Interpolacoes Polinomiais

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Interpolação Polinomial 
 de Lagrange e de Hermite 
 1
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE LAGRANGE E DE HERMITE 
 
INTRODUÇÃO 
 
 Objetivando a preparação aos métodos de aproximação a serem aplicados à 
resolução numérica de equações diferenciais ordinárias com valores no contorno e de 
equações diferenciais parciais (o método das linhas), apresentam-se neste capítulo os 
métodos de interpolação polinomial de Lagrange e de Hermite. O bom entendimento desses 
métodos de aproximação facilitará bastante o aprendizado nos métodos de quadratura 
numérica que fundamentam o método. Para consolidar seu entendimento, tais métodos 
serão aqui apresentados de forma exaustiva e ilustrados por exemplos simples e de fácil 
reprodução. 
 
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE LAGRANGE 
 
 Tal interpolação é aqui apresentada já visando suas aplicações no desenvolvimento 
das expressões de quadratura numérica, sendo assim aplicada a funções contínuas e 
definidas no intervalo [0,+1], caso a variável independente do problema não se apresente 
nesta forma torna-se necessário normalizar o intervalo aplicando a simples transformação 
linear : normalizado
x a
x
b a
    
se o intervalo de definição da variável independente x for [a,b]. 
A interpolação polinomial de Lagrange consiste em aproximar uma função contínua e 
definida no intervalo [0,+1],  f x , por um polinômio de grau (m-1) : 
Pm-1(x), tal que:    1m j jP x f x  , para j = 1, 2, ..., m ; chamando-se os pontos xi ( i = 1, 2, 
..., m) de pontos nodais ou pontos de interpolação. 
 Esse procedimento pode ser facilmente visualizado na Figura abaixo, em que se 
adotam 05 (cinco) pontos nodais aproximando a função por um polinômio de quarto grau. 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
2
1
0
1
2
f xk
y int xk
yi
,,xk xk vi 
Fig. 1- Interpolação Polinomial de Lagrange com 05 Pontos (Quarto Grau) 
[Curva contínua: Função Exata-Curva Pontilhada: Função Interpolada-Pequenos Quadrados: Pontos Nodais] 
Interpolação Polinomial 
 de Lagrange e de Hermite 
 2
 A forma mais direta, mas não necessariamente a mais simples, de gerar o polinômio 
interpolador: Pm-1(x), que pode ser representado por:  
1
1
0
m
i
m i
i
P x c x



  , é através da 
resolução do sistema linear:    
1
1
0
m
i
m j i j j
i
P x c x f x



   , para j = 1, 2, ..., m , isto é: 
 
 
 
2 1
0 11 1 1
2 1
1 22 2 2
2 1
1
1
1
1
m
m
m
m mm m m
c f xx x x
c f xx x x
c f xx x x




    
    
     
    
    
       


     

 
A resolução deste sistema linear fornece os valores dos m coeficientes ci, i = 0, 1, ..., m1. 
 
Exemplo Ilustrativo: Determinar o polinômio interpolador de quarto grau da função: 
 ( ) 2f x x sen x    no intervalo [0,+1], utilizando os seguintes pontos de 
interpolação: 0,2 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 e 0,8. 
O sistema linear é: 
 
 
 
 
 
2 3 4
0
2 3 4
1
2 3 4
2
2 3 4
3
2 3 4
4
0, 2 0,41 0,2 0,2 0,2 0,2
0,4 0,81 0,4 0,4 0,4 0,4
0,5 1,01 0,5 0,5 0,5 0,5
1 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 1,2
1 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 1,6
senc
senc
c sen
c sen
c sen





                                            


 
Ou, numericamente: 
0
1
2
3
4
1 0, 2 0,04 0,008 0,0016 0, 42532540
1 0, 4 0,16 0,064 0,0256 0,37174803
1 0,5 0, 25 0,125 0,0625 0,00000000
1 0,6 0,36 0, 216 0,1296 0, 45529650
1 0,8 0,64 0,512 0, 4096 0,85065081
c
c
c
c
c
    
   
   
    
      
       






0,62875971
7,50787143
8,04344900
20, 25516188
22,68130372
 
 
 
   
  
  
c . 
O polinômio interpolador resultante é representado graficamente abaixo: 
 
0 0.5 1
1
0
1
2
f x
k
y int xk
y
i
,,x
k
x
k
v
i 
Fig. 2- Interpolação Polinomial de Lagrange com 5 Pontos (4o Grau) Função:  ( ) 2f x x sen x    
[Curva contínua: Função Exata -Curva Pontilhada: Função Interpolada [Pequenos Losangos: Pontos Nodais] 
Interpolação Polinomial 
 de Lagrange e de Hermite 
 3
Observa-se na Figura anterior que entre os pontos de interpolação, [0,2 x 0,8] a 
aproximação polinomial da função é bastante satisfatória, entretanto para valores de x<0,2 e 
de x > 0,8 o erro é bem pronunciado, acentuando-se à medida que se distancia dos mesmos 
(nesses casos tem-se na realidade uma extrapolação). Esse comportamento é comum a 
todas as formas de interpolação polinomial e sua quantificação será apresentada 
posteriormente. 
 A resolução numérica do sistema linear de equações que define os valores dos 
coeficientes da aproximação polinomial nem sempre é preciso, pois, em muitos casos, a 
matriz característica do sistema 1, , para , = 1, , 
j
i j ix i j m
  A  é mal-condicionada. 
Além disso, nesse tipo de cálculo, verifica-se que os valores dos coeficientes da 
interpolação são muito elevados (em módulo) e, geralmente, de sinais alternados, tal 
comportamento é reforçado com o aumento do grau da aproximação (no Exemplo 
Ilustrativo acima apesar do módulo da função ser sempre inferior a 1, os coeficientes da 
aproximação - com exceção de c0 - são sempre maiores que 1 - em módulo - e aumentam à 
medida que o grau aumenta), tal comportamento é também um indicativo das dificuldades e 
imprecisões numéricas associadas ao procedimento. Outro aspecto que deve ser ressaltado 
é relativo à utilização posterior da interpolação polinomial, pois o objetivo final do 
procedimento é calcular o valor da função em outros pontos que não os utilizados na 
aproximação, utilizando informações dos valores da função nos pontos nodais para gerar a 
aproximação polinomial. Dessa forma, para atender a este objetivo, não há a necessidade de 
se calcular os coeficientes da aproximação, procedendo-se na forma proposta originalmente 
por Lagrange, que consiste em representar a interpolação na forma: 
   1
1
( )
m
m j j
j
P x x f x

 l 
Em que:  j xl : polinômio em x de grau m1, tal que: 
  ,
1 para 
0 para j i i j
i j
x
i j


   
l [função  de Krönecker] 
Os polinômios  j xl , para j = 1, ..., m, são chamados de polinômios base da interpolação 
de Lagrange e constituem uma base completa de funções polinomiais de mesmo grau [ 
grau (m-1)], isto é qualquer polinômio de grau (m-1) pode ser expresso por uma 
combinação linear destes polinômios. 
Como   0j ix l para todo ij, isto é para i = 1, 2, ..., (j1), (j+1), ...,m que são as (m-1) 
raízes de  j xl , logo: 
             1 2 1 1
1
k j
m
j j j j m j k
k
x x x x x x x x x x x x x

 

            l C C , como: 
 
 
1
1
1
k j
j j j m
j k
k
x
x x


  

l C , resulta em:  
1
k j
m
k
j
k j k
x x
x
x x


 
    
l para j =1, 2, ..., m 
 O procedimento de geração dos m polinômios base da interpolação de Lagrange 
pode ser implementado pelo programa em MATHCAD a seguir apresentado. 
Interpolação Polinomial 
 de Lagrange e de Hermite 
 4
Lagrange z x m( )
l
j
1
l
j
l
j
z x
i

x
j
x
i





 j iif
i 0 m 1for
j 0 m 1for
l

 
Outra forma de expressar os polinômios interpoladores de Lagrange pode ser feita 
através da definição do polinômio nodal, que é o polinômio de grau m e que se anula em 
todos os pontos nodais, assim:      1 2( ) tenodal mP x C x x x x x x      , em que Cte é 
uma constante arbitrária, note que em vista de:    1
( )
k j
m
nodal
k te
k j
P x
x x
C x x


 
  e 
   1
( )
( )( )
lim j
j
k j
nodal
m
x nodal jnodal
j k te tetex x
k j
dP x
dx P xP x
x x
C CC x x



