Calculo Numerico Computacional_Metodos numericos para integracao de funcoes

Prévia do material em texto

10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6U… 1/29
introdução
Introdução
CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONALCÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL
MÉTODOS NUMÉRICOS PARAMÉTODOS NUMÉRICOS PARA
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕESINTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES
Autor: Me. Ronald R. Alves
Revisor : Ra imundo A lmeida
IN IC IAR
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6U… 2/29
Na modelagem matemática de muitos problemas da engenharia e da ciência, em geral, surgem
certos tipos de funções/equações nas quais precisamos resolver algum tipo de integral. Na
estatística, por exemplo, precisamos resolver frequentemente certo tipo de integral que não pode
ser solucionada a partir de técnicas de integração analíticas convencionais. Dessa forma, as
técnicas para integração numérica de funções surgem naturalmente da necessidade de efetuar o
cálculo de tais integrais.
Em vista dessa necessidade, veremos uma técnica de integração numérica classi�cada entre as
chamadas fórmulas de Newton-Côtes: regra dos trapézios. Para efeito de estudo, dividimos a
regra dos trapézios em simples e composta. Em cada caso, estudaremos a descrição do método, a
interpretação geométrica e o erro de truncamento, bem como iremos desenvolver exemplos que
mostram como aplicar tais métodos nas situações que conhecemos a forma analítica das funções
e também quando dispomos de apenas uma tabela de valores da função.
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6U… 3/29
Seja f(x) uma função contínua de�nida em um intervalo [a, b]. Se conhecemos a sua primitiva F(x),
então o teorema fundamental do cálculo nos diz que a integral de�nida dessa função no intervalo
dado é igual a:
b
∫
a
f(x)dx = F(b) − F(a) (1.1)
Em que F′(x) = f(x).
Contudo, em muitas situações, a lei da primitiva F(x) não é conhecida ou é de difícil determinação;
assim, torna o cálculo dessa integral muito trabalhoso ou até mesmo impossível. Em alguns casos,
não dispomos de métodos analíticos capazes de descrever essa primitiva como uma combinação
�nita de funções elementares.
Além disso, em diversas situações práticas, não temos a função a ser integrada através de uma
fórmula analítica, mas apenas por meio de alguns pontos tabelados, e isso torna impraticável a
utilização da Equação 1.1.
Portanto, nos casos citados acima, dentre outros, podemos recorrer aos métodos de integração
numérica para efetuar o cálculo da integral de�nida de uma função genérica f(x). Historicamente,
a resolução numérica de uma integral simples �cou conhecida como quadratura numérica, pois
foi com o problema da quadratura do círculo que Arquimedes realizou os primeiros cálculos
usando a noção de integral (SPERANDIO; MENDES; SILVA, 2014, p. 179).
Dentre a grande variedade de métodos numéricos para a integração de funções, podemos
classi�car os mais utilizados em dois grandes grupos:
a. As fórmulas de Newton-Côtes.
IntegraçãoIntegração
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6U… 4/29
b. As fórmulas de quadratura gaussiana.
Em nosso curso, dentre as fórmulas de Newton-Côtes, estudaremos a regra dos trapézios ,
subdividida em simples e composta.
Regra dos Trapézios Simples
Conforme mencionado anteriormente, veremos a regra dos trapézios nos casos simples e
composta. Para a obtenção das fórmulas de Newton-Côtes, é utilizado o polinômio interpolador
de Gregory-Newton:
Pn(x) = y0 + z ⋅ Δy0 +
z(z − 1)
2! ⋅ Δ2y0 +
z(z − 1)(z − 2)
3! ⋅ Δ3y0 + ⋯ +
z(z − 1)(z − 2)⋯(z − (n − 1))
n ! ⋅ Δny0 + Rn
em que
z =
x − x0
h ,
Rn é o resíduo da interpolação: Rn =
z ( z− 1 ) ( z− 2 ) ⋯ ( z− n )
(n+ 1 ) ! ⋅ hn+ 1f (n+ 1 ) (ϵ)a ≤ ϵ ≤ b
E,
Pn(x) é um polinômio de n-ésimo grau.
Aproximando a função f(x) em (1.1), pelo polinômio de Gregory-Newton, e integrando-o, obtemos
as fórmulas de Newton-Côtes. Essa aproximação se justi�ca, pois esse polinômio é de fácil
integração.
Descrição do Método
Para a determinação da regra dos trapézios, é utilizado o polinômio de Gregory-Newton do 1º
grau cujo grá�co é uma reta:
I =
b
∫
a
f(x)dx ≃
b
∫
a
P1(x)dx =
b
∫
a
(y0 + zΔy0)dx
Na última expressão, para simpli�car, faremos uma substituição de variáveis e realizaremos a
integração em z.
