TEXTO apoio Resistência dos Materiais I

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1 
Conceitos Fundamentais 
l~l A CARGA ELÉTRICA 
; ;_ ~-,_~. - ;·: . 
A carga elétrica é uma grandeza fundamental, tal como a massa, o compri-
mento e .o tempo são grandezas fundamentais na mecânica. 
' . A carga elétrica não pode ser definida em termos.das outras três grandezas. 
. Evidências exp~rimentais indicam :a existência d~ duas. espécies de cargas 
élétricas:posi(jl'.a ~ '!~gativa. . · · . · · . . 
'. · A unidade de carga elétrica no Sistema Inter.nacional (S IJ é o coulo!Ub (C), e a 
menor quantidade de. carga elétrica conhecida é a possuída pelo elétron. 
A carga elétrica de um elétron é igual a: - l,6 x l 0-•9 coulomb. O sinal negativo 
foi escolhido arbitrariamente. · 
J,~2 .A .CQRl{ENTE. ELÉT~ICA 
A carga elétrica em movimento constitui uma corrente elétrica. 
. Quantitativamente falando, a carga líquida (positiva ou negativa) que cruza 
· 'J.ima superfície por unidade de tempo constitui a corrente elétrica que flui através 
·· dessa .superfície; assim, temos: 
( l. l) 
No SI, a dimensão de corrente elétrica é coulomb por segundo, que é definido 
como ampere; assim, temos: · 
--~i~}·--
coulomb 
[/]=---
segundo 
e , 
- =ampere (A) 
s 
: ,~- {~~,., 
·.·· Aqui, l é denominado corrente elétrica e&,. é a quantidade de carga líquida que 
<cruza uma dada superfície no intervalo 11t. · 
.;,.: ;., , .··Passando ao limite para !it ~ O, obtemos a corrente instantânea através da 
>::stii)êmcie. 
i(t) = dq (amperes) 
dt .. 
( 1.2) 
.. .,,,; ·. A. definição da corrente elétrica exige a fixação de um sentido de referência 
::~~?nositiv(). E .adotado convencionalmente como positivo o sentido de movimento das 
:,,;.·J~argas elétricas positivas. · · · · . . . 
As correntes elétricas são, em geral, funções do tempo, e podem ser classifica-
dàs de acordo com o tipo de função. Assim, temos: 
Correntes contínuas: que não variam com o tempo. 
Correntes alternativas: descritas por funções periódicas no tempo, com valor 
médio nulo num período. 
Correntes pulsadas: também periódicas, mas com valoqnédio,,não nulo no 
período. ' · · ' · · ' 
l.3. CAMPO ELÉTRICO . 
Consideremos uma cargaq, num ponto qualquer do espaço, sujeita a uma força 
eletrostática F. 
A razão entre F e a carga q define o campo elétrico (E) no ponto, assim: 
E=~ . , (~) , (1.3) 
ó campo elétrico tem a mesma direÇ.ão da.força e terá.o mesmo seniicfo, se a 
targh for positivà." . · · · . · · , ; ·: ? · ·· .. > 
,. ,., 
1.4 ·DIFERENÇA DE POTENCIAL 
Suponhamos que uma carga elétrica, sujeita a uma força eletrostática, se 
desloca de um ponto A a um ponto B (Fig. 1.1). 
F 
/
. 
q 8 
Ae • @-B 
1---- d -----l 
Fig. 1.1 Carga elétrica em movimento. 
O trabalho realizado pela força F será: 
T AB = F . d cos (J 
Sendo F ;= q · E, resúltA: 
TAB = q . Ed cos (J 
O trabalho por unidade de carga é dado por: 
\ 
TAB = Ed cos (J 
q 
(l.4) 
(l.5) 
(1.6) 
O resultado obtido na Eq:'(L6) ~corresponde ào trabalho realizado para levar 
uma carga unitária do ponto A ao ponto-E. 
2 
'. 