  
    
   
 , pode-se expressar: 
   
( )
( )
nodal
j
j nodal j
P x
x
x x P x

 
l para j =1, 2, ..., m, em que: 
       1 2
1
( )
m
te te
nodal m k
k
P x C x x x x x x C x x

         . 
Como a Cte se encontra presente no denominador e numerador da últimaexpressão, pode-se 
sempre considerar:      
( )nodal
j
j nodal j
p x
x
x x p x

 
l para j =1, 2, ..., m, em que: 
       1 2
1
( )
m
nodal m k
k
p x x x x x x x x x

       
Exemplo Ilustrativo: No exemplo anterior, tem-se: x1 =0,2; x2 = 0,4; x3 = 0,5; x4 = 0,6 e 
x5=0,8. 
Assim: 
                
       
1
0, 4 0,5 0,6 0,8 0,4 0,5 0,6 0,8
0,2 0,4 0,2 0,5 0,2 0,6 0,2 0,8 0,0144
x x x x x x x x
x
             
 
      
l
  2 3 41
20 445 2425 2875 625
3 9 18 18 9
x x x x x        l 
                
       
2
0, 2 0,5 0,6 0,8 0,2 0,5 0,6 0,8
0,4 0,2 0,4 0,5 0,4 0,6 0,4 0,8 0,0016
x x x x x x x x
x
             
  
      
l
  2 3 42
595 2625
30 975 625
2 2
x x x x x         l 
Interpolação Polinomial 
 de Lagrange e de Hermite 
 5
                
       
3
0, 2 0,4 0,6 0,8 0,2 0,4 0,6 0,8
0,5 0,2 0,5 0,4 0,5 0,6 0,5 0,8 0,0009
x x x x x x x x
x
             
 
      
l
  2 3 44
128 4000 14000 2000 10000
3 9 9 9 9
x x x x x        l 
                
       
4
0, 2 0,4 0,5 0,8 0,2 0,4 0,5 0,8
0,6 0,2 0,6 0,4 0,6 0,5 0,6 0,8 0,0016
x x x x x x x x
x
             
  
      
l
  2 3 44
1575 2375
20 215 625
2 2
x x x x x         l 
                
       
5
0, 2 0,4 0,5 0,6 0,2 0,4 0,5 0,6
0,8 0,2 0,8 0,4 0,8 0,5 0,8 0,6 0,0144
x x x x x x x x
x
             
 
      
l
  2 3 45
5 335 650 2125 625
3 18 9 18 9
x x x x x        l 
Resultando em: 
4
2
20 128 5
( ) (0, 2) 30 (0, 4) (0,5) 20 (0,6) (0,8)
3 3 3
595 2625
30 (0,2) (0, 4) 975 (0,5) (0,6) 625 (0,8)
2 2
1575 2375
20 (0, 2) 215 (0,4) (0,5) (0,6) 625 (0,8)
2 2
P x f f f f f
f f f f f x
f f f f f x
            
 
             
 
             
 
 3
4
20 128 5
(0, 2) 30 (0, 4) (0,5) 20 (0,6) (0,8)
3 3 3
5 335 650 2125 625
(0, 2) (0, 4) (0,5) (0,6) (0,8)
3 18 9 18 9
f f f f f x
f f f f f x
            
 
            
 
 
Substituindo os valores da função em cada um dos pontos nodais na expressão acima, 
obtém-se os mesmos valores dos coeficientes do polinômio interpolador. 
 Apesar de essa forma aparentar ser mais complexa que a anterior, a mesma é obtida 
sem a resolução do sistema linear de equações algébricas. Além disso, os mesmos 
polinômios base podem ser utilizados para interpolar qualquer função contínua no 
intervalo, bastando calcular os valores da função em cada um dos pontos nodais. 
 
 
 Outra propriedade interessante dos polinômios interpoladores de Lagrange pode ser 
obtida quando se aplica a interpolação polinomial à função;   kf x x para k = 0, 1, 2,..., 
(m-1), então como neste caso a interpolação é exata, de (II.22), tem-se: 
 
1
m
k k
j j
j
x x x

 l , para k = 0, 1, 2, ..., (m-1) 
 Algebricamente, os polinômios de Lagrange podem ser interpretados como as 
incógnitas deste sistema linear de equações no qual o elemento da linha k e coluna j da 
matriz característica é kjx e no qual o elemento k do vetor das constantes é: 
kx . 
Interpolação Polinomial 
 de Lagrange e de Hermite 
 6
Para ilustrar esta observação, adota-se m=2, assim: com k=0:    1 2 1x x l l e com k=1: 
   1 1 2 2x x x x x   l l , resultando no sistema algébrico linear: 
 
 
 
 
1 1 2 2
2 21 2 1 12 1 2 1
1 1 11 11 1
1
x x x x x
x xx x x x xx xx x x x
             
                             
l l
l l
 
 
ERRO NA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE LAGRANGE 
 
 Do conceito de interpolação polinomial de Lagrange, tem-se que o valor da 
aproximação polinomial de grau (m-1), Pm-1(x), é igual ao valor da função f(x) nos pontos 
nodais, isto é o erro da interpolação é nulo nos m pontos nodais, o que permite inferir que a 
forma do erro da aproximação é: 1Erro( ) ( ) ( ) ( ) ( )m nodalx f x P x p x x    
Para determinar a expressão de ( )x , procede-se de maneira semelhante à utilizada na 
análise do resíduo de expansões em séries de potências, definindo-se a função: 
1( ) ( ) ( ) ( ) ( )m nodalQ t f t P t p t x    . 
Note que a função Q(t) se anula em (m+1) valores de t que são: x1 , x2 , ... , xm e x (um valor 
genérico do argumento original). Desta forma, pelo Teorema do Valor Médio, a derivada da 
função Q(t) se anula pelo menos m vezes no interior do intervalo das raízes [intervalo I 
composto pelos valores de t contidos entre (a) x e xm caso x < x1 - extrapolação ; (b) x1 e xm 
caso x1  x  xm - interpolação- ; (c) x1 e x caso x >xm - extrapolação ], isto é: 
1( ) ( )( ) ( ) ( )m nodal
dP t dp tdQ t df t
x
dt dt dt dt
    tem pelo menos m raízes em I; 
a derivada da função 
( )dQ t
dt
, 
2
2
( )d Q t
dt
, anula-se pelo menos m-1 vezes no intervalo I, isto é: 
2 22 2
1
2 2 2 2
( ) ( )( ) ( )
( )m nodal
d P t d p td Q t d f t
x
dt dt dt dt
    contém pelo menos m-1 raízes em I. 
Induzindo a expressão para a i’ésima derivada de Q(t), resulta que: 
1( ) ( )( ) ( ) ( )
i ii i
m nodal
i i i i
d P t d p td Q t d f t
x
dt dt dt dt
    contém pelo menos m+1i raízes em I, com 
i variando de 0 a m. 
Para o último valor de i (isto é: i = m), resulta: 
1( ) ( )( ) ( ) ( )
m mm m
m nodal
m m m m
d P t d p td Q t d f t
x
dt dt dt dt
    anula-se pelo menos 1 (uma) vez em I, 
como : 1
( )
0
m
m
m
d P t
dt
  [ 1( )mP t é um polinômio em t de grau (m-1)] e 
( )
( )!
m
nodal
m
d p t
m
dt
 o coeficiente de tm em ( )nodalp t é igual a 1 
( )1
1
( )!
m
nodal
m
d p t
m dt
  
obtém-se:  ( ) ( ) ! ( )
m m
m m
d Q t d f t
m x
dt dt
   contém pelo menos 1 (uma) raiz em I, seja essa 
raiz , isto é: 
( )
0
m
m
t
d Q t
dt 
 , resultando na expressão: 
 
1 ( )
( )
!
m
m
t
d f t
x
m dt 
 
   
 
. 
Interpolação Polinomial 
 de Lagrange e de Hermite 
 7
 Concluindo-se que o erro da interpolação polinomial é dado por: 
   