Mais precisamente, sabemos que:
z =
x − x0
h
Assim,
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6U… 5/29
dz =
1
hdx
Consequentemente,
dx = hdz
Também precisamos encontrar os limites de integração na variável z, para isso, vemos que esses
limites em x são iguais a a = x0 e b = x1, logo
x = x0 ⇒ z =
x0 − x0
h = 0 e
x = x1 ⇒ z =
x1 − x0
h =
h
h = 1
Portanto,
I =
b
∫
a
(y0 + zΔy0)dx =
x1
∫
x0
(y0 + zΔy0)dx =
1
∫
0
(y0 + zΔy0)hdz
I = h[y0z +
z2
2
Δy0]1
0
= h(y0 +
1
2
Δy0 − 0) = h(y0 +
1
2(y1 − y0))
I = h(y0 −
1
2y0 +
1
2y1) = h(1
2y0 +
1
2y1)
Finalmente, colocando o 
1
2 em evidência, temos:
I =
h
2(y0 + y1)
Em que h = b − a = x1 − x0, y0 = f(a) = f(x0) e y1 = f(b) = f(x1).
Portanto, através da utilização do polinômio de Gregory-Newton do 1º grau e de uma substituição
de variáveis, conseguimos obter a regra dos trapézios simples ou fórmula dos trapézios
simples .
Interpretação Geométrica
Pelos pontos (x0, f(x0)) e (x1, f(x1)), fazemos passar uma reta e aproximamos a integral da
função f(x) no intervalo [a, b] pela área sob essa reta, pois sabemos do cálculo diferencial que a
integral do módulo de uma função representa a área sob o seu grá�co.
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6U… 6/29
Figura 4.1 - Interpretação geométrica da regra dos trapézios simples
Fonte: Barroso et al. (1987, p. 207).
Perceba que a �gura geométrica formada pela região limitada simultaneamente pelas retas p1(x),
x = x0, x = x1 e y = 0 é um trapézio. Assim, como aprendemos desde o Ensino Médio, em geometria
plana, a área de um trapézio é dada por:
A =
(B + b)h
2
Em que B é a base maior, b é a base menor e h é a altura do trapézio. Portanto, como B = f(x0) e
b = f(x1), temos que:
A =
(f(x0) + f(x1))h
2 =
h
2(y0 + y1) = I
Consequentemente, acabamos de demonstrar que a interpretação geométrica da regra dos
trapézios simples é equivalente a aproximarmos a área sob o grá�co da função f(x) pela área de
um trapézio.
Erro de Truncamento
O erro de integração é de�nido como sendo a diferença entre a integral exata da função f(x) (área
abaixo da curva f(x)) e a integral aproximada (trapézio). Tal erro de integração é causado pelo erro
de truncamento cometido na aproximação da função a ser integrada pelo polinômio de Gregory-
Newton. A �m de calcular essa área (erro), vamos integrar o resíduo do polinômio interpolador:
E =
b
∫
a
R1dx =
x1
∫
x0
z(z − 1)
2! ⋅ h2f″(ϵ)dx
Conforme discutido anteriormente, fazemos uma substituição de variáveis e realizamos a
integração em z:
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6U… 7/29
E =
1
∫
0
z(z − 1)
2! ⋅ h2f″(ϵ)hdz = h3f″(ϵ)
1
2!
1
∫
0
z(z − 1)dz
E = h3f″(ϵ)
1
2[z3
3 −
z2
2]1
0
= h3f″(ϵ)
1
2[1
3 −
1
2 − 0]
Portanto, no caso simples, a fórmula para o erro de truncamento é igual a:
E =
−h3
12 f″(ϵ)
Em que a ≤ ϵ ≤ b e h = b − a.
Como podemos perceber na expressão acima, caso f″ > 0, temos que a fórmula dos trapézios
fornece um valor de integral por excesso; e, caso f″ < 0, resulta um valor de integral por falta. É
importante mencionar que, em geral, não conhecemos o valor de ϵ; assim, determinamos o valor
máximo de |f″(x)| nointervalo [a, b] e calculamos uma cota máxima para o erro de truncamento.
Exemplo 1 : Calcular, pela regra dos trapézios e, depois, analiticamente, o valor de:
I = ∫ 4
2x
3dx. Comparar os resultados.
Pelo enunciado, devemos calcular inicialmente essa integral através da aplicação da regra dos
trapézios simples e, depois, de forma analítica, pois, dessa forma, podemos comparar os
resultados. Assim, temos:
a = x0 = 2 ⇒ y0 = f(x0) = f(2) = 23 = 8
b = x1 = 4 ⇒ f(x1) = f(4) = 43 = 64
h = b − a = 4 − 2 = 2
Logo, podemos aplicar a regra dos trapézios simples:
I =
h
2(y0 + y1)
I =
2
2
(8 + 64)
I = 72
Na sequência, devemos calcular o erro de truncamento associado ao problema e re�nar o
resultado encontrado para a integral I. Como vimos, a fórmula para o erro de truncamento é igual
a:
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6U… 8/29
E =
−h3
12 f″(ϵ)
E aplicando-a em nosso problema, �camos com:
E =
−23
12
f″(ϵ)
Como não conhecemos ϵ, determinaremos o valor máximo de |f″(x)| no intervalo [a, b] = [2, 4] e
calcularemos uma cota máxima para o erro de truncamento:
|f″(x)|máx = |6x|máx = 6 ⋅ 4 = 24
Observe que o valor máximo buscado ocorreu em um dos extremos do intervalo, mas isso não
acontece sempre. Nesse caso, o máximo ocorreu em um dos extremos porque a função |6x| = 6x
(em [2, 4]) é crescente. Entretanto, em geral, esse valor máximo pode ocorrer no interior do
intervalo.