{;.A este termo dá-se o nome de diferença de potencial, medida no SI em 
joule/coulomb - ou volt - assim: 
Vrn = Ed cos o (V) (1.7) 
1.5 SISTEMA INTERNACIONAL DE U!'iIDADES (SI) 
'. ·. . Ao longo deste livro a·s váiias gra~dezas utilizadas serão apresentadas no 
· SÍstema Internacional de Unidades; seguiremos~ ainda as normas da Assodaç.ãô 
~rasileira de Nprmas Técnicas (ABND. · · · 
.. 1-l 
'1 
2 
Os Elementos Básicos dos Circuitos 
Êi~tiicos· 
2.1 BIPOLOS - ·CURVAS CARACTERÍSTICAS 
Os componentes básicos dos circuitos elétricos possuem dois terminais de 
ligaÇão e denominam-se genericámente bipolos. Na Fig. 2.1 temos a representa-
ção de um bipolo S com seus terminais A e B. 
Quando se aplica um.a tensão v ao bipolo, ele é perçorrido por uma corrente i, 
que eventualménte poder~ ser nula. . 
. Há uma· relaÇão ~ntre à tensão. aplicada e a corrente que atravessa o ·bipolo. 
Quando esta relação puder ser·represen!ada analiticamente por urna função 
f ":' f(v), esta é denominada função característica do bipolo. . 
· Alreprésentação gráfica da função i = f(v) especifica a curva característica do 
bipolo,\ Fig. 2.2. · _ 
o 
/ 
/ 
Fig. 2.1 Bipolo. 
/ 
V V 
Fig. 2.2 Curva característica de um bipolo. 
Um pontoP da curva característica(Fig. 2.2), cujas coordenadas são respecti-
vamente a tensão V que está sendo aplicada ao bipolo em um dado momento e a 
corrente I que está passando por ele nesse mesmo instante, é denominado ponto 
de operação do bipolo. 
4 
resistência aparente (Rap) do bipolo no ponto P a grandeza: 
Ra11 = 1~1 = ~ 
l p ! 
(2.1) 
Rap é numericamente igual ao inverso do coeficiente angular da reta OP. 
Define-se ainda a resistência diferencial (R) do bipolo no ponto P por: 
(2.2) 
Ré numericamente igual ao inverso do coeficiente angular da reta t, tangente à 
curva característica em P. 
·.· .. ··· .. Devemos observar que há urna modificação na resistência aparente e· na 
f~.sistência diferencial do bipolo quando o ponto P se desloca sobre a curva caracte-
Jística, ou seja, quando se modificam às condições de operação do bipolo. 
, . 2.2 -c~ASSIFICAÇÃO DOS BIPO~O~- _. 
Os bipolos podem ser classificados eni lineares e não~li.neares. São lineares 
quando_ a sua curva característica é uma reta; isto é, sua· resistência diferencial é 
constante, e não-lineares em caso contrário. 
Na Fig. 2.3a está representada a característica de um bipolo linear e na Fig. 
a de um não-linear. 
o 
ja) Linear (b} Não-linear 
Fig. 2.3 Características de bipolos. 
Os bipolos podem ser também classificados em passivos e ativos. Passivos, 
':l.lJ•a111uu suas curvas características passam pela origem, ou seja, i = O, para v = O 
2.4a), e ativos, quando isto não ocorre (i f O, parav =O; ou v +O, parai~ 0), 
2.4b. 
o o 
(8) Passivo (b) Ativo 
Fig. 2.4 Características de bipolos. 
. Os bipolos poderão ainda ser classificados em simétricos e assimétricos. São 
simétricos quando as suas curvas características possuem simetria ímpar, isto é, 
f(v) = -f(-v) (Fig. 2.5a), e assimétricos quando isto não se verifica (Fig. 2.5b). 
V 
(a) Simétricos ' (b) As;sirnétricos 
. . 
Fig. 2.5 C_aracterísticas de bipolos. 
. ' ; ' ' ,-· ;' ~ } •;, ~ ·· : :', .·~ ,: ·-· ·· _.: "; : •' ' 
2.3 ·REFERENCIAL DE TENSÃO E OK CORRENTE-
·. · ' ·-- , • ·- !" -
) : 
... Q~a.ndo a.p.al!samos um cjrcuit<? elét,rico;devemos estabeleéer·par~ cada bi~ 
polo um referencial para tensao e outro para corrente. 
O referencial de tensão é normalmente constituído por uma flecha ou então por 
um par (ie sinais ( +) e (-), conforme indica a Fig. 2.6a . Ao lado dessa flecha é 
colocada a tensão existente entre os terminais do bipolo. No caso da Fig. 2.6a, 
V = V AB representa a tensão entre A e B' adotando-se o ponto B como referência 
(origem da flecha). 