1 ( )
Erro( )
!
m
nodalm
t
d f t
x p x
m dt 
 
  
 
, sendo  algum ponto de I e:  
1
( )
m
nodal i
i
p x x x

  : 
um polinômio em x de grau m 
O erro da aproximação polinomial é assim constituído pelo produto de dois termos: 
(i) 
 
1 ( )
 
!
m
m
t
d f t
m dt 
 
  
 
e (ii)  nodalp x , o primeiro desses termos depende inerentemente 
da função que se está aproximando, independente da seleção dos pontos nodais; já o 
segundo termo, que é o próprio polinômio nodal, depende exclusivamente da seleção dos 
pontos nodais, seu valor (em módulo) pode ser minimizado segundo critérios bem 
definidos. 
 Analisando a expressão acima, chegam-se as seguintes conclusões: 
(a) o Erro da interpolação para funções polinomiais de grau inferior a m é nulo, pois: 
( )
0
m
m
d f t
dt
 para todo valor de t; 
(b) se f(x) for uma função polinomial de grau m com coeficiente de xm igual a cm o erro da 
interpolação será:  Erro( ) m nodalx c p x  ; 
(c) se f(x) for uma função polinomial de grau n > m então o erro da interpolação é: 
  Erro( ) ( ) , em que : ( )n m nodal n mx q x p x q x   é um polinômio em x de grau n-m . 
 A Eq. (II.6) é também útil para a análise dos limites superiores do erro da 
interpolação, esse tipo de análise é ilustrada no exemplo a seguir. 
Exemplo Ilustrativo: Analise o valor máximo do erro na interpolação de 4o grau da função: 
 ( ) 2f x sen x   no intervalo [0,+1], utilizando os seguintes pontos de interpolação: 
0,2; 0,4; 0,5; 0,6 e 0,8. 
Da expressão de f(x) verifica-se que:  
5 5
5 5
5 5
( ) ( )
32 cos 2 32
d f x d f x
x
dx dx
          , o 
que permite concluir que: 
532
Erro( ) max ( )
5! nodal
xp x

  , mas o max ( )nodalp x ocorre 
nos limites do intervalo, isto é em x =0 e em x=+1 quando: (0) (1) 0,0192nodal nodalp p  , 
logo: 
532
Erro( ) 0,0192 1,566821
5!
x

   para 0  x  1. 
A seguir, representa-se o gráfico de f(x) versus x (curva contínua) e de fap(x), obtido por 
interpolação de Lagrange com os cinco pontos apresentados, versus x (curva pontilhada), 
apresentando também ao lado os valores dos erros em x=0 e em x=1. 
Interpolação Polinomial 
 de Lagrange e de Hermite 
 8
0 0.5 1
2
1
0
1
2
Y
k
Y apk
X
k
=res( )0 1.12257
=res( )1 1.12257
 
Fig. 3- Interpolação Polinomial de Lagrange com 5 Pontos (4o Grau) da Função:  ( ) 2f x sen x 
[Curva contínua: Função Exata - Curva Pontilhada: Função Interpolada com pontos 0,2; 0,4; 0,5; 0,6 e 0,8]
 Note que os valores reais do erro em x=0 e em x=1 são ambos inferiores (em 
módulo) ao valor máximo previsto pela análise da expressão do resíduo, Eq.(II.6). O alto 
valor do módulo do resíduo em x=0 e em x=1 se deve ao fato de o valor da função 
aproximada nestes pontos ser obtida por extrapolação. Uma melhoria significativa pode ser 
obtida utilizando os pontos x=0 e x=1 como pontos de interpolação, além de 0,25; 0,50 e 
0,75. As curvas da função exata e da função aproximada são neste caso apresentadas na 
figura abaixo, representando-se ao lado os valores numéricos dos extremos do resíduo e dos 
previstos pela expressão do resíduo. 
0 0.5 1
2
1
0
1
2
Y
k
Y apk
X
k
=max 0.093913 =res( )max 0.180758
=Max 0.906088 =res( )Max 0.180758
=sol 0.088892 =.cte p nodal( )sol 0.289398
=Sol 0.911108 =.cte p nodal( )Sol 0.289398
 
Fig. 4- Interpolação Polinomial de Lagrange com 5 Pontos (4o Grau) da Função:  ( ) 2f x sen x 
[Curva contínua: Função Exata - Curva Pontilhada: Função Interpolada com pontos 0; 0,25; 0,5; 0,75 e 1] 
Exemplo Proposto: Analise o valor máximo do erro na interpolação de 4o grau da função: 
( ) exp( )f x x  no intervalo [0,+1], utilizando os seguintes pontos de interpolação: 0,2; 0,4 
; 0,5; 0,6 e 0,8. Refaça o exemplo adotando como pontos de interpolação : 0 ; 0,25 ; 0,50 ; 
0,75 e 1e compare com os resultados anteriores. 
 
 
AVALIAÇÃO DE DERIVADAS NUMÉRICAS ATRAVÉS DA INTERPOLAÇÃO 
POLINOMIAL DE LAGRANGE 
 
 Nos itens anteriores se utilizou a interpolação polinomial de Lagrange apenas para 
calcular os valores aproximados da função em pontos distintos dos pontos nodais, isto é: 
Interpolação Polinomial 
 de Lagrange e de Hermite 
 9
   1
1
( ) ( )
m
m j j
j
f x P x x f x

  l , em que:  j xl : é um polinômio em x de grau m1, 
expresso por:    
( )nodal
j
j j
p x
x
x x 

 
l para j =1, 2, ..., m , sendo: ( )j nodal jp x  e 
       1 2
1
( )
m
nodal m k
k
p x x x x x x x x x

       
A expressão anterior pode também ser utilizada para calcular o valor numérico aproximado 
das derivadas primeira e segunda da função  f x em cada ponto nodal, isto é, os valores 
de: 
2
2
( ) ( )
 e 
i i
x x
df x d f x
dx dx
 para i = 1, 2, ..., m . Utilizando a interpolação de Lagrange para 
o cômputo dessas derivadas: 
 
 
1
1
22
1
2 2
1
( )( )
( )( )
i i
i i
m
m
ij j
jx x
m
m
ij j
jx x
dP xdf x
A f x
dx dx
d P xd f x
B f x
dx dx





  


   



em que : 
2
2
( )
( )
i
i
j
ij
x
j
ij
x
d x
A
dx
d x
B
dx




 

l
l
 
Os termos Aij e Bij podem ser calculados se derivando sucessivamente a expressão de jl (x) 
rearranjada na forma: 
    ( )nodalj j
j
p x
x x x

  l , assim: 
      ( )1j nodalj j
j
d x dp x
x x x
dx dx
    
l
l ; (a) 
     
2 2
2 2
( )1
2j j nodalj
j
d x d x d p x
x x
dx dx dx
     
l l
 (b) 
e 
     
3 2 3
3 2 3
( )1
3j j nodalj
j
d x d x d p x
x x
dx dx dx
     
l l
 (c) 
Adotando i jx x x  em (a) e em vista de:   0 e j ix l ( )i nodal ip x  , tem-se: 
 
( )
 para 
i
j i
ij i j
i j jx
d x
A x x
dx x x


 
   
   
l
. 
Adotando x=xj em (b), tem-se: 
2
2
( ) ( )1
 
2
j j
j nodal
jj
jx x
d x d p x
A
dx dx
  

l
. 
Interpolação Polinomial 
 de Lagrange e de Hermite 
 10
Adotando i jx x x  em (b) tem-se:  
2
2
( )1
2
i
nodal
i j ij ij
j x
d p x
x x B A
dx
      , mas: 
2
2
( )
2
i
nodal
i ii
x
d p x
A
dx
   então:  
2
2
( )1
2 2
i
nodal i
ii i j ij ii
j jx
d p x
A x x A A
dx

 
         , pois: 
 i i j ij
j
x x A


   , logo:  
2
2
( ) 1
 2 para 
i
j
ij ij ii i j
i jx
d l x
B A A x x
dx x x
 
      
  
. 
Adotando x=xj em (c), tem-se 
2 3
2 3
( ) ( )1
 
3
jj
j nodal
jj
j xx
d x d p x
B
dx dx
  

l
. 
Resumindo: 
2
2
 para 
( )( )
( )1
 para 
2
i
i
i
i j jj
ij
x nodal
i x
j i
x xd x
A
dx d p x
j i
dx



