INTERFACES DA MATEMÁTICA COM A FÍSICA OSCILAÇÕES E ONDAS - II

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Interfaces da 
Matemática com a Física: 
Oscilações e Ondas
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dr. Márcio Eugen Klingenschmid Lopes dos Santos
Revisão Textual:
Profa. Esp. Márcia Ota 
Princípios das Oscilações
• Introdução
• Funções horárias
• Exercícios de Aplicação
Apresentar os conceitos e aplicações dos conteúdos de:
 · Pêndulo;
 · Movimento Harmônico simples e Movimento Circular Uniforme;
 · Movimento Harmônico simples Amortecido;
 · Ressonância.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Iniciamos mais uma Unidade da Disciplina de Interfaces da Matemática com 
a Física: Oscilações e Ondas com o tema princípios das oscilações. 
Ao término desta Unidade, desejamos que você seja capaz de resolver 
atividades envolvendo o estudo de oscilações. Para tanto, realize a leitura 
dos textos indicados, acompanhe e refaça todos os exemplos, bem como 
anote suas dúvidas. 
Assim sendo, fique atento às atividades avaliativas e aos prazos de entrega. 
Tenha um ótimo estudo!
ORIENTAÇÕES
Princípios das Oscilações
UNIDADE Princípios das Oscilações
Contextualização
O Relógio de Pêndulo 
Texto extraído do site do Museu de Astronomia e Ciências Afins, intitulado 
“O Relógio de Pêndulo”.
www.mast.br
Ex
pl
or
Os instrumentos mecânicos utilizados para marcar o tempo surgiram por volta 
do século 12. Eram bens simples, sem mostrador, e utilizavam sinos para marcar 
momentos importantes do dia, quase sempre relacionados com eventos religiosos.
Mais tarde, grandes relógios de torreão, com mostrador e um único ponteiro, 
foram instalados em lugares bem visíveis. Esses modelos, mais complexos, 
atrasavam ou adiantavam cerca de um quarto de hora por dia.
Christian Huygens
A revolução na marcação do tempo foi dada com 
a invenção do relógio de pêndulo, cujo princípio foi 
concebido por Galileu Galilei. O físico holandês Christian 
Huygens aperfeiçoou e materializou a ideia em 1656.
O relógio de pêndulo atrasava cerca de 15 segundos por 
dia, ou um minuto a cada quatro dias, o que representava 
um enorme avanço em relação aos relógios mecânicos da 
época e permitiu o surgimento do ponteiro dos minutos, 
idealizado por Huygens.
Um esboço inicial de Christian Huygens sobre o movimento pendular e um gráfico sobre este estudo , em “Da força centrífuga” 
(De vi centrifuga, em “Ouevres Complétes, Vol. XVI)
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O relógio de pêndulo
Ao observar a forma como os candelabros da Catedral de Pisa oscilavam, Galileu 
Galilei surpreendeu-se com o fato de os mesmos oscilarem num mesmo período de 
tempo, ainda que as amplitudes de oscilação fossem diferentes.
O Pêndulo
O evento cíclico que serve de base para a marcação do tempo é proveniente do 
movimento do pêndulo inserido no relógio.
Um pêndulo simples é um sistema mecânico que consiste de um objeto maciço, 
acoplado à extremidade de uma haste muito mais leve do que o objeto. Quando 
afastado de sua posição de equilíbrio e liberado, o pêndulo oscilará em um plano 
vertical sob a ação da gravidade. O tempo gasto pelo pêndulo para realizar 
uma oscilação completa é chamado “período do movimento”. Este movimento 
comandará o movimento das engrenagens que constituem o relógio.
Para pequenas oscilações, o período do movimento do pêndulo é influenciado 
apenas pela aceleração da gravidade e o comprimento do pêndulo.
Considerando a aceleração da gravidade como constante, quanto maior o 
comprimento do pêndulo, maior será o tempo necessário para o conjunto executar 
uma oscilação completa.
Os relógios de pêndulo são construídos tendo como base o comprimento do 
pêndulo associado ao seu conjunto de engrenagem. A palavra relógio é uma 
simplificação do original “horológio”, instrumento para marcar as horas— que por 
sua vez têm origem na mitologia grega.
As Horas são deusas, filhas de Zeus e da titâ nide Themis. Elas presidiam tanto 
a ordem moral - a Disciplina, a Paz e a Justiça - como a ordem da natureza: as 
estações do ano. É justamente do grego “hôrai” que deriva o moderno “hora”.