O referencial de corrente é constituído por uma flecha colocada em um dos 
terminais do bipolo (Fig. 2.6b). Ao lado dessa flecha está indicada a intensidade ida 
corrente que flui pelo bipolo, no sentido indicado. 
Tanto a tensão v como a corrente i poderão ser quantidades positivas ou 
negativas. 
(a) Tensão (b) Corrente 
Fig. 2.6 Convenções. 
Se os referenciais de tensão e corrente forem de mesmo sentido (Fig. 2.7a), 
teremos para o bipolo a convenção de gerador, e se os referenciais forem de 
sentidos opostos :(Fig. 2.7b ), teremos.a .convenção de receptor; , 
. :< Ao adotarmos a convenção de gerador, para um bipoló; ·isto não implica que 
este seja fisicamente um gerador, pois .eventtialmente poderá ser fisicamente um 
receptor .. O mesmo acontece quando se fixa a convenção de receptor. 
Um bipolo é um gerador quando está fomecendo energia elétrica ao circuito ao 
1 
! 
1 
-~jti 
' 
1 
l 
;'-'''t't' 
1 
.· .; 
n J n J 
(a) Gerador (b) Recep.tqr 
Fig. 2.7 Conve·nções. 
q1;1~l está ligado, e o receptor é aquele que está consumindo energia elétrica do 
circuito. . · 
;:,:,_. '. Fina!mente, ~évemos salientar que, tendo-se ciência d~ que o bipolo é um. 
gerador, e convemente estabel(!cer para o mesmo a convenção de gerador (referen-
. ciais· de tensão_ e con:ente no mesmo sentido); sendo o bi"polo fisi_camente um . 
receptor; a convenção mais adequada é a de receptor (referenciais de' tensão" e. 
corrent(! de sentidos opostos). 
2:4 ,POTÊNCIÁ ELÉTRICA INSTANTÂNEA 
Úm bipolo pode absorver (receptor) ou fornecer (gerador) potência elétrica a 
•Jll! ~f i,r_çuito. . . 
: '.\~en~q assi01 1 conside~emos um bipolo qualquer S adotando para o mesmo a 
convençao do receptor (Fig. 2.8). · 
J] 
Fig. 2.8 Convenção do receptor. 
Sendo dq uma quantidade elementar de carga elétrica que atravessa o bipolo de 
A, .para B, temos que o traba!ho realizado pelo campo elétrico vale: · .. ..,, 
(2.3) 
VA - V 8 = v (tensão no bipolo), 
';< 
dr= dq ·V (2.4) -
o tempo gasto no transporte da carga, a potência elétrica instantânea 
será: 
dT 
p=-
dt 
Sendo dq = i; portanto: 
dt 
2·.s POTÊNCIA ELÉTRICA MÉDIA 
/" 
dq . V 
dt 
Define potência elétrica média em um intervalo de tempo !!..t a relação: 
p = -,·-'-.f, ·1 + Alp • dt 
·.' ·Ât 1 · , 
2.6 RESISTO~ ·. 
(2 .5) 
(2.6) 
;(, ·: 
O resistor é uin bipolo passivo cuja função éar<icterí~tica .. é 'dada :por: .' • . · 
\ 
\ 
: 
:;'-': '\ ~: 
= __.!__:V 
R 
o,ncie Ré denominada resistência 4o re§istor. Na ~ai()riél das situaçpes''cÜ[l~idera­
remós o valor de R constante, independente de _quhlqúÚ outra g(andeza (por 
ex.erqplo, temperatura)1 , ·. · · · · · ' ,, · . · ·.· ' 
Define-se ainda a condutância do resistor (G) como sendo o inverso de sua 
resistência, ou seja: 
R em ohms (O) 
G em Siemens (S) 
V 
1 
G -=-
R 
R 
i 
~·.~ 
.-.,.., -,. 4-'--=~-~ · 
V 
Fig. 2.9 Símbolos de um resistor. 
(2.9) 
Na Fig. 2.1 Oa está representa,da a curva can1.cterístiq1 de um resistor linear 
(R .. =~!e~ig1 ~.~~i~.i~;~;o d~~~~~~:~~n~f;Ji~i~~Ía é, nu111ericam~Wtt? +J.~ à 
res1stenc1<l EJ do res1stor. ··.. . .. ·. . . . , _ . · . 
