Eletro1Usp_1Sem2018_lista03

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Eletro1_1Sem2018 - Lista de Exercícios #3
Exercícios marcados com ∗ devem ser entregues no dia 27.04 para avaliação (escolha 2 e apenas 2, não mais que 2).
� Soluções da Equação de Laplace II
� Expansão multipolar
� Dielétricos e polarização
� Dielétricos lineares
1 Equação característica de Legendre
Polinômios de Legendre surgem como solução da seguinte equação diferencial:
(1− x2)y′′ − 2xy′ + l(l + 1)y = 0
onde ′ denota a derivada em relação a x. Neste caso, as funções y que resolvem esta equação escrevem-se
yl = Pl(x) onde Pl(x) são os polinômios de Legendre de ordem l. Nosso livro a�rma que a solução para a equação:
d
dθ
(sin θ
dΘ
dθ
) = −l(l + 1) sin θΘ
são polinômios de Legendre tais que x = cos θ, ou seja, Θ(θ) = Pl(cos(θ)). Por meio de uma utilização cuidadosa
da regra da cadeia, mostre que a equação diferencial:
(1− x2)y′′ − 2xy′ + l(l + 1)y = 0
pode ser escrita como:
d
dθ
(sin θ
dΘ
dθ
) = −l(l + 1) sin θΘ
se x = cos θ. Procedimento: você precisa encontrar expressões para y′ e y′′ em termos das derivadas dΘ/dθ.
Como x = cos θ, temos y = Pl(x(θ)) = Θ(θ), calculando a derivada:
dΘ
dθ
=
dy
dx
dx
dθ
= y′
dx
dθ
ou ainda:
y′ =
1
dx/dθ
dΘ
dθ
Calcule agora y′′e substitua ambos os resultados em:
(1− x2)y′′ − 2xy′ + l(l + 1)y = 0
Para encontrar:
d
dθ
(sin θ
dΘ
dθ
) = −l(l + 1) sin θΘ
Para �nalizar o problema, determine os 3 primeiros polinômios de Legendre (l = 0, l = 1 e l = 2) por meio da
fórmula de Rodrigues:
Pl(x) =
1
2ll!
(
d
dx
)l(x2 − 1)l
2 Problemas do livro texto (3Ed, capítulo 3)
Problemas 3.3 e 3.37.
1
3 Equação de Laplace em coordenadas cilíndricas
A representação do operador ∇2 em coordenadas cilíndricas escreve-se:
∇2 = 1
s
∂
∂s
(s
∂
∂s
) +
1
s2
∂2
∂φ2
+
∂2
∂z2
Em toda sua glória, a equação de Laplace para V = V (s, φ, z) escreve-se:
1
s
∂
∂s
(s
∂V
∂s
) +
1
s2
∂2V
∂φ2
+
∂2V
∂z2
= 0
(a) Assuma simetria cilíndrica (ou seja, não há dependência em z do potencial) e trabalhe a separação de
variáveis para uma solução do tipo V (s, φ) = S(s)Φ(φ). Mostre que as equações ordinárias para S(s) e Φ(φ) podem
ser escritas como: {
s ∂∂s (s
∂S
∂s ) = k
2S
∂2Φ
∂φ2 = −k
2Φ
com k > 0. Explique porque a constante para Φ deve ser negativa (ou então porque a constante para S deve ser
positiva).
(b) Encontre a solução geral para Φ. Quais os valores permitidos para k?
(c) Determine a solução geral para S supondo k 6= 0. O que acontece quando k = 0? Trate o caso k = 0 (note
que você já resolveu parte deste item ao fazer o problema 3.3 indicado acima).
(d) Escreva a solução geral para V (s, φ). Discuta o caso k = 0 no contexto do problema de Física 3 sobre o
campo de uma linha in�nita de carga λ (de fato, sua solução para k = 0 corresponde à solução deste problema)
(e) Divirta-se aplicando seu resultado para o seguinte problema: considere uma densidade de carga σ(φ) =
a sin(5φ) colada sobre um cilindro in�nito de raio R. Encontre o potencial no interior e exterior do cilindro.