Consequentemente, retornamos ao cálculo do valor do erro de truncamento e encontramos
E =
−23
12
f″(ϵ) =
−23
12
⋅ 24
E = − 16
Portanto, lembrando que a diferença entre o valor exato da integral e a aproximação é igual ao
erro de truncamento, podemos escrever que:
Irefinado − I = E
O que nos diz que:
Irefinado = I + E
Irefinado = 72 + (−16)
Irefinado = 56
Por simplicidade, se não houver chance de confusão, após �nalizados os cálculos, usualmente
chamaremos Irefinado apenas de I, ou seja,
I = Irefinado = 56
Agora, com a �nalidade de compararmos os resultados da integração numérica com a forma
analítica, procederemos com os cálculos:
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6U… 9/29
I =
4
∫
2
x3dx =[x4
4]4
2
=
1
4(44 − 24) =
1
4 ⋅ 240 = 60
Para concluir esse exercício, falta comparar os resultados. Como conhecemos o valor exato dessa
integral, vamos calcular a diferença relativa percentual entre o valor exato e o valor calculado
através da regra dos trapézios simples:
d(%) =|60 − 56
60 ⋅ 100| = 6, 67%
Com a regra dos trapézios composta, iremos melhorar a precisão desse resultado, uma vez que a
fórmula composta diminui o erro de truncamento através da subdivisão do intervalo inicial
[a, b] = [2, 4] e da aplicação sucessiva da regra simples em cada subintervalo obtido.
Exemplo 2 : Este exemplo trata de uma situação na qual os consumidores de um supermercado
relataram que os pacotes de 5 kg de açúcar estavam com o “peso” abaixo do seu valor nominal
(BARROSO, 1987).
A �m de veri�car a validade das reclamações, o Serviço de Proteção ao Consumidor contratou
uma �rma especializada em estatística, a qual tinha como missão estimar a quantidade de
pacotes que, de fato, continham menos de 5 kg.
Como a repesagem de todos os pacotes postos à venda é impraticável, a empresa contratada
"pesou" apenas uma amostra de 100 pacotes e, a partir das técnicas estatísticas apropriadas,
conseguiu obter informações sobre o “peso” de todos os pacotes disponíveis no mercado.
Conforme pode ser visto com mais detalhes em Barroso (1987, p. 262), podemos mostrar que a
variável “peso” tem distribuição normal , segundo grá�co a seguir:
A distribuição normal possui vasta aplicação nas diversas áreas do conhecimento, uma vez que
podemos usá-la quando a variável em estudo é o resultado de uma composição de efeitos de
Figura 4.2 - Grá�co genérico de uma distribuição normal
Fonte: Barroso (1987, p. 263).
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6… 10/29
outras variáveis independentes, além de ter uma maior concentração em torno da média. Em
geral, a forma analítica dessa função é:
f(x) =
1
s√2π
e −
1
2(x− x−
s)2
Em que f(x) é a frequência de ocorrência do valor x, s é o desvio padrão e x− é a média da amostra.
A integral da função f(x) representa a frequência acumulada e pode ser calculada como segue:
F(x0) =
x0
∫
− ∞
f(x)dx
Em outras palavras, essa integral calcula a probabilidade de que x assuma um valor menor ou
igual a x0. Geometricamente, F(x0) é igual à área hachurada que pode ser visualizada na imagem
a seguir:
Figura 4.3 - Representação geométrica da área dada por F(x_0)
Fonte: Barroso (1987, p. 264).
Portanto, em nosso problema especí�co, sabemos a priori que x0 = 5, 000 kg, x− = 4, 991kg e
s = 0, 005kg; logo, vamos calcular
F(5, 000) =
5 , 000
∫
− ∞
1
0, 005√2π
e −
1
2(x− 4 , 991
0 , 005)2
dx
Entretanto, utilizaremos outras informações úteis para simpli�car essa integral:
i) ∫∞−∞f(x)dx = 1
ii) ∫ x−
− ∞f(x)dx = ∫ ∞
x−
f(x)dx = 0, 5, pois f(x) é simétrica em relação a x−
Assim, podemos reescrever F(5, 000) como segue:
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6… 11/29
F(5, 000) =
5 , 000
∫
− ∞
1
0, 005√2π
e −
1
2(x− 4 , 991
0 , 005)2
dx =
x− = 4 , 991
∫
− ∞
1
0, 005√2π
e −
1
2(x− 4 , 991
0 , 005)2
dx +
5 , 000
∫
x− = 4 , 991
1
0, 005√2π
e −
1
2(x− 4 , 991
0 , 005)2
dx
e, então
F(5, 000) = 0, 5 +
5 , 000
∫
x− = 4 , 991
1
0, 005√2π
e −
1
2(x− 4 , 991
0 , 005)2
dx
Nesse ponto, fazemos a substituição de variáveis:
z =
x − x−
s =
x − 4, 991
0, 005 ⇒ dz =
dx
0, 005
O que nos leva a:
F(1, 8) = 0, 5 +
1 , 8
∫
0
1
0, 005√2π
e −
1
2z
2
0, 005dz
Pois:
x = 5, 000 ⇒ z =
x − x−
s
=
5, 000 − 4, 991
0, 005
= 1, 8
x = 4, 991 ⇒ z =
x − x−
s =
4, 991 − 4, 991
0, 005 = 0
E, �nalmente,
F(1, 8) = 0, 5 +
1
√2π
1 , 8
∫
0
e −
1
2z
2
dz
Geometricamente, essa última expressão pode ser representada como vemos a seguir:
Figura 4.4 - Representação geométrica da área dada por F(x)=F(5,000) ou F(z)=F(1,8)
Fonte: Barroso (1987, p. 265).
