CÁLCULO NUMÉRICO COMPLETO

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1a Questão (Ref.: 201506492565) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Sejam os vetores u, v e w no R3. Considere ainda o vetor nulo 0. É incorreto afirmar que: 
 
 u x v = v x u 
 
u.v = v.u 
 
u + 0 = u 
 
u + v = v + u 
 
(u + v) + w = u + (v + w) 
 
2a Questão (Ref.: 201506051898) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x
2
 - 1, calcule f(1/2). 
 
 - 3/4 
 
- 4/3 
 
4/3 
 
- 0,4 
 
3/4 
 
 3a Questão (Ref.: 201506029340) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Sendo as matrizes M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe, é possível determinar M+N, NxP e P- Q, se: 
 
 
 a = b = c = d= e - 1 
 
 b - a = c - d 
 
 a x b = 6, a + 1 = b = c= d= e - 1 
 2b = 2c = 2d = a + c 
 b = a + 1, c = d= e = 4 
 
 4a Questão (Ref.: 201505987310) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 
 
 
-11 
 
3 
 -5 
 
2 
 
-3 
 
 5a Questão (Ref.: 201505987308) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 3x - 5, calcule f(-1). 
 
 
-11 
 -8 
 
-7 
 
2 
 
3 
 
 6a Questão (Ref.: 201505987280) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Uma vendedora recebe R$ 1000,00 de salário fixo, mais R$ 0,05 para cada real faturado nas vendas. Sendo x o valor 
em reais correspondente às vendas mensais da referida vendedora, expresse seu salário em função de x. 
 
 
1000 
 
1000 - 0,05x 
 
50x 
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1000 + 50x 
 1000 + 0,05x 
 
7a Questão (Ref.: 201505987278) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 
 
 
2 
 
3 
 
-3 
 
-11 
 -7 
 
 8a Questão (Ref.: 201506123611) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Em cálculo numérico é necessário o conhecimentos de várias funções. Por exemplo, que função é 
definida pela sentença: função f definida de R em R na qual a todo x pertencente ao domínio Rassocia 
o elemento y de valor igual a ax
2
+bx+cx (onde a  R*, b e c  R) 
 
 Função quadrática. 
 
Função logaritma. 
 
Função afim. 
 
Função linear. 
 
Função exponencial. 
 
 1a Questão (Ref.: 201505987368) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [0, 3] o escolhido 
para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo: 
 
 
[0,3] 
 
[1,2] 
 
[1,3] 
 [0,3/2] 
 
[3/2,3] 
 
 2a Questão (Ref.: 201506117747) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere uma função real de R em R denotada por f(x). Ao se representar a função f(x) num par de eixos xy. 
percebe-se que a mesma intercepta o eixo horizontal x. Quanto a este ponto, é correto afirmar que: 
 
 
É a ordenada do ponto em que a derivada de f(x) é nula 
 
Nada pode ser afirmado 
 
É o valor de f(x) quando x = 0 
 É a raiz real da função f(x) 
 
É a abscissa do ponto em que a derivada de f(x) é nula 
 
 3a Questão (Ref.: 201505987373) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Falsa Posição para cálculo da raiz, e os valores iniciais para 
pesquisa -1 e 2. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no valor: 
 
 
0 
 
-0,5 
 1,5 
 
1 
 
0,5 
 
 4a Questão (Ref.: 201506029686) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em torno da raiz xR . Os 
expoentes numéricos indicam a sequência de iteração. 
 
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Esta é a representação gráfica de um método conhecido com: 
 
 Gauss Jacobi 
 Bisseção 
 Newton Raphson 
 Gauss Jordan 
 Ponto fixo 
 
 5a Questão (Ref.: 201506029685) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere a equação e
x
 - 3x = 0, onde e é um número irracional com valor aproximado de 2,718. É correto afirmar 
que existe uma raiz real no intervalo: 
 
 (0,2; 0,5) 
 (0,9; 1,2) 
 (0,0; 0,2) 
 (-0,5; 0,0) 
 (0,5; 0,9) 
 
 6a Questão (Ref.: 201505987360) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, indique a opção correta de pontos extremos do intervalo para 
determinação da raiz da função f(x) = x3 -7x -1 
 