·A, p()tê.ncia elétrica instantâneíi di_§§ÍP.ada será: "--..., .. '- . ' - - ' -- _- - - --_ . ;_- ·-.:-··.,-- - . ' -~~- _J 
(a) Linear 04 ôhmico (b) Não-ttnear 
Fig. 2.10 Curvas características· de um resistor. 
' ' 2 i2 
p_ = v > i - ~ R · i 2 =. ~- G 
indutor é um bipolo cuja função característica é dada por: 
V = L _:!!__ 
dt 
V 
(2. _10) ' 
(2.11) 
i = -'-f vdt + i 0 (2.12) 
L o 
rn1rrP1nt .. no indutor no instante t = O.: 
forma, o indutor fica caracterizado por sua indutância L, medida eqi 
no Sistema Internacional: 
representação gráfica é apresentada na Fig. 2.11 . 
Fig. 2. 11 Representação do indutor. 
em um indutor no instante em que sua corrente éi é dada 
·• i-- :--~ 
W = f' vidt = i' Lidi = _I_ ii2 
~ o 2 
-(2.12a) 
9 
2.8 CAPACITOR 
O capacitor é um bipolo cuja função característica é dada por: 
. e' dv 
1 -- - -
dt 
(2.13) 
ou, ainda, 
(2. 14) 
v 0 = tensão no capacitür no instante t = /O. 
Desta forma, o capacitor fica caractc;rrizado por sua capacitância C, medida em 
Farad (F) no Sistema Internacional. 
É .usual utilizarem-se submúltiplos.desta unidade, tais como: 
\ 
será : 
ou 
1 mF = 10~3 F(rhilifarad) ,, 
1 µ,F = w-6 F.(microfarad) 
l nF = 10-9 F (nanofarad) 
1 pF = 10- 12 .F (picofarad) 
Sua representação gráfica é dada na Fig. 2.12. 
. . 
Fig. 2.12 Representação do capacitor.. 
A energia elétrica armazenada no capacitor no instante em que a sua tensão é v 
1 
· I ., 
f
1 ·f·' f' dv W = p · dt = .· vidt = V • C -- · dt 
... fo ... dt 
L
r 1 
W . = Cv · dv = - Ci·2 
' . o 2 
(2. 15) 
2.9 . FONTES' IDEAIS DETENSÃO E DE CORRENTE . ",. ····:· · , ' ·· ... . , . , .. . ;.· .. ' . 
,,.. . Fonte ideal de tensão ou gerador ide~! de tensão é aquele cuja tensão e 5 em seus 
terminais não depende da corrente. Atetisão es, também denominada forçaeletro-
SX;t · ~ .·-'· -
""""'-"''•L~ . .,., .. ,,.~,.., ser uma função.do tempo. A curva característica de uma 
está representada na Fig. 2.13a e as alternativas para a 
da fonte são apresentadas na Fig. 2. 13b . 
e, V 
(a) Curva característica (b) Representaçóes possíveis 
Fig. 2.13 Fonte ideal de tensão. 
. . 
,, .. Jf(mte ideal de corrente ou gerador ideal de corrente é aquele que fornece uma 
~orrerile cons~ante em seus terminais indepeQdenté dà tensão .. " · 
'h f.,Süa curva característica e sua representação gráfica estão apresentadas na Fig. 
2: 1~ . . 
t-,. ... -.--,.: 
:.t=_ "[f _;, 
V 
(a) Cuiva característica (b) Representação 
Fig. 2.14 Follte ideal de corrente. 
FONTE REAL DE TENSÃO 
A fonte de tensão real possui uma resistência internar e pode ser considerada 
como sendo associação de uma fonte ideal de tensão em série com essa resistência 
(Fig. 2.15) . 
''"'~- 0 Naresistência interna da fonte teremos uma queda de tensão v, = R · i . 
.. , _, . Dessa forma, a tensão entre os terminais A e B, ou seja, a tensão de saída da 
fonte, será: 
·-- ._,,,:--_-~_ ; 
v = e 5 - vr ou v = e5 - R · i (2.16) 
-0:~-~f~~-:~·1 . 
:; JAexpressão (2.16) representa a equação característica da fonte real de tensão, 
·tt,e e5 é a força eletromotriz. · 
' ,>Qµando í = O, ou seja, a fonte está em vazio, a tensão em seus terminais será' 
. ~:l~ sua força eletromotriz, também denominada tensão em vazio, v = e5 • 
(<Se os terminais são-colocados emcurto•circuito(Fig. 2. 16),a tensão será nula, 
11 
B 
Fig. 2~15 Fonte real de tensão. 
