CALCULO 3 TESTE

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
1
a
 aula 
1a Questão 
Dada a função  (t) = (t2 , cos t, t3) então o vetor derivada será? 
 (2t , - sen t, 3t2) 
 
2a Questão 
 
Resolva a seguinte equação diferencial pelo método da substituição: 
Função: yy = x416x416 
EDO:y′=x(y12) 
 x34=x34x34=x34 são iguais, portanto resolve a EDO. 
 
 3a Questão 
 
 
Identifique o valor de t entre os pontos do intervalo [-π,π], onde as funções { t,sent, cost} são 
linearmente dependentes. 
 
 
4a Questão 
 
Considere as seguintes equações diferenciais: 
I) 4(y′)5+y′′=14(y′)5+y″=1 
II) ∂5y∂x5−∂2y∂x2=0∂5y∂x5−∂2y∂x2=0 
III) (y′′)3+(y′)5=x 
 A primeira e a segunda são de graus iguais a 1. 
5a Questão 
 
Determine a ordem da equação diferencial abaixo e diga se ela é linear ou não. 
d3ydt3+td2ydt2+(cos2(t))y=t3 
 3ª ordem e linear. 
6a Questão 
 
Dadas as equações diferenciais ordinárias abaixo: 
I - t3d3ydt3+tdydt+y=tt3d3ydt3+tdydt+y=t 
II - d2ydt2+tdydt+t2y=etd2ydt2+tdydt+t2y=et 
III - t2dydt+ty=sen(t) 
 I, II e III são lineares. 
 
 7a Questão 
 
 
Considere as seguintes equações diferenciais: 
0 
a) 4(y′)5+y′′−14(y′)5+y″−1 
b) ∂5y∂x5−(∂2y∂x2)3=0 
 A primeira tem ordem 2 e a segunda tem grau 1. 
8a Questão 
 
Determine a ordem e o grau da equação diferencial abaixo: 
t2s(2)−ts=1−sen(t) 
 Ordem 2 e grau 1. 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
 
 1a Questão 
 
 
Qual o valor de w para que a a função y = w seja solução da equação diferencial y' + 4y = 32? 
 
 8 
2a Questão 
Resolvendo a equação diferencial separável xdy = ydx, obtemos: 
 ln y = ln x + C 
 
 3a Questão 
 
Resolva a equação diferencial dada abaixo por separação de variáveis. 
xy´=4y 
 y=cx4 
 4a Questão 
 
Classificando as seguintes EDOs como LINEAR ou NÃO LINEAR: 
a) d²y/dx² = -2x(dy/dx) + 2y 
b) dx/dt = k(4-x).(1-x) 
encontramos: 
 (a)linear (b)não linear 
 
 
 5a Questão 
 
 
Dada a seguinte EDO, resolva pelo método das variáveis separáveis: 
dydt=et−ydydt=et−y 
 y=t+k 
 6a Questão 
 
A solução geral da equação diferencial xy´+y=0 é 
 y=C/x 
7a Questão 
 
 Resolva e indique a resposta correta: rsecψdr−2a2senψdψrsecψdr−2a2senψdψ, sendo aa uma 
constante real positiva. 
 r2+2a2cos2ψ=C 
 8a Questão 
 
Sabendo que () = (cos t , sen t, 2) representa o vetor posição de uma partícula que se move em cada instante t. Determine o 
vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração A(t). 
 
