SEMANA 11 - ESCALONAMENTO

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FACULDADE DE MAUÁ – FAMA 
LISTA DE EXERCÍCIOS – GEOMETRIA NALÍTICA 
Processo para escalonamento de um sistema linear 
Para escalonar um sistema linear e depois classificá-lo e resolvê-lo, alguns procedimentos podem 
ser feitos: 
1º Eliminamos uma equação que tenha todos os coeficientes e o termo independente nulos. Por 
exemplo: 0x + 0y + 0z = 0 pode ser eliminada, pois todos os termos de números reais são 
soluções: 
2º Podemos trocar a posição das equações. Exemplo: 











623
14
14
623
yx
yx
yx
yx
 
3º Podemos multiplicar todos os termos de uma equação pelo mesmo número real diferente de 
zero: 
1022653  zyxzyx 
Podemos multiplicar os 2 membros de uma equação por um mesmo número real diferente de 
zero e somarmos aos membros correspondentes da outra equação. Regra de Chio de 
matrizes = 10ª propriedade. Exemplo: 
 











43
742
25953
3742
zy
zyx
zyx
zyx
 
4º Se no processo de escalonamento obtivermos uma equação com todos os coeficientes nulos e 
o termo independente diferente de zero, esta equação é suficiente para afirmar que o sistema é 
impossível., isto é, S =  . 
 
Exemplo 1: Resolva o seguinte sistema linear por escalonamento. 
 
 


































3216
135
72
73
3135
72
135
73
72
8253
2172
3272
z
zy
zyx
zy
zy
zyx
zy
zy
zyx
zyx
zyx
zyx
 
O sistema obtido está escalonado e é equivalente ao sistema dado. Podemos agora resolver: 
17232
31325
2
16
32



xx
yy
z
 
Sistema possível e determinado, com S = {(-1,3,2)} 
 
Exercícios propostos: 
1) Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo: 
a) 








02
833
132
zy
zyx
zyx
 S = {(1,-1,2)} 
 
b) 
2 2
2 3 9
3 3 2 3
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 S={(1,2,3)} 
 
c) 
2 3 0
2 5
2 2
x y z
x y z
x y z
  

  
    
 S={(2,-1,1)} 
 
 
d) 
2 4 1
2 5 7 2
3 7 9 3
x y z
x y z
x y z
  

   
   
 S={(21,-6,2)} 
 
Exemplo 2: Determine a solução geral do seguinte sistema linear: 
   


















)inarlime(zyx
zy
zyx
zyx
zyx
zyx
0000
847
32
6242
13
2332
 





847
32
zy
zyx
 
Sistema possível e indeterminado (escalonado e 2 x 3). Variável livre: z. 
7
48
847



y
yz
 
7
5
3
7
48
2






 
 xx 
Solução geral: 







,,
7
48
7
5
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Determine a solução geral dos seguintes sistemas lineares: 
a) 
3 1
3
2 5 0
x y z
x y z
x y z
  

   
   
 S={(-1-2t ; t-2 ; t)} 
 
b) 
2 0
2 3 0
4 3 0
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 S={(-a , a , a)} 
 
c) 





5232
2
zyx
zyx
 S = {(1+5k, 1-4k, k)} 
 
d) 





032
3
zyx
zyx
 S = {(9-2k, k-6, k)}