A palavra grega designava apenas “intervalos de tempo” referentes às estações 
do ano. Posteriomente, com a subdivisão intervalo de tempo, a palavra ganhou 
outros significados. Hoje uma hora corresponde a 60 minutos.
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UNIDADE Princípios das Oscilações
Energia
Um relógio de pêndulo não funciona indefinidamente. Ele oscila por um certo 
tempo, até parar por causa do atrito entre as engrenagens e eixos que o compõem. 
Assim, é necessário fornecer energia constantemente para um relógio de pêndulo, 
se quisermos que ele trabalhe de forma autônoma por um longo tempo. Mas como 
isso é feito?
O “peso” do relógio de pêndulo armazena e fornece energia para seu 
funcionamento. Quando o peso é elevado, é fornecida energia potencial gravitacional 
a ele.
À medida que o “peso” desce, a energia potencial gravitacional armazenada é 
transformada em energia cinética nas engrenagens do relógio.
Sistema de escape
Esse sistema é formado por duas peças: a roda de escape (ligada ao “peso” e 
às engrenagem do relógio) e a âncora, que é ligada ao pêndulo. Tal conjunto é 
responsável por transmitir o período de oscilação do pêndulo para as engrenagens 
do relógio.
A âncora trabalha liberando e travando a movimentação da roda de escape, de 
forma que esta adquire a mesma marcha produzida pelo movimento do pêndulo.
A roda de escape entra em movimento em função da descida do “peso” a que 
está ligada.
É devido ao contato da âncora com a roda de escape que os relógios de pêndulo 
fazem o “tic-tac”.
8
9
O que faz os ponteiros de um relógio se movimentarem?
O movimento adquirido pela roda de escape do relógio é transmitido ao sistema 
de engrenagens, que começam a rodar. Estas, por sua vez, estão ligadas aos 
ponteiros e os fazem girar. 
Para que o processo aconteça, podem ser utilizadas duas formas de arranjos
de transmissão.
Velocidade angular
Com certeza você já viu ou andou em um carrossel. Nesse brinquedo, diversos 
cavalinhos, carrinhos, aviões ou outros objetos que servem de assento giram ao 
redor de um eixo vertical. No movimento circular do carrossel todas as crianças têm 
a mesma velocidade angular, independente do assento que estiverem ocupando. 
Elas percorrem o mesmo ângulo em intervalos de tempos iguais. Mas as distâncias 
percorridas não são as mesmas. No mesmo intervalo de tempo, as crianças mais 
próximas ao eixo de rotação percorrerão distâncias menores do que aquelas 
sentadas em posições mais afastadas do eixo central. Por isso, a velocidade linear 
será maior quanto maior a distância ao eixo de rotação.
Fonte do texto: http://goo.gl/FVHDuK
Ex
pl
or
Reflita:
1) Que relação existe entre o tamanho do pêndulo e o período?
2) Qual a infl uência da aceleração da gravidade sobre um pêndulo? Hipoteticamente, se ela 
se modifi car o que acontece?
3) Qual é o princípio de funcionamento dos relógios a pêndulo?
4) Existem outras aplicações para o pêndulo?
Ex
pl
or
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UNIDADE Princípios das Oscilações
Introdução
Todos nós já brincamos em um balanço ou pulamos corda. Além disso, 
gostávamos de observar as ondas formadas na água quando ficávamos em cima de 
uma boia na piscina num dia de Sol. Importante destacar que todos esses eventos 
são intrinsecamente ligados com a Física. Ao longo desta unidade, apresentaremos o 
movimento harmônico simples, suas relações com o movimento circular uniforme e 
as equações horárias para esse tipo de movimento.
MHS – MCU
O movimento harmônico simples mantém relação com o movimento circular 
uniforme, pois ao se repetir em intervalos de mesmo valor de tempo de forma 
sucessiva o torna um movimento tipicamente periódico. 
O intervalo de tempo é chamado de período T e é o intervalo de repetição do 
movimento, ou seja, o tempo para efetuar uma volta ou um ciclo. A unidade de 
tempo usual é o segundo (s), mas pode ser expresso em minutos (min) ou horas (h).
A quantidade de vezes que um movimento se repete em um intervalo de tempo 
recebe o nome de frequência, sua unidade de medida é o hertz (Hz).
O quadro apresentao movimento de uma partícula em um movimento circular 
