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Aula Online dia 20/04/2020 
Revisão para Avaliação B1 
Unidade 1 | Introdução às integrais e suas aplicações 
Seção 1.1 - A integral de Riemann
Exemplificando (pag. 12)
Identifique e determine a área abaixo do gráfico f(x) = 5 – 2x até o eixo x (reta horizontal (y = 0), limitada nas laterais pelo eixo y (reta vertical x = 0) e a reta vertical (x = 2).
Resolução:
Antiderivada F(x), é a função ao qual derivamos para obtermos a f(x).
Exemplo: Obtenha a antiderivada (F(x)) da função f(x) dada:
1) f(x) = x + 5 F(x) = 
2) f(x) = x2 + 3x F(x) = 
3) f(x) = 6x3 – 5x2 + 7x – 8 F(x) = 
A Antiderivada (F(x)) recebe outro nome: função primitiva. 
Se derivar a F(x), vamos obter a f(x).
Se integrar a f(x), vamos obter a F(x). 
Calcule as integrais indefinidas de f(x).
1) f(x) = x + 5 = 
2) f(x) = x2 + 3x = 
3) f(x) = 6x3 – 5x2 + 7x – 8 
 = 
Exemplificando (pag.18)
Obtenha a antiderivada ou função primitiva F(x) da função f(x) = x + 5x3, e com base no teorema fundamental do cálculo, calcule a integral de f(x) no intervalo de x = 1 a x = 2.
Resolução:
Antiderivada de f(x) → F(x) = 
Integral Definida: 
Faça você mesmo (pag.19)
Obtenha a antiderivada ou função primitiva F(x) da função f(x) = 3x2 + 6x5, e com base no teorema fundamental do cálculo calcule a integral de f(x) no intervalo de x = 1 a x = 2.
Resolução:
Antiderivada de f(x) → F(x) = → F(x) = x3 + x6 + C
Integral Indefinida: 
= 23 + 26 – (13 + 16) = 8 + 64 – 1 – 1 = 70
Seção 1.2 - As integrais imediatas
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lembrete:
1º) bn . bm = bn + m 2º) 3º) 
4º) 5º) 6º) 7º) 
Determine os valores para as integrais definidas ou indefinidas a seguir:
1)
 
 
2)
 
 
3) 
 
= - cosx – senx + LnIsecxI – LnIsenxI + LnIcossecx – cotgxI – LnIsecx + tgxI + C
4) 
5) 
Seção 1.3 - Cálculo de áreas sobre e entre curvas
Calcule a medida da área da região limitada pelos gráficos das curvas de equação.
Para resolver este tipo de exercício tem que seguir alguns passos:
1º Passo: Fazer f(x) = g(x) para obter os pontos em comuns.
2º Passo: Montar uma tabela de f(x) e g(x) para obter os pontos, o x obtido no 1º Passo é obrigado colocar na tabela.
3º Passo: Com os dados do 2º Passo montar o gráfico.
4º Passo: Do gráfico use a função de cima menos a função de baixo para montar a Integral Definida (Teorema Fundamental do Cálculo)
1) f(x) = - x2 + 4 e g(x) = - 5
1º Passo: f(x) = g(x) 
 - x2 + 4 = - 5
 - x2 = - 5 – 4
 - x2 = - 9 . (-1)
 x2 = 9
 x = ±
 x = ± 3
2º Passo: Montar a Tabela
Obs.: (-3)2 = -3 . -3 = 9 ou -32 = - (3 . 3) = - 9
 (-2)2 = -2 . -2 = 4
 (-1)2 = -1 . -1 = 1 
	- x2 + 4
	y = f(x)
	
	x
	y = g(x)
	- 3
	-5
	
	- 3
	- 5
	- 2
	0
	
	- 2
	- 5
	- 1
	3
	
	- 1
	- 5
	0
	4
	
	0
	- 5
	1
	3
	
	1
	- 5
	2
	0
	
	2
	- 5
	3
	-5
	
	3
	- 5
3º Passo: Construir o Gráfico
 
4º Passo: Montar a Integral Definida
2) f(x) = x2 – x + 2 e g(x) = x + 2
1º Passo: f(x) = g(x)
 x2 – x + 2 = x + 2
 x2 – x – x = 2 – 2 
 x2 – 2x = 0
 x (x – 2) = 0
 x = 0 ou x – 2 = 0
 x = 2
2º Passo: Montar a Tabela
	x2 – x + 2
	y = f(x)
	