 
 
     
   
l
, e 
2
2 3
3
1
2 para 
( )( )
( )1
 para 
3
i
i
ij ii
i jj
ij
nodalx
i x
A A j i
x xd x
B
dx d p x
j i
dx
  
     
     
   
l
 
Nota-se que, para calcular os valores das derivadas da aproximação em cada um dos 
pontos nodais, não é necessário gerar os polinômios interpoladores de Lagrange sendo 
apenas necessário calcular as três primeiras derivadas do polinômio nodal em cada um dos 
pontos nodais. 
Para executar este procedimento de forma iterativa, Villadsen & Michelsen (1978) 
sugerem o procedimento. 
Para 1 , , e 1 , , i m j m   
 
 
 
 
, , 1 ,0
, , 1 , -1 ,0
, , 1 , -1 ,0
, , 1 i,j-1 ,0
 com 1
+ com 0
+2 com 0
+3 r com 0
i j i j i j i
i j i j i j i j i
i j i j i j i j i
i j i j i j i
p x x p p
q x x q p q
r x x r q r
s x x s s




    

    

    

    
 
Em que: 
2 3
, , ,2 3
( ) ( ) ( )
= , = e .
i i i
nodal nodal nodal
i m i m i m
x x x
dp x d p x d p x
q r s
dx dx dx
 
Interpolação Polinomial 
 de Lagrange e de Hermite 
 11
A sub-rotina que calcula as três primeiras derivadas do polinômio nodal (normalizado) 
programada em MATHCAD é mostrada a seguir: 
derivadas x m( )
I i 1
p 1
q 0
r 0
s 0
t x
i
x
j

s t s 3 r
r t r 2 q
q t q p
p t p
j 1 mfor
Res
I 0 q
Res
I 1 r
Res
I 2 s
i 1 mfor
 
 
Exemplo Ilustrativo: Calcular numericamente os valores das derivadas primeiras e 
segundas da função  ( ) 2f x x sen x    nos pontos: 0,2; 0,4; 0,5; 0,6 e 0,8. a partir da 
aproximação polinomial de 40 grau utilizando estes mesmos pontos como pontos nodais. 
Comparar estes valores com os valores exatos. 
Adotando o procedimento descrito em (II.9) e (II.10), determinam-se as matrizes: 
A 
  
  
 
 
 












12 5000 45 0000 53 3333 22 5000 1 6667
0 5556 12 5000 17 7778 5 0000 0 2778
0 2083 5 6250 0 0000 5 6250 0 2083
0 27778 5 0000 17 7778 12 5000 0 5556
1 6667 22 5000 53 3333 45 0000 12 5000
, , , , ,
, , , , ,
, , , , ,
, , , , ,
, , , , ,
 
e 






















1111,1110000,6757778,9770000,4501111,36
4444,190000,08889,880000,755556,5
3889,15000,1122222,2225000,1123889,1
5556,50000,758889,880000,04444,19
1111,360000,4507778,9770000,6751111,111
B 
Baseados nestes valores, calculam-se: 
   
225 5
4 4
, ,2 2
1 1
( ) ( )( ) ( )
 e 
i i i i
i j j i j j
j jx x x x
dP x d P xdf x d f x
A f x B f x
dx dx dx dx 
       
para i = 1, 2, 3, 4 e 5. 
 
Apresentando os resultados em forma tabelada, tem-se: 
Interpolação Polinomial 
 de Lagrange e de Hermite 
 12
i xi ( )
ix
df x
dx
 4
( )
ix
dP x
dx
 
2
2
( )
ix
d f x
dx
 
2
4
2
( )
ix
d P x
dx
 
1 0,2 1,9316 2,5867 15,1079 29,5061 
2 0,4 2,7502 2,8430 23,2941 21,1512 
3 0,5 4,4429 4,3863 8,8858 8,8085 
4 0,6 4,3168 4,4232 11,7282 8,9778 
5 0,8 1,2049 2,1998 36,0854 60,8807Nota-se uma grande discrepância entre os valores exatos e aproximados das 
derivadas primeira e segunda (sobretudo neste último caso) nos pontos 0,2 e 0,8, apenas os 
valores das derivadas primeira e segunda no ponto central (x = 0,5) são calculados com 
uma precisão razoável. Tais resultados, entretanto, não caracterizam a inadequação do 
procedimento para todas as funções, mas pode indicar que a função  ( ) 2f x x sen x    
é muito mal aproximada por uma função polinomial. 
Investigando-se os valores das duas primeiras derivadas nos mesmos pontos para a 
função f(x) = exp(x), obtém-se os seguintes resultados. 
 
i xi ( )
ix
df x
dx
 4
( )
ix
dP x
dx
 
2
2
( )
ix
d f x
dx
 
2
4
2
( )
ix
d P x
dx
 
1 0,2 0,8187 0,8187 0,8187 0,8168 
2 0,4 0,6703 0,6703 0,6703 0,6705 
3 0,5 0,6065 0,6065 0,6065 0,6065 
4 0,6 0,5488 0,5488 0,5488 0,5486 
5 0,8 0,4493 0,4493 0,4493 0,4510 
 Verificando-se uma grande melhoria na estimação das duas primeiras derivadas, nos 
pontos considerados, em comparação com as estimações da função anterior. 
 
 
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE HERMITE 
 
 A interpolação polinomial de Hermite consiste em aproximar uma função contínua 
e definida no intervalo [0,+1], f(x), por um polinômio de grau (2m-1) : 
P2m-1(x), tal que:        2 12 1 e 
j j
m
m j j
x x
dP x df x
P x f x
dx dx

   , para j = 1, 2, ..., m ; sendo 
os pontos xi ( i = 1, 2, ..., m) os pontos nodais ou pontos de interpolação. 
 Esse procedimento pode ser visualizado na Figura a seguir, onde se adotam três 
pontos nodais aproximando a função por um polinômio de quinto grau. 
Interpolação Polinomial 
 de Lagrange e de Hermite 
 13
0 0.5 1
1
0
1
f x
k
y int xk
y
i
,,x
k
x
k
v
i 
Fig. 5- Interpolação Polinomial de Hermite com 03 Pontos (50 Grau) 
[Curva contínua: Função Exata - Curva Pontilhada: Função Interpolada- Pequenos Quadrados: Pontos Nodais] 
 A forma direta de gerar o polinômio interpolador: P2m-1(x), representado por: 
 
2 1
2 1
0
m
i
m i
i
P x c x



  , é através da resolução do sistema algébrico linear: 
       
2 1 2 1
1
2 1 2 1
0 0
 e 
m m
i i
m j i j j m j i j j
i i
P x c x f x P x i c x f x
 

 
 
         , para j = 1, 2, ..., m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2 1
11 1 1
2 2 1
22 2 2
0
2 2 1
1
2 2
11 1
2 2
2 1 22 2
2 2
1
1
1
0 1 2 2 1
0 1 2 2 1
0 1 2 2 1
m
m
m
mm m m
m
m
m
m
mm m
f xx x x
f xx x x
c
c f xx x x
f xx m x
c f xx m x
f xx m x







   
   
   
    
    
          
          
  
  
     


    



    




 
A resolução do sistema algébrico linear acima fornece os valores dos coeficientes ci , para i 
= 0, 1, ..., 2m1. 
Exemplo Ilustrativo: Determinar o polinômio interpolador de Hermite de 5o grau da função 
 ( ) 2f x x sen x    no intervalo [0,+1], utilizando os seguintes pontos de 
interpolação: 0,2; 0,5 e 0,8. 
2 3 4 5
0
2 3 4 5
1
2 3 4 5
2
2 3 4
3
2 3 4
4
2 3 4
5
0, 2
1 0, 2 0, 2 0,2 0, 2 0, 2
1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
1 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8
0 1,0 2 0,2 3 0, 2 4 0, 2 5 0, 2
0 1,0 2 0,5 3 0,5 4 0,5 5 0,5
0 1,0 2 0,8 3 0,8 4 0,8 5 0,8
s
c
c
c
c
c
c

   
   
   
   
    
      
      
   
