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Cálculo Financeiro
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ET3
RENDAS
Renda – conjunto de capitais que se vencem em momentos equidistantes.
Termo da Renda – cada um dos capitais que constituem a renda
Período da Renda – intervalo de tempo que decorre entre o vencimento de
um termo e o vencimento do termo seguinte
Duração da Renda – tempo total que separa o início do período do 1º termo
do fim do último termo da renda
T1, T2, (...), Tn-1, Tn = valores dos termos (iguais ou não)
1, 2, (...), n-1, n = momentos de vencimento dos termos
P = período da renda
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0
Tn
n
T(n-1)
n-1
T2
2
T1
1
(…)
P P P
RENDAS
Q1 – O Sr. F, deve 120€, 180€ e 210€, em 30/09/2010, 30/03/2011 e
30/09/2011. Trata-se de uma renda? Qual o período e os valores dos
termos?
R: É um renda, porque o vencimento dos termos é equidistante. O
período é o semestre e os valores dos termos das semestralidades são
120, 180 e 210€.
Q2 – O Sr. H deve três importâncias de 100€/cada, vencíveis em 30/09/2010,
31/12/2010 e 30/12/2011. Será uma renda?
R: Não! Apesar dos capitais serem iguais, o seu vencimento não é
equidistante.
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Classificação das RENDAS
Quanto à duração ou número dos seus termos, as rendas podem ser:
• TEMPORÁRIAS – quando têm um número limitado de termos.
• PERPÉTUAS – quando o número de termos é ilimitado.
Quanto à sua dependência de factores aleatórios:
• CERTAS – quando o número de períodos é definido, e não há, portanto, 
incerteza acerca da realização dos pagamentos, nas datas fixadas. 
• INCERTAS – se o número de períodos estiver dependente, contratualmente, 
da ocorrência de um determinado evento aleatório.
Quanto ao vencimento dos seus termos:
• ANTECIPADAS – quando os pagamentos têm lugar no início de cada período 
da renda. 
• “POSTECIPADAS” OU NORMAIS – quando os pagamentos têm lugar no fim 
de cada período da renda.
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Quanto ao valor dos seus termos:
• VARIÁVEIS – se os termos são de valor diferente, podendo ou não essa 
variação de valor obedecer a uma lei conhecida (Ex.: termos variando em 
progressão aritmética ou em progressão geométrica ).
• CONSTANTES – se os termos são de valor constante ou fixo.
Quanto à relação entre o período da renda e o período da taxa:
• INTEIRAS – quando o período da renda e o período da taxa coincidem.
• FRACCIONADAS – quando os períodos da renda e da taxa não coincidem.
Quanto ao momento a que são referidos os seus valores actuais:
• IMEDIATAS – quando o seu valor actual é referido a um momento que 
coincide com o início do seu primeiro período. 
• DIFERIDAS – quando o seu valor actual se refere a um momento anterior ao 
início do seu primeiro período.
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Classificação das RENDAS
Quanto ao período:
• RENDA ANUAL = ANUIDADE – quando os seus termos têm periodicidade 
anual.
• RENDA BIANUAL = BIANUIDADE – quando os seus termos se vencem de 
dois em dois anos.
• RENDA SEMESTRAL = SEMESTRALIDADE – quando os seus termos se 
vencem de seis em seis meses.
• RENDA TRIMESTRAL = TRIMESTRALIDADE – quando os seus termos se 
vencem de três em três meses.