· \ . 
assim v = O. _Neste. caso, à corrente . é deriomipada corrente- de curto-circuito, 
valendo: 
12 
O= e8 ;Ricc (2.17) 
· _ es (p/ _O) I ce - - V -
- R . 
(2.18) 
A 
'·- ~ , 
e , 
R 
B 
Fig. 2.16 Fonte de tensão em curto-circuito . 
Na Fig. 2. 17 apresentamos a curva característica da fonte real de tensão. 
A potência útil f9rnecida pela fonte é_ dada por: 
p =V · Í 
Sendo v =és - R · i , então, 
p = e s · i - R · i 2 
, . 
. ' . es ......... 
I ce:: = -R- ' 
'-
)' 
fig. 2;11 ÇUrva carªctf!rística dafortte,real de tensíi,o. 
(2.19) 
(2.20) 
p = O, então e8 • i - R · i2 = O ou i · (e 8 - R · i) = O 
.donde : 
i = O (fonte em vazio) 
e5 - R · i =O 
Logo i = ~ = ic,. (fonte em cúrto-éircuito) 
R 
(2 .21) 
Assim, a fonte não fornece potência quando estiver e.m vazio ou quando em 
curto~eircuito . - · · 
· ,~ , . .Vamos agora determinar qual a máxima p.otência que. a fonte pode fornecer. 
Derivand9-se a potência em relação à corrente e igualando-se essa derivada. a zero, 
obtém-'-se a corrente correspondente à potência máxima. 
Assim: 
Donde: 
d .• 
_J!__ = e8 - 2R · i = O. 
di 
= es ice 
2R 2 
(2 .22) 
Em resumo, a potência fornecida será máxima quando a corrente for a metade 
da sua corrente de curto-circuito . 
< • Substituind9 (2-.22) em (2 .20) e (2.16), respectivamente, obtemos a máxima 
l'otência que pode ser fornecida pela fonte e a tensão quando está fornecendo esta 
· potência. Assim: 
es ( es )
2 
p _ d Pmâ.r = e8 · 2R - r 2R OU 11uí..r· -
4
R 
ou V=~ 
2 
(2 .23) 
(2.24) 
Representando a expressão (2.20) em um diagrama cartesiano, obtemos a 
de potência da font~ (Fig . . 2.18). 
Da relação(2.20), temos qii,~ : 
Pg_ = ~Si: P()f~ncia: elétrica gerada (2.25)" 
Pd = Ri 2 : potência dissipada (2.26) 
p 
e: 
P .... = 4R 
1 
1 
1. 
ti 
o e~ e, 
2,R fi 
Fig. 2.18 Curva de. potência da fonte. · 
Assim, definimos rendimento elétrico da fonte como sendo a relação entre a 
· potência útil e a :pptênçia elétrica·gerada; deste modo, ficamos com: . 
f' vi. V . 
T/ - - -
Pg esi es· 
(2.27) 
\ Substituindo (2.16) em (2.27), resulta: 
T/ = e s - Ri = I _ _!!_ i (2.28) 
es e;ç 
Na Fig. (2 . 19) está representado o rendimento da fonte em função da corrente. 
Deve-se ressaltar que o rendimento não é definido para fonte em vazio (i = 0). Por 
outro lado, o rendimento é nulo na situação de curto-circuito .(v = O) . 
T/ 
o . e , 
Ice= R 
Fig. 2.19 Rendimento em função da corrente. 
O rendii:rJento da fonte quando ela está fornecendo a máxima potência será: 
T/ = ~ . mas,em -viStade(2,24),v= !!..§___'donde 
es · 2 
1 
T/ = - = 0,5 ou 50% 
2 . 
(2.29) 
1 A 
um resistor R' nos terminais da fonte(Fig. 2.20) , a corrente é 
(2.16), temos que: 
V 
R' 
. i . es - v 
R 
Como sabemos, o rendimento do gerador é dado por: 
+ 
e , 
R 
V 
T/ = -
es 
A 
v· 
B 
R ' 
Fig. 2.20 Fonte de tensão alimentando um resistor. 