 V(t) = (- sen t, cos t, 0) e A(t) = ( - cos t, - sen t, 0) 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
3
a
 aula 
1a Questão 
 
Dada a seguinte EDO Linear, ache a sua resolução particular ypyp: 
 
 y(x)=e(2x)+k 
2a Questão 
 
Verifique se a função f(x,y)=x3+xy2eyxf(x,y)=x3+xy2eyx é homogênea e, se for, qual é o 
grau e indique a resposta correta. 
 Homogênea de 
grau 3. 
3a Questão 
 
Classifica-se uma equação diferencial quanto ao tipo: ordinária ou parcial; quanto à ordem, primeira, segunda, terceira ordem, etc; 
quanto a linearidade: linear ou não linear. Marque a classificação para equação x^3 y''' - x^2 y'' + 4xy' - 3y = 0: 
 equação diferencial ordinária, terceira 
ordem, linear 
4a Questão 
 
Sabendo que () = (  +cos 3t , 5 + sen 3t) representa o vetor posição de uma partícula que se move em cada instante t. Determine o 
vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração. 
 
 V(t) = ( - 3 sen 3t , 3 cos 3t) e A(t) = ( - 9 cos 3t, - 9 sen 3t) 
5a Questão 
 
Seja →F(t)=(cost,sent)F→(t)=(cost,sent). Determine lim(h→0)→F(t+h)−→F(t)h 
 ( -sent, cos t) 
6a Questão 
 
Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir: 
d2ydt2+5dydt+4y(t)=0d2ydt2+5dydt+4y(t)=0 , com y(0)=1y(0)=1 e y'(0)=0 
 y(t)=43e−t − 13e−(4t) 
7a Questão 
 
Com relação às equações diferenciais de primeira ordem e seus tipos de soluções é SOMENTE correto afirmar que: (I) Solução Geral é a 
solução que contém tantas constantes arbitrárias quantas são as unidades da ordem da equação. (II) Solução Particular é toda solução 
obtida da solução geral atribuindo-se valores particulares às constantes. (III) Para cada condição inicial é possível encontrar uma 
solução particular para uma equação diferencial. 
 Todas 
são 
corretas. 
8a Questão 
 
Determine a ordem e o grau da equação diferencial (y''')² + 3y' + 2y = ex. 
 Ordem 3 e grau 2. 
 
 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
Prezado (a) Aluno(a), 
 
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O 
mesmo será composto de questões de múltipla escolha. 
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com 
este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS. 
 
1. 
 
 
Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas. 
I - 2xydx+(1+x2)dy2xydx+(1+x2)dy 
II - (ysen(x)+xycos(x))dx+(xsen(x)+1)dy=0(ysen(x)+xycos(x))dx+(xsen(x)+1)dy=0 
III - (x−y)dx+(x+y)dy=0 
 
 
Apenas I e II. 
2. 
 
 
Várias equações diferenciais de 1ª ordem que podem se apresentar com o formato: M(x,y)dx 
+ N(x,y)dy = 0. Para que tenhamos uma uma equação diferencial exata é necessário que: 
 
 
A derivada de M em relação à y seja igual à derivada de N em relação à x. 
3. 
 
 
Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas. 
I - (xy+x2)dx+(−5)dy=0(xy+x2)dx+(−5)dy=0 
II - xexydx+yexydy=0xexydx+yexydy=0 
III - yexydx+xexydy=0 
 
 
Apenas a III. 
4. 
 
 
Uma solução da equação diferencial y´=y é a função: 
 
 
y = ex 
5. 
 
 
Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas. 
I - 2xydx+(1+x2)dy2xydx+(1+x2)dy 
II - (x+sen(y))dx+(xcos(y)−2y)dy=0(x+sen(y))dx+(xcos(y)−2y)dy=0 
III - (2xy+x)dx+(x2+y)dy=0(2xy+x)dx+(x2+y)dy=0 
 
 
I, II e III são exatas 
6. 
 
 
Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
y"+3y'+6y=sen(x) 
 
 
ordem 2 grau 1 
7. 
 
 
Quais das opções melhor justifica o wronskiano do par de funções cost e sent. 
 
 
1 
8. 
 
 
Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
(y")³+3y'+6y=tan(x) 
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ordem 2 grau 3 
Aluno: X Matr.: X4 
Disc.: CÁLC.DIFE.INTEG.III 
 
1. 
 
