EXERCÍ RESPOSTA RESMAT

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Exemplo 1.5 
Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em B do cano. A 
massa do cano é de 2 kg/m e ele está sujeito a uma força vertical de 50 N e a um 
momento de 70 N·m em sua extremidade ao final de A. O tubo está preso a uma parede 
em C. 
Diagrama de corpo livre 
A 
D 
C 
B 
70 N.m 
50 N 
p = 2 kg/m 
Cálculo da resultante do peso de cada segmento do tubo: 
A 
D 
C 
B 
70 N.m 
50 N 
p = 2 kg/m 
   
    N 525,2481,925,12W
N 525,2481,925,12W
AD
CD


Cálculo da resultante do peso de cada segmento do tubo: 
   
    N 525,2481,925,12W
N 525,2481,925,12W
AD
CD


A 
D 
C 
B 
70 N.m 
50 N 
24,525 N 
24,525 N 
Esforços na seção transversal do tubo no ponto B 
0M , 0M , 0M
0F , 0F , 0F
zyx
zyx




Aplicando as seis equações escalares de equilíbrio: 
A 
D 
B 
70 N.m 
50 N 
24,525 N 
9,81 N 
x y 
z 
(FB)z 
(MB)z 
(MB)y 
(MB)x 
(FB )y 
(FB)x 
A 
D 
B 
70 N.m 
50 N 
24,525 N 
9,81 N 
x 
y 
z 
(FB)z 
(MB)z 
(MB)y 
(MB)x 
(FB)y 
(FB)x 
(𝐅𝐁)𝐱 = 𝟎 
(𝐅𝐁)𝐲 = 𝟎 
(𝐅𝐁)𝐳 − 𝟗,𝟖𝟏 − 𝟐𝟒,𝟓𝟐𝟓 − 𝟓𝟎 = 𝟎 
(𝐅𝐁)𝐳 = 𝟖𝟒,𝟑 𝐍 
 𝐅𝐱 = 𝟎 
 𝐅𝐲 = 𝟎 
 𝐅𝐳 = 𝟎 
A 
D 
B 
70 N.m 
50 N 
24,525 N 
9,81 N 
x 
y 
z 
(FB)z 
(MB)z 
(MB)y 
(MB)x 
(FB)y 
(FB)x 
 (𝐌𝐁)𝐱 = 𝟎 
(𝐌𝐁)𝐱 − 𝟗,𝟖𝟏 𝐱 𝟎,𝟐𝟓 − 𝟐𝟒,𝟓𝟐𝟓 𝐱 𝟎,𝟓 − 𝟓𝟎 𝐱 𝟎,𝟓+ 𝟕𝟎 = 𝟎 
(𝐌𝐁)𝐱 = 𝟗,𝟖𝟏 𝐱 𝟎,𝟐𝟓+ 𝟐𝟒,𝟓𝟐𝟓 𝐱 𝟎,𝟓+ 𝟓𝟎 𝐱 𝟎,𝟓 − 𝟕𝟎 
(𝐌𝐁)𝐱 = −𝟑𝟎,𝟑 𝐍.𝐦 
 (𝐌𝐁)𝐲 = 𝟎 
(𝐌𝐁)𝐲 + 𝟐𝟒,𝟓𝟐𝟓 𝐱 𝟎,𝟔𝟐𝟓+ 𝟓𝟎 𝐱 𝟏,𝟐𝟓 = 𝟎 
(𝐌𝐁)𝐲 = −𝟕𝟕,𝟖 𝐍.𝐦 
 (𝐌𝐁)𝐳 = 𝟎 
(𝐌𝐁)𝐳 = 𝟎 
Exemplo 1.6 
Uma barra tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm. Determine a 
tensão normal média máxima na barra quando ela é submetida às cargas 
mostradas. 
10 mm 
35 mm 
Solução: 
As forças internas axiais nas regiões AB, BC e CD são constantes, mas têm 
valores diferentes. 
 
