CALCULO VETORIAL

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Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores : 3(AB) + 3(BC) 
- 5(AC) ? 
 
 
(1,0) 
 
(1,1) 
 (0,0) 
 
(2,2) 
 
(0,1) 
Respondido em 18/05/2020 18:57:46 
 
 
 
 
 2
a
 Questão 
 
 
 Determine o valor de x para que os vetores u=(x,2) e v=(9,6) sejam paralelos 
 
 x=3 
 
x=4 
 
x=1 
 
x=2 
 
Nenhuma das anteriores 
Respondido em 18/05/2020 18:57:54 
 
 
 
 
 3
a
 Questão 
 
 
 Em relação aos conceitos de vetores, marque (V) para verdadeiro e (F) para falso e assinale a alternativa 
correta. ( ) Um vetor é uma grandeza matemática que possui módulo, direção e sentido; ( ) O módulo é o 
tamanho do vetor; ( ) O sentido é o mesmo da re ta suporte que contem o vetor; ( ) A direção é para onde o 
vetor está apontando. 
 
 
V,F,V,V. 
 V,V,F,F. 
 
F,V,F,F. 
 
V,F,V,F. 
 
V,V,V,V. 
Respondido em 18/05/2020 18:58:20 
 
 
Explicação: 
A questão apresenta conceitos teóricos fundamentais de vetores e grandezas vetoriais 
 
 
 
 
 4
a
 Questão 
 
 
 Encontre o valor de m de modo que os vetores u=(m, 2, 4) e v = (2, 3,5) sejam ortogonais. 
 
 
-15 
 
-30 
 
13 
 -13 
 
-26 
Respondido em 18/05/2020 18:58:29 
 
 
 
 
 5
a
 Questão 
 
 
 Os pontos A=(2,4) e C=(6,8) são vértices de um quadrado ABCD, e pertencem a uma das diagonais desse 
quadrado, que terá área medindo: 
 
 
24 ua 
 
8 ua 
 16 ua 
 
12 ua 
 
4 ua 
Respondido em 18/05/2020 18:58:17 
 
 
 
 
 6
a
 Questão 
 
 
 Sendo dados os vetores A=(1,1), B=(1,0) e C=(0,1) , calcule o ângulo entre os vetores CA e BC. 
 
 
270° 
 
180° 
 
0° 
 135° 
 
120° 
Respondido em 18/05/2020 18:58:41 
 
 
Explicação: 
a-c=(1,1)-(0,1)=(1,0) 
c-b=(0,1)-(1,0)=(-1,1) 
(a-c).(c-b)=(1,0).(-1,1)=-1 
!!a-c!! = V1²+0² = 1 
!!c-b!! V(-1)2+1² = V2 
Logo, chamando de A o ângulo entre os vetores, temos: cos A = (a-c).(c-b) / !!a-c!! . !!c-b!! = -1 / V2 = - 
V2 /2 
Daí: A = 135° 
 
 
 
 
 7
a
 Questão 
 
 
 Considerando os vetores u =(2,-3),v =(-1,5) e w =(-3,-4), determine 1/2 v -5u -3w . 
 
 
(-1/2, 59/2) 
 
(1/2, 59/2) 
 
(-2/3, 59/2) 
 
(2/3, 59/2) 
 (-3/2, 59/2) 
Respondido em 18/05/2020 18:58:52 
 
 
Explicação: 
1/2 v -5u -3w = 1/2(-1, 5) - 5(2, -3) - 3(-3, -4) = (-1/2 -10 + 9, 5/2 + 15 + 12) = (-3/2, 59/2) 
 
 
 
 
 8
a
 Questão 
 
 
 Determine o módulo do vetor 2AB-3BC, sendo A=(-1,4) , B=(3,2) e C=(-2,5). 
 
 
(18,-28) 
 
(15,13) 
 (23,-13) 
 
(21,-11) 
 
(-29,-10) 
Respondido em 18/05/2020 18:58:56 
 
 
Explicação: 
2AB-3BC=2(4,-2)-3(-5,3)=(8,-4)-(-15,9)=(23,-13) 
 
 Questão 
 
 
 Obter um ponto P do eixo das abscissas equidistante aos pontos A(3, -5, 2) e B(-2, -1, -3). 
 
