Prévia do material em texto
2 .2 D et er m in an te s 1 05 2 .2 D et er m in a n te s V am os in ic ia lm e nt e d efi n ir o de te rm in an te de m at ri ze s . P a ra ca d a m a tr iz d efi ni m o s o d e te rm in an te d e ,i nd ic ad o p or ,p o r . V a m os ,a g or a, de fin ir o de te rm in an te de m a tr iz e s e a p ar tir da ı́d e fin ir p ar a m at ri ze s de o rd em m a io r. A ca d a m at ri z , ,a ss oc ia m os u m nú m er o re al ,d en om in a do d e te rm in an te d e , po r: P a ra de fin ir o d e te rm in a n te d e m at ri ze s qu ad ra da s m a io re s, pr ec is am o s d efi n ir o qu e sã o o s m e no re s de um a m a tr iz . D ad a um a m a tr iz , o m en o r d o el e m e nt o , d e no ta d o po r , é a su bm at ri z d e o bt id a el im in an d o- se a -é si m a lin ha e a -é si m a co lu n a d e , qu e te m o se g ui n te a sp e ct o: . . . . . . . . . . . . Ju lh o 2 00 9 R eg in a ld o J. S an to s 1 06 In v e rs ã o d e M a tr iz es e D e te rm in a n te s E xe m p lo 2 .8 . P a ra u m a m at ri z , A go ra , va m os d efi n ir o s co fa to re s d e u m a m at ri z qu ad ra da . O c o fa to r d o e le m en to , de no ta d o po r ,é d efi n id o p or o u se ja , o co fa to r , do el em e n to é ig u al a m a is o u m e no s o d e te rm in a n te do m e no r , se n do o m ai s e o m e no s de te rm in ad o s pe la se gu in te di sp os iç ã o: E xe m p lo 2 .9 . P a ra u m a m at ri z , U m C u rs o de G e om et ri a A na ĺıt ic a e Á lg eb ra L in ea r Ju lh o 20 09 2 .2 D et er m in an te s 1 07 V am os , ag or a, de fin ir o de te rm in an te d e um a m a tr iz . S e e nt ã o, o d et er m in a nt e d e é ig ua là so m a do s pr od ut o s do s el e m e nt o s da 1a . lin ha p el o s se u s co fa - to re s. D a m es m a fo rm a q u e a pa rt ir d o de te rm in an te de m at ri ze s , de fin im os o de te rm in an te de m a tr iz e s ,p od em os de fin ir o d et e rm in a nt e d e m a tr iz es qu ad ra da s de or de m m ai o r. S u p on do q ue sa be m os co m o ca lc u la r o de te rm in an te de m a tr iz es va m os d efi n ir o de te rm in an te d e m a tr iz e s . V am os de fin ir, ag or a ,o s co fa to re s de um a m a tr iz q u ad ra d a . O c o fa to r d o el e m e nt o , de no ta d o po r ,é d efi n id o p or o u se ja , o co fa to r , do el em e n to é ig u al a m a is o u m e no s o d e te rm in a n te do m e no r , se n do Ju lh o 2 00 9 R eg in a ld o J. S an to s 1 08 In v e rs ã o d e M a tr iz es e D e te rm in a n te s o m ai s e o m e no s de te rm in ad o s pe la se gu in te di sp os iç ã o: . . . . . . . . . . . . . . . D e fi n iç ã o 2. 2. S ej a . O d e te rm in an te d e , de no ta d o po r ,é d efi n id o p or (2 .7 ) e m qu e é o co fa to r do e le m en to . A ex pr es sã o (2 .8 ) é ch am a da d e se n - vo lv im e n to em c o fa to re s d o d et er m in an te d e e m te rm os da 1a . lin ha . E xe m p lo 2 .1 0 . S ej a U m C u rs o de G e om et ri a A na ĺıt ic a e Á lg eb ra L in ea r Ju lh o 20 09 2 .2 D et er m in an te s 1 09 D e se nv o lv en do -s e o de te rm in an te d e e m co fa to re s, ob te m o s e m qu e M a s o ta m bé m po de se r ca lc ul ad o u sa nd o co fa to re s, P o rt a nt o, E xe m p lo 2 .1 1 . U sa nd o a d efi ni çã o de de te rm in an te ,v am os m os tr ar q ue o