Essas cargas são determinadas por meio do método das seções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
A B 
D 
Diagrama da força normal: 
x 
12 
22 
30 
P (kN) 
A B 
C 
PBC = 30 kN 
PAB = 12 kN 
PCD = 22 kN 
4 kN 
4 kN 
PCD = 22 kN 
A B 
C A B 
D 
A Be Bd Ce Cd D 
A maior carga (força normal) ocorre na região BC, onde 
 
Como a área da seção transversal da barra é constante, a maior tensão normal 
média é: 
kN. 30BCP
 
  
 
01,0035,0
1030
A
P 3BC
BC 
2
BCBC MN/m 7,85 MPa 7,85 
A peça fundida mostrada é 
feita de aço, cujo peso 
específico é . 
Determine a tensão de 
compressão média que age 
nos pontos A e B. 
3
aço kN/m 80
Exemplo 1.8 
Solução: 
Desenhando um diagrama de corpo livre do segmento superior, a força axial interna P 
nesta seção é 
     
kN 042,8P 
0042,8P 
kN 042,8W8,02,080Wvol.W
0WP ;0F
aço
2
açoaço
açoz



 
Tensão de compressão média: 
 
 kN/m 0,64
2,0
042,8
A
P 2
2



Waço – peso do cilindro 
Tensão de cisalhamento média 
 A tensão de cisalhamento é definida como a componente da tensão que atua no 
plano da área seccionada. 
 
 Como essa tensão se desenvolve? 
 
 - Considere o efeito da aplicação de uma força F à barra: 
 
 - Considerando os apoios rígidos e F suficientemente grandes, o material da 
barra vai deformar e romper ao longo dos planos AB e CD. 
 
 - Um DCL do segmento central não apoiado da barra mostra que a força de 
cisalhamento V=F/2 deve ser aplicada a cada seção para manter o segmento em 
equilíbrio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A tensão de cisalhamento média é: 
 
 
 
 
 
 
A
V
méd 
τméd = tensão de cisalhamento média na seção, considerada a mesma em cada ponto da seção 
V = força de cisalhamento interna resultante na seção determinada pelas equações de equilíbrio 
A = área da seção 
 
OBS: a distribuição de méd está na mesma direção de V 
Exemplo 1.12 
O elemento inclinado está submetido a uma força de compressão de 3.000 N. Determine 
a tensão de compressão média ao longo das áreas de contato lisas definidas por AB e BC 
e a tensão de cisalhamento média ao longo do plano horizontal definido por EDB. 
B 
A 
C 
E 
D 
3000 N 
Fx 
Fy 
4 
5 
3 
 
Solução: 
As forças de compressão agindo nas áreas de contato são: 
 
  N 400.2F0000.3F ;0F
N 800.1F0000.3F ;0F
BC5
4
BCy
AB5
3
ABx




DCL 
4 
5 
3 
 
A força de cisalhamento agindo no plano horizontal seccionado EDB é: 
N 800.1 ;0   VFx
Tensões de compressão médias ao longo dos planos horizontal e vertical do elemento 
inclinado: 
  
  
2
BCBC
2
ABAB
N/mm 20,1
4050
400.2
N/mm 80,1
4025
800.1


  
2
médméd N/mm 60,0
4075
800.1

Tensão de cisalhamento média que age no plano horizontal 
definido por EBD: 
Exercício 1 
A luminária de 80 kg é sustentada por duas hastes, AB e BC, como mostra a figura. Se AB 
tiver diâmetro de 10 mm e BC tiver diâmetro de 8 mm, determine a tensão normal média 
em cada haste. 
Respostas: e σBC = 7,86 MPa σBA = 8,05 MPa 
Solução: 
Peso da luminária: 
 𝐏 = m. g = 80 x 9,81 = 784,8 kg
m
s2
= 784,8 N 
Diâmetros dos cabos: 
∅BC = 8 mm = 0,008 m 
∅BA = 10 mm = 0,01 m 
Diagrama de corpo livre: 
Determinação da força interna: força axial (normal) em cada haste: 
 𝐅𝐱 = 0 
−𝐅𝐀𝐁 cos 60
0 + 𝐅𝐁𝐂 
4
5
= 0 
−𝐅𝐀𝐁 0,5 + 𝐅𝐁𝐂 0,8 = 0 
𝐅𝐀𝐁 = 1,6 𝐅𝐁𝐂 
 𝐅𝐲 = 0 
(1) 
(2) 
Substituindo (1) em (2): 
 0,866(1,6 𝐅𝐁𝐂) + 𝐅𝐁𝐂 0,6 = 748,8 
𝐅𝐁𝐂 = 395,2 N (3) 
Substituindo (3) em (1): 
𝐅𝐀𝐁 = 1,6 x 395,2 
𝐅𝐀𝐁 = 632,4 N 
As forças FBA e FBC submetem as hastes à tensão normal em todo o seu comprimento. 
Determinação da área da seção transversal de cada haste: 
ABC = π . 
∅BC
2
 
