AP2 GAI 2.2013 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – GEOMETRIA ANAL´ITICA I – 2/2013
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadasde justufucativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 [2,5 pontos]
Esboce a regia˜o plana representada pelo sistema de inequac¸o˜es abaixo.
x+ y + 1 ≥ 0
x− y − 2 ≤ 0
2y − 5 ≤ 0
Soluc¸a˜o.
A regia˜o e´ a intersec¸a˜o do semiplano que esta´ acima da reta x + y + 1 = 0 (incluindo esta reta),
com o semiplano que esta´ acima da reta x − y − 2 = 0 (incluindo a reta) e com o semiplano que
esta´ abaixo da reta 2y − 5 = 0 (incluindo a reta).
Questa˜o 2 [2,5 pontos]
Considere a coˆnica de equac¸a˜o polar dada por
r =
2a
1 + sen θ
, com a ∈ R.
Determine sua equac¸a˜o em coordenadas retangulares e diga que tipo de coˆnica representa.
Soluc¸a˜o.
GEOMETRIA ANAL´ITICA I AP2 2
A equac¸a˜o dada e´ equivalente a r(1 + sen θ) = 2a, ou seja, r + r sen θ = 2a. Portanto,
r = 2a− r sen θ. Elevando ao quadrado os dois lados, temos r2 = (2a− r sen θ)2.
Fazendo {
x = r cos θ
y = r sen θ,
temos
x2 + y2 = (2a− y)2 ∴ x2 + y2 = −4ay + 4a2 + y2 ∴ x2 = −4a(y − a),
que representa uma para´bola.
Questa˜o 3 [2,5 pontos]
Reduza, por rotac¸a˜o de eixos, a equac¸a˜o da coˆnica abaixo a` sua forma padra˜o. Diga que tipo de
coˆnica representa.
2xy + 25 = 0
Soluc¸a˜o.
Considere as equac¸o˜es de rotac¸a˜o de eixos{
x = x′ cos θ − y′ sen θ
y = x′ sen θ + y′ cos θ.
Substituindo na equac¸a˜o dada e igualando o termo quadra´tico misto a zero, obtemos
2x′y′(cos2 θ − sen2 θ) = 0
∴ cos2 θ − sen2 θ = 0
∴ cos θ = ± sen θ,
logo podemos escolher θ = pi
4
[isto e´, 45◦] .
Logo, {
x = x
√
2
2
− y′
√
2
2
y = x′
√
2
2
+ y′
√
2
2
.
Substituindo na equac¸a˜o dada, obtemos
y′2
25
− x
′2
25
= 1
que representa uma hipe´rbole (equila´tera) .
Questa˜o 4 [2,5 pontos]
Determine a equac¸a˜o do c´ırculo que passa pelos pontos P = (1, 1), Q = (9, 5) e R = (10,−2).
Soluc¸a˜o.
Como a distaˆncia do centro do c´ırculo aos pontos P e Q e´ igual (e igual ao raio), o centro estara´
na mediatriz de PQ. Da mesma forma, a distaˆncia do centro a Q e R tambe´m sera´ igual, logo o
centro tambe´m estara´ na mediatriz de QR. (Lembre-se de que a mediatriz de dois pontos dados e´
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GEOMETRIA ANAL´ITICA I AP2 3
a reta perpendicular ao segmento de extremos nestes pontos e passando por seu ponto me´dio.)
O ponto me´dio de PQ e´ M1 = (5, 3). A inclinac¸a˜o da reta que passa pelos pontos P e Q e´
1
2
.
Assim, a inclinac¸a˜o da mediatriz de PQ e´ m1 = − 11/2 = −2. Portanto, a equac¸a˜o da mediatriz de
PQ e´ y = −2x + 13. Da mesma forma, o ponto me´dio de QR e´ M2 = (19/2, 3/2) e a inclinac¸a˜o
de QR e´ -7. Logo, a inclinac¸a˜o da mediatriz e´ m2 = − 1−7 = 17 . Portanto, a equac¸a˜o da mediatriz
de QR e´ y = x
7
+ 1
7
.
Assim, o centro do c´ırculo pertence a` intersec¸a˜o das mediatrizes, que e´ o ponto de soluc¸a˜o do sistema{
y = −2x+ 13
y = −7x+ 68,
dado por C = (6, 1) e o raio e´ a distaˆncia de C a qualquer um dos pontos dados, ou seja, r = 5.
Logo, a equac¸a˜o do c´ırculo e´
(x− 6)2 + (y − 1)2 = 25.
Obs.: Existem outras formas de resolver. Por exemplo, podemos tomar a equac¸a˜o do c´ırculo
(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2,
substituir os treˆs pontos e resolver o sistema de equac¸o˜es em x0, y0 e r.
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