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6… 12/29
Agora, se conseguirmos calcular I = ∫ 1 , 8
0 e −
1
2z
2
dz, o nosso problema estará resolvido. Entretanto, a
integral I não tem solução analítica, “[...] uma vez que f(z) = e −
1
2z
2
 é uma função cuja primitiva não
pode ser expressa como uma combinação �nita de funções elementares” (NÓBREGA, 2012, p. 55).
Em outras palavras, “[...] o conhecido problema da distribuição normal em Estatística não
apresenta solução em uma forma analítica fechada, a não ser pela aproximação do integrando
por uma série de potências com in�nitos termos” (VARGAS; ARAKI, 2017, p. 302-303). Assim,
devemos recorrer aos métodos numéricos de integração para calcular tal integral. Aplicaremos a
regra dos trapézios simples para estimar o valor da integral I.
Mais precisamente, nesse caso, temos:
a = 0
b = 1, 8
h = b − a = 1, 8 − 0 = 1, 8
y0 = f(z0) = f(a) = f(0) = e −
1
2 ⋅ 0
2
= 1
y1 = f(z1) = f(b) = f(1, 8) = e −
1
2 ⋅ 1 , 82
= 0, 197899
Logo,
I =
h
2(z0 + z1) =
1, 8
2 (1 + 0, 197899)
I = 1, 078109
Para re�nar esse resultado, devemos calcular o erro de truncamento e efetuar a soma
Irefinado = I + E:
E =
−h3
12
f″(ϵ)
E =
−1, 83
12 f″(ϵ)
Como não conhecemos ϵ, determinaremos o valor máximo de |f″(x)| no intervalo [a, b] = [0; 1, 8] e
iremos calcular uma cota máxima para o erro de truncamento:
|f″(x)|máx =|e − 0 , 5x2(x2 − 1)|máx =|e − 0 , 5 ⋅ 02(02 − 1)| = | − 1| = 1
Logo,
E =
−1, 83
12
⋅ 1 = − 0, 486
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6…13/29
E esse erro de truncamento nos diz que:
Irefinado = 1, 078109 − 0, 486 = 0, 592109
Consequentemente, podemos retornar e calcular o valor de F(1, 8):
F(1, 8) = 0, 5 +
1
√2π
1 , 8
∫
0
e −
1
2z
2
dz = 0, 5 +
1
√2π
⋅ 0, 592109
F(1, 8) = 0, 7362
A análise desse resultado diz que existe uma probabilidade de 73,62% de encontrarmos um
pacote de açúcar com menos de 5 kg, isto é, 73,62% dos pacotes no mercado estão com “peso”
menor do que o indicado na embalagem. Entretanto, o resultado encontrado por nós está muito
distante do valor calculado no exemplo original encontrado em Barroso (1987, p. 268), a saber,
96,4%. Tal diferença indica que a regra dos trapézios simples não foi adequada para resolver a
integral:
I =
1 , 8
∫
0
e −
1
2z
2
dz,
Uma vez que o erro de truncamento foi muito grande, devido ao comprimento do intervalo ser
igual a b − a = 1, 8. A necessidade de aumentar a precisão dos resultados obtidos por meio da
integração numérica nos motivará, no próximo tópico, a aprender a regra dos trapézios
composta , com a qual iremos calcular a integral I até o grau de exatidão requerido.
Exemplo 3 : Faça a estimativa da distância percorrida D por uma partícula cuja velocidade foi
medida em alguns instantes, conforme tabela a seguir (VARGAS; ARAKI, 2017):
Tempo (s) 0 10 20 30 40 50 60 70
Velocidade (
m /s)
0 5 8 12 17 23 30 38
Tabela 4.1 - Exemplo
Fonte: Adaptada de Vargas e Araki (2017).