de te rm in an te de um a m a - tr iz tr ia n g u la r in fe ri o r (i st o é ,o s el e m en to s si tu a d os ac im a d a di ag on al pr in ci p al sã o ig ua is a ze ro ) é o p ro du to do s e le m en to s da di a go n al p ri n ci pa l. V a m o s m os tr a r in ic ia lm en te pa ra m at ri ze s . S ej a Ju lh o 2 00 9 R eg in a ld o J. S an to s 1 10 In v e rs ã o d e M a tr iz es e D e te rm in a n te s D e se nv o lv en do -s e o de te rm in an te d e e m co fa to re s, ob te m o s V am os su po r te rm o s pr ov ad o qu e pa ra q ua lq ue r m a tr iz tr ia n gu la r in fe ri o r, o d e te r- m in a nt e é o p ro d u to do s el em e n to s da di ag on al pr in ci pa l. E n tã o va m os p ro va r q ue is to ta m b é m va le p ar a m at ri ze s . S ej a . . . . . . . . . D e se nv o lv en do -s e o de te rm in an te d e e m co fa to re s, ob te m o s . . . . . . . . . p oi s o de te rm in an te ac im a é d e um a m a tr iz tr ia n gu la r in fe ri or . E m pa rt ic ul ar , pa ra a m at ri z id e nt id ad e, , U m C u rs o de G e om et ri a A na ĺıt ic a e Á lg eb ra L in ea r Ju lh o 20 09 2 .2 D et er m in an te s 1 11 2 .2 .1 P ro p ri ed ad e s d o D et er m in an te V am os pr ov ar u m a p ro p ri ed ad e do de te rm in an te q u e é us ad a pa ra p ro va r vá ri a s o ut ra s p ro pr ie da - d es . P a ra is so va m o s es cr ev er a m at ri z e m te rm os da s su a s lin ha s . . . . . . e m q ue é a lin ha d a m at ri z , o u se ja , . S e a lin ha é es cr ita na fo rm a , em q ue , e e sã o es ca la re s, di ze m o s q ue a lin ha é c o m b in a çã o lin ea r d e e . S e a lin h a é co m bi n a çã o lin e ar d e e , e nt ã o o d et er m in a nt e p od e se r de co m po st o co m o no re su lta do se g ui n te . Te o re m a 2. 1 0. S ej a e sc ri ta e m te rm o s d as su as lin ha s, d e no ta da s po r , ou se ja , . S e p a ra al gu m , a lin ha , em q ue , Ju lh o 2 00 9 R eg in a ld o J. S an to s 1 12 In v e rs ã o d e M a tr iz es e D e te rm in a n te s e e sã o es ca la re s, en tã o: . . . . . . . . . . . . . . . . . . A qu i, . D e m o n st ra çã o . V am os p ro va r aq u is om e n te pa ra . P ar a é d e m on st ra d o n o A pê nd ic e II n a pá gi na 1 33 . S e ,e m qu e , e e sã o es ca la re s, U m C u rs o de G e om et ri a A na ĺıt ic a e Á lg eb ra L in ea r Ju lh o 20 09 2 .2 D et er m in an te s 1 13 e nt ã o: . . . . . . . . . E xe m p lo 2 .1 2 . O cá lc ul o do de te rm in an te da m at ri z a se gu ir po d e se r fe ito da se g ui nt e fo rm a: P e la de fin iç ã o de d e te rm in a n te ,o d et e rm in a nt e de ve se r ca lc u la d o fa ze nd o- se o de se nv ol vi m en to e m co fa to re s se gu nd o a 1a . lin ha . O pr ó xi m o re su lta d o, qu e n ã o va m o s pr ov ar n es te m om en to Ju lh o 2 00 9 R eg in a ld o J. S an to s 1 14 In v e rs ã o d e M a tr iz es e D e te rm in a n te s (A pê nd ic e II na pá gi na 1 33 ), afi rm a q ue o de te rm in an te p o de se r ca lc ul ad o fa ze nd o -s e o de se n- vo lv im e nt o e m co fa to re s se gu nd o q ua lq u er lin h a o u q ua lq u er co lu na . Te o re m a 2. 