Igualando as expressões (2.30) e (2.31), obtemos: 
V 
R' 
V 
es - v 
R 
R' es 
R' +R 
Substituindo (2.34) em (2.32), obtemos: 
R' 
T/ = ---
R +R' 
. (2.30) 
(2.31) 
(2 .32) 
_(2.33) 
(2.3.4) 
(2.35) 
" -'..:~ A tensão v e a corrente i também podem ser obtidas graficamente. Traçando-se 
"'· m -ínesmo diàgrama cartesiano as curvas características do gerador e do 
t()r, elas se interceptarão em um ponto P (Fig. 2.21), denominado ponto de 
. . .... Ção;cujas coordenadas são a tensão e a corrente desejada . 
. --,nc~'f:1iiSé iô iesistorfor não-linear, procede-se de forma: análoga (Fig. 2.22). 
<~::~ ',-; . 
e.L i i 
R 
----- p 
1. 
Caràcterísti ca 
do gerador 
·-o~'------v'----,...-~e~,----v 
Fig. 2.21 Ponto de opl!ração .no resistor; 
. · ~,c.aóº 
c,'l.e<'"'~o 
c,a<~ 'Owº 
~ X1!'eaJ 
P !'ao-
Càracterística 
1 do gerador 
. I 
Fig. 2.22 Ponto de operação em bipolo não-linear. 
Sabemos que, quando o gerador está fornecendo a má xjma potência, o seu 
rendimento é 0,5 ou 50%; introduzindo esse valor na expressao (2.35) , obtemos: 
donde: 
R' 
--'----= 0,5 
R + R' 
R =R' (2.36) 
~-..~, .. ;; '. : , . -~:.·,~ ·,'- ;~, .:~ /~~ :-: ·:-':~- t' ' • 
· Cohch.Iírnos· entãoq4e um ge.ra~Qrf qrpece :a ·máximapotência quando a res1s-
tênciade :catga:éjgµal ii 'su'a ceS.istêhciàiryterna~ ,, "''',e:· . ; . ·. · . 
Para finalizar, .vamos.repcesentar aitensão ne> ge(ador,, o seu rendimento e a 
potênciàpor el~fornÇcida;.em{unçã.odasua resistência de cargaR (Fig. 2.23a, b, e). 
1 
1,0 -- ----- - --
~=~ = -e_,_ 
R·+ R' 1 + R 
"'ii7 0,5 ~ -. 
(b) 
p 
· Fig. 2.23 Fonte real de tensão . 
(a) Tensão em função de resistência de carga 
(b) Rendimento em função da resistência de carga 
(c) Potência útil em função da resistência de carga 
2.11 FONTE REAL DE CORRENTE 
11= _R_'_ = _1_ 
R + R' 1 + R · 
R' 
.. · A fonte real de corrente pode ser considerada como sendo a associação em 
';; pll.falelo de uma fonte idea1 de corrente com uma resistência r ou condutância 
) g = f, denominada resistência interna ou condutância interna da fonte (Fig . 
.. : 7.24). . 
i, V 
Fig. 2.24 Fonte real de corrente. 
as correntes da Fig . 2.24, podemos escrever: 
is = i0 + i (2.37t 
.Íu = g •· V (2.38) 
Substituindo-se (2.38) em (2.37), resulta: 
Ís = g · V + i (2.39) 
donde: 
i =is - g · V (2.40) 
A expressão (2.40) é .a equação característica da fÓnte de corrente (Fig. 2.25). · 
Se -v = O (fonte em éurto-circuito), temos · · · .. 
ou 
Sei = O (fonte em vazio), 
i, 
f3 
o 
i =is 
V 
g 
~V 
g 
Fig. 2.25 Curva característica da fonte real de corrente. 
A potência útil fornecida pela referida fonte vale: 
p = v · i = v Us - gv) 
p = v · is - g · v 2 
Da relação (2.44), temos que: 
P e = v · is: potência elétrica gerada 
e, ainda, 
P d = gv 2 : potência dissipada 
(2.41) 
(2.42) 
(2.43) 
(2.44) 
(2.45) 
(2.46) 
Para determinar a máxima potência da fonte real de corrente, basta derivar a 
potência útil (2.44) em relação à tensão e igualar a zero, donde se obtém a tensão 
çprr(!spondente à situação de máxima potência. 
dp = is - 2g · V = 0 
dv 
V=~ 
2g 
·2 
P - ls má.r - --
4g 
(2.47) 
... (2.48) 
(2.49) 
gráfÍco da _potência em função da tensão está representado na Fig. 2.26. 