Sabemos da mecânica clássica que a integral da velocidade em relação ao tempo é igual à
distância percorrida. Assim, aplicaremos a regra dos trapézios simples em cada subintervalo dado
e somaremos os resultados:
D =
10
∫
0
v(t)dt +
20
∫
10
v(t)dt +
30
∫
20
v(t)dt +
40
∫
30
v(t)dt +
50
∫
40
v(t)dt +
60
∫
50
v(t)dt +
70
∫
60
v(t)dt
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6… 14/29
D =
10
2 (0 + 5) +
10
2 (5 + 8) +
10
2 (8 + 12) +
10
2 (12 + 17) +
10
2 (17 + 23) +
10
2 (23 + 30) +
10
2 (30 + 38)
D =
10
2
(0 + 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 8 + 2 ⋅ 12 + 2 ⋅ 17 + 2 ⋅ 23 + 2 ⋅ 30 + 38)
D = 1140 metros
Portanto, nos casos em que não conhecemos uma fórmula analítica para a função a ser integrada,
mas apenas a conhecemos em alguns pontos tabelados, também podemos realizar o cálculo da
integral de�nida, como pudemos perceber neste exemplo. A última expressão para o cálculo da
distância percorrida D foi reescrita de forma adequada a percebermos que poderíamos tratar a
situação a partir da regra dos trapézios composta , subdividindo o intervalo [a, b] = [0, 70] em n
(7) subintervalos de comprimento h =
b− a
n =
70 − 0
7 = 10 cada um. Nesse caso, h também representa
a altura de cada trapézio, conforme veremos no próximo tópico.
saiba mais
Saiba mais
Você sabia que podemos utilizar as técnicas de integração
numérica para calcular comprimentos, áreas e volumes?
Em Resck et al. (2007), utilizou-se a média de três métodos
distintos para calcular o volume da Lagoa da Pampulha.
Os métodos aplicados foram a regra dos trapézios, a regra
de Simpson e regra de Simpson 3/8.
ACESSAR
https://periodicos.ufmg.br/index.php/geografias/article/view/13230/10462
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6… 15/29
A regra dos trapézios simples não resolveu adequadamente o problema de estatística no qual
precisávamos calcular a integral de uma função cuja primitiva não pode ser escrita por uma
combinação �nita de funções elementares. Nessa situação, o erro de truncamento foi muito
grande, o que gerou uma diferença signi�cativa na interpretação da solução encontrada. Sendo
assim, �ca evidente a necessidade de aumentar a precisão do método, o que será alcançado
através da aplicação sucessiva da regra dos trapézios simples em cada subintervalo, conforme
efetuamos no Exemplo 3 .
Descrição do Método e Interpretação
Geométrica
Com a �nalidade de aperfeiçoar o resultado da integração numérica quando utilizamos a regra
dos trapézios, podemos subdividir o intervalo [a, b] em n subintervalos de amplitude h =
b− a
n ,
aplicar a regra dos trapézios simples em cada um deles e somar as parcelas encontradas.
Geometricamente, podemos pensar que h representa a altura de cada trapézio, e a integral da
função |f(x)| é igual ao somatório das áreas de cada trapézio, conforme Figura 4.5.
Regra dos TrapéziosRegra dos Trapézios
CompostaComposta
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6… 16/29
Figura 4.5 - Interpretação geométrica da regra dos trapézios composta
Fonte: Barroso (1987, p. 210).
Mais precisamente, a integral I da função f(x) pode ser calculada por
I =
h
2(y0 + y1) +
h
2(y1 + y2) +
h
2(y2 + y3) + ⋯ +
h
2(yn− 3 + yn− 2) +
h
2(yn− 2 + yn− 1) +
h
2(yn− 1 + yn)
e, colocando-se 
h
2 em evidência, temos:
I =
h
2(y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + ⋯ + 2yn− 3 + 2yn− 2 + 2yn− 1 + yn)
Em que yi = f(xi), i = 0, 1, 2, . . . , n, e h =
b− a
n . Para alguns estudantes, colocando-se o número 2 em
evidência, temos uma expressão mais simples:
I =
h
2(y0 + 2(y1 + y2 + y3 + ⋯ + yn− 3 + yn− 2 + yn− 1) + yn)
Em outras palavras, dados n + 1 pontos distintos, dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos de
comprimento h =
b− a
n , que também é a altura de cada um dos n trapézios determinados.
Adicionalmente, para n = 1, essa expressão se reduz à fórmula dos trapézios simples.
Erro de Truncamento
Pode-se mostrar que o erro de truncamento total cometido na aplicação da regra dos trapézios
composta é igual à soma dos erros cometidos na aplicação da regra dos trapézios simples a cada
subintervalo:
E = E0 + E1 + E2 + ⋯En− 3 + En− 2 + En− 1
Em que Ei é o erro cometido na aplicação da regra dos trapézios simples no intervalo cujos
extremos são xi e xi+ 1, ou seja,
Ei =
−h3
12 f″(ϵi)xi ≤ ϵi ≤ xi+ 1
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6… 17/29
Levando em consideração a continuidade de f″(x) e que h =
b− a
n , podemos mostrar que o erro de
truncamento para a regra dos trapézios composta é igual a:
E = −
(b − a)3
12n2 f″(ϵ)a ≤ ϵ ≤ b
Analisando a fórmula para o erro de truncamento da regra dos trapézios composta, percebemos
que, quando dividimos o intervalo [a, b] em um grande número de subintervalos, o erro cometido
tende a se tornar pequeno, pois tal expressão tende a 0 (zero) quando n tende a in�nito. Além
disso, para o caso particular em que n = 1, essa fórmula transforma-se na fórmula do erro de
truncamento para a regra dos trapézios simples.