1 1. S ej a u m a m a tr iz . O de te rm in an te d e p od e se r ca lc u la do fa ze nd o- se o d es en vo lv im en to e m co fa to re s se gu nd o q u a lq u er lin h a o u q u a lq u er co lu n a. p ar a , (2 .8 ) p ar a , (2 .9 ) e m q ue é o co fa to r do e le m en to . A ex pr es sã o (2 .8 ) é ch am a da d e se n - vo lv im e n to em c o fa to re s d o d e te rm in a n te d e e m te rm o s d a -é si m a lin h a e (2 .9 ) é ch a m a da d e se n vo lv im en to e m co fa to re s d o d e te rm in a n te d e e m te rm o s d a -é si m a c o lu n a. U m C u rs o de G e om et ri a A na ĺıt ic a e Á lg eb ra L in ea r Ju lh o 20 09 2 .2 D et er m in an te s 1 15 Te m os a se gu in te co ns eq üê nc ia de st e re su lta do . C o ro lá ri o 2. 1 2. S ej a u m a m a tr iz .S e p os su id u as lin ha s ig u a is ,e nt ã o . D e m o n st ra çã o . O re su lta d o é cl a ra m e nt e ve rd a de ir o pa ra m at ri ze s . S up on d o qu e o re su lta do se ja ve rd ad ei ro pa ra m at ri ze s , va m os pr ov ar qu e el e é ve rd a de iro pa ra m at ri ze s . S u po nh am os qu e as lin ha s e se ja m ig u ai s, p ar a . D es e nv ol ve nd o o de te rm in an te d e e m te rm os de um a lin h a , co m , ob te m o s M a s, ca da é u m a m a tr iz co m du a s lin ha s ig ua is . C o m o e st am o s su p on do q ue o re su lta do se ja ve rd ad e iro p ar a e st a s m at ri ze s, en tã o . Is to im pl ic a qu e . N o pr ó xi m o re su lta d o m os tr a m os co m o va ri a o d et e rm in a nt e d e u m a m at ri z qu an do ap lic a m o s o pe ra çõ es el em e nt a re s so br e su as lin ha s. Te o re m a 2. 1 3. S ej am e m a tr iz e s . (a ) S e é o bt id a d e m u lti pl ic an do -s e um a lin ha po r um e sc al ar , en tã o Ju lh o 2 00 9 R eg in a ld o J. S an to s 1 16 In v e rs ã o d e M a tr iz es e D e te rm in a n te s (b ) S e re su lta de p el a tr oc a da p os iç ã o de du as lin h as , en tã o (c ) S e é o bt id a de su bs tit ui nd o- se a lin ha p or el a so m ad a a um m ú lti pl o es ca la r d e um a lin ha , , en tã o D e m o n st ra çã o . (a ) S eg ue di re ta m en te do Te o re m a 2 .1 0 n a pá gi na 1 11 . (b ) S ej am . . . . . . . . . e . . . . . . . . . U m C u rs o de G e om et ri a A na ĺıt ic a e Á lg eb ra L in ea r Ju lh o 20 09 2 .2 D et er m in an te s 1 17 A go ra , p el o Te o re m a 2 .1 0 n a pá gi na 1 11 e o C or ol á ri o 2 .1 2, te m o s q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P o rt a nt o, . (c ) N ov a m e nt e, pe lo Te o re m a 2 .1 0 n a pá gi na 1 11 , te m o s q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ju lh o 2 00 9 R eg in a ld o J. S an to s 1 18 In v e rs ã o d e M a tr iz es e D e te rm in a n te s E xe m p lo 2 .1 3 . V am os ca lc ul ar o d e te rm in a n te da m at ri z u sa nd o op er aç õ es e le m en ta re s p ar a tr an sf o rm á -la nu m a m at ri z tr ia ng ul ar su p er io r e a pl ic an do o Te - o re m a 2 .1 3. 1a . lin ha 2a . lin ha 1a . lin ha 1a . lin ha 1a . lin ha 3a . lin ha 3a . lin ha 2a . lin ha 3a . lin ha 3a . lin ha Q ua nd o m u lti pl ic am os um a lin ha d e um a m at ri z p or u m es ca la r o d et er m in a nt e da no va m at ri z é ig ua l a m u lti pl ic ad o p el o d et e rm in a nt e d a m a tr iz an tig a . M as o qu e es ta m os ca lc ul a n do a qu i é o d et er m in a nt e d a m a tr iz an tig a, po r is so e le é ig u al a m u lti pl ic ad o p el o de te rm in an te da m a tr iz n ov a. U m C u rs o de G e om et ri a A na ĺıt ic a