uniforme em uma circunferência e percebe-se que, simultaneamente, ocorre um 
movimento harmônico simples. Com suas projeções vertical e horizontal (na figura, 
por questão de clareza, só é representada a projeção horizontal).
MCU MCU
MCUMCU
xMHS xMHS
x
MHS
x
MHS
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Na figura a seguir é possível verificar que, enquanto o movimento circular uniforme 
acontece e o movimento harmônico simples estiver passando pelo ponto A e B, 
esses valores serão projetados em grandezas verdadeiras, que podemos expressar:
R x a
a
v
máx
cp
= =
=
=
amáx
0
C
D
B A x
P
Vc
ac
aV
x
R
Outro ponto a ser considerado é o momento em que a partícula estiver sobre os 
pontos C e D, onde os vetores de R e acp estarão com suas projeções com valores 
nulas.
 X, no MHS, é chamada “elongação”. Podemos, então, escrever:
vc=vmáx
x
=
=
a 0
0
Funções horárias
As funções horárias da posição (elongação), que é a posição em função do 
tempo x x t= ( ), da velocidade v v t= ( ) e da aceleração, a = a t( ) serão discutidas 
ao longo deste tópico em maiores detalhes. É importante relembrar algumas 
expressões que serão utilizadas em conjunto com as funções horárias, que serão 
apresentadas a seguir:
• Velocidade Angular ou Pulsação (para o caso do MHS): 
Ω
T
=
2π
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UNIDADE Princípios das Oscilações
• Aceleração Centrípeta:
acp = -Ω2 . R
• Função horária da fase do movimento:
ϕ ϕ= +0 Ω t .
• Velocidade linear: 
v Ω= . R
Iniciaremos com a função horária da elongação ou posição. Na figura a seguir 
podemos observar que se forma um triângulo entre os pontos OQP. Então, é possível 
calcular o cosseno do ângulo ϕ que é a relação entre o cateto adjacente x e pela a 
hipotenusa A, que tem o valor do raio da circunferência R. 
Assim, temos que: 
cos x
A
 ϕ =
Isolando o valor de x, temos: 
x A= cos . ϕ
A fase, em função do tempo, é:
ϕ ϕ= +0 Ω t .
Teremos:
x A Ωt fi= +( ) . cos 0
x
x
A
O P
Q
φ
12
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Partimos, agora, para a obtenção da função horária da velocidade em um 
movimento harmônico simples. Na figura a seguir pode-se observar a representação 
de um pequeno triângulo, onde a velocidade tem sinal contrário à orientação do 
eixo x, pois nesta fase o movimento é retrógrado. Logo, temos que:
φ
φ
ν
ν
ν2
sen v
v2
 = ϕ
Isolando o valor de v, temos:
v v sen2= − . ϕ
Sabendo que v Ω A2 = . , escrevemos:
v Ω A sen= − . . ϕ
Finalmente, a velocidade para o MHS é dada por:
v ΩA sen Ωt fi= − +( ) . 0
Seguindo o mesmo procedimento, agora, trataremos a função horária da 
aceleração para o movimento harmônico simples. Observando o pequeno triângulo 
formado em P com ângulo ϕ, em que o cateto adjacente representa a aceleração 
e a hipotenusa é dada pela aceleração centrípeta. Podemos, então, determinar a 
função horária da aceleração com base nessas informações:
xO
acp
P’a
P
φ
φ
a
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UNIDADE Princípios das Oscilações
cos
acp
 ϕ a= −
Sabendo que a aceleração centrípeta é dada por acp=-Ω2 . A que, temos :
a ϕ= −Ω A cos2 .
Finalmente, obtemos a expressão para a aceleração no MHS:
a =− +( )Ω A cos Ωt fi2 0 .
ou
a (t) = −Ω x(t)2. 
pois: x A Ωt fi= +( ) . cos 0
As unidades usuais para a medida de ângulo é o radiano (rad) e para velocidade 
angular é o radiano por segundo (rad/s). As funções aqui desenvolvidas necessitam 
do conhecimento da fase inicial do movimento (ϕ0 ), que trataremos agora.
O circulo trigonométrico nos auxiliará na tarefa em descobrir a fase inicial de um 
movimento harmônico simples, uma vez que irá corresponder a um ângulo inicial 
no movimento circular uniforme. O ângulo ϕ0 será a fase incial.
Exemplo 1: Certa partícula realiza um movimento harmônico simples com 
a=0,05m e velocidade máxima de π m/s. Determine o período desse movimento. 
Solução:
a =0,05m
v Max = π m/s
Sabendo que a expressão da velocidade é dada por:
v Ω A sen Ωt= − +( ) . . ϕ0
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O máximo v acontece quando sen Ωt+( ) = −1ϕ0
Logo :
Vmáx = Ω A .
Ω
A
T s
 = 2 . 
T
2 . 
T
 