 
10/7 
 12/5 
 
13/7 
 
12/7 
 
10/3 
Respondido em 18/05/2020 18:59:20 
 
 
Explicação: 
P pertence ao eixo das abscissas <-> yp = zp = 0 <-> P = (x,,0,0) 
Fazer |PA| = |PB| 
 
 
 
 
 2
a
 Questão 
 
 
 Quais são as equações simétricas das seguintes equações paramétricas x=t+3 e y=3+2t e z=1+2t: 
 
 x-3= (y-3)/2=(z-1)/2 
 
x-2= (y-3)/3=(z-1)/2 
 
2x-2= (y-3)/3=(2z-1)/2 
 
) x-1= (y-3)/2=(z-1)/3 
 
x-3= (y-2)/2=(z-3)/3 
Respondido em 18/05/2020 18:59:30 
 
 
 
 
 3
a
 Questão 
 
 
 
 Calcule as coordenadas dos dois pontos, que dividem o segmento de extremidades (0, 2) e (6, 11), em três 
segmentos congruentes. 
 
 
(4, 5) e (7, 9) 
 
(4, 3) e (7, 8) 
 
S.R 
 (2, 5) e (4, 8) 
 
(3, 5) e (4, 6) 
Respondido em 18/05/2020 18:59:51 
 
 
Explicação: 
Ponto 1 = (0, 2) + (2, 3) = (2, 5) 
Ponto 2 = (2, 5) + (2, 3) = (4, 8) 
(2,3) = (B - A) / 3 
 
 
 
 
 4
a
 Questão 
 
 
 Dados os vetores u= 2i -3j -2k e v= i -2j-xk, qual é o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais? 
 
 
 
3 
 
2 
 -4 
 
4 
 
-3 
Respondido em 18/05/2020 18:59:59 
 
 
Explicação: 
Cálculo se dá pelo produto escalar, que deve dar zero quando os vetores são ortogonais. 
 
 
 
 
 5
a
 Questão 
 
 
 Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores: 2(AB)+3(BC) 
+5(AC) ? 
 
 
(7,-4) 
 
(0,0) 
 
(-7,4) 
 (7,4) 
 
(-7,-4) 
Respondido em 18/05/2020 18:59:53 
 
 
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a adição, tendo 
em vista que no enunciado dá pontos e não vetores 
 
 
 
 
 6
a
 Questão 
 
 
 O valor de x para que os pontos (1,3), (-2,4), e (x,0) do plano sejam colineares é: 
 
 
8 
 
5 
 
11 
 
9 
 10 
Respondido em 18/05/2020 19:00:23 
 
 
Explicação: 
Para que os pontos (1,3), (-2,4), e (x,0) sejam colineares, devem formar vetores paralelos entre si, ou seja, 
com suas coordenadas proporcionais, logo 
(-2-1)/(x-1) = (4-3)/(0-3) -> (x-1)/3 = 3/1 -> x-1 = 9 -> x = 10 
 
 
 
 
 7
a
 Questão 
 
 
 Considere os vetores u = 2i + j +3k e o vetor v = 5i - 2j + k, a soma dos vetores u e v, resulta em: 
 
 
(C) 3i - 3j + 4k 
 (B) 7i - j + 4k 
 
(A) 7i + j + 4k 
 
(D) 3i + 3j - 4k 
 
(E) i + j + k 
Respondido em 18/05/2020 19:00:17 
 
 
Explicação: (2i + j + 3k) + (5i - 2j + k) = 2i + 5i + j - 2j + 3k + k = 7i - j + 4k 
 
 
 
 
 8
a
 Questão 
 
 
 Dados os vetores no plano R2 , u = 2 i ¿ 5 j e v = i + j , pede -se determinar o módulo do vetor u + v. 
 
 
25 
 
10 
 5 
 
30 
 
100 
Respondido em 18/05/2020 19:00:22 
 
 
Explicação: basta somar os vetores e calcular a raíz. 
 Questão 
 
 
Obter um ponto P do eixo das abscissas equidistante aos pontos A(3, -5, 2) e B(-2, -1, -3). 
 