Exemplo 4 : Calcular a integral do Exemplo 1 utilizando a regra dos trapézios composta e
subdividindo o intervalo de integração em 5 subintervalos. Comparar os resultados.
Conforme enunciado, precisamos calcular a integral:
I =
4
∫
2
x3dx
De tal forma a dividir o intervalo [a, b] = [2, 4] em n = 5 subintervalos, assim,
h =
b − a
n
=
4 − 2
5
= 0, 4
Dessa forma, precisamos determinar os valores de yi = f(xi) = x3
i , i = 0, 1, 2, . . . , 5, os quais podem
ser organizados em uma tabela como a seguinte:
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6… 18/29
Tabela 4.2 - Determinação dos pontos para aplicação da regra dos trapézios composta, com a
subdivisão em cinco subintervalos
Fonte: Elaborada pelo autor.
Nesse caso, como n = 5, a fórmula da regra dos trapézios composta �ca igual a:
I =
h
2(y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + 2y4 + y5)
Substituindo os valores determinados para h e yi, temos:
I =
0, 4
2 (23 + 2 ∗ 2, 43 + 2 ∗ 2, 83 + 2 ∗ 3, 23 + 2 ∗ 3, 63 + 43)
I = 60, 48
Como �zemos no Exemplo 1, devemos calcular o erro de truncamento associado ao problema e
re�nar o resultado encontrado para a integral I. Como vimos, a fórmulapara o erro de
truncamento no caso composto é igual a:
E = −
(b − a)3
12n2 f″(ϵ) a ≤ ϵ ≤ b
E, aplicando-a em nosso problema, �camos com:
E =
−23
12 ⋅ 52f
″(ϵ)
O valor máximo de |f″(x)| em [a, b] = [2, 4] já foi calculado anteriormente,
|f″(x)|máx = |6x|máx = 6 ⋅ 4 = 24
i xi yi
0 2 8
1 2,4 13,824
2 2,8 21,952
3 3,2 32,768
4 3,6 46,656
5 4 64
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6… 19/29
Consequentemente, retornamos ao cálculo do valor do erro de truncamento e encontramos:
E =
−23
12 ⋅ 52f
″(ϵ) =
−23
12 ⋅ 52 ⋅ 24
E = − 0, 64
Portanto, lembrando que a diferença entre o valor exato da integral e a aproximação é igual ao
erro de truncamento, podemos escrever que:
Irefinado − I = E
O que nos diz que:
Irefinado = I + E
Irefinado = 60, 48 + (−0, 64)
Irefinado = 59, 84
Por simplicidade, se não houver chance de confusão, após �nalizados os cálculos, usualmente
chamaremos Irefinado apenas de I, ou seja,
I = Irefinado = 59, 84
Relembre que o valor exato da integral I já foi calculado através da determinação de uma
primitiva e é igual a:
I =
4
∫
2
x3dx = 60
Portanto, a diferença relativa percentual entre o valor exato e o valor calculado através da regra
dos trapézios composta é:
d(%) =|60 − 59, 84
60 ⋅ 100| = 0, 27%
Como prometido, a regra dos trapézios composta (com cinco subintervalos) mostrou um
resultado muito superior quando comparado com a regra dos trapézios simples. Essa apresentou
uma diferença de 6,67% para o valor exato, enquanto aquela apenas de 0,27%. Por curiosidade,
caso usássemos dez subintervalos, teríamos h = 0, 2, I = 60, 12, E = − 0, 16,
Irefinado = 60, 12 + (−0, 16) = 59, 96 e uma diferença de apenas 0,07% para o valor exato, mostrando
a robustez do método.
Exemplo 5 : Retorne ao Exemplo 2 e calcule a integral encontrada aplicando a regra dos trapézios
composta e subdividindo o intervalo de integração em 7 pontos distintos.
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6… 20/29
O Exemplo 2 tratou sobre a situação na qual os consumidores de um supermercado relataram
que os pacotes de 5 kg de açúcar estavam com o “peso” abaixo do seu valor nominal. Após a
modelagem matemática do problema, além de algumas simpli�cações, chegamos a um ponto em
que precisávamos calcular a integral a seguir:
F(1, 8) = 0, 5 +
1
√2π
1 , 8
∫
0
e −
1
2z
2
dz
Usaremos sete pontos distintos para calcular a integral:
I =
1 , 8
∫
0
e −
1
2z
2
dz
Isto é, vamos utilizar n = 7 − 1 = 6 subintervalos (ou 6 trapézios). Assim,
h =
b − a
n
=
1, 8 − 0
6
= 0, 3
Dessa forma, precisamos determinar os valores de yi = f(zi) = e − 0 , 5z2
i , i = 0, 1, 2, . . . , 6, os quais
podem ser organizados em uma tabela como a seguinte:
i zi yi
0 0 1
1 0,3 0,955997482
2 0,6 0,835270211
3 0,9 0,666976811
4 1,2 0,486752256
5 1,5 0,324652467
6 1,8 0,197898699
Tabela 4.3 - Determinação dos pontos para aplicação da regra dos trapézios composta, com a
subdivisão em seis subintervalos
Fonte: Elaborada pelo autor.