2
= π (0,004)2 = 5,027 x 10−5 m2 
ABA = π . 
∅BA
2
 
2
= π (0,005)2 = 7,845 x 10−5 m2 
Tensão normal média: 
σBC =
FBC
ABC
= 
395,2
5,027 x 10−5
 σBC = 7,86 MPa 
σBA =
FBA
ABA
= 
632,4
7,845 x 10−5
 σBA = 8,05 MPa 
Exercício 2 
Durante uma corrida, o pé de um homem com massa de 75 kg é submetido 
momentaneamente a uma força equivalente a 5 vezes o seu peso. Determine a tensão 
normal média desenvolvida na tíbia T da perna desse homem na seção média a-a. A seção 
transversal pode ser considerada circular, com diâmetro externo de 45 mm e diâmetro 
interno de 25 mm. Considere que a fíbula não suporta qualquer carga. 
Resposta: σm a−a = 3,346 MPa 
Fíbula 
Tíbia, T 
a a 
75 kg 
Solução: 
Peso do homem: 
Força momentânea sobre o pé, na corrida: 
𝐏 = m. g = 75 x 9,81 = 735,75 kg
m
s2
= 735,75 N 
𝐅 = 5 𝐏 = 5 x 735,75 = 3678,75 N 
Área da seção a-a da tíbia: 
∅ext t = 45 mm = 0,045 m 
∅int t = 25 mm = 0,025 m 
Aa−a = π . 
∅ext t
2
 
2
− π . 
∅int t
2
 
2
= 
π
4
 (0,0452 − 0,0252) 
Aa−a = 109,96 x 10
−5 m2 
Tensão normal média na seção a-a da tíbia: 
σm a−a =
F
Aa−a
= 
3678,75
109,96 x 10−5
 
σm a−a = 3,346 MPa 
Exercício 3 
A luminária de 250 N é sustentada por três hastes de aço interligadas por um anel em A. 
Determine qual das hastes está submetida à maior tensão normal média e calcule seu 
valor. Considere =300 . O diâmetro de cada haste é dado na figura. 
Resposta: σAC = 6,472 MPa 
Diagrama de corpo livre: 
Solução: 
450 300 
FAB = 250 N 
FAC 
FAD 
A 
Determinação das forças nas hastes: 
 𝐅𝐱 = 0 
−𝐅𝐀𝐃 cos 45
0 + 𝐅𝐀𝐂 cos 30
0 = 0 
𝐅𝐀𝐃 = 1,225 𝐅𝐀𝐂 
 𝐅𝐲 = 0 
𝐅𝐀𝐃 sen 45
0 + 𝐅𝐀𝐂 sen 30
0 − 𝐅𝐀𝐁 = 0 
(1) 
(1) em (2) 
(2) 
𝐅𝐀𝐂 0,866 + 𝐅𝐀𝐂 0,5 = 250 
𝐅𝐀𝐂 = 183,0 N 
𝐅𝐀𝐃 = 224,17 N 
450 300 
FAB = 250 N 
FAC 
FAD 
A 
Área da seção transversal das hastes: 
Tensão normal média nas hastes: 
CONCLUSÃO: A maior tensão normal média ocorrena haste AC 
AAD = π . 
∅AD
2
 