 
1 e 2 
 
4 e 5 
 2 e 3 
 
3 e 4 
 
0 e 1 
 
 7a Questão (Ref.: 201505987363) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, indique a opção correta de pontos extremos do intervalo para 
determinação da raiz da função f(x) = x3 - 4x +1 
 
 
2 e 3 
 
5 e 6 
 
3 e 4 
 
4 e 5 
 1 e 2 
 
 8a Questão (Ref.: 201505987365) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja a função f(x) = x3 - 8x. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [-8, 10] o escolhido 
para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo: 
 
 [1,10] 
 
[0,1] 
 
[-4,5] 
 
[-4,1] 
 
[-8,1] 
 
1a Questão (Ref.: 201506117732) Fórum de Dúvidas (1) Saiba (0) 
 
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Em um método numérico iterativo determinado cálculo é realizado até que o critério de convergência seja satisfeito. 
Pode ser um critério de parada, considerando ε a precisão: 
 
 
A soma de dois valores consecutivos de x seja menor que a precisão ε 
 
O produto de dois valores consecutivos de x seja maior que a precisão ε 
 
A soma de dois valores consecutivos de x seja maior quea precisão ε 
 
O módulo da diferença de dois valores consecutivos de x seja maior que a precisão ε 
 O módulo da diferença de dois valores consecutivos de x seja menor que a precisão ε 
 
 2a Questão (Ref.: 201505987380) Fórum de Dúvidas (1) Saiba (0) 
 
De acordo com o método do ponto fixo, indique uma função de iteração g(x) adequada para resolução da equação f(x) 
= x3 - 4x + 7 = 0 
 
 
7/(x2 - 4) 
 
x2 
 
-7/(x2 + 4) 
 
7/(x2 + 4) 
 -7/(x
2 - 4) 
 
 3a Questão (Ref.: 201506029687) Fórum de Dúvidas (1) Saiba (0) 
 
Para utilizarmos o método do ponto fixo (MPF) ou método iterativo linear (MIL) devemos trabalhar como uma f(x) 
contínua em um intervalo [a,b] que contenha uma raiz de f(x). O método inicia-se reescrevendo a função f(x) em 
uma equivalente, uma vez que f(x) não facilita a procura da raiz. Considere a função f(x) = x
3
 + x
2
 - 8. A raiz desta 
função é um valor de x tal que x
3
 + x
2
 - 8 = 0. Se desejarmos encontrar a raiz pelo MIL, uma possível função 
equivalente é: 
 
 (x) = 8/(x
2
 + x) 
 (x) = 8/(x
3
+ x
2
) 
 (x) = 8/(x
3 
- x
2
) 
 (x) = x
3
 - 8 
 (x) = 8/(x
2
 - x) 
 
 4a Questão (Ref.: 201505987398) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
A raiz da função f(x) = x3 - 8x deve ser calculada empregando o Método de Newton Raphson. Assim, considerando-se o 
ponto inicial x0= 2, tem-se que a próxima iteração (x1) assume o valor: 
 
 
0 
 4 
 
2 
 
-4 
 
-2 
 
 5a Questão (Ref.: 201505987399) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
A raiz da função f(x) = x3 - 8x deve ser calculada empregando o Método de Newton Raphson. Assim, considerando-se o 
ponto inicial x0= 4, tem-se que a próxima iteração (x1) assume o valor: 
 
 
3,2 
 
0 
 
1,6 
 2,4 
 
0,8 
 
 6a Questão (Ref.: 201506503707) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
Em Ciência, é comum nos depararmos com equações em relação as quais devemos determinar raízes por métodos não 
analíticos, mas sim por métodos numéricos. Entre os métodos famosos, encontra-se o denominado Método de 
Newton-Raphson, que se baseia em obter sucessivas aproximações da raiz procurada a partir da expressão xn+1=xn- 
f(x) / f'(x), onde f '(x) é a primeira derivada da função. Considerando estas informações, determine após duas 
interações o valor da raiz da equação x2+x-6=0 partindo-se do valor inicial x0=1,5. Assinale a opção CORRETA. 
 
 
Não há raiz. 
 Valor da raiz: 2,00. 
 
Valor da raiz: 5,00. 
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javascript:duvidas('110712','4','5');
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javascript:duvidas('627020','4','6');
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javascript:duvidas('110693','4','2');
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javascript:duvidas('153000','4','3');
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javascript:duvidas('110711','4','4');
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javascript:duvidas('110712','4','5');
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Valor da raiz: 2,50. 
 