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Classificação das RENDAS
Estudo das RENDAS
1. Rendas Inteiras com Termos Constantes
I. Rendas Inteiras Temporárias
a. Rendas Inteiras Temporárias Imediatas
• Termos Postecipados ou “Normais”
• Termos Antecipados
b. Rendas Inteiras Temporárias Diferidas
II. Rendas Inteiras Perpétuas
2. Rendas Inteiras com Termos Variáveis
I. Rendas Inteiras com Termos Variáveis Quaisquer
II. Rendas Inteiras com Termos a variar em Progressão Aritmética
III. Rendas Inteiras com Termos a variar em Progressão Geométrica
3. Rendas Fraccionadas com Termos Constantes
I. Rendas Fraccionadas Temporárias Imediatas
II. Rendas Fraccionadas Temporárias Diferidas
4. Rendas Fraccionadas com Termos Variáveis
I. Rendas Inteiras com Termos Variáveis Quaisquer
II. Rendas Inteiras com Termos a variar em Progressão Aritmética
III. Rendas Inteiras com Termos a variar em Progressão Geométrica
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Rendas Inteiras com Termos Constantes
Rendas Inteiras Temporárias Imediatas Postecipadas (ou normais)
Exemplo:
i =18%
Assim,
• Duração da renda = 6 anos (renda temporária e certa)
• Período da Renda = 1 ano (anuidades)
• Termos da Renda = 3.000€ (termos constantes)
• Pagamento dos Termos = final do período (renda postecipada ou termos normais)
• Período da Taxa = anual e igual ao período da renda (renda inteira)
• Momento em que se pretende calcular o Valor Actual = início do período (renda imediata)
Os termos (T) são todos iguais: T1 = T2 = T3 = T4 = T5 = T6 = T
Qual o valor da renda n o momento t0, ou seja, qual o seu Valor Actual?
Valor Actual = T(1+0,18)-1+T(1+0,18)-2+T(1+0,18)-3+T(1+0,18)-4+T(1+0,18)-5+T(1+0,18)-6
= T[(1,18)-1+(1,18)-2+(1,18)-3+(1,18)-4+(1,18)-5+(1,18)-6]
= 3.000(3,4976003)
= 10.492,809 euros
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T1
3.000
1
t1
T2
3.000
2
t2
T3
3.000
3
t3
T4
3.000
4
t4
T5
3.000
5
t5
T6
3.000
6
t6
0
t0
1 ano 1 ano 1 ano 1 ano 1 ano 1 ano
Rendas Inteiras com Termos Constantes
Rendas Inteiras Temporárias Imediatas Postecipadas (ou normais)
Exemplo:
i =18%
E qual o Valor Acumulado da renda no final do 6º período?
Valor Acumulado = T1(1+0,18)
5+T2(1+0,18)
4+T3 (1+0,18)
3+T4(1+0,18)
2+T5(1+0,18)
1+T6
como, T = T1 = T2 = T3 = T4 = T5 = T6
Valor Acumulado = T[(1,18)5+(1,18)4+(1,18)3+(1,18)2+(1,18)1+1]
= 3.000(9,441968)
= 28.325,904 euros
Como se viu, trata-se de um problema de progressão geométrica em que para casos com
muitos termos tém de se efectuar muito cálculos.
Assim, representa-se por:
an  Valor Actual de uma Renda Certa, Temporária, Imediata e Inteira
com n Termos Normais e unitários
sn  Valor Acumulado de uma Renda Certa, Temporária, Imediata e
Inteira com n Termos Normais e unitários
= Símbolo de uma renda
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T1
3.000
1
t1
T2
3.000
2
t2
T3
3.000
3
t3
T4
3.000
4
t4
T5
3.000
5
t5
T6
3.000
6
t6
0
t0
1 ano 1 ano 1 ano 1 ano 1 ano 1 ano
Como se determina an ?
como, an = (1+i)
-1+ (1+i)-2+ ... + (1+i)-(n-1)+ (1+i)-n
soma dos termos de uma progressão
geométrica em que a razão é igual a (1+i)-1
e como,
(Série Geométrica)
desenvolvendo, ficamos com:
Rendas Inteiras com Termos Constantes
Rendas Inteiras Temporárias Imediatas Postecipadas (ou normais)
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r1
r1
aS
n
1n