         
 
 
 
   
   
   
0, 4
0,5 1,0
0,8 1,6
0, 4
2 0, 2 cos 0, 4
2 0, 2
1,0
2 0,5 cos 1,0
2 0,5
1,6
2 0,8 cos 1,6
2 0,8
en
sen
sen
sen
sen
sen




 

 

 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
    
 
 
   
 
 
Interpolação Polinomial 
 de Lagrange e de Hermite 
 14
Ou, numericamente: 
0
1
2
3
4
5
1 0, 2 0,04 0,008 0,0016 0,00032
1 0,5 0, 25 0,125 0,0625 0,03125
1 0,8 0,64 0,512 0, 4096 0,32768
0 1,0 0, 40 0,120 0,0320 0,00800
0 1,0 1,00 0,750 0,5000 0,31250
0 1,0 1,60 1,920 2,0480 2,04800
c
c
c
c
c
c
  
  
 
 
  
 
 
 
   
0
1
2
3
4
5
0, 4253254 0,35225549
0,0000000 4,96315397
0,85065081 51,0962438
1,93162836 152,79666262
4, 44288294 164, 21527662
1, 20497295 57,87556516
c
c
c
c
c
c
    
        
    
          
    
    
      






Representado graficamente abaixo: 
0 0.5 1
1
0.5
0
0.5
1
f x
k
y int xk
y
i
,,x
k
x
k
v
i 
Fig. 6- Interpolação Polinomial de Hermite com 3 Pontos (5o Grau)-Função:  f x x sen x( )   2 
[Curva contínua: Função Exata-Curva Pontilhada: Função Interpolada-Pequenos Losangos: Pontos Nodais] 
 
 Observa-se na Figura acima que entre os pontos de interpolação, isto é: 0,2  x  
1,0 a aproximação polinomial da função é bastante satisfatória, entretanto para valores de 
x<0,2 o erro da aproximação é mais pronunciado (compare com a Fig. 2). 
 O procedimento de determinação direta dos coeficientes da interpolação polinomial 
de Hermite apresenta as mesmas limitações já apresentadas na interpolação polinomial de 
Lagrange. No presente caso, a aproximação polinomial pode ser calculada segundo um 
procedimento semelhante ao de Lagrange, e que é apresentado a seguir. 
Visando satisfazer as 2m especificações impostas, propõe-se a forma: 
 2 1
1
( )
m
m j
j
P x x

 g , em que:        2= j j j j jx x f x a x x        g l para j= 1,...,m são 
polinômios em x de grau 2 1m  , que satisfazem a: 
i-)     para 
0 para 
j
j i
f x i j
g x
i j
  

 
ii-)
           2j jj j j j j j
dg x d x
x f x a x x a x
dx dx
                 
l
l l que para i jx x x  é 
nulo e para jx x , resultando em: 
         2 2
j
j
j jj j j j j jj j
x
dg x
f x A f x a a f x A f x
dx
           . 
Interpolação Polinomial 
 de Lagrange e de Hermite 
 15
Obtendo-se: 
          22 1
1
( ) 2
m
m j j j jj j j
j
P x x f x f x A f x x x

             l 
Em que: 
 
j
j
jj
x
d x
A
dx

l
 
(A)
Em vista de:      ( ) ( )
( )
nodal nodal
j j j
j j j
p x p x
x x x x
x x 
    
 
l l , em que: ( )j nodal jp x  . 
O que permite expressar (A) na forma: 
       22 1
1 1
( ) 2 ( ) ( )
m m
j
m j j j jj j nodal
j j j
x
P x x f x f x A f x p x
  
                
 
l
l , em que: 
 
j
j
jj
x
d x
A
dx

l
, ( )j nodal jp x  e        1 2
1
( )
m
nodal m k
k
p x x x x x x x x x

       
É importante analisar os graus dos dois termos do membro direito da ultima expressão 
assim: 
(a) Termo:    2
1
m
j j
j
x f x

    l : polinômio em x de grau 2 2m  ; 
(b) Termo:      1
1
2 ( ) ( ) ( )
m
j
j jj j nodal m nodal
j j
x
f x A f x p x q x p x
 
             

l
 é um 
polinômio em x de grau 2 1m  resultante do produto de um polinômio em x de grau 
1m  ,  1mq x , por um polinômio em x de grau ,m 
       1 2
1
 ( )
m
nodal m k
k
p x x x x x x x x x

       , o polinômio nodal. 
Outra forma da interpolação de Hermite pode ser obtida se colocando em (A) os 
termos f(xj) e  jf x em evidência, resultando em: 
       2 1
1 1
( ) ( )
m m
m j j j j
j j
f x P x x f x x f x
 
     s r , em que: 
  2( ) 1 2 ( )j jj j jx A x x x           s l e  
2
( ) ( )j j jx x x x     r l [para j =1, 2, ..., m] são 
polinômios de grau 2 1m  em x e   e j jjl x A tem o mesmo significado apresentado na 
interpolação de Lagrange. 
 
Exemplo Ilustrativo:No exemplo anterior, tem-se: x1 =0,2; x2 = 0,5 e x3 = 0,8.Assim: 
          
 12
1 11
0,2
1/ 2 4 / 5 5
4 13 10 5
1/ 5 1/ 2 1/ 5 4 / 5 9
x x d x
x x x A
dx
  
          
  
l
l 
          
 22
2 220,5
1/ 5 4 / 5 4
4 25 25 0
1/ 2 1/ 5 1/ 2 4 / 5 9
x x d x
x x x A
dx
  
          
  
l
l 
Interpolação Polinomial 
 de Lagrange e de Hermite 
 16
          
 32
3 33
0,8
1/ 5 1/ 2 5
1 7 10 5
4 / 5 1/ 5 4 / 5 1/ 2 9
x x d x
x x x A
dx
  
         
  
l
l 
Determinando-se: 
 2 22 21 1
25 5
( ) (10 1) 4 13 10 e ( ) 5 1 4 13 10
81 81
s x x x x r x x x x                        ; 
     2 22 22 216 8( ) 4 25 25 e ( ) 2 1 4 25 2581 81s x x x r x x x x               ; 
   2 22 23 3
25 5
( ) 9 10 1 7 10 e ( ) 5 4 1 7 10
81 81
s x x x x r x x x x                        
Os gráficos desses polinômios são mostrados abaixo. 
0.2 0.4 0.6 0.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
s1 xk 
s2 xk 
s3 xk 
xk
0.2 0.4 0.6 0.8
0.05
0
0.05
r1 xk 
r2 xk 
r3 xk 
xk 
Resultando em: 
         
2 2
5
0,5 0,8 0,2 0,8
( ) 10 1 (0,2) (0,5)
0,18 0,09
x x x x
P x x f f
        
         
   
         
2 2
0, 2 0,5 0,5 0,8
9 10 (0,8) ( 0,2) (0,2)
0,18 0,18
x x x x
x f x f
        
           
   
       2 20, 2 0,8 0,2 0,5
( 0,5) (0,5) ( 0,8) (0,8)
0,09 0,18
x x x x
x f x f
        
           
   
 
 
 
ERRO NA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE HERMITE 
 
 De forma semelhante à interpolação polinomial de Lagrange, chega-se à seguinte 
expressão do erro na interpolação polinomial de Hermite: 
   
2
2
2
1 ( )
Erro( )
2 !
m
nodalm
t
d f t
x p x
m dt 
 
       
 
, sendo  algum ponto de I e : 
 
1
( )
m
nodal i
i
p x x x

  : um polinômio em x de grau m. 
Analisando a expressão acima, chegam-se às seguintes conclusões: 
(a) o erro da interpolação é nulo para funções polinomiais em x de grau inferior a 2m, pois: 
2
2
( )
0
m
m
d f x
dx
 para todo valor de x; 
Interpolação Polinomial 
 de Lagrange e de Hermite 
 17
(b) se f(x) for uma função polinomial em x de grau 2m em que c2m é o coeficiente de x2m, 
então o erro da interpolação será:   22Erro( ) m nodalx c p x     ; 
(c) se f(x) for uma função polinomial em x de grau n > 2m então o erro da interpolação 
será: 
   22 2Erro( ) ( ) , em que : ( )n m nodal n mx q x p x q x      é um polinômio em x de grau n-2m 
 
Exemplo Ilustrativo: Analise o valor máximo do erro na interpolação de 5o grau da função: 
 ( ) 2f x sen x   no intervalo [0,+1], utilizando os valores da função e de sua derivada 
nos pontos : 0,2; 0,5 e 0,8. 
Da expressão de f(x) verifica-se que:  
6 6
6 6
6 6
( ) ( )
64 2 64
d f x d f x
sen x
dx dx
          . O 
que permite concluir que: 
6
264
Erro( ) max ( )
6! nodal
x p x

 , mas o 2max ( )nodalp x ocorre 
nos limites do intervalo, isto é, em x=0 e em x=+1, cujo valor é: 
2 2
(0) (1) 0,0064nodal nodalp p  , logo: Erro x( ) !
, , 
64
6
0 0064 0 5469
6
 para 0  x  1. 
 