•u•~c.-·.,-., que a potência é _nula quarido v = O (fonte.em curt9-circuito) ou q~a~dÇ. 
(fonte em vazio). 
p 
..!L 
4g 
-=-o-t----~;,----~&..--v 
2g g 
"Fig. 2.26 Potêncià em função da tensão. 
O rendimento da fonte real de corrente é dado por: 
p V · i 71=-u_= 
Pg v · is (2.5Ó) 
1 
TJ = -
is 
(2.51) 
Substituindo-se (2.40) em (2.51), vem: 
i -g ·V 7/ = _s ___ _ 
is 
(2.52) 
... 
1t 
Q · 
! 
~néílções de equivalência: 
ou r' = r = 0,5 n 
V 
, T/ = l · -g -.-
Is 
(2.53·); aonde: - t< --" 
2.12 EQUIVALÊNCIA ENTRE FONTES 
Sejam. ·as fonte_s de tensão e corrente ~epresentadas na Fig. 2.27. 
__ ; 
.-----..---'--<> - - ; 
i , r' V 
. . ; , ~---' 
(a) Tensão (b) Correnté 
Fig. 2.27 Fontes. 
1 
. ' 1 ' 
A condição necessária -e suficiente para que as fontes das Figs. 2.27a e 2.27b 
sejam equivalentes é que as relações entre tensão e corrente em seus terminais 
sejam iguais . Assim: 
g = _I_ == 2 .S (siemens) 
r' 
. _ e.s __ 20 = 40 A. 1 ~ - - --
·' r . 0,5. · · · 
Assim, a .font~ de corrente equiv'al~~~e à .a a~~esen~da na Fig. 2.29. 
2s ·V .,· 
Fig. 2.29 Fonte de corrente equivalente . 
Fonte de tensão v = es - ri 
Fonte de corrente i =is - _I_ v ou v = isr' 
(2.54) 1 Dada a fonte de corrente (Fig. 2.30), transformá-la em uma fonte de tensão 
equivalente. 
r' 
(2.55) ! - r 'i g = ,Q,02 siemens,c 
1 
Identificando as expressões (2.54) e (2.55) , temos: 1 Das condições de equivalência, temos 
r = r' 
es =is · r' 
. . j,. 
(2.56) i 
' i 
(2.57) I' . 
i 
As expressões (2 .56) e (2.?7) serão em tudo quanto se segue as condições de 1
1 equivalência entre uma fonte real de tensão e uma fonte real de corrente. 
Exemplo 2.1 1 
í 
Dada a fonte de tensão da Fig. 2.28, transformá~la em uma fonte de corrente ! 
equivalente. -- ; l 
V 
Fig. 2.28 Circuito do Ex . 2.1 . 
20 
I 
i 
'l 
l 
~1 
r = r' = _I = _l - = 50 fl 
g 0,02 
· is ::; 50 X 1 O = 500 V 
~-~---<> - - i 
10 A 
Fig. 2.30 Circuito do Ex. 2.2 . 
Dessa forma, a fo_nte de tensã.o equivalente é a dada _ na Fig. 2.31. 
. . '· ·. ,._ . ·: -:·. ·<:· ' .. ' ·' .· ' :~• •'.: .• . . . -· ' - . -~ -'·\ ' " 
;.' 
. :,.-
· 1. 
i 
! 
1 
1 
1 i i 1 l 
l 
1 
l 
l 
1 
1 1 
f 
-~ ... 
l 
son 
_; 
Fig. 2.31 Fonte de tensão equivalente. 
2.13 RECEPTOR ATIVO OU MOTOR 
O receptor ativo ou motor é um bipolo que consome energia elétrica do circuito 
e a transforma em outra forma de energia, como, por exempfo, energia mecânica. 
Ele é representado por uma fonte de tensão ideal em série com uma resistência 
interna (fig. 2.32). 
A tensão e para o receptor é denominada força contra-eletromotriz .(f.c ~ e.m.). · 
Sua e_quação c~nicterística é dada por: · · · ,, . 
. V. =e + VR . (2.58) 
Fig. 2.32 Receptor ativo. 
ou, ainda, 
Z2 
v ·=e +ri 
A curva característica do receptor .ativo está representada na Fig. 2.33. 