Valor da raiz: 3,00. 
 
 7a Questão (Ref.: 201505987400) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
O método de Newton-Raphson utiliza a derivada f´(x) da função f(x) para o cálculo da raiz desejada. No entanto, 
existe um requisito a ser atendido: 
 
 A derivada da função não deve ser nula em nenhuma iteração intermediária. 
 
A derivada da função não deve ser negativa em nenhuma iteração intermediária. 
 
A derivada da função não deve ser positiva em nenhuma iteração intermediária. 
 
A derivada da função deve ser negativa em todas as iterações intermediárias. 
 
A derivada da função deve ser positiva em todas as iterações intermediárias. 
 
 8a Questão (Ref.: 201506029376) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva. 
 
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como: 
 
 
 Gauss Jordan 
 Ponto fixo 
 Gauss Jacobi 
 Newton Raphson 
 Bisseção 
 
 1a Questão (Ref.: 201506503716) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O Método de Gauss-Jacobi representa uma poderosa ferramenta que utilizamos para resolver sistemas lineares, 
baseado na transformação de um sistema Ax=B em um sistema xk=Cx(k-1)+G. Neste Método, comparamos as soluções 
obtidas em duas iterações sucessivas e verificamos se as mesmas são inferiores a uma diferença considerada como 
critério de parada. Considerando o exposto, um sistema de equações lineares genérico com quatro variáveis x1, x2, x3 e 
x4 e um critério de parada representado por 0,050, determine qual a menor interação que fornece uma solução 
aceitável referente a variável x1: 
 
 Terceira interação: |x1
(3) - x1
(2)| = 0,030 
 
Segunda interação: |x1
(2) - x1
(1)| = 0,15 
 
Quinta interação: |x1
(5) - x1
(4)| = 0,010 
 
Primeira interação: |x1
(1) - x1
(0)| = 0,25 
 
Quarta interação: |x1
(4) - x1
(3)| = 0,020 
 
 
2a Questão (Ref.: 201506147201) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com relação a estes últimos é 
correto afirmar, EXCETO, que: 
 
 
Apresentam um valor arbitrário inicial. 
 
As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo. 
 
Existem critérios que mostram se há convergência ou não. 
 
Consistem em uma sequência de soluções aproximadas 
 Sempre são convergentes. 
 
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javascript:duvidas('270514','5','2');
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javascript:duvidas('627029','5','1');
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javascript:duvidas('270514','5','2');
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3a Questão (Ref.: 201506503726) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Um dos métodos mais utilizados na resolução de sistemas de equações lineares é aquele denominado Método de 
Gauss-Seidel. Porém, o método só nos conduz a uma solução se houver convergência dos valores encontrados para um 
determinado valor. Uma forma de verificar a convergência é o critério de Sassenfeld. Considerando o sistema a seguir 
e os valore dos "parâmetros beta" referentes ao critério de Sassenfeld, escolha a opção CORRETA. 
 5x1+x2+x3=5 
 3x1+4x2+x3=6 
 3x1+3x2+6x3=0 
 
 
Beta 1= 0,2, beta 2=0,9 e beta 3=0,4, o que indica que o sistema converge. 
 
Beta 1= 0,4, beta 2=0,6 e beta 3=0,5, o que indica que o sistema não converge. 
 
Beta 1= 0,3, beta 2=0,2 e beta 3=0,8, o que indica que o sistema converge. 
 Beta 1= 0,4, beta 2=0,6 e beta 3=0,5, o que indica que o sistema converge. 
 
Beta 1= 1,4, beta 2=0,8 e beta 3=0,5, o que indica que o sistema não converge. 
 
 4a Questão (Ref.: 201506443315) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Na resolução de sistemas de equações lineares é possívela a utilização de métodos diretos, como o de Gauss-Jordan. 
Com relação aos métodos diretos é correto afirmar que: 
 
 
Nunca fornecem a solução exata do sistema linear, se ela existir, por conta das iterações que ocorrem 
 
Fornecem a solução exata do sistema linear a partir das iterações consecutivas. 
 
Nunca fornecem a solução exata do sistema linear, se ela existir. 
 
Não são adequados para a resolução de sistemas de equações lineares. 
 Fornecem a solução exata do sistema linear, se ela existir, a menos de erro de arredondamento. 
 