2
= π 
∅AD
2
4
= π
0,00752
4
= 0,4418 x 10−4 m2 
AAC = π . 
∅AC
2
 
2
= π 
∅AC
2
4
= π
0,0062
4
= 0,2827 x 10−4 m2 
AAB = π . 
∅AB
2
 
2
= π 
∅AB
2
4
= π
0,0092
4
= 0,6362 x 10−4 m2 
σAD =
FAD
AAD
= 
224,17
0,4418 x 10−4
 σAD = 5,074 MPa 
σAC =
FAC
AAC
= 
183,0
0,2827 x 10−4
 σAC = 6,472 MPa 
σAB =
FAB
AAB
= 
250
0,6362 x 10−4
 σAB = 3,929 MPa 
Exercício 4 
Um corpo de prova sob tração com área de seção transversal A é submetido a uma força 
axial P. Determinar a tensão de cisalhamento média máxima no corpo de prova e indicar a 
orientação  de uma seção na qual ela ocorre. 
Resposta: para = 450 , a tensão média máxima de cislhamento é τméd =
𝐏
2 A
 
 A – área da seção transversal do corpo de prova 
 Aincl – área do plano inclinado do corpo de prova 
 
 
 
 
Equilíbrio: 
 
Para calcular o valor da tensão cisalhante média máxima, calcula-se o valor da força 
interna de cisalhamento, V (não vamos calcular N porque só estamos interessados na 
tensão cisalhante): 
 
 
Solução: 
V 
N 
A Aincl 
 
P  
P cos  
 
 
𝐏 cos θ − 𝐕 = 0 𝐕 = 𝐏 cos θ 
 Tensão cisalhante média: 
 
 
 
 Orientação da seção (ângulo ) onde ocorre o valor máximo da tensão cisalhante 
média: 
 
 
 
 
 
 
 
τméd =
𝐕
Aincl
 ∴ τméd =
𝐏 cos θ
A/sen θ
 ∴ τméd =
𝐏. sen θ cos θ
A
 ∴ τméd =
𝐏. sen(2θ)
2 A
 
∂ (τméd )
∂ θ
= 0 
𝐏. cos(2θ)
A
= 0 
θ = 450 
∂ (τméd )
∂ θ
=
∂
∂ θ
 
𝐏. sen(2θ)
2 A
 = 0 
 Valor máximo da tensão cisalhante média: 
 
 Para 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
θ = 450 
τméd =
𝐏. sen(2 x 450)
2 A
 
τméd =
𝐏
2 A
 
Tensão admissível 
 Um engenheiro responsável pelo projeto de um elemento estrutural ou mecânico 
deve restringir a tensão atuante no material a um nível seguro. 
 
 É preciso escolher uma tensão admissível que restrinja a carga aplicada a um valor 
menor do que a carga que o elemento pode suportar totalmente, porque: 
 
 - a carga para a qual o elemento é projetado pode ser diferente das cargas 
realmente aplicadas; 
 
 - as dimensões estipuladas no projeto podem não ser exatas, devido a erros 
de fabricação ou cometidos na montagem de seus componentes; 
 
 - existe a possibilidade de ocorrerem problemas com vibrações, impactos ou 
cargas acidentais desconhecidas, que não tenham sido contemplados no projeto; 
 
 - a corrosão atmosférica, deterioração ou desgaste provocado por exposição a 
intempéries tendem a deteriorar os materiais em serviço; 
 
 - as propriedades mecânicas de alguns materiais como madeira, concreto ou 
compósitos reforçados com fibras podem apresentar alta variabilidade. 
 
 
 Compósitos: materiais formados pela união de outros materiais com o objetivo de se obter um 
produto de maior qualidade. Ex: Solo reforçado com fibras. 
 
 Compósitos naturais: madeira (a matriz de lignina é reforçada com fibras celulósicas) e ossos (a 
matriz composta por minerais é reforçada com fibras colágenas). 
 
 
 Para especificar uma carga admissível para projeto ou análise de um elemento, 
utiliza-se o fator de segurança, FS, dado pela razão entre a carga de ruptura, Frup, e 
a carga admissível, Fadm . FS é maior do que 1. 
 