4 ∗Dipolo e quadrupolo (7.0 pontos)
Em aula deduzimos a expansão multipolar para r � r′. Para r � r′, a seguinte expressão é válida para a expansão
multipolar:
V (~r) =
1
4π�0
∫
V′
ρ(~r′)dτ ′
‖~r − ~r′‖
=
1
4π�0
∑
l
rl
∫
V′
1
r′l+1
Pl(cos γ
′)ρ(~r′)dτ ′
neste problema, iremos deduzir e trabalhar com esta expressão. Neste problema, vocês estará deduzindo o que
é conhecido como campo cristalino, que é uma primeira aproximação da chamada teoria do campo ligante.
(a) Com base no desenvolvimento feito em sala de aula, deduza a expressão acima (dica: veja as notas de aula).
Escreva a expressão equivalente para uma distribuição discreta.
(b) Considere a �gura abaixo:
2
Figura 1: Figura para o problema 3.
A mesma representa um cátion (azul, carga +2e) cercado por ânions (marron claro, carga −e) em um arranjo
tetraédrico (tetraédro regular de lado l e o metal é equidistante a todos os ânions). Uma situação comum ocorre
quando o cátion é um metal de transição (como Mn, Fe, Co, etc). Adotemos que este é o caso.
Assuma que a origem do centro de coordenadas está no metal, e que todos os átomos podem ser tratados como
pontos. Deduza os vetores posição dos quatro ânions em relação a esta origem.
(c) Determine o termo de monopolo (l = 0) do potencial eletrostático devido os ânions na proximidade da
origem.
(d) Faça o mesmo para l = 1.
(e) E agora, faça o mesmo para l = 2.
(f) Considere que o tetraédro de cargas negativas tem energia E0 e determine a energia total do sistema na
presença do cátion (carga 2e) em uma posição (x, y, z) próxima à origem (termos até quadrupolo).
(dica: próximo à origem r � r′).
5 Problemas do livro texto (3Ed, capítulo 4)
Problemas 4.30 (faça um diagrama das linhas de campo e justi�que a direção das forças com base em seu diagrama.
Para pensar sobre as linhas de campo, comece primeiro com a seguinte pergunta: como é o campo na superfície de
cada condutor? ) e 4.31.
6 Um dipolo em um dielétrico linear
Um dipolo pontual ~p (ou dipolo puro) localiza-se no centro de uma esfera construída a partir de um material
dielétrico linear (a esfera tem raio R e constante dielétrica �r).
(a) Discuta as condições de contorno para este problema.
(b) Escreva equação de Laplace no sistema de coordenadas que julgar mais adequado.
(c) Determine o potencial elétrico dentro e fora da esfera.
(d) Discuta o resultado para r > R contrastando o presente resultado com o potencial do dipolo no vácuo (há o
que poderia chamar-se blindagem? Qual a origem Física deste fenômeno? Etc.)
3
Cuidado: quando r → 0 o potencial deve aproximar-se do potencial de um dipolo puro. Aliás, perceba que
há um problema com este potencial quando r = 0. Este ponto não é importante para o presente problema. Para
r →∞ o potencial deve ser nulo.
7 ∗Equação de Clausius-Mossotti (3.0 pontos)
Em meios dielétricos, de�nimos uma constante α chamada polarizabilidade atômica dada pela expressão ~p =
α~Eátomo, onde ~Eátomo é o campo macroscópico total experimentado pelo átomo no meio dielétrico. Sabemos ainda
que a polarização ~P é uma densidade de dipolos atômicos, de fato ~P = N~p, onde N é o número de dipolos atômicos
por volume.