 5a Questão (Ref.:201506493840) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
A resolução de sistemas lineares é fundamental em alguns ramos da engenharia. O cálculo numérico é uma ferramenta 
importante e útil nessa resolução. Sobre os sistemas lineares assinale a opção CORRETA. 
 
 
Para o mesmo sistema linear e para um mesmo chute inicial, o método de Gauss-Seidel tende a convergir para 
a resposta exata do sistema numa quantidade maior de iterações que o método de Gauss-Jacobi. 
 Ao se utilizar um método iterativo para solucionar um sistema de equações lineares deve tomar cuidado pois, 
dependendo do sistema em questão, e da estimativa inicial escolhida, o método pode não convergir para a 
solução do sistema. 
 
Nos métodos diretos para a resolução de sistemas lineares utilizamos o escalonamento que consiste em 
transformar a matriz incompleta em uma matriz identidade 
 
Um sistema é dito linear quando pelo menos uma variável tem expoente unitário. 
 
O método da Eliminação de Gauss é um método iterativo para a resolução de sistemas lineares. 
 
 6a Questão (Ref.: 201506029379) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos iterativos ou 
os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos: 
 
 os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para o problema. 
 no método direto o número de iterações é um fator limitante. 
 não há diferença em relação às respostas encontradas. 
 o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir. 
 o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não. 
 
7a Questão (Ref.: 201506147199) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O método de Gauss-Jacobi é um método iterativo para a resolução de sistemas lineares. Como todo método iterativo, 
existe a possibilidade ou não de convergência. Um dos critérios adotados para garantir a convergência é denominado: 
 
 
Critério dos zeros 
 
Critério das frações 
 Critério das linhas 
 
Critério das diagonais 
 
Critério das colunas 
 
 8a Questão (Ref.: 201506503711) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
javascript:duvidas('627039','5','3');
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javascript:duvidas('566628','5','4');
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javascript:duvidas('617153','5','5');
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javascript:duvidas('152692','5','6');
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javascript:duvidas('270512','5','7');
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javascript:duvidas('627024','5','8');
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javascript:duvidas('627039','5','3');
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javascript:duvidas('566628','5','4');
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javascript:duvidas('617153','5','5');
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javascript:duvidas('152692','5','6');
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javascript:duvidas('270512','5','7');
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javascript:duvidas('627024','5','8');
javascript:duvidas('627024','5','8');
 
Em algumas modelagens físicas, nos deparamos com diversas situações em que devemos expressar condições de 
contorno através de equações lineares, que se organizam em um sistema. Considerando as opções a seguir, identifique 
aquela que NÃO se relaciona a relação destes sistemas. 
 
 Método de Newton-Raphson. 
 
Método de Gauss-Jacobi. 
 
Método de Decomposição LU. 
 
Método de Gauss-Jordan. 
 
Método de Gauss-Seidel. 
 
1a Questão (Ref.: 201506503744) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Em Cálculo Numérico, interpolação polinomial consiste em substituir a função original f(x) por outra função g(x), com o 
objetivo de tornar possível ou facilitar certas operações matemáticas. Este procedimento é realizado, por exemplo, 
quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o 
valor da função em um ponto não tabelado, mesmo quando as operações matemáticas exigidas são complicadas ou 
impossíveis de serem realizadas. Com relação a interpolação linear, NÃO podemos afirmar: 
 
 Para interpolarmos um polinômio de grau "n", podemos utilizar o método de Newton-Raphson. 
 
Para interpolarmos um polinômio de "n", devemos ter "n+1" pontos. 
 
Para interpolarmos um polinômio de grau "n", podemos utilizar o método de Lagrange. 
 
O polinômio de grau "n" interpolado em "n+1" pontos é único. 
 
Para interpolarmos um polinômio de grau "n", podemos utilizar o método de Newton. 
 
2a Questão (Ref.: 201506503751) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Em um experimento, foram obtidos os seguintes pontos (0,1), (4,9), (2,5), (1,3) e (3,7) que devem fornecer uma 
função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais 
adequada? 
 
 
Função quadrática. 
 Função linear. 
 
Função logarítmica. 
 
Função exponencial. 
 
Função cúbica. 
 