	x + 2
	y = g(x)
	0
	2
	
	0
	2
	1
	2
	
	1
	3
	2
	4
	
	2
	4
3º Passo: construir o gráfico
4º Passo: Montar a Integral Definida
Seção 1.4 - Problemas de valores iniciais imediatos
Exemplo (pag.50)
Um exemplo de aplicação muito comum vem da Física. A velocidade instantânea de um corpo é dada pela variação da posição com relação ao tempo. 
Dada a função que descreve essa velocidade em função do tempo: V(t) = 3t2 – 2t + 1. 
Calcule sua posição no tempo 3s, sabendo que a posição inicial é 5m.
1º Passo: Integrando v(t) iremos obter S(t).
S(t) = t3 – t2 + t + C
2º Passo: Posição inicial 5m e t = 0, significa: S(0) = 5, obteremos C.
S(t) = t3 – t2 + t + C
S(0) = 03 – 02 + 0 + C
5 = C
3º Passo: t = 3s, calcule S(3) = ?
S(t) = t3 – t2 + t + 5
S(3) = 33 – 32 + 3 + 5
S(3) = 27 – 9 + 3 + 5
S(3) = 26m
Resp: No tempo de 3s sua posição será 26m
Exemplificando (pag. 51)
Em uma refinaria, uma máquina parou de funcionar, gerando uma taxa de variação do prejuízo (em milhares de reais) em função do tempo (em horas) em que a máquina fica parada dada por: P'(t) = 2t + 20 
Sabendo que com a máquina funcionando não há prejuízo [P(0) = 0], calcule o prejuízo da empresa caso a máquina fique parada por 4 horas.
Dados do enunciado: P é prejuízo e t é o tempo.
Derivada: P'(t) = 2t + 20
Valor inicial: P (0) = 0
Objetivo: P (4) =?
Resolução:
1º Passo: A Derivada é o inverso da Integral, logo integrando P’(t) obtermos P(t).
P(t) = t2 + 20t + C
2º Passo: Colocar P (0) = 0 em P(t) = t2 + 20t + C, para obter C.
P (t) = t2 + 20t + C
P (0) = 02 + 20. 0 + C
0 = C
3º Passo: P (4) = ?
P (t) = t2 + 20t + C
P (t) = t2 + 20t + 0
 P (4) = 42 + 20. 4
 P (4) = 16 + 80 = 96
Resp.: A máquina parada por 4 horas, terá um prejuízo de 96 mil reais (R$ 96.000,00)
Exemplo: Qual é a função f(x) cuja derivada de segunda ordem é dada por f"(x) = 6x + 6, sabendo que f'(2) = 20 e f(1) = 5?
Resolução:
1º Passo: Se integrar a derivada da 2ª (f"(x) = 6x + 6) encontraremos a derivada da 1ª (f’).
2º Passo: Através da f’ obtemos C utilizando f’ ’(2) = 20.
20 = 12 + 12 + C
20 – 24 = C
C = - 4 
3º Passo: Se integrar a derivada da 1ª (f’(x) = 3x2 + 6x – 4) encontraremos a função f(x).
f(x) = x3 + 3.x2 – 4x + C
4º Passo: Obter C em f(x) = x3 + 6.x2 – 4x + C, sabendo que f(1) = 5.
f(x) = x3 + 3.x2 – 4x + C
f(1) = 13 + 3 . 12 – 4 . 1 + C
5 = 1 + 3 – 4 + C
C = 5
Resp.: A função é f(x) = x3 + 3.x2 – 4x + 5
Custo marginal
Em economia e finanças, custo marginal é a mudança no custo total de produção advinda da variação em uma unidade da quantidade produzida.
Sabe-se que o custo marginal é dado aproximadamente pela taxa de variação da função custo total em um ponto apropriado. Em outras palavras, se C é a função custo total, então a função custo marginal é definida como sendo sua derivada C´
1) O custo marginal por unidade x é dado pela expressão = 20 – 0,8x3. Determine a função custo total C(x) da produção, sabendo-se que o custo fixo para x = 0 é de R$ 2000,00 e calcule o custo total, para a produção de x = 10.
Resolução:
Pelo enunciado x = 0, temos: C(0) = 2000
C(x) = 20x – 0,2x4 + C1
C(0) = 20 . 0 – 0,2 . 04 + C1
2000 = C1
Logo: C(x) = - 0,2x4 + 20x + 2000
Se x = 10, o custo total para produção de 10 unidades será: C(10) = ?
C(x) = - 0,2x4 + 20x + 2000
C(10) = - 0,2 . 104 + 20 . 10 + 2000
C(10) = - 2000 + 200 + 2000
C(10) = 200
Resp: Na produção de 10 unidades o custo total foi de R$ 200,00
2) O rendimento marginal de um bem em quantidade (x) é dado pela expressão Rm = 800 – 2x2. Obtenha o rendimento total para x = 6 sabendo que quando x = 0 o R(0) = 0.
Resolução:
Pelo enunciado x = 0, temos R(0) = 0
 C = 0
O Rendimento Marginal para x = 6 é R(6) = ?
Resp: O Rendimento Total para 6 unidades é R$ 4.656,00
Faça valer a pena (pag. 56)