2 . 
T
 0,05
π
π
π
π
π
=
=
=
.
.
,0 10
Exemplo 2: Uma partícula realiza um movimento harmônico simples, segundo 
função x t= +




3 5 2
 . cos .π π . Determine a amplitude, pulsação e fase inicial do movimento 
utilizando o Sistema Internacional de Unidades.
Resolução: A
Função Numérica: x t= +




3 5 2
 . cos .π π .
Função Genérica: x = A . cos(Ω . t + φ0).
A amplitude é A= 3
A pulsação é : Ω= π
5
 rad/s.
A fase inicial é ϕ0
π
2
= .
Exemplo 3: Considere que um corpo está preso à extremidade de uma mola. 
Sabendo que o corpo está em MHS entre dois pontos A e B, distantes 80 cm um 
do outro, determine a amplitude e o período do MHS.
Solução:
Os extremos A e B é o ponto O. Logo, o ponto de equilíbrio.
2 80
40
A cm
A cm
=
=
15
UNIDADE Princípios das Oscilações
Pêndulo
Vamos relembrar um pouco sobre o pêndulo, destacando que seu movimento 
é periódico. Além disso, o ângulo formado pelo movimento do pêndulo recebe o 
nome de amplitude para pequenos valores de ângulo, pois, neste caso, podemos 
dizer que o movimento oscilatório torna-se um MHS. Podemos determinar o valor 
do período T das oscilações pela relação:
T L
g
= 2 . .π
Em que onde:
• g é a aceleração da gravidade;
• L é o comprimento do pêndulo em metros.
Exemplo 1: Um pêndulo tem como período aproximado 2s. Sabendo que a 
aceleração da gravidade local é como g = 10 m/s2, determine o comprimento 
aproximado desse pêndulo:
Solução:
L = ?
g = 10 m/s2
T = 2s
T L
g
L
L
=
=
2
2 2
10
10
10
 
 
 2 = 2 .
 