Em meios de baixa densidade, como no ar, podemos escrever que ~Eátomo é igual ao campo macroscópico total
~E , de maneira que:
~P = N~p = Nα~Eátomo = Nα~E
Neste caso:
χe = Nα/�0
No entanto, para meios densos, como líquidos, o campo experimentado pelo átomo deve conter o efeito de
polarização dos átomos em uma certa vizinhança. Desta maneira:
~Eátomo = ~E +
1
3�0
~P
Dado esta relação, mostre que (considerando um dielétrico linear):
χe = (
Nα/�0
1−Nα/3�0
)
Esta é a equação de Clausius-Mossotti. Veja a tabela abaixo onde constam dados experimentais para a constante
dielétrica do ar e do pentano ambas como função da pressão.
Figura 2: Tabela para o problema 5
Tomando o caso do Pentano (polarizabilidade α/4π�0 = 9.879 Å
3), cheque a relação de Clausius-Mossotti para
os valores listados (lembre-se que χe + 1 = �/�0). Discuta qualquer desvio encontrado. Compare ainda com os
resultados que seriam obtidos caso a correção da polarização dos átomos vizinhos não seja incluída.
4
8 ∗Desa�o
Caso você esteja entediado com o curso, considere o problema abaixo. Este problema vale até 7.0 pontos (sim, você
pode escolher este e o problema 4 para ter 14 pontos nesta lista).
Interação quadrupolar de níveis 2p
Os níveis 2p (m = ±1) dos orbitais do átomo de Hidrogênio podem ser descritos, em uma aproximação semi-
clássica, como uma densidade de carga ρ(~r):
ρ(~r) =
e
64πa50
r2 exp(−r/a0) sin2 θ
onde a0 é uma constante (o raio de Bohr) e e é a carga nua do elétron. Esta distribuição de carga interage
com o momento de quadrupolo do núcleo, dando origem a uma energia que separa os níveis de energias nucleares.
Esta separação pode ser determinada por experimentos de Ressonância Magnética Nuclear e o caso é de suma
importância para estudos em Química Orgânica. Ideias similares são de suma importância para a Física do Estado
Sólido e outrasáreas. Neste problema, você irá fazer uma expansão de multipolos para encontrar o potencial devido
esta distribuição de carga no núcleo atômico.
(a) Estritamente falando, não podemos de�nir uma expansão de multipolos para ρ(~r) uma vez que esta distri-
buição não é localizada. Discuta, brevemente, a Física associada ao fato de ρ não ser uma distribuição localizada
(dica: ρ ∝ |ψ|² onde ψ é a função de onda do nível 2p (m = ±1) do Hidrogênio).
(b) Mostre que:
ρ(~r) =
e
64πa50
r2 exp(−r/a0) sin2 θ =
e
64πa50
r2 exp(−r/a0)
2
3
(P0(cos θ)− P2(cos θ))
e, usando este resultado, determine o potencial V (r, θ) para r � r′. Lembre-se que pela expansão de multipolos:
V (~r) =
1
4π�0
∑
l=0
1
rl+1
∫
V′
r′lPl(cos γ
′)ρ(~r′)dτ ′
onde cos γ′:
cos γ′ = cos θ cos θ′ + sin θ sin θ′ cos(φ− φ′)
lembre-se ainda que você deve integrar em todo espaço: 0 < r′ <∞.
(c) Agora as coisas �cam complicadas. O resultado realmente útil é o potencial próximo ao núcleo. Neste caso,
r � r′ e não o contrário. Revisite a dedução para a expansão de multipolos e mostre que neste caso:
V (~r) =
1
4π�0
∑
l=0
rl
∫
V′
1
r′l+1
Pl(cos γ
′)ρ(~r′)dτ ′
(d) No entanto, há uma segunda complicação: a região da densidade de cargas do problema é para todo espaço.
Ou seja, você deve integrar r′ no intervalo 0 < r′ <∞. No intervalo 0 < r′ < r a expressão válida é a expressão para
r > r′ e para r < r′ <∞ a expressão válida é a expressão deduzida no item (c). Use estas informações e encontre
uma expressão para V (r, θ) perto da origem até O(r2), inclusive (ou seja, descarte termos de ordem superior à r2).
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