 3a Questão (Ref.: 201506503730) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Em experimentos empíricos, é comum a coleta de informações relacionando a variáveis "x" e "y", tais como o tempo 
(variável x) e a quantidade produzida de um bem (variável y) ou o tempo (variável x) e o valor de um determinado 
índice inflacionário (variável y), entre outros exemplos. Neste contexto, geralmente os pesquisadores desejam 
interpolar uma função que passe pelos pontos obtidos e os represente algebricamente, o que pode ser feito através 
do Método de Lagrange. Com relação a este método, NÃO podemos afirmar: 
 
 
Na interpolação para obtenção de um polinômio de grau "n", precisamos de "n+1" pontos. 
 
A interpolação de polinômios de grau "n+10" só é possível quando temos "n+11" pontos. 
 
As interpolações linear (obtenção de reta) e quadrática (obtenção de parábola) podem ser consideradas 
casos particulares da interpolação de Lagrange. 
 Na interpolação quadrática, que representa um caso particular do polinômio de Lagrange, precisamos de dois 
pontos (x,y). 
 
Na interpolação linear, que pode ser obtida através do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos 
(x,y). 
 
 4a Questão (Ref.: 201506503734) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Durante a coleta de dados estatísticos referente ao número médio de filhos das famílias de uma comunidade em função 
do tempo, verificamos a obtenção dos seguintes pontos (x,y), nos quais "x" representa o tempo e "y" representa o 
número de filhos: (1, 2), (2, 4), (3,5) e (4,6). Caso desejemos representar estes pontos através de uma função, que 
ramo do Cálculo Numérico deveremos utilizar? Assina a opção CORRETA. 
 
 Interpolação polinomial. 
 
Integração. 
 
Verificação de erros. 
 
Derivação. 
 
Determinação de raízes. 
 
5a Questão (Ref.: 201506503759) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Experimentos laboratoriais visando a obtenção de pares ordenados (x,y) e posterior interpolação de funções é uma das 
aplicações do Cálculo Numérico. Por exemplo, empiricamente foram obtidos os seguintes pontos (-3,9), (-2,4), (0,0), 
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(3,9), (1,1) e (2,4) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das 
funçõesdescritas a seguir, qual é a mais adequada? 
 
 
Função linear. 
 
Função cúbica. 
 
Função logarítmica. 
 
Função exponencial. 
 Função quadrática. 
 
 6a Questão (Ref.: 201506493863) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Para analisar um fenômeno um engenheiro fez o levantamento experimental em um laboratório. Nesta análise concluiu 
que que as duas variáveis envolvidas x e y se relacionam linearmente, ou seja, através de um polinômio P(x) do 
primeiro grau. Qual o número mínimo de pontos que teve que obter no ensaio para gerar o polinômio P9x) por 
interpolação polinomial? 
 
 
3 
 
1 
 
5 
 
4 
 2 
 
 7a Questão (Ref.: 201506035123) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Dados ¨31¨ pontos distintos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x31,f(x31)). Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) 
interpolador desses pontos por algum método conhecido - método de Newton ou método de Lagrange. Qual o 
maior grau possível para este polinômio interpolador? 
 
 grau 31 
 grau 20 
 grau 30 
 grau 32 
 grau 15 
 
8a Questão (Ref.: 201506493858) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Você é estagiário de uma empresa de engenharia que trabalha com testes em peças para grandes motores. Em um 
ensaio laboratorial você gera 10 pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x9,f(x9))). Suponha que se você tenha encontrado 
o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio é verdade que: 
 
 
Nunca poderá ser do primeiro grau 
 
Pode ter grau máximo 10 
 Será de grau 9, no máximo 
 
Poderá ser do grau 15 
 
Sempre será do grau 9 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201506029684) Fórum de Dúvidas (1 de 3) Saiba (0) 
 
Em um método numérico iterativo determinado cálculo é realizado até que o critério de convergência seja 
satisfeito. Que desigualdade abaixo pode ser considerada um critério de convergência, em que k é a precisão 
desejada: 
 
DADO: considere Mod como sendo o módulo de um número real. 
 
 Mod(xi+1 + xi) < k 
 Mod(xi+1 - xi) < k 
 todos acima podem ser utilizados como critério de convergência 
 Mod(xi+1 + xi) > k 
 Mod(xi+1 - xi) > k 
 
 2a Questão (Ref.: 201506029152) Fórum de Dúvidas (1 de 3) Saiba (0) 
 
Considere o conjunto de pontos apresentados na figura abaixo que representa o esforço ao longo de uma 
estrutura de concreto. 
 
