AP2_GAI-2019-2-Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP2 - GABARITO – Geometria Anaĺıtica I - 2019-2
Código da disciplina: Matemática e Engenharia de Produção EAD 01052
F́ısica EAD 01078
Questão 1 (3,0 pontos): Considere a cônica C : x2 − 4y2 + 6x+ 8y + 1 = 0
Classifique a cônica C, determinando o centro, os focos, os vértices, eixos de simetria, asśıntotas
e diretriz, se for o caso. Esboçe o gráfico a cônica C num sistema de eixos coordenados OXY,
indicando os elementos achados acima. Parametrize a cônica C.
Solução:
Completando quadrados a equação da cônica fica:
C : (x+ 3)
2
4 −
(y − 1)2
1 = 1.
A qual trata-se de uma hipérbole com centro: C = (−3, 1), a = 2 e b = 1, com isso c =
√
5 e assim
seus elementos são:
• vértices:
A1 = (−5, 1) e A2 = (−1, 1)
B1 = (−3, 0) e B2 = (−3, 2)
• focos:
F1 = (−3−
√
5, 1) e F2 = (−3 +
√
5, 1)
• asśıntotas:
L1 : y − 1 = 12(x+ 3)
L2 : y − 1 = −12(x+ 3)
• eixos de simetria:
x = −3 e y = 1
Geometria Anaĺıtica I AP2 2/2019
• Uma parametrização da hipérbole é:
C :
 x = −3 + 2 sec ty = 1 + tan t t ∈ (−π2 , π2 ) ∪ (π2 , 3π2 )
• Outra parametrização da hipérbole usando funções hiperbólicas é:
C :
{
x = −3 + 2 cosh t
y = 1 + sinh t t ∈ R
Questão 2 (3,0 pontos): Faça um esboço de região R, identifique a as curvas que a delimitam
e marque os pontos de interseção determinada pelas curvas, onde:
R :
{
9(x− 2)2 + 4(y − 1)2 − 36 < 0
(x− 2)2 − 4y ≥ 0
Solução:
A região R é dada da seguinte forma: R = R1 ∩R2, onde
R1 : 9(x− 2)2 + 4(y − 1)2 − 36 < 0
R2 : (x− 2)2 − 4y ≥ 0
A Região R1 : é limitada pela curva C1 : 9(x−2)2+4(y−1)2−36 = 0⇐⇒
(x− 2)2
4 +
(y − 1)2
9 = 1
a qual se trata de uma elipse com centro no ponto C = (2, 1) e vértices A1 = (2,−2), A2 = (2, 4),
B1 = (0, 1) e B2 = (4, 1). A Elipse divide o plano em duas regiões, uma interior à elipse e a
outra exterior à elipse. Para determinar a região R1 vamos substituir as coordenadas de um ponto
pertencente a uma das regiões para verificar se ele pertence a região.
Vejamos se o centro c = (2, 1), da elipse, pertence a região R1
9(2− 2)2 + 4(1− 1)2 − 36 = −36⇐⇒ −36 < 0
Como −36 é menor que 0, então o centro c = (2, 1) pertence a região R1. Assim R1 é a região
interior à elipse. Também observemos que a elipse não pertence a região R1.
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A Região R2 : é limitada pela curva C2 : (x−2)2−4y = 0⇐⇒ (x−2)2 = 4y a qual se trata de uma
parábola de vértice V = (2, 0), foco F = (2, 1) e cujo eixo de simetria é x = 2, esta parábola divide
o plano em duas regiões, uma contendo o foco da parábola e a outra região não. Para determinar
a região R2, tal como foi feito na primeira região, substituimos as coordenadas do foco F = (2, 1)
para verificar se F pertence à região R2 :.
(2− 2)2 − 4(1) = −4⇐⇒ −4 � 0
Como −4 não é menor que 0 então o foco F não pertence à região R2 : dessa forma a região R2 :
corresponde a parte que não contem o foco. Observemos que a parábola está contida na região R2
A região R = R1 ∩R2
Para encontrar os pontos de interseção P e Q devemos resolver o seguinte sistema de equações:
{
9(x− 2)2 + 4(y − 1)2 − 36 = 0
(x− 2)2 − 4y = 0
E assim obtemos os pontos: P = (0, 1) e Q = (4, 1).
Questão 3 (2,0 pontos): Dada a cônica xy −
√
2x− 2 = 0
Reduza por rotação de eixos a equação da cônica à sua forma canônica, classifique a cônica.
Solução:
Precisamos encontrar um sistema de coordenadas OX ′Y ′ o qual é o rotacionado do OXY tal que,
nesse novo sistema a equação não tenha termos o termo x′y′.
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Para encontrar esse sistema, podemos ver que o ângulo de rotação é θ = 45o, isto é porque os
coeficientes de x2 e y2 são iguais. Então podemos considerar a seguinte mudança de variáveis:
x =
√
2
2 (x
′ − y′)
y =
√
2
2 (x
′ + y′)
Por substituição na equação inicial, obtemos:
(
√
2
2 )
2(x′2 − y′2)−
√
2.
√
2
2 (x
′ − y′)− 2 = 0⇐⇒
1
2(x
′2 − y′2)− (x′ − y′)− 2 = 0⇐⇒
x′
2 − y′2 − 2x′ + 2y′ − 4 = 0⇐⇒
(x′ − 1)2 − (y′ − 1)2 = 4⇐⇒
(x′ − 1)2
4 −
(y′ − 1)2
4 = 1.
A qual se trata de uma hipérbole equilátera.
Questão 4 (2,0 pontos): Dada a cônica C : x2 + y2 − 2x− 2y − 2 = 0.
Determine em coordenadas polares o centro e a equação da cônica..
Solução:
Completando quadrados a equação se trata de um ćırculo
(x− 1)2 + (y − 1)2 = 4,
com centro C = (1, 1) e raio r = 2.
O centro C em coordenadas polares é o ponto (ρ0, θ0) = (
√
2, π4 ), assim a equação do ćırculo em
coordenadas porlares é:
ρ2 + (
√
2)2 − 2
√
2ρ cos(θ − π4 ) = 4⇐⇒ ρ
2 − 2
√
2ρ cos(θ − π4 ) = 2
• Ou fazendo:
{
x = ρ cos θ
y = ρ sin θ
A equação fica:
ρ2 − 2ρ(sen θ + cos θ) = 2
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