 
10/7 
 12/5 
 
13/7 
 
12/7 
 
10/3 
Respondido em 18/05/2020 18:59:20 
 
 
Explicação: 
P pertence ao eixo das abscissas <-> yp = zp = 0 <-> P = (x,,0,0) 
Fazer |PA| = |PB| 
 
 
 
 
 2
a
 Questão 
 
 
 Quais são as equações simétricas das seguintes equações paramétricas x=t+3 e y=3+2t e z=1+2t: 
 
 x-3= (y-3)/2=(z-1)/2 
 
x-2= (y-3)/3=(z-1)/2 
 
2x-2= (y-3)/3=(2z-1)/2 
 
) x-1= (y-3)/2=(z-1)/3 
 
x-3= (y-2)/2=(z-3)/3 
Respondido em 18/05/2020 18:59:30 
 
 
 
 
 3
a
 Questão 
 
 
 Calcule as coordenadas dos dois pontos, que dividem o segmento de extremidades (0, 2) e (6, 11), em três 
segmentos congruentes. 
 
 
(4, 5) e (7, 9) 
 
(4, 3) e (7, 8) 
 
S.R 
 (2, 5) e (4, 8) 
 
(3, 5) e (4, 6) 
Respondido em 18/05/2020 18:59:51 
 
 
Explicação: 
Ponto 1 = (0, 2) + (2, 3) = (2, 5) 
Ponto 2 = (2, 5) + (2, 3) = (4, 8) 
(2,3) = (B - A) / 3 
 
 
 
 
 4
a
 Questão 
 
 
 Dados os vetores u= 2i -3j -2k e v= i -2j-xk, qual é o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais? 
 
 
 
3 
 
2 
 -4 
 
4 
 
-3 
Respondido em 18/05/2020 18:59:59 
 
 
Explicação: 
Cálculo se dá pelo produto escalar, que deve dar zero quando os vetores são ortogonais. 
 
 
 
 
 5
a
 Questão 
 
 
 Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores: 2(AB)+3(BC) 
+5(AC) ? 
 
 
(7,-4) 
 
(0,0) 
 
(-7,4) 
 (7,4) 
 
(-7,-4) 
Respondido em 18/05/2020 18:59:53 
 
 
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a adição, tendo 
em vista que no enunciado dá pontos e não vetores 
 
 
 
 
 6
a
 Questão 
 
 
 O valor de x para que os pontos (1,3), (-2,4), e (x,0) do plano sejam colineares é: 
 
 
8 
 
5 
 
11 
 
9 
 10 
Respondido em 18/05/2020 19:00:23 
 
 
Explicação: 
Para que os pontos (1,3), (-2,4), e (x,0) sejam colineares, devem formar vetores paralelos entre si, ou seja, 
com suas coordenadas proporcionais, logo 
(-2-1)/(x-1) = (4-3)/(0-3) -> (x-1)/3 = 3/1 -> x-1 = 9 -> x = 10 
 
 
 
 
 7
a
 Questão 
 
 
 Considere os vetores u = 2i + j +3k e o vetor v = 5i - 2j + k, a soma dos vetores u e v, resulta em: 
 
 
(C) 3i - 3j + 4k 
 (B) 7i - j + 4k 
 
(A) 7i + j + 4k 
 
(D) 3i + 3j - 4k 
 
(E) i + j + k 
Respondido em 18/05/2020 19:00:17 
 
 
Explicação: (2i + j + 3k) + (5i - 2j + k) = 2i + 5i + j - 2j + 3k + k = 7i - j + 4k 
 
 
 
 
 8
a
 QuestãoDados os vetores no plano R2 , u = 2 i ¿ 5 j e v = i + j , pede -se determinar o módulo do vetor u + v. 
 
 
25 
 
10 
 5 
 
30 
 
100 
Respondido em 18/05/2020 19:00:22 
 
 
Explicação: basta somar os vetores e calcular a raíz. 
Tem-se os vetores x = (a + 3, 5, 2) e o vetor y = (- 4, b + 5, 2), logo os valores de a e b de modo que os 
vetores x e y sejam iguais é, respectivamente: 
 
 
(B) 7 e 0 
 
(E) 1 e 0 
 
(D) 1 e 10 
 
(C) 7 e 7 
 (A) - 7 e 0 
Respondido em 18/05/2020 19:00:56 
 
 
Explicação: Tem-se que a + 3 = - 4, logo a = - 7 Tem-se que b + 5 = 5, logo b = 0 
 
 
 
 
 2
a
 Questão 
 
 
 
 
Dados os vetores u ( 1, 2 ) e v ( 3, x ), qual é o valor de x , sabendo que os 
vetores são ortogonais? 
 
