Polinômios: Definições e Operações

Prévia do material em texto

Polinômios 
Parte 1: Definições introdutórias e 
Operações 
Função polinomial ou polinômio
toda função definida pela relação 
P(x) = anx
n + an-1.x
n-1 + an-2.x
n-2 + ... + a2x
2 + a1x + a0.
 an, an-1, an-2, ..., a2, a1, a0 ∈ R  coeficientes.
 x ∈ C (nos complexos)  variável.
 n ∈ IN e se an≠0, então 
• o expoente máximo n é o grau do polinômio. (gr P ou δP= grau de P)
• an  coeficiente dominante. 
• Se an = 1, P  polinômio unitário
• Obs: Se P(x)=0, não se define o grau do polinômio.
(Polinômio Identicamente nulo ou apenas Polinômio Nulo)
termo
Raiz ou Zero
a ∈ C tal que P(a)=0
Igualdade
• A(x) = B(x)  os coeficientes dos 
termos correspondentes são iguais.
Nomenclaturas específicas
• 2x3  Monômio (expressão com um único termo)
• 3x+2  Binômio (expressão com dois termos)
• 4x3+ x- 2  Trinômio (expressão com três termos)
• 8x5 -x3+ x2 -2  Polinômio (expressão com quatro ou mais termos)
Operações: +, -, .
Sejam 
f(x) = anx
n + an-1.x
n-1 + an-2.x
n-2 + ... + a2x
2 + a1x + a0 e 
g(x) = bmx
m + bm-1.x
m-1 + bm-2.x
m-2 + ... + b2x
2 + b1x + b0.
Adição:
f(x) + g(x) = (an + bn)x
n + ... + (a2 + b2)x
2 + (a1 + b1)x + (a0 + b0) 
Subtração: 
f(x) – g(x) = (an - bn)x
n + ...+(a2 - b2)x
2 + (a1 - b1)x +(a0 - b0) 
Multiplicação: 
f(x) . g(x) = cnx
n + cn-1.x
n-1 + cn-2.x
n-2 + ... + c2x
2 + c1x + c0 onde ck = 
∑ ��
�
�=� ��−�
Exemplos: Operações (+, -, . )
• Adição:
(3x³ - x2 + 5x – 6) + (-4x2 + 3x + 5) = 3x³ - 5x2 + 8x – 1
• Subtração
(x2 + 2x – 6) - (x³ - 2x – 1) = - x³ + x2 + 4x – 5
• Multiplicação
(x – 1) . (x2 + 2x – 6) = x.x2 + x.2x – x.6 + (-1).x2 + (-1).2x – (-1).6 
=x³ +2x² – 6x – x² – 2x + 6 = x³ + x² – 8x + 6
Observações quanto ao grau dos 
polinômios 
• Na adição e subtração:
δ(f ± g) ≤ máx {δ f , δ g}
• Na multiplicação:
δ(f.g) = δf + δg
Exemplos:
a)(4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) = 4x2 – 4x + 7
b)(5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) = 8x2 – 19x – 2
c)(2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) = – 6x² + x + 16
d)3x2·(2x6 + 3x2 – 2x)= 6x8 + 9x4 – 6x3
e)(2x2 + 4x3 – 2x)·(3x9 – 2x3 – 8)= 12x12 + 6x11 – 6x9 – 8x6 – 4x5 – 28x3 + 16x2 + 16x
Operações: ÷
Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo.
P(x) : D(x) = determinar dois polinômios Q(x) e R(x), que 
satisfaçam as duas condições abaixo:
1ª) P(x) = Q(x).D(x) + R(x) 
2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0 
Obs:
P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x) ⇔ R(x)=0
P(x) é o dividendo.
D(x) é o divisor.
Q(x) é o quociente.
R(x) é o resto da divisão.
Métodos:
• Chave ou Descartes (gerais)
• Briot Ruffini (específico para divisão por binômios)
• Independente do Método utilizado para resolver a 
a divisão de P(x) por D(x):
Se δP < δD então Q(x) = 0 e R(x) = P(x)
Métodos de Divisão
• Método da Chave: mesma ideia da divisão entre dois números, o 
chamado algoritmo da divisão. 
Métodos de Divisão
• Método dos coeficientes a determinar — método
de Descartes: baseia-se na definição da divisão, levando-se em consideração
que o grau do quociente é igual a diferença entre os graus do dividendo e do
divisor.
Para realizar a divisão entre os polinômios P (x) e D (x), com 
grau de P maior que o grau de D, seguimos os passos:
• Passo 1 - Determinar o grau do polinômio quociente Q (x);
• Passo 2 - Tomar o maior grau possível para o resto da divisão 
R (X) (Lembre-se: R (x) = 0 ou gr R < gr D);
• Passo 3 - Escrever os polinômios Q e R com coeficientes 
literais, de forma que P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).
P(x) : D(x) = determinar dois polinômios Q(x)
e R(x),
que satisfaçam as duas condições abaixo:
1ª) P(x) = Q(x).D(x) + R(x)
2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0
Exemplo:
Sabendo-se que P (x) = 4x3 – x2 + 2 e que D (x) = x2 + 1, 
determine P(x) : D(x) utilizando o Método de Descartes
1)O grau do quociente é 1, pois gr Q = gr P – gr D = 3-2=1
Assim Q (x) = ax +b, 
2) Como gr D = 2, o resto R (x) é um polinômio cujo maior grau pode
ser 1, logo: R (x) = cx +d. Substituindo os dados na condição do passo
3, temos:

Logo, Q (x) = 4x-1 e R (x) = -4x + 3.