Nesse caso, como n = 6, a fórmula da regra dos trapézios composta �ca igual a:
I =
h
2(y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + 2y4 + 2y5 + y6)
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6… 21/29
Substituindo os valores determinados para h e yi, temos:
I =
0, 3
2(e − 0 , 5 ⋅ 02
+ 2 ∗ e − 0 , 5 ⋅ 0 , 32
+ 2 ∗ e − 0 , 5 ⋅ 0 , 62
+ 2 ∗ e − 0 , 5 ⋅ 0 , 92
+ 2 ∗ e − 0 , 5 ⋅ 1 , 22
+ 2 ∗ e − 0 , 5 ⋅ 1 , 52
+ e − 0 , 5 ⋅ 1 , 82)
I = 1, 160579573
Como �zemos no Exemplo 2, devemos calcular o erro de truncamento associado ao problema e
re�nar o resultado encontrado para a integral I. Conforme vimos, a fórmula para o erro de
truncamento no caso composto é igual a:
E = −
(b − a)3
12n2 f″(ϵ) a ≤ ϵ ≤ b
E, aplicando-a em nosso problema, �camos com:
E =
−1, 83
12 ⋅ 62f
″(ϵ) =
−1, 83
12 ⋅ 62 ⋅ 1 = − 0, 0135,
Uma vez que já calculamos o valor máximo de |f″(x)| em [a, b] = [0; 1, 8], encontrando:
|f″(x)|máx =|e − 0 , 5x2(x2 − 1)|máx =|e − 0 , 5 ⋅ 02(02 − 1)| = | − 1| = 1
Consequentemente,
Irefinado = I + E = 1, 160579573 + (−0, 0135)
Irefinado = 1, 147079573
Renomeando, temos que:
I = Irefinado = 1, 147079573
Logo, podemos calcular o valor de F(1, 8):
F(1, 8) = 0, 5 +
1
√2π
1 , 8
∫
0
e −
1
2z
2
dz = 0, 5 +
1
√2π
⋅ 1, 147079573
F(1, 8) = 0, 9576
A análise desse resultado diz que existe uma probabilidade de 95,76% de encontrarmos um
pacote de açúcar com menos de 5 kg, isto é, 95,76% dos pacotes no mercado estão com “peso”
menor do que o indicado na embalagem. Dessa vez, o resultado encontrado por nós está muito
perto do valor calculado no exemplo original encontrado em Barroso (1987, p. 268), a saber,
96,4%. Agora, a regra dos trapézios composta (com seis subintervalos) mostrou-se adequada para
resolver a integral:
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6… 22/29
I =
1 , 8
∫
0
e −
1
2z
2
dz,
Uma vez que o erro de truncamento foi muito pequeno, devido ao comprimento do intervalo ser
igual a b − a = 0, 3 (seis vezes menor do que o anterior). Adicionalmente, se desejássemos re�nar o
resultado ainda mais, para n = 12 e n = 24 subintervalos, temos os seguintes resultados:
Tabela 4.4 - Cálculo de $F\left( 1,8 \right)$ para a regra dos trapézios composta com 12 e 24
subintervalos
Fonte: Elaborada pelo autor.
Para �nalizar, esse exemplo mostrou que ao utilizar a regra dos trapézios composta com uma
pequena quantidade de subintervalos, n ≤ 10, pode-se usar uma calculadora cientí�ca simples e
efetuar as operações, conforme realizamos para n = 6. Entretanto, para uma maior quantidade de
subintervalos, n > 10, recomendamos a utilização de alguma ferramenta computacional mais
apropriada, como o Excel, por exemplo, conforme utilizamos para n = 12 e n = 24. Além disso, para
aplicações que suscitam a necessidade de uma precisão muito elevada e com rápida
convergência, recomendamos que o aluno pesquise sobre outros métodos de integração
numérica, por exemplo a primeira regra de Simpson e a quadratura Gaussiana.
n h I E Irefinado F(1, 8)
12 0,15 1,162582336 -0,003375 1,159207336 0,962456818
24 0,075 1,16308321 -0,00084375 1,16223946 0,963666461
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6… 23/29
reflita
Re�ita
As regras dos trapézios e de Simpson são
largamente utilizadas, entretanto elas não são as
mais e�cientes, uma vez que existem regras de
integração igualmente precisas, mas que podem
utilizar uma menor quantidade de pontos de
integração. As regras de quadratura gaussiana
são as mais utilizadas no método de elementos
�nitos (MEF) para análise estrutural, dinâmica dos
�uidos e para transferência de calor e massa
(VARGAS; ARAKI, 2017). Contudo, a aplicação da
fórmula de quadratura gaussiana requer a forma
explícita da função a ser integrada, quando, em
oposição, as fórmulas de Newton-Côtes
necessitam apenas de pontos tabelados, o que é
bastante útil em casos práticos (BARROSO, 1987).
Fonte: Adaptado de Vargas   e Araki (2017) e
Barroso (1987).
Exemplo 6 : Aplicando a regra dos trapézios composta, faça a estimativa da distância percorrida D
por uma partícula cuja velocidade foi medida em alguns instantes, conforme a tabela a seguir
(VARGAS; ARAKI, 2017):
Tempo (s) 0 10 20 30 40 50 60 70
Velocidade (
m /s)
0 5 8 12 17 23 30 38
Tabela 4.5 - Velocidade versus tempo de um móvel hipotético
Fonte: Vargas e Araki (2017, p. 332).