 
Dadas as EDOs abaixo, determine quais são lineares. 
I - y´+4xy=x4y´+4xy=x4 
II - y´−2xy=xy´−2xy=x 
III - y´−3y=6 
 
 
I, II e III são lineares. 
 
2. 
 
 
Dada x.y´ = 4.y, resolver a equação diferencial por separação de variável. 
 
 
y = c.x^4 
3. 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de 1ª ordem linear 
y´−2xy=x 
 
 
y=−12+cex2 
4. 
 
 
Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
y"+3yy'=exp(x) 
 
 
ordem 2 grau 1 
5. 
 
 
Classificando a equação diferencial entre: separável, homogênea, exata ou linear de primeira ordem. 
x.y' +2.y = 2 + ln(x) concluimos que ela é: 
 
 
separável 
 
 
exata 
 
 
homogênea 
 
 
linear de primeira ordem 
6. 
 
 
Utilizando o método de resolução para EDO Linear de primeiro grau, determine a solução da equação: 
y′−(y/x)=2x4/ey′−(y/x)=2x4/e 
 
 
y(x)=(x5/e)+ky(x)=(x5/e)+k 
 
 
y(x)=(e/2)+ky(x)=(e/2)+k 
 
 
y(x)=(x5/2e)+cxy(x)=(x5/2e)+cx 
 
 
y(x)=(x2/2e)+cxy(x)=(x2/2e)+cx 
 
 
y(x)=(x/2e)+ck 
 
Aluno: Matr.: 2 
Disc.: CÁLC.DIFE.INTEG.III 2020.1 (G) / E 
 
1. 
 
 
Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir: 
d2ydt2+5dydt+4y(t)=0d2ydt2+5dydt+4y(t)=0 , com y(0)=1y(0)=1 e y'(0)=0 
 
 
y(t)=43e−t − 13e−(4t) 
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2. 
 
 
Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir: 
d2ydt2+5dydt+4y(t)=0d2ydt2+5dydt+4y(t)=0 , com y(0)=1y(0)=1 e y'(0)=0 
 
 
y(t)=43e−t − 13e−(4t) 
 
3. 
 
 
Seja a função f(x,y) = (3 y2 ) / (x+ y). Calcule o limite da função f(x,y) quando (x, y) tende a (-1,2). 
 
 
o Limite será 12. 
4. 
 
 
Das alternativas a seguir identifique qual é a solução para o problema de valor inicial y''+16y = 0, 
y(0) = 0 e y'(0) = 1. 
 
 
14sen4x 
5. 
 
 
O estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes foram estudados em duas fases, 
a primeira tratando das EDOs deste tipo homogêneas e posteriormente as não homogêneas. A solução das homogêneas é 
bastante fácil, resumindo a três casos, em função das raízes da equação característica. Como podemos formar a solução 
particular quando após a iguadade na EDO for um polinômio ? 
 
 
O grau do polinômio da particular será dada por m+h, onde h é a menor ordem de derivada da EDO e m é o grau do 
polinômio após a igualdade na EDO 
6. 
 
 
Descreva o domínio da função z=(x+y-2)1/2 
 
 
{(x,y)  2| x+y ≥ 2 
Problemas de variação de temperatura : A lei de variação de temperatura de Newton 
afirma que a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença 
de temperatura entre o corpo e o meio ambiente, dT/dt = k( T- Tm) Supondo que um 
objeto à temperatura inicial de 500F é colocado ao ar livre , onde a temperatura 
ambiente é de 100 0 F . Se após 5 minutos a temperatura do objeto é de 60 oF , 
determinar a temperatura do corpo após 20 min. 
 
 
79,5 graus F 
8. 
 
 
Seja y1 = cos x e y2 = sen x soluções particulares da equação y + y = 0. Calcule o Wronskiano. 
 
 
O Wronskiano será 1. 
 
 
 
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