 
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A interpolação de uma função que melhor se adapta aos dados apresentados acima é do tipo 
 
 Y = b + x. ln(a) 
 Y = ax
2
 + bx + c 
 Y = a
bx+c
 
 Y = ax + b 
 Y = b + x. log(a) 
 
 3a Questão (Ref.: 201506029306) Fórum de Dúvidas (1 de 3) Saiba (0) 
 
 
O valor de aproximado da integral definida utilizando a regra dos trapézios com n = 1 é: 
 
 20,099 
 15,807 
 11,672 
 24,199 
 30,299 
 
 4a Questão (Ref.: 201506029159) Fórum de Dúvidas (1 de 3) Saiba (0) 
 
O erro no cálculo de integrais utilizando o método do trapézío deve-se ao fato de que: 
 
 Os trapézíos se ajustarem a curva da função 
 O melhor é utilizar uma calculadora para o calculo 
 Esta regra não leva a erro. 
 Os trapézios nunca se ajustarem perfeitamente à curva da função 
 Os trapézios não terem uma boa aplicação de calculo de integrais 
 
 5a Questão (Ref.: 201506113283) Fórum de Dúvidas (1 de 3) Saiba (0) 
 
Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n 
retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver uma integral definida com limites inferior e superior 
iguais a zero e cinco e tomando-se n = 200, cada base h terá que valor? 
 
 0,025 
 
0,250 
 
0,100 
 
0,050 
 
0,500 
 
 6a Questão (Ref.: 201506029155) Fórum de Dúvidas (1 de 3) Saiba (0) 
 
Dados os ¨n¨ pontos distintos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (xn,f(xn)) Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) 
interpolador desses pontos pelo método de Newton. A fórmula de Newton para o polinômio interpolador impõe que 
 
 Que a função e as derivadas sejam contínuas em dado intervalo [a,b] 
 Somente as derivadas sejam contínuas em dado intervalo [a,b] 
 Não há restrições para sua utilização. 
 Somente a função seja contínua em dado intervalo [a,b] 
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 Que somente a primeira e segunda derivadas sejam contínuas em dado intervalo [a,b] 
 
7a Questão (Ref.: 201506029303) Fórum de Dúvidas (1 de 3) Saiba (0) 
 
A regra de integração numérica dos trapézios para n = 2 é exata para a integração de polinômios de que grau? 
 
 nunca é exata 
 primeiro 
 quarto 
 segundo 
 terceiro 
 
 8a Questão (Ref.: 201505997897) Fórum de Dúvidas (1 de 3) Saiba (0) 
 
Empregue a regra dos Retângulos para calcular o valor aproximado da integral de f(x) = x3, no intervalo de 0 a 1, com 
4 intervalos. 
 
 
0,245 
 
0,250 
 0,242 
 
0,237 
 
0,247 
 
 1a Questão (Ref.: 201506503795) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O Método de Romberg é uma excelente opção para a obtenção de integrais definidas, exigindo menos esforço 
computacional e oferecendo resultados mais precisos que outros métodos através de cálculos sequenciais. As duas 
primeiras etapas são obtidas através R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)], e fornecem aproximações 
para a integral definida da função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha R2,1 para a função 
f(x)=x2, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas decimais. 
 
 
0,725 
 
1,567 
 0,351 
 
0,382 
 
1,053 
 
 2a Questão (Ref.: 201506503844) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Integrais definidas representam em diversas situações a solução de um problema da Física e podem ser obtidas 
através da Regra do Retângulo, da Regra do Trapézio, da Regra de Simpson e do Método de Romberg. Este último 
utiliza as expressões R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)] para as primeiras aproximações, 
considerando a função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha R2,1 para a função f(x)=x
3, no 
intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas decimais. 
 