e Á lg eb ra L in ea r Ju lh o 20 09 2 .2 D et er m in an te s 1 19 P a ra se ca lc ul ar o de te rm in an te de u m a m at ri z p el a ex pa ns ã o em co fa to re s, pr ec is a m o s fa ze r p ro du to s e ca lc u la r d et er m in a nt es d e m at ri ze s , q ue po r su a ve z va i p re ci sa r d e p ro du to s e a ss im po r di an te . P or ta n to , a o to do sã o ne ce ss á ri o s d a or de m de p ro du to s. P a ra se ca lc ul a r o de te rm in an te de u m a m at ri z ,é n ec e ss á ri o se re a liz ar p ro du to s. O s co m p u ta do re s pe ss oa is re al iz am d a o rd em d e p ro du to s po r se gu n d o. P o rt a nt o, u m co m pu ta d or pe ss oa lp re ci sa ri a de ce rc a d e se gu nd os o u a no s pa ra ca lc u la r o d et er m in a nt e d e u m a m a tr iz u sa nd o a ex p an sã o e m co fa to re s. E nt re ta n to us a nd o o m é to do a pr es e nt a do n o ex em pl o an te ri o r pa ra o cá lc ul o do de te rm in an te , é n e ce ss á ri o ap en as d a or d em d e p ro du to s. O u se ja , pa ra ca lc u la r o de te rm in an te d e u m a m a tr iz u sa nd o o m é to do ap re se n ta d o no ex em pl o a nt er io r um co m p ut a do r pe ss oa lg a st a m u ito m e no s de u m se gu nd o. A se gu ir e st a b el e ce m os du a s p ro pr ie d ad e s d o d et er m in a nt e qu e se rã o de m on st ra da s so m e nt e n a S ub se çã o 2 .2 .2 n a pá gi na 1 26 . Te o re m a 2. 1 4. S ej am e m a tr iz e s . (a ) O de te rm in an te do pr o du to d e p or é ig ua la o p ro d ut o do s se us d et e rm in a nt e s, (b ) O s de te rm in an te s de e d e su a tr a ns p os ta sã o ig ua is , Ju lh o 2 00 9 R eg in a ld o J. S an to s 1 20 In v e rs ã o d e M a tr iz es e D e te rm in a n te s O b se rv a çã o . C o m o o d e te rm in a n te d e u m a m at ri z é ig u a la o d et er m in a nt e da su a tr a ns p os ta (T eo - re m a 2 .1 4 (b )) ,s eg ue -s e qu e to d as a s p ro pr ie d a de s qu e se re fe re m a lin ha s sã o vá lid a s co m re la çã o à s co lu na s. E xe m p lo 2 .1 4 . S ej a . V a m o s m os tr a r qu e se é in ve rt ı́v el ,e nt ã o C o m o , ap lic an d o- se o d et er m in a nt e a am bo s o s m em br os d es ta ig u al d ad e e us a nd o o Te o re m a 2 .1 4, ob te m o s M a s, (E xe m p lo 2 .1 1 n a pá gi na 1 09 , a m at ri z id e nt id ad e ta m b é m é tr ia n gu la r in fe ri or !) . L og o, . E xe m p lo 2 .1 5 . S e um a m at ri z q ua dr ad a é ta l q ue , en tã o va m o s m o st ra r q ue . A p lic a nd o- se o d et er m in a nt e a a m bo s os m e m br os da ig u al d a de a ci m a , e us a nd o no va m e nt e o Te o re m a 2 .1 4 e o re su lta do d o ex e m p lo a nt er io r, o bt em os L og o, . P o rt a nt o, . U m C u rs o de G e om et ri a A na ĺıt ic a e Á lg eb ra L in ea r Ju lh o 20 09 2 .2 D et er m in an te s 1 21 O re su lta d o se gu in te ca ra ct e ri za e m te rm os do d et e rm in an te a s m at ri ze s in ve rt ı́v ei s e o s si st e m as lin ea re s ho m o gê ne os qu e po ss u em so lu çã o nã o tr iv ia l. Te o re m a 2. 