Nesse exemplo, fazemos referência ao Exemplo 3 , o qual foi resolvido a partir da soma dos
valores obtidos com a aplicação da regra dos trapézios simples em cada intervalo dadona tabela
acima. Entretanto, já mencionamos que podemos resolver essa integral com a aplicação da regra
dos trapézios composta, fazendo n = 8 − 1 = 7 subintervalos e h =
b− a
n =
70 − 0
7 = 10:
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6… 24/29
D =
70
∫
0
v(t)dt
D =
h
2(y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + 2y4 + 2y5 + 2y6 + y7)
D =
10
2
(0 + 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 8 + 2 ⋅ 12 + 2 ⋅ 17 + 2 ⋅ 23 + 2 ⋅ 30 + 38)
D = 1140 metros
praticar
Vamos Praticar
Calcular a integral I = ∫ 2 , 5
2 , 0
1
x2dx analiticamente e, depois, através da aplicação da regra dos trapézios
simples e da regra dos trapézios composta com a utilização de seis pontos distintos. Em seguida, marque
a alternativa que apresenta os três valores calculados, na ordem que foram solicitados.
a) 0,2; 0,19146; 0,1.
b) 0,1; 0,08923; 0,09451.
c) 0,41; 0,03922; 0,40456.
d) 0,1; 0,09859; 0,09995.
e) 0,3; 0,28325; 0,30001.
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6… 25/29
indicações
Material
Complementar
FILME
O Céu de Outubro
Ano : 1999
Comentário : O �lme é baseado numa história real e retrata a vida do
engenheiro da NASA Homer Hickman. Com a notícia de que os russos
conseguiram colocar um satélite em órbita, Homer desperta um
interesse formidável pelas ciências e segue lutando para desenvolver
um projeto sobre um foguete. Nesse processo, torna-se autodidata e
aprende a nunca desistir de seus sonhos.
TRA ILER
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6… 26/29
LIVRO
Cálculo Numérico
Editora : Pearson
Autores : Décio Sperandio, João Teixeira Mendes e Luiz Henry Monken
e Silva
ISBN : 9788543006536
Comentário : A presente indicação destaca-se pelo forte
embasamento matemático dado aos temas abordados, bem como
pela ampla contextualização histórica dos principais tópicos vistos, a
partir da citação dos notórios idealizadores/desenvolvedores de cada
método.
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6… 27/29
conclusão
Conclusão
Nesta unidade, os nossos esforços estavam voltados ao conhecimento e aplicação das técnicas de
integração numérica de funções. Como vimos ao longo do texto, em muitas situações, dispomos
apenas de uma tabela com valores de determinada função que descreve um fenômeno e, para
resolvê-lo, precisamos realizar a integração dessa função. Assim, não temos outra opção a não ser
utilizar algum método numérico de integração.
Analogamente, ao modelar um problema típico da estatística, veri�camos que se tratava de uma
variável com distribuição normal e, para solucioná-lo, era preciso calcular uma integral que não
possuía primitiva elementar, isto é, uma função cuja primitiva não pode ser expressa como uma
combinação �nita de funções elementares. Mais uma vez, fomos forçados a utilizar métodos
numéricos de integração de funções.
Em vista desses desa�os, estudamos uma técnica listada entre as fórmulas de Newton-Côtes: a
regra dos trapézios. Didaticamente, dividimos o estudo em regra dos trapézios simples e regra
dos trapézios composta. Em cada caso, descrevemos o método, a interpretação geométrica, bem
como o cálculo do erro de truncamento. Finalmente, a regra dos trapézios, notadamente a
composta, mostrou-se capaz de integrar satisfatoriamente tanto os problemas que conhecemos a
forma analítica da função quanto aqueles nos quais a função é conhecida apenas em alguns
pontos tabelados.
referências
Referências
Bibliográ�cas
BARROSO, L. C. et al. Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987.
NÓBREGA, B. S. da. Análise numérica para solução de integrais não elementares . 2012. 65 f.
Monogra�a (Especialização em Ensino de Matemática Básica) – Universidade Estadual da Paraíba,
Centro de Ciências e Tecnologias, Campina Grande, 2012.
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6… 28/29
OCTOBER SKY TRAILER LEGENDADO. 1 vídeo (2 min. 18 s.). Publicado no canal Gustavo Henrique
Soares . Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=8u_t2-UIckQ . Acesso em: 16 fev.
2020.
SPERANDIO, D.; MENDES, J. T.; SILVA, L. H. M. e. Cálculo numérico , 2. ed. São Paulo: Pearson,
2014.
VARGAS, J. V. C; ARAKI, L. K. Cálculo numérico aplicado . Barueri: Manole, 2017.
https://www.youtube.com/watch?v=8u_t2-UIckQ
10/04/2023, 11:41 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=NIVq8anVfTHq3rXkiyYaxw%3d%3d&l=w8uTQ70TXMG03xZK%2fi%2be9w%3d%3d&cd=6… 29/29