 
 
 
 O valor de Frup é determinada por meio de ensaios do material e o FS é selecionado 
com base na experiência. 
FS =
𝐅𝐫𝐮𝐩
𝐅𝐚𝐝𝐦
 FS =
σrup
σadm
 FS =
τrup
τadm
 
 Os valores de FS dependem dos tipos de materiais usados e da finalidade pretendida 
da estrutura: 
 
 - no projeto dos componentes de um avião ou de veículos espaciais FS pode estar 
próximo de 1, de modo a reduzir o peso do veículo; 
 
 - no projeto de alguns dos componentes de uma usina nuclear, FS pode chegar a 3. 
 
 Em geral, os fatores de segurança e, portanto, as cargas e as tensões admissíveis 
para elementos estruturais estão bem padronizados: valores podem ser encontrados 
em normas de projeto e manuais de engenharia. 
 
 O FS objetiva manter equilíbrio entre: garantir a segurança pública e ambiental e 
oferecer soluções de projeto econômicas e razoáveis. 
Exercício 4 
 A junta mostrada na figura está presa por dois parafusos. Determinar o diâmetro 
necessário se a tensão de ruptura por cisalhamento para os parafusos for rup= 350 MPa. 
Usar um fator de segurança para cisalhamento FS = 2,5. 
Resposta: ∅p = 0,01349 m = 13,49 mm 
Solução: 
D.C.L. 
Tensão cisalhante admissível : 
Esforço cisalhante na seção transversal dos parafusos: 
FS =
τrup
τadm
 
Vp =
40 kN
2
 ∴ Vp = 20 kN 
τadm =
τrup
FS
 ∴ τadm =
350
2,5
 ∴ τadm = 140 MPa 
Como: 
Área da seção transversal dos parafusos: 
τadm =
Vp
Ap
 ∴ Ap =
Vp
τadm
 ∴ Ap =
20 kN
140 MN/m2
 ∴ Ap = 0,1428 x 10
−3 m2 
Ap = π 
∅p
2
4
 
π 
∅p
2
4
= 0,1428 x 10−3 
∅p = 0,01349 m = 13,49 mm 
Exercício 5 
 As hastes AB e CD são feitas de aço cuja tensão de ruptura por tração é rup = 510 MPa. 
Usando um fator de segurança FS=1,75 para tração, determine o menor diâmetro de 
cada haste de modo que elas possam suportar a carga mostrada. Considere que a viga 
está acoplada por pinos em A e em C. 
Resposta: ∅AB = 0,00602 m ∴ ∅AB = 6,02 mm ∅CD = 0,00541 m ∴ ∅CD = 5,41 mm 
Solução: 
D.C.L. 
Determinação das forças FAB e FCD: 
 𝐅𝐲 = 0 
 𝐅𝐱 = 0 Não há forças aplicadas nesta direção 
𝐅𝐀𝐁 + 𝐅𝐂𝐃 = 15 (1) 
 𝐌𝐀 = 𝟎 
4 x 2 + 6 x 4 + 5 x 7− 𝐅𝐂𝐃 x 10 = 0 
𝐅𝐂𝐃 = 6,7 kN (2) 
𝐅𝐀𝐁 + 6,7 = 15 𝐅𝐀𝐁 = 8,3 kN 
 Tensão normal admissível: 
 
 
 
 
 Diâmetro de cada haste: 
 - haste AB 
 
 
 
 
 
 
 
σadm =
σrup
FS 
 ∴ σadm =
510
1,75
 
σadm =
FAB
AAB
 ∴ 291,43 x 103 =
8,3
AAB
 ∴ AAB =
8,3
291,43 x 103
= 0,02848 x 10−3 m2 
π 
 ∅AB
2
 
2
= 0,02848 x 10−3 m2 
∅AB = 0,00602 m ∴ ∅AB = 6,02 mm 
 Diâmetro de cada haste: 
 - haste CD 
 
 
 
 
 
 
 
σadm =
FCD
ACD
 ∴ 291,43 x 103 =
6,7
ACD
 ∴ ACD =
6,7
291,43 x 103
= 0,02300 x 10−3 m2 
π 
 ∅CD
2
 
2
= 0,02300 x 10−3 m2 
∅CD = 0,00541 m ∴ ∅CD = 5,41 mm