A seguir, representa-se o gráfico de f(x) versus x (curva contínua) e de fap(x), obtido por 
interpolação polinomial de Hermite com os três pontos apresentados, versus x (curva 
pontilhada), apresentando também ao lado os valores dos erros em x=0 e em x=1. 
 
 
0 0.5 1
2
1
0
1
2
f x
k
y int xk
y
i
,,x
k
x
k
v
i
Erro em x=0 : -0,1935 
Erro em x=1 : +0,1935
 
Fig. 7- Interpolação Polinomial de Hermite com 3 Pontos (5o Grau)Função:  ( ) 2f x sen x   
[Curva contínua: Função Exata-Curva Pontilhada: Função Interpolada com pontos 0,20; 0,50 e 0,80] 
 
De forma semelhante à apresentada no exemplo ilustrativo da interpolação de Lagrange, 
investiga-se a melhoria da interpolação utilizando x=0 e x=1 além de x=0,5 como pontos de 
interpolação, neste caso pode se estimar um valor superior do módulo do erro através de 
(II.15), resultando em: 
6
264
Erro( ) max ( )
6! nodal
x p x

 , no presente caso o polinômio 
Interpolação Polinomial 
 de Lagrange e de Hermite 
 18
nodal é     3 2 2( )( ) 0,5 1 1,5 0,5 3 3 0,5nodalnodal
dp x
p x x x x x x x x x
dx
            que 
se anula nos pontos: 0 5 1
1
3
, 





 em que ( ) 0,0481nodalp x  . Assim: 
2
max ( ) 0,0023nodalp x  e 
664
Erro( ) 0,0023 0,1978
6!
x

   para 0  x  1. 
A representação gráfica dessa nova aproximação é mostrada na Figura a seguir. 
0 0.5 1
2
1
0
1
2
f x
k
y int xk
y
i
,,x
k
x
k
v
i
Erros máximos (em módulo) em x=0,1766 e 
 em x=0,8234 , com o valor de 0,03915
 
Fig. 8- Interpolação Polinomial de Hermite com 3 Pontos (5o Grau)Função:  ( ) 2f x sen x   
[Curva contínua: Função Exata-Curva Pontilhada: Função Interpolada com pontos 0; 0,50 e 1] 
Exemplo Proposto: Analise o valor máximo do erro na interpolação de 5o grau da 
função: ( ) exp( )f x x  no intervalo [0,+1], utilizando os valores da função e de sua 
derivada nos seguintes pontos de interpolação: 0,2; 0,5 e 0,8. Refaça o exemplo adotando 
como novos pontos de interpolação : 0 ; 0,50 e 1e compare com os resultados anteriores. 
 
 
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL MISTA DE LAGRANGE/HERMITE 
 
 A interpolação polinomial mista de Lagrange/Hermite será definida como sendo a 
aproximação de uma função contínua e definida no intervalo [0,+1],  f x , por um 
polinômio em x de grau 2 m ,  2mP x , satisfazendo a:        2 2 e m j j m j jP x f x P x f x   
nos pontos de interpolação internos, isto é, para 1, 2, , j m  e, além disso, uma das duas 
possibilidades abaixo: 
(a)    2 0 0mP x f x , em que x0 = 0 [extremidade inferior é também ponto de 
interpolação]; 
(b)    2 1 1 m m mP x f x  , em que xm+1 = 1 [extremidade superior é também ponto de 
interpolação]. 
A interpolação polinomial mista de Lagrange/Hermite pode também ser definida como a 
aproximação de uma função contínua e definida no intervalo [0,+1],  f x , por um 
polinômio em x de grau 2 m +1,  2 1mP x , satisfazendo a:    2 1m j jP x f x  e 
Interpolação Polinomial 
 de Lagrange e de Hermite 
 19
   2 1m j jP x f x  nos pontos de interpolação internos, isto é, para 1, 2, , j m  e, além 
disso;    2 1 0 0 mP x f x  , em que x0 = 0 e    2 1 1 1m m mP x f x   , em que xm+1 = 1 
[extremidades inferior e superior são também pontoa de interpolação]. 
 
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL MISTA DE LAGRANGE/HERMITE: usando a 
extremidade inferior como ponto de interpolação 
A forma direta de gerar o polinômio interpolador: P2m (x), representado por: 
 
2
2
0
m
i
m i
i
P x c x

  , é através da resolução do sistema algébrico linear: 
   
   
2
2
0
2
1
2
0
 para 0, 1, 2, ..., e 
 para 1, 2, ..., 
m
i
m j i j j
i
m
i
m j i j j
i
P x c x f x j m
P x i c x f x j m



   
     


, 
 
 
 
 
 
 
 
2 2
1 11 1
2 2
02 2 2 2
1
2 2
2 1
2 11 1 1
2 1
22 2 2
2 1
00 001
1
1
1
0 1 2 2
0 1 2 2
0 1 2 2
m
m
m
m m m m
m
m
m
m
m
m m m
f
x f xx x
cx x x f x
c
x x x f x
cx m x f x
cx m x f x
x m x f x




  
 
 
   
   
   
        
     
        
 
     



     



     














 
A resolução do sistema algébrico linear acima fornece os valores dos coeficientes ci , para i 
= 0, 1, ..., 2m. 
 
Fundamentado na interpolação de Hermite, chega-se a: 
   
2
2 0
1
( )
( )
(0)
m
nodal
m j
jnodal
p x
P x f x x
p 
 
    
 
g 
Em que:      1 2( )nodal mp x x x x x x x     [o polinômio nodal considerando 
exclusivamente os pontos internos de interpolação] e 
       2= j j j j j
j
x
x x f x a x x
x
         g l , para j= 1,..., m são polinômios em x de grau 
2m, que devem satisfazer a: 
i-)     para 
0 para 
j
j i
f x i j
x
i j
  
g (já satisfaz!); ii-)    0 0 0j jx  g g (já satisfaz!); 
iii-)
    ,
i
j
j i j
x
d x
f x
dx
 
g
, calculando a derivada: 
Interpolação Polinomial 
 de Lagrange e de Hermite 
 20
             2j j jj j j j j j
j j j
d x d x xx x
x f x a x x a x
dx x dx x x
                        
g l l
l l 
para: i jx x x  
   0 pois 0 quando 
i
j
j i
x
d x
x i j
dx
  
g
l (já satisfaz!); 
         1 1para : , 2 2
j
j
j j jj j j j j jj j
j jx
d x
x x f x A f x a a f x A f x
dx x x
   
               
      
g
 Assim, o polinômio P2m(x) é expresso por: 
 
     
2
2 0
2
1
( )
( )
(0)
1
2 ( ) ( )
nodal
m
nodal
m
j j j jj j j
j j j
p x
P x f x
p
x
x f x f x A f x x x
x x
 
   
 
                        
 l
 
em que: 
 
j
j
jj
x
d x
A
dx

l
 e ( )j nodal jp x  
(B)
 Usando na expressão acima a propriedade:     ( )nodalj j
j
p x
x x x

  l , obtém-se: 
         
2
2
2 0
1 1
( ) 1
( ) 2 ( ) ( )
(0)
m m
jnodal
m j j j jj j nodal
j jnodal j j j j
xp x x
P x f x x f x f x A f x x p x
p x x x 
                                  
 
l
l
É importante analisar os graus dos três termos do membro direito da última expressão, 
assim: 
(a) Termo:  
2
0
( )
(0)
nodal
nodal
p x
f x
p
 