 -3/2 
 
3/8 
 
5/8 
 
2/8 
 
-5/8 
Respondido em 18/05/2020 19:01:37 
 
 
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero 
 
 
 
 
 3
a
 Questão 
 
 
 
Dados os vetores u ( 2, x ) e v ( 1, -1 ), qual é o valor de x , sabendo que 
os vetores são ortogonais? 
 
 
-3 
 2 
 
4 
 
-2 
 
3 
Respondido em 18/05/2020 19:01:44 
 
 
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero 
 
 
 
 
 4
a
 Questão 
 
 
 Dados os vetores u = i + k e v = 2i + 2j o vetor u + v é 
 
 
(3,2,2) 
 
(3,2,0) 
 
(3,0,1) 
 
(3,3,1) 
 (3,2,1) 
Respondido em 18/05/2020 19:03:29 
 
 
Explicação: Operar cada componente de vetor com seu componente 
 
 
 
 
 5
a
 Questão 
 
 
 
 
Dada as seguintes afirmações: 
I. Uma grandeza vetorial é caracterizada por possuir uma direção, 
um sentido e um módulo. 
II. Força, velocidade e aceleração são exemplos de grandezas 
escalares. 
III. Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos 
diferentes. 
IV. O módulo do vetor →uu→=(-3,0,-4) é igual a 5 
V. As componentes dos vetores nos eixos x,y e z são representadas 
por →ii→ , →jj→ e →kk→, respectivamente. 
Marque a alternativa correta: 
 
 
 
I e III estão corretas 
 
Apenas I está correta 
 I, IV e V estão corretas 
 
IV e V estão corretas 
 
III e IV estão corretas 
Respondido em 18/05/2020 19:03:34 
 
 
Explicação: 
A questão explora tópicos concetuais de vetores e grandezas vetoriais 
 
 
 
 
 6
a
 Questão 
 
 
 Se u = (x;5) e v = (-2; 10) são vetores paralelos, então o valor e x é 
 
 
x = 2 
 
x = 25 
 
x = 1 
 
x = -5 
 x = -1 
Respondido em 18/05/2020 19:03:27 
 
 
 
 
 7
a
 Questão 
 
 
 O valor de x para que os vetores u=(x,2,0) e v=(9,6,0) sejam paralelos é: 
 
 
9 
 3 
 
0 
 
2 
 
6 
Respondido em 18/05/2020 19:03:51 
 
 
Explicação: 
Dois vetores são paraleleos quando suas coordenadas são proporcionais 
 
 
 
 
 8
a
 Questão 
 
 
 Em relação a um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no espaço o vetor x = (2, 0, - 4), 
corresponde ao vetor: 
 
 
(B) x = 2i - 4 
 
(C) x = 2i - 4j 
 (D) x = 2i - 4k 
 
(E) x = 2i + 0k - 4j 
 
(A) x = - 2i 
Respondido em 18/05/2020 19:03:38 
 
 
Explicação: Sendo x = (2, 0, - 4) a forma canônica é 2i + 0j - 4k = 2i - 4k 
 
a
 Questão 
 
 
 Sendo o módulo do vetor u = 2 e o módulo do vetor v = 3, e o ângulo entre os vetores u e v igual à 120°, 
calcular o módulo de u + v. 
 
 
7 
 
raiz quadrada de 6 
 
-7 
 
6 
 raiz quadrada de 7 
Respondido em 18/05/2020 19:04:34 
 
 
Explicação: 
|u + v|² = |u|² + 2.|u|.|v|cos120º + |v|² = 4 + 2.2.3.(-1/2) + 9 = 7 -> |u + v| = raiz quadrada de 7. 
 
 
 
 
 2
a
 Questão 
 
 
 Dados os vetores u= -i -2j -2k e v= -4i -3j-xk, qual é o valor de x , sabendo que os vetores são 
ortogonais? 
 
 
-6 
 
-7 
 
-9 
 
-8 
 -5 
Respondido em 18/05/2020 19:04:25 
 
 
Explicação: 
O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero. Então temos: 
u=(-1,-2,-2) e v=(-4,-3,-x) => u.v=0 => 4+6+2x=0 => x=-5. 
 
 
 
 
 3
a
 Questão 
 
 
 Dados os vetores u (-1, 3, 2 ) e v (- 4, 2, x ), qual é o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais? 
 