. .
. .
.
.
π
π
π.
22 6 2831.=
=
, L
L
L
L
3,16623 . 2 6,2831 .
6,3246 = 6,2831 .
= (1,0066)
L = (1,0066)2
L = 1,013m
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Ressonância
O recebimento de energia na mesma frequência de oscilação faz com que o 
oscilador acumule essa energia e comece a oscilar com amplitudes maiores. Nesse 
caso, dizemos que está havendo ressonância. Um exemplo disso é fazer com que 
uma pessoa em um balanço receba empurrões com certa periodicidade e mesma 
frequência do próprio balanço; isso fará com que a amplitude do movimento seja 
cada vez maior. Da mesma forma quando um cantor consegue atingir a mesma 
frequência de vibração de uma taça de cristal, a mesma se quebra em decorrência 
do fenômeno da ressonância.
Exercícios de Aplicação
Os exercícios a seguir trazem os conceitos estudados nesta unidade. Tente 
resolvê-los e, depois, compare com as expectativas de respostas indicadas abaixo 
de cada um dos exercícios. Bom estudo!
Exercício 1: Um pequeno objeto está em MHS entre dois pontos A e B, 
distantes 40 cm um do outro, e gasta 0,5 segundo para ir de A a B. Determine a 
frequência do MHS.
Expectativa de Resposta:
2 40
20
A cm,
A cm.
=
=
Como o corpo gasta 0,5 segundo para ir de A a B, também, gasta 0,5 para ir 
de B a A.
T= 2 . 0,5s
T = 1s
f
T
f
f Hz
=
=
=
1
1
1
1
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UNIDADE Princípios das Oscilações
Exercício 2: Uma determinada partícula realiza um MHS com A = 0,1m e 
velocidade máxima de π m/s. Qual é o período desse movimento harmônico 
simples? 
Expectativa de Resposta:
A =0,1m
v Max = π m/s
Sabendo que a expressão da velocidade é dada por:
v = -Ω . A . sen(Ωt + φ0)
O máximo v acontece quando sen(Ωt + φ0) = 1 = -1 , isto é, quando a fase é igual a pi.
Logo : 
Ω
T
T
a
T
T s
=
=
=
=
2
2
2 0 1
0 2
 
 
 
.
. .
. . ,
,
π
π
π
π
π
Exercício 3: Sabe-se que um pêndulo apresenta um período T. Considerando 
a aceleração da gravidade local igual a g= 10 m/s2 e sabendo que o comprimento 
aproximado do pêndulo é de 1m, determine o período.
Expectativa de Resposta:
L = 1m
g = 10 m/s2
T = ?
T L
g
T
T
=
=
=
2
2 1
10
2
 
 . 
 .0,316
. .
.
.
π
π
π
T = 6,28 . 0,316
T = 1,98448s
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Material Complementar
Para aprofundar mais seus estudos sobre oscilações, consulte as indicações a seguir:
 Livros
Física Completa - Volume único
BONJORNO, Regina Azenha. FTD, São Paulo 2001.
 Sites
http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/forcanomhs.phphttp://www.infoescola.com/fisica/movimento-harmomico-simples-mhs/
http://www.brasilescola.com/fisica/movimento-harmonico-simples.htm
 Leitura
O ensino da Física para alunos portadores de deficiência auditiva através de imagens: módulo conceitual 
sobre movimentos oscilatórios
A dissertação de mestrado intitulada “O ensino da Física para alunos portadores 
de deficiência auditiva através de imagens: módulo conceitual sobre movimentos 
oscilatórios.” Apresenta mostra uma interessante intervenção de com alunos 
com deficiência auditiva para o desenvolvimento conteúdos até então realizados 
somente em sala de aula com uso de aula tradicional. O autor é José Bernardo 
Menescal Conde, teve sua dissertação apresentada e defendida na Universidade 
Federal do Rio de Janeiro em 2011. 
O trabalho pode ser encontrado por meio desse endereço:
http://goo.gl/KAcG4R
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UNIDADE Princípios das Oscilações
Referências
BONJORNO, Regina Azenha. Física Completa - Volume único. FTD, São 
Paulo 2001.
FUKE,L.F; CARLOS, T.S;KAZUHITO, Y. Os Alicerces da Física: Termologia 
Óptica Ondulatória, Editora Saraiva, São Paulo, 1998.
HALLIDAY, D; RESNICK,R; WALKER, J. Fundamentos da física 2: gravitação, 
ondas e termodinãmica. Editora LTC, São Paulo, 2004.
CALÇADA, S.C; SAMPAIO, J.L. Física Clássica: Óptica e Ondas. Editora Atual, 
São Paulo, 1995.
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