 
 
 polinômio em x de grau 2 m ; 
(b) Termo:    2
1
m
j j
j j
x
x f x
x
    l : polinômio em x de grau 2 1m  ; 
(c) Termo:      1
1
1
2 ( ) ( ) ( )
m
j
j jj j nodal m nodal
j j j j
x
f x A f x x p x q x x p x
x x 
                       

l
 
é um polinômio em x de grau 2 m resultante do produto de um polinômio em x de grau 
1m  ,  1mq x , por um polinômio em x de grau 1,m  ( )nodalx p x . Esse último polinômio 
pode ser interpretado como um novo polinômio nodal, pois x=x0=0 passou a ser também 
um ponto de interpolação, isto é:        0 1 ( )nodal m nodalp x x x x x x x x p x          . 
Colocando em (B) os termos  jf x e  jf x em evidência, resulta: 
       2
0 1
( ) ( )
m m
m j j j j
j j
f x P x x f x x f x
 
     s r , em que:  
2
0
( )
(0)
nodal
nodal
p x
x
p
 
  
 
s , 
Interpolação Polinomial 
 de Lagrange e de Hermite 
 21
    2 11 2 ( ) para 1, 2, , j j jj j
j j
x
x x A x x j m
x x
                    
ls e 
    2 ( )j j j
j
x
x x x x
x
     lr todos polinômios em x de grau 2m. 
 
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL MISTA DE LAGRANGE/HERMITE: usando a 
extremidade superior como ponto de interpolação 
 
A forma direta de gerar o polinômio interpolador: P2m (x), representado por: 
 
2
2
0
m
i
m i
i
P x c x

  , é através da resolução do sistema algébrico linear: 
   
   
2
2
0
2
1
2
0
 para 1, 2, ..., , 1 e 
 para 1, 2, ..., 
m
i
m j i j j
i
m
i
m j i j j
i
P x c x f x j m m
P x i c x f x j m



    
     


, 
 
 
 
 
 
 
 
2 2
11 1 1
2 2
2 22 2
0
2 2
1
2 1
2 11 1 1
2 1
22 2 2
2 1
1
1
1
1 1 1 1 1
0 1 2 2
0 1 2 2
0 1 2 2
m
m
m
m m m m
m
m
m
m
m
m m m
f xx x x
x f xx x
c
cx x x f x
f
cx m x f x
cx m x f x
x m x f x




 
 
 
   
   
   
        
     
         
 
 
    


     




     














 
 
A resolução do sistema algébrico linear acima fornece os valores dos coeficientes ci , para i 
= 0, 1, ..., 2m. 
 
Fundamentado na interpolação de Hermite, chega-se a: 
   
2
2 1
1
( )
( )
(1)
m
nodal
m j m
j nodal
p x
P x x f x
p 
 
   
 
g 
Em que:      1 2( )nodal mp x x x x x x x     e 
       21= 
1j j j j jj
x
x x f x a x x
x
          
g l , para j= 1,..., m são polinômios em x de 
grau 2m, que devem satisfazer a: 
i-)     para 
0 para 
j
j i
f x i j
x
i j
  

g (já satisfaz!); ii-)    1 1 0j m jx   g g (já satisfaz!); 
Interpolação Polinomial 
 de Lagrange e de Hermite 
 22
iii-)
    ,
i
j
j i j
x
d x
f x
dx
 
g
, calculando a derivada: 
             1 12
1 1 1
j j j
j j j j j j
j j j
d x d x xx x
x f x a x x a x
dx x dx x x
                                       
g l l
l l
para: i jx x x  
   0 pois 0 quando 
i
j
j i
x
d x
x i j
dx
  
g
l (já satisfaz!); 
         1 1para : , 2 2
1 1
j
j
j j jj j j j j jj j
j jx
d x
x x f x A f x a a f x A f x
dx x x
   
                
       
g
 Assim, o polinômio P2m(x) é expresso por: 
     
 
2
2
1
2
1
1 1
( ) 2 ( ) ( )
1 1
( )
(1)
m
m j j j jj j j
j j j
nodal
m
nodal
x
P x x f x f x A f x x x
x x
p x
f x
p


                                   
 
  
 
 l
 
em que: 
 
j
j
jj
x
d x
A
dx

l
 e ( )j nodal jp x  
(C) 
 Usando na expressão acima a propriedade:     ( )nodalj j
j
p x
x x x

  l , obtém-se: 
     
        
2
2
2 1
1
1
( )1
( )
1 (1)
1
2 ( ) 1
1 1
m
nodal
m j j m
j j nodal
m
j
j jj j nodal
j j j j
p xx
P x x f x f x
x p
x
f x A f x x p x
x x



                  
                      


l
l
 
É importante analisar os graus dos três termos do membro direito da última 
expressão, assim: 
(a) Termo:    2
1
1
1
m
j j
j j
x
x f x
x
         
 l : polinômio em x de grau 2 1m  ; 
(b) Termo:  
2
1
( )
(1)
nodal
m
nodal
p x
f x
p 
 
 
 
: polinômio em x de grau 2 m ; 
(c) Termo:             11
1
2 ( ) 1 1 ( )
1 1
m
j
j jj j nodal m nodal
j j j j
x
f x A f x x p x q x x p x
x x 
                          

l 
é um polinômio em x de grau 2 m resultante do produto de um polinômio em x de grau 
1m  ,  1mq x , por um polinômio em x de grau 1,m   1 ( )nodalx p x  . 
Esse último polinômio pode ser interpretado como um novo polinômio nodal, pois x=xm+1= 
1, passou a ser também um ponto de interpolação, isto é: 
Interpolação Polinomial 
 de Lagrange e de Hermite 
 23
         1 1 1 ( )nodal m m nodalp x x x x x x x x p x            . 
Colocando em (C) os termos  jf x e  jf x em evidência, resulta: 
       
1
2
1 1
( ) ( )
m m
m j j j j
j j
f x P x x f x x f x

 
     s r , em que: 
    21 11 2 ( ) para 1, 2, , 
1 1j j jj jj j
x
x x A x x j m
x x
                             
s l ,
 
2
1
( )
(1)
nodal
m
nodal
p x
x
p
 
  
 
s e     21 ( )
1j j jj
x
x x x x
x
           
r l todos polinômios em x de grau 
2m. 
 
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL MISTA DE LAGRANGE/HERMITE:usando ambas as 
extremidades como pontos de interpolação 
 
A forma direta de gerar o polinômio interpolador: P2m+1(x), representado por: 
 
2 1
2 1
0
m
i
m i
i
P x c x



  , é através da resolução do sistema algébrico linear: 
   
   
2 1
2 1
0
2 1
1
2 1
0
 para 0, 1, 2, ..., , 1 e 
 para 1, 2, ..., 
m
i
m j i j j
i
m
i
m j i j j
i
P x c x f x j m m
P x i c x f x j m







    
     


, 
2 2 12
1 11 1
2 2 12
2 2 22
2 2 2 1
 0 0 01 0
1
1 
 
1 
1 1 1 1m m
m m
m m
m m m m
x xx x
x x xx
x x x x






     


 
 
 
0
1
2 1
2 1 2
21 1 1
2 1 2
2 12 2 2
2 1 2
 1 
0 1 2 2 2 1
0 1 2 2 2 1
 
0 1 2 2 2 1
m
m m
m
m m
m
m m
m m m
c
c
c
cx m x m x
cx m x m x
x m x m x





 
 
 
   
   
  
  
   
  
        
        
 
      



    

 
 
 
 
 
 
 
 
1
2
1
2
0
1
m
m
f
f x
f x
f x
f
f x
f x
f x
 
 
 
 
 
               
 
  


 
A resolução do sistema algébrico linear acima fornece os valores dos coeficientes ci , para i 
= 0, 1, ..., 2m+1. 
 
