido após o primeiro desconto, equivale a 14% do valor original. Deste modo, a taxa total de desconto é de: 
 30% + 14% = 44%. 
AULA 1
Vejamos outra forma de resolver essa questão. Consideremos um preço qualquer para o produto, por exemplo, R$ 380,00 (poderia, inclusive, ser R$ 100,00).
Valor original: R$ 380,00
Valor após o primeiro desconto: 380 – 30% de 380 = 380 – 114 = 266
Valor após o segundo desconto: 266 – 20% de 266 = 212,80.
Note que: 
 380 – 212,80 = 167,20 que é o valor do desconto. Fazendo 
Tente fazer os cálculos com outro valor. Você também chegará a 44%!!
AULA 1
Exemplo 4 (adaptado de FAPES, 2008): Um artigo é vendido, em uma promoção, com um desconto de 30%. Encerrada a promoção, o artigo retorna ao preço normal. Em quantos por cento aumenta o preço do artigo?
Solução:
Suponhamos que o artigo custasse R$ 100,00. Assim, na promoção, seria vendido a R$ 70,00. Para voltar a R$ 100,00, o artigo deverá, sofrer um aumento de R$ 30,00. Ao contrário do que algumas pessoas pensam, o aumento não deverá ser de 30%, pois agora a base de cálculo para a porcentagem não é mais 100, e sim, 70 reais. Deste modo, precisamos verificar quantos por cento 30 reais (que é o valor do aumento a ser dado) representa de 70 reais. Como vimos no exemplo 2, isso equivale a encontrar a fração que 30 representa de 70. Calculando: 
AULA 1
Desta forma, o artigo deverá aumentar em aproximadamente 43% para voltar a custar R$ 100,00. 
Neste exemplo, para facilitar a compreensão do problema, tomamos um valor de R$ 100,00. Ele poderia ter sido resolvido com qualquer outro valor. Tente fazer isso. Você encontrará os mesmos 43%!!
AULA 1
   ). 
AULA 2
Outras fontes de estudo
Vídeos de conteúdos relacionados ao eixo de estudo. Site Vestibulândia.
 Aula 15 (Razões e Proporções) , aula 16 (Regra de Três) e aula 22(Porcentagem Básica) 
Além das consultas acima, você pode consultar o livro: 
ÁLVARO EMÍLIO LEITE, Nelson Pereira Castanheira. Equações e regras de três. Editora Intersaberes (Capítulos 2, 3 e 4).
cujo endereço segue abaixo.
http://faesa.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788582129128/pages/-2