1 5. S ej a u m a m a tr iz . (a ) A m at ri z é in ve rt ı́v el se ,e so m en te se , . (b ) O si st e m a ho m o gê ne o te m so lu çã o nã o tr iv ia ls e, e so m e nt e se , . D e m o n st ra çã o . (a ) S ej a a fo rm a e sc a lo na d a re du zi d a d a m a tr iz . A d em on st ra çã o de st e ite m se g ue -s e d e tr ê s o bs e rv a çõ es : P e lo Te o re m a 2 .1 3 n a pá gi na 1 15 , se , e so m e nt e se , . P e la P ro p o si çã o 1 .5 d a pá gi na 5 0, o u o u a m a tr iz te m um a lin h a nu la . A ss im , se , e so m e nt e se , . P e lo Te o re m a 2 .7 n a pá gi na 8 4, se , e so m e nt e se , é in ve rt ı́v el . (b ) P e lo Te o re m a 2 .8 n a pá gi na 9 0, o si st e m a ho m o gê ne o te m so lu çã o n ã o tr iv ia ls e, e so m en te se , a m at ri z nã o é in ve rt ı́v el . E p el o ite m a nt e ri o r, a m at ri z é nã o in ve rt ı́v el se , e so m en te se , . Ju lh o 2 00 9 R eg in a ld o J. S an to s 1 22 In v e rs ã o d e M a tr iz es e D e te rm in a n te s E xe m p lo 2 .1 6 . C o ns id e re a m at ri z (a ) D e te rm in ar os va lo re s d e ta is q ue ex is te q ue sa tis fa z . (b ) P a ra ca da u m do s va lo re s d e e nc on tr a do s n o ite m an te ri or d et er m in a r to do s ta is q ue . S o lu çã o : (a ) C o m o a m at ri z id e n tid a de é o el e m e nt o n eu tr o d o p ro du to ,e nt ã o S ub tr ai n d o- se o btem os A go ra , e st e si st em a ho m o gê ne o te m so lu çã o nã o tr iv ia l( ) se , e so m e nt e se , U m C u rs o de G e om et ri a A na ĺıt ic a e Á lg eb ra L in ea r Ju lh o 20 09 2 .2 D et er m in an te s 1 23 M a s se , e so m e nt e se , o u . A ss im , so m en te pa ra e ex is te m ve to re s ta is q ue . (b ) P a ra : q ue te m so lu çã o o co nj u n to do s , pa ra to d o s o s va lo re s d e . P a ra : q ue te m so lu çã o o co nj u n to do s , pa ra to d o s os va lo re s d e . Ju lh o 2 00 9 R eg in a ld o J. S an to s 1 24 In v e rs ã o d e M a tr iz es e D e te rm in a n te s E xe m p lo 2 .1 7 . A m at ri z é in ve rt ı́v el se , e so m en te se , . N es te ca so a in ve rs a de é d ad a p or co m o p od e se r ve ri fic ad o m u lti pl ic an do -s e a ca n d id a ta a in ve rs a pe la m at ri z . O bs e rv e q ue es te ex em pl o fo rn e ce um a re gr a pa ra se en co n tr ar a in ve rs a de um a m at ri z : tr o ca -s e a p os iç ã o do s e le m en to s d a di ag on al pr in ci pa l, tr oc a- se o si n al do s ou tr os el e m e nt o s e d iv id e -s e to do s os el em en to s pe lo d et e rm in an te de . E xe m p lo 2 .1 8 . C o ns id e re o si st e m a lin ea r de e qu aç õ es e in có gn ita s A m at ri z d e st e si st em a é S e , en tã o a so lu çã o do si st em a é U m C u rs o de G e om et ri a A na ĺıt ic a e Á lg eb ra L in ea r Ju lh o 20 09 2 .2 D et er m in an te s 1 25 o u se ja , e st a é a ch a m a da R e g ra d e C ra m er p ar a si st em as de e qu aç õ es e in có gn ita s. P o de -s e m os tr a r (v e r p or ex e m p lo [3 2] ou [3 3] ), qu e p a ra si st e m a s de e qu aç õ es e in có gn ita s é vá lid a a R e gr a de C ra m er da da a se g ui r. S e o si st em a lin ea r é ta lq ue a m a tr iz é e in ve rt ı́v el ,e n tã o a so lu çã o do si st e m a é d ad a p or e m qu e é a m a tr iz qu e se ob té m de su bs tit ui nd o- se a su a -é si m a co lu na po r , pa ra . E xi st em si st em as d e e qu aç õ es e in có gn ita s, co m , em qu e e o si st em a nã o te m so lu çã o. P o r ex em p lo o si st em a é ta lq u e m a s el e nã o te m so lu çã o (v er ifi q ue !) . Ju lh o 2 00 9 R eg in a ld o J. S an to s