0 
""o;----/_,,_e_~---~ V 
/ 
-e 
r 
.>.; .•. 
Fig. 2.33 CUrva~daràctetística tio receptor ativo. 
~·' : ' .. . :. '.: : 
\i·', '').:·í;<;.,:: 
. -;:,:;;; ~',;b~~~ -~~>~ .. -;'.--j~0:/~~;;;~)l '·, · ,, ,·,; ;-.;•:::) ·~ -/\_:.:.:~i-:·_, _-, ,-,:-.. __ . ,,. 
o ericut êlêtiica éóilsum1da pelo receptor sera: 
,=4"f'~:;;<;_·_- ;._ .. • ,._;{·:i '•:·~ .:;:~---';''::_-c_- ~----'-', ." •' '·,:· · -: ·;;·: · ' 
p =vi 
· IJbstituind() (2.59) em (2.60), resulta em: 
p = ei + ri 2 
palisan@ a expressão (2:61), observamos que: 
.j'· . 
Pu = ei: potência útil çio re~eptor 
Pd = ri 2 :· potência dissipada 
(2.60) 
(2.61) 
(2.62) 
(2.63) 
re1nd11m~ento do receptor ativo é definido pela relação entre a potência útil e a 
elétrica consumida, ou seja: 
_ e.· i 
·YJ -o - -
V • ·j 
e 
V 
(2.64) 
(2.65) 
um receptor de força contra-eletromotriz e e resistência internar' 
um gerador de força-eletromotriz e 8 e resistência interna r 
A 
e, e 
r' 
B 
Fig. 2.34 Gerador alimentando um receptor ativo. 
no gerador é a mesma que no receptor; logo, em vista das expressões 
vem: 
v = es - r · i = e + r' · i 
a corrente que percorre o conjunto vale: 
= es - e · 
r + r' 
tensão no gerador e no receptor fica sendo: 
(2.66) 
(2.67f 
· (es ~e) v=es-r·c=es-r ---
r + r' 
(2.68) 
ou 
es · r' +e · r 
V=---~--
r + r' (2.69) 
A potênçia elétrica fornecida pelo .gerador -e, conseqüentemente, co~sumida 
peló receptor vale; · 
ou 
p =vi 
Em vista das expressões (2.67).e (2.69), obtém-se: 
=(es·r'+e·r) p 
(r+r')_ 
(es - e) 
(r. +.r') 
p = (ês-e)(e~-·r'+e ·r) 
(r + r') 2 
O rendimento elétrico do gerador vale: 
v e,. - r' +e - r 
T/G = - = -------es e.1- (r + r') 
O rendimento elétrico do receptor é: 
e e(r+r') 
T/-R = - = ------
V es · r' +e · _r 
-O rendimento el~trico do sistema fica sendo: 
e 
T/ = T/G . T/R = -
es 
2.14 LEI DE OHM PARA UM TRECHO DE CIRCUITO 
(2.70) 
(2. 71) 
(2.72) 
(2.73) 
(2.74) 
(2. 75) 
Consideremos o trecho de circuito AB constituído por resistores, elementos 
geradores e elementos receptores (Fig. 2.35). 
V 
Fig. 2,35 Trecho de circuito. 
devemos preferencialmente adotar a convenção de receptor 
tensão oposto ao referencial de corrente). 
tensão total v no trecho AB é igual à soma algébrica das tensões nos 
'e11enn.e1nH>s componentes, ou seja: 
Genericamente, para um ramo ·qualquer de circuito: 
EXERCÍCIOS 
V = 2: e; -·Í · 
j ~ 1 
(2. 76) 
(2.77) 
Um n;sistor de resistência R = 20 n é percorrido por uma corrente variável 
tempo, conforme o gráfico da Fig. 2.36. Esboçar os gráficos da tensão e da 
dissipada no resistor em função do tempo. -
i(A) 
10 
o 2 3 
t (s) 
4 
Fig. 2.36 
Este tipo de exercício deve ser resolvido dividindo-se a solução em inter-
valos de tempo, onde a função i(t) é contínua. Deste modo, no exercício em 
análise, estudaremos os seguintes intervalos: 
a) O< t < 1 
b) 1 < t < 2 
c) 2 < t < 4 
d) t > 4 
Assim, para O< t < I, temos: 
i = lOt (A) 
V = Ri = 20 X 1 Ot = 200t (V)