i
i)(11
a
n
n


Sendo Sn o Valor Acumulado,
então, Sn = (1+i)
n-1+ (1+i)n-2+ ... + (1+i)1+ 1
como o 2º membro representa os termos de uma progressão geométrica de razão (1+i),
permite-nos chegar à fórmula:
bem como, Sn = an (1+i)
n ou an = Sn (1+i)
-n
Como esta fórmulas se referem a termos unitários, sempre que estes não o sejam, basta
multiplicar o valor do termo, tal que:
▫ Valor Actual = T.an
▫ Valor Acumulado = T.Sn
Podemos confirmar no exemplo dado anteriormente:
Rendas Inteiras com Termos Constantes
Rendas Inteiras Temporárias Imediatas Postecipadas (ou normais)
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i
i)(1
S
n
n
1

 
euros 10.492,809
0,18
0,181-1
3.000 alValor Actu
6





 

  
euros 28.325,904
0,18
10,181
3.000uladoValor Acum
6





 

Exercício: Determine o valor acumulado por uma anuidade constante postecipada de
2.300€, à taxa de juro de 12,5%, durante 7 anos.
Resolução:
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 
2€23.546,831
0,125
10,1251
 2.300 uladoValor Acum
7





 

Rendas Inteiras com Termos Constantes
Rendas Inteiras Temporárias Imediatas Postecipadas (ou normais)
Assim,
• Duração da renda = 4 anos (renda temporária e certa)
• Período da Renda = 1 ano (anuidades)
• Termos da Renda = 1.280€ (termos constantes)
• Pagamento dos Termos = início do período (renda antecipada)
• Período da Taxa = anual e igual ao período da renda (renda inteira)
• Momento em que se pretende calcular o Valor Actual = início do período (renda
imediata)
Assim, representa-se por:
än  Valor Actual de uma Renda Temporária Certa, Imediata e Inteira
com n Termos Antecipados e unitários
sn  Valor Actualde uma Renda Temporária Certa, Imediata e Inteira
com n Termos Antecipados e unitários
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T2
1.280
1
t1
T3
1.280
2
t2
T4
1.280
3
t3
4
t4
T1
1.280
0
t0
1 ano 1 ano 1 ano 1 ano
¨
Rendas Inteiras com Termos Constantes
Rendas Inteiras Temporárias Imediatas Antecipadas
än Sn
então,
än = an (1+i)
ou, ou seja:
an = än (1+i)
-1
an än sn sn
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¨
Rendas Inteiras com Termos Constantes
Rendas Inteiras Temporárias Imediatas Antecipadas
t0 tn
T
tn-1
T
t2
T
t1
(…)
1º período
T
último 
período
1.280
1
1.280
2
1.280
3 4
1.280
0-1
¨
e,
Sn = Sn (1+i)
ou,
Sn = Sn (1+i)
-1
Que é o mesmo que dizer que: Sn = än (1+i)
n e como, än = an (1+i)
então: Sn = an (1+i)(1+i)
n
Sn = an (1+i)
n+1
No nosso exemplo,
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Rendas Inteiras com Termos Constantes
Rendas Inteiras Temporárias Imediatas Antecipadas
¨
¨
¨
¨
¨
 
 
€ 3.934,635A
0,211
0,21
0,2111
1.280ä1.280A
4
n






 

  
 
8.434,24€S
0,211
0,21
10,211
1.280S
4






 

Momento em que queremos referir o valor actual da renda, ser anterior ao ínicio do
seu primeiro período.
Exemplo:
Considere-se uma renda com 5 anuidades de 300 euros cada, que vencem juros à taxa
de 21%. O 1º termo vence-se daqui a 5 anos.
a) Determine os valores actual e acumulado, supondo termos postecipados
b) Determine os valores actual e acumulado, supondo termos antecipados
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Rendas Inteiras com Termos Constantes
Rendas Inteiras Temporárias Diferidas
4
T1
300
5
T2
300
6
T3
300
7
T4
300
8
T5
300
91 ano 1 ano 1 ano 1 ano 1 ano 1 ano0 1 2 31 ano 1 ano 1 ano
Diferimento de 4 anos
4
T1
300
5
T2
300
6
T3
300
7
T4
300
8
T5
300
91 ano 1 ano 1 ano 1 ano 1 ano 1 ano0 1 2 31 ano 1 ano 1 ano 101 ano
Diferimento de 5 anos