 
1,313 
 
0,939 
 
0,625 
 
1,230 
 0,313 
 
 3a Questão (Ref.: 201506503850) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Métodos numéricos para a resolução de problemas que envolvam integrais definidas nos fornecem boas aproximações, 
especialmente se for utilizado o Método de Romberg. Entre as opções oferecidas a seguir, determine aquela que 
apresenta expressão relacionada a este método. 
 
 
xk=Cx(k-1)+G 
 
Ax=B, com A, x e B representando matrizes 
 
[f(x1)+ 4.f(x2)+ 2.f(x3)+ 4.f(x4)....+ 4.f(xn-1)+f(xn)]xn+1=xn- f(x) / f'(x) 
 R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)] 
 
4a Questão (Ref.: 201506503868) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O Método de Romberg nos permite obter o resultado de integrais definidas por técnicas numéricas. Este método 
representa um refinamento de métodos anteriores, possuindo diversas especificidades apontadas nos a seguir, 
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javascript:duvidas('627181','8','4');
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com EXCEÇÃO de: 
 
 Permite a obtenção de diversos pontos que originam uma função passível de integração definida. 
 
Pode se utilizar de critérios de parada para se evitar cálculos excessivos. 
 
As expressões obtidas para a iteração se relacionam ao método do trapézio. 
 
A precisão dos resultados é superior a obtida no método dos retângulos. 
 
Utiliza a extrapolação de Richardson. 
 
 5a Questão (Ref.: 201506032157) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Sobre o método de Romberg utilizado na integração numérica são feitas as seguintes afirmações: 
 
I - É um método de alta precisão 
II - Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio 
III - só pode ser utilizado para integrais polinomiais 
 
É correto afirmar que: 
 
 todas são erradas 
 apenas II e III são corretas 
 apenas I e II são corretas 
 apenas I e III são corretas 
 todas são corretas 
 
 6a Questão (Ref.: 201506494806) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Sobre este método é correto afirmar que: 
 
 
Só pode ser utilizado para integrais polinomiais 
 
É um método de pouca precisão 
 
Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método dos retângulos 
 
É um método cuja precisão é dada pelos limites de integração 
 Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio 
 
7a Questão (Ref.: 201506493918) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
No método de Romberg para a determinação de uma integral definida de limites inferior e superior iguais a a e b, 
respectivamente, o intervalo da divisão é dado por hk = (a-b)/2 ^(k-1). . Se a = 1, b = 0 e k =2, determine o valor de 
h. 
 
 
1/4 
 
1/5 
 
0 
 1/2 
 
1/3 
 
 8a Questão (Ref.: 201506029302) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Existem alguns métodos numéricos que permitem a determinação de integrais definidas. Dentre estes podemos 
citar o de Newton, o de Simpson e o de Romberg. Analise as afirmativas abaixo a respeito do método de 
Romberg: 
 
I - O método de Romberg é mais preciso que o método dos trapézios 
II - O método de Romberg exige menor esforço computacional que o método dos trapézios 
III - O método de Romberg utiliza a regra dos trapézios repetida para obter aproximações preliminares 
 
Desta forma, é verdade que: 
 
 Apenas II e III são verdadeiras. 
 Todas as afirmativas estão erradas. 
 Todas as afirmativas estão corretas 
 Apenas I e III são verdadeiras 
 Apenas I e II são verdadeiras 
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1a Questão (Ref.: 201506503877) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O Método de Euler é um dos métodos mais simples para a obtenção de pontos de uma curva que serve como solução 
de equações diferenciais. Neste contexto, geramos os pontos, utilizando a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" 
representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=2, gere o ponto da curva para k=1 e 
passo igual a 0,5. Assinale a opção CORRETA. 
 
 3 
 
0 
 
-3 
 
-2 
 
1 
 
 2a Questão (Ref.: 201506503881) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O Método de Euler nos fornece pontos de curvas que servem como soluções de equações diferenciais. Sabendo-se 
que um dos pontos da curva gerada por este método é igual a (4; 53,26) e que a solução exata é dada por y=ex, 
determine o erro absoluto associado. Assinale a opção CORRETA. 
 
 
1,00 
 
2,50 
 
3,00 
 
2,54 
 1,34 
 
 3a Questão (Ref.: 201506503874) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Na descrição do comportamento de sistemas físicos dinâmicos, frequentente utilizamos equações diferenciais que, 
como o nome nos revela, podem envolver derivadas de funções. Um método comum para resolução de equações 
diferenciais de primeira ordem é o Método de Euler, que gera pontos da curva aproximada que representa a resolução 
do sistema. Para gerarmos os pontos, utilizamos a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. 
Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=1, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 1. Assinale a 
opção CORRETA. 
 