 
Fundamentado na interpolação de Hermite, chega-se a: 
       
2 2
2 1 0 1
1
( ) ( )
( ) 1
(0) (1)
m
nodal nodal
m j m
jnodal nodal
p x p x
P x x f x x x f x
p p 
   
          
   
g 
Interpolação Polinomial 
 de Lagrange e de Hermite 
 24
Em que:      1 2( )nodal mp x x x x x x x     e 
          
21
= 
1
j j j j j
j j
x x
x x f x a x x
x x
            
g l , para j= 1,..., m são polinômios em x 
de grau 2m+1, que devem satisfazer a: 
i-)     para 
0 para 
j
j i
f x i j
x
i j
  

g (já satisfaz!); ii-)    0 0 0j jx  g g (já satisfaz!); 
iii-)    1 1 0j m jx   g g (já satisfaz!); 
iv-)
    ,
i
j
j i j
x
d x
f x
dx
 
g
, calculando a derivada: 
      
     
     
 
   
1 21 1
2
1 1 1
j j j
j j j j j j
j j j j j j
d x d x x xx x x x
x f x a x x a x
dx dxx x x x x x
                                  
g l l
l l
para: i jx x x  
   0 pois 0 quando 
i
j
j i
x
d x
x i j
dx
  
g
l (já satisfaz!); 
       
     
1 2
para : , 2
1
1 2
2
1
j
j j
j j jj j j
j jx
j
j j jj j
j j
d x x
x x f x A f x a
dx x x
x
a f x A f x
x x
  
        
   
  
     
   
g
 
Assim, o polinômio P2m+1(x) é expresso por: 
   
 
             
 
2
2 1 0
2
1
2
1
( )
( ) 1
(0)
1 21
2
1 1
( )
(1)
nodal
m
nodal
m
j
j j j jj j j
j j j j j
nodal
m
nodal
p x
P x x f x
p
xx x
x f x f x A f x x x
x x x x
p x
x f x
p



 
     
 
                                
 
   
 
 l 
em que: 
 
j
j
jj
x
d x
A
dx

l
 e ( )j nodal jp x  
(D) 
 Usando na expressão acima a propriedade:     ( )nodalj j
j
p x
x x x

  l , obtém-se: 
Interpolação Polinomial 
 de Lagrange e de Hermite 
 25
            
 
 
         
2 2
2
2 1 0 1
1
1
1( ) ( )
( ) 1
(0) (1)1
1 21
2 1
1 1
m
nodal nodal
m j j m
jnodal nodalj j
m
j j
j jj j nodal
j jj j j j
x xp x p x
P x x f x x f x x f x
p px x
x xx x
f x A f x x x p
x x x x
 


    
                   
                              


l
l
 x
 
É importante analisar os graus dos três termos do membro direito da última 
expressão, assim: 
(a) Termo:    2
1
1
1
m
j j
j j
x
x f x
x
         
 l : polinômio em x de grau 2 1m  ; 
(b) Termo:  
2
1
( )
(1)
nodal
m
nodal
p x
f x
p 
 
 
 
: polinômio em x de grau 2 m ; 
(c) Termo:             11
1
2 ( ) 1 1 ( )
1 1
m
j
j jj j nodal m nodal
j j j j
x
f x A f x x p x q x x p x
x x 
                          

l 
é um polinômio em x de grau 2 m resultante do produto de um polinômio em x de grau 
1m  ,  1mq x , por um polinômio em x de grau 1,m   1 ( )nodalx p x  . 
Esse último polinômio pode ser interpretado como um novo polinômio nodal, pois x=xm+1= 
1, passou a ser também um ponto de interpolação, isto é: 
         1 1 1 ( )nodal m m nodalp x x x x x x x x p x            . 
Colocando em (D) os termos  jf x e  jf x em evidência, resulta: 
       
1
2 1
0 1
( ) ( )
m m
m j j j j
j j
f x P x x f x x f x


 
     s r , em que: 
    21 11 2 ( ) para 1, 2, , 
1 1j j jj jj j
x
x x A x x j m
x x
                             
s l ,
 
2
1
( )
(1)
nodal
m
nodal
p x
x
p
 
  
 
s e     21 ( )
1j j jj
x
x x x x
x
           
r l todos polinômios em x de grau 
2m. 
 
ERRO NA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL MISTA DE LAGRANGE/HERMITE:usando a 
extremidade inferior como ponto de interpolação 
 
De forma semelhante à interpolação polinomial de Lagrange, chega-se à seguinte 
expressão do erro na interpolação polinomial mista de Lagrange/Hermite: 
   
2 1
2
2 1
1 ( )
Erro( )
2 1 !
m
nodalm
t
d f t
x x p x
m dt 



 
          
, onde  é algum ponto de I e: 
 
1
( )
m
nodal i
i
p x x x

  : polinômio de grau m. 
Analisando a expressão acima, chegam-se as seguintes conclusões: 
Argimiro R Secchi
Riscado
Argimiro R Secchi
Riscado
Argimiro R Secchi
Riscado
Argimiro R Secchi
Realce
Faltou incluir o ponto nodal x = 0.
Argimiro R Secchi
Realce
Interpolação Polinomial 
 de Lagrange e de Hermite 
 26
(a) o erro da interpolação é nulo para funções polinomiais de grau inferior a 2 1m  , pois: 
2 1
2 1
( )
0
m
m
d f t
dt

  para todo valor de t; 
(b) se  f x for uma função polinomial de grau 2 1m  cujo coeficiente de x2m+1 é c2m+1 
então o erro da interpolação será:   22 1Erro( ) m nodalx c x p x      ; 
(c) se  f x for uma função polinomial em x de grau n > 2 1m  então o erro da 
interpolação será:   22 1 2 1Erro( ) ( ) [ ] , em que : ( )n m nodal n mx q x x p x q x      é um 
polinômio em x de grau 2 1n m   . 
 
ERRO NA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL MISTA DE LAGRANGE/HERMITE:usando a 
extremidade superior como ponto de interpolação 
De forma semelhante à interpolação polinomial de Lagrange, chega-se à seguinte 
expressão do erro na interpolação polinomial mista de Lagrange/Hermite: 
     
2 1
2
2 1
1 ( )
Erro( ) 1
2 1 !
m
nodalm
t
d f t
x x p x
m dt 



 
           
, onde  é algum ponto de I e: 
 
1
( )
m
nodal i
i
p x x x

  : polinômio de grau m. 
Analisando a expressão acima, chegam-se as seguintes conclusões: 
(a) o erro da interpolação é nulo para funções polinomiais de grau inferior a 2 1m  , pois: 
2 1
2 1
( )
0
m
m
d f t
dt

  para todo valor de t; 
(b) se  f x for uma função polinomial de grau 2 1m  cujo coeficiente de x2m+1 é c2m+1 
então o erro da interpolação será:   22 1Erro( ) m nodalx c x p x      ; 
(c) se  f x for uma função polinomial em x de grau n > 2 1m  então o erro da 
interpolação será: 
     22 1 2 1Erro( ) ( ) 1 [ ] , em que : ( )n m nodal n mx q x x p x q x       é um polinômio em x de 
grau 2 1n m   . 
 
ERRO NA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL MISTA DE LAGRANGE/HERMITE:usando as 
extremidades inferior e superior como pontos de interpolação 
 
De forma semelhante à interpolação polinomial de Lagrange, chega-se à seguinte 
expressão do erro na interpolação polinomial mista de Lagrange/Hermite: 
     
2 2
2
2 2
1 ( )
Erro( ) 1
2 2 !
m
nodalm
t
d f t
x x x p x
m dt 



 
            
, onde  é algum ponto de I e: 
 
1
( )
m
nodal i
i
p x x x

  : polinômio de grau m. 
Analisando a expressão acima, chegam-se as seguintes conclusões: 
(a) o erro da interpolação é nulo para funções polinomiais de grau inferior a 2 2m  , pois: 
Interpolação Polinomial 
 de Lagrange e de Hermite 
 27
2 2
2 2
( )
0
m
m
d f t
dt

  para todo valor de t; 
(b) se  f x for umafunção polinomial de grau 2 2m  cujo coeficiente de x2m+2 é c2m+2 
então o erro da interpolação será:     22 2Erro( ) 1m nodalx c x x p x        ; 
(c) se  f x for uma função polinomial em x de grau n > 2 2m  então o erro da 
interpolação será:     22 2 2 2Erro( ) ( ) 1 [ ] , em que : ( )n m nodal n mx q x x x p x q x        é um 
polinômio em x de grau 2 2n m   .