 
1 
 
-2 
 
-1 
 2 
 
0 
 
4a Questão (Ref.: 201506554453) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Resolva, aproximadamente, pelo Método de Euler a equação diferencial com a condição inicial dada, 
considerando duas divisões do intervalo entre x0 e xn. 
y'=x-yx y(1)=2,5 y(2)=? 
 
 
 
1,5000 
 1,6667 
 
1,7776 
 
15555 
 
1,0000 
 
 5a Questão (Ref.: 201505998061) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 2x + y + 1 com a condição de 
valor inicial y ( 1) = 1. Dividindo o intervalo [ 1; 2 ] em 2 partes, ou seja, fazendo h =0,5 e, 
aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y ( 1,5 ) para a equação dada. 
 
 3 
 
7 
 
1 
 
2 
 
4 
 
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 6a Questão (Ref.: 201506553474) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja a E.D.O. y¿ = x + y, com a condição de contorno y(0) = 1 e h=1. A solução da EDO empregando o método de 
Euler calculada no intervalo [0; 5] é: (Demonstre os cálculos) 
 
 
27 
 121 
 58 
 
12 
 
5 
 
 7a Questão (Ref.: 201505998053) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y )= 3x + 2y + 2 com a condição de 
valor inicial y (3) = 4. Dividindo o intervalo [3;4] em apenas uma parte, ou seja, fazendo h =1 e, 
aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y (4) para a equação dada. 
 
 
22 
 
21 
 
24 
 
25 
 23 
 
1a Questão (Ref.: 201506032149) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere a equação diferencial y´= y, sendo y uma função de x. Sua solução geral é y(x) = a.e
x
, onde a é um 
numero real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Se a condição inicial é tal que y(0) = 2, 
determine o valor de a para esta condição. 
 
 0,25 
 2 
 1 
 0 
 0,5 
 
 2a Questão (Ref.: 201506113263) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere a equação diferencial y´= y, sendo y uma função de x. Sua solução geral é y(x) = a.e^x, onde a é um 
numero real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Se a condição inicial é tal que y(0) = 2, 
determine o valor de a para esta condição. 
 
 
0 
 
1 
 
3 
 1/2 
 2 
 
 3a Questão (Ref.: 201506785036) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja a E.D.O. y' = x + y, com a condição de contorno y(0) = 1 e h=1. A solução da EDO empregando o método de 
Euler calculada no intervalo [0; 4] é: (Demonstre os cálculos) 
 
 27 
 
12 
 
5 
 
2 
 
58 
 
4a Questão (Ref.: 201506554468) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Resolva, aproximadamente, pelo Método de Euler a equação diferencial com a condição inicial dada, 
considerando que não há divisão do intervalo entre x0 e xn. 
y'=x-yx y(1)=2,5 y(2)=? 
 
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1,6667 
 1,0000 
 1,5555 
 
1,5000 
 
1,7776 
 
 5a Questão (Ref.: 201506853078) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere a equação diferencial y'= e2x, sendo y uma função de x. Sua solução geral é 
 y(x)=(e2x/2) + C , onde C é uma constante. Se a condição inicial é tal que 
 y(12)=e2, determine o valor de C para esta condição. 
 
 C = 0 
 C = 2 
 
C = 10 
 
C = 3 
 
C = 1 
 
6a Questão (Ref.: 201506853073) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Dado o problema de valor inicial xy' = x - y e y(2) = 2, 
determine y(2,01) com h = 0,1. 
 
 1,022 
 
2,20 
 2,0002 
 
2,22 
 
1,02 
 
 7a Questão (Ref.: 201506493879) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere a equação diferencial ordinária y´= y, sendo y uma função de x, ou seja, y = y (x). A solução geral desta 
EDO é a função y(x) = k.ex, onde k é um número real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. 
Considerando a condição inicial tal que y(0) = 5, determine o valor da constante k para esta condição. 
 
 5 
 
1/2 
 
4 
 
2 
 
1/5 
 
8a Questão (Ref.: 201506853066) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere a equação diferencial y=e3x, sendo y uma função de x. Sua solução geral é y(x) 
= (e3x/3) + C , onde C é uma constante. Se a condição inicial é tal que y(13)=e3, determine 
o valor de C para esta condição. 
 
 C = 0 
 
C = 1 
 
C = 2 
 
C = 3 
 C = 4 
 
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