 
4 
 -5 
 
5 
 
2 
 
-4 
Respondido em 18/05/2020 19:04:33 
 
 
Explicação: 
O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero. Assim: u.v=0 => (-1,3,2).(-4,2,x)=0 => 
4+6+2x=0 => 2x=-10 => x=-5 
 
 
 
 
 4
a
 Questão 
 
 
 O módulo e o versor do vetor v = (3, 4) é, respectivamente: 
 
 
7 e (3/5; 9/5) 
 
25 e (6/5; 9/5) 
 5 e (3/5; 4/5) 
 
5 e (7/25; 4/25) 
 
10 e (2/5; 8/5) 
Respondido em 18/05/2020 19:04:54 
 
 
 
 
 5
a
 Questão 
 
 
 Sejam os vetores u = ( 3, 2, k ) e v = ( 2, 0, 1 ). O valor de K para que os vetores serem ortogonais é: 
 
 
6 
 
5 
 
0 
 
-5 
 -6 
Respondido em 18/05/2020 19:05:02 
 
 
Explicação: 
Aplicação envolvendo produto escalar. 
 
 
 
 
 6
a
 Questão 
 
 
 Certo sólido cujo o volume é 12 u.v. é determinado pelos vetores , e. Esses vetores foram 
colocados no plano R3 tendo como corrdenadas, respectivamente, =(a,-7,-1), =(-1,0,2) 
e = (0,-1,-1). Nessas condições, encontre um valor para a abscissa do vetor . 
 
 
-3 
 
10 
 
9 
 
-10 
 3 
Respondido em 18/05/2020 19:05:12 
 
 
Explicação: 
Aplicação envolvendo produto misto entre vetores. 
 
 
 
 
 7
a
 Questão 
 
 
 Qual o angulo formado entre os vetores u = (1,0) e v=(0,3)? 
 
 
120º 
 
30º 
 90º 
 
60º 
 
0º 
Respondido em 18/05/2020 19:05:04 
 
 
Explicação: 
|u.v| = |u|.|v|.cosØ, onde Ø é o menor angulo formado pelos vetores u e v 
 
 
 
 
 8
a
 Questão 
 
 
 Dado os vetores a (0,3,-1) e b (4,1,-3), calcule o produto escalar a.b 
 
 
10 
 6 
 
3 
 
11 
 
9 
Respondido em 18/05/2020 19:05:24 
 
 
Explicação: 
cosØ = a.b / (|a|.|b|) onde Ø é o ângulo formado entre os vetores a e b 
a.b = xa.xb + ya.yb + za.zb 
 
V 
Questão 
 
 
 Os pontos a(a,2) e B(0,b) pertencem a reta (r): 2x+y-6=0. Qual a distÂncia entre os pontos A e B? 
 
 
4V5 
 
3V5 
 2V5 
 
V5 
 
8V5 
Respondido em 18/05/2020 19:05:47 
 
 
Explicação: 
A pertence a r -> 2a+2-6=0 ->a=2 -> A(2,2) 
B pertence a r -> 2.0+b-6=0 -> b=6 -> B(0,6) 
Logo: d(A,B) = V(0-2)² + (6-2)² = V4 + 16 = V20 = 2V5 
 
 
 
 
 2
a
 Questão 
 
 
 Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,0, 1 ) que tem a 
direção do vetor (1, 1, 1) 
 
 
X= -1+t y = t z = -1+t 
 X= -1+t y = t z = 1+t 
 
X= -1+t y = t z = 1-t 
 
X= 1+t y = t z = 1+t 
 
X= -1+t y = -t z = 1+t 
Respondido em 18/05/2020 19:05:39 
 
 
Explicação: 
 
Temos que: (x,y,z) = (-1,0,1) + t(1,1,1) => x=-1+t , y=t e z=1+t 
 
 
 
 
 3
a
 Questão 
 
 
 
Obter a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto 
P (2,-3) e tem direção do vetor v = (5,4). 
 
 
Resp.: x = 5 + 2t e y = -3 + 4t 
 
Resp.: x = 2 + t e y = -3 + t 
 Resp.: x = 2 + 5t e y = -3 + 4t 
 
Resp.: x = 5t e y = 2 + 4t 
 
Resp.: x = 2 + 5t e y = 4 - 3t 
Respondido em 18/05/2020 19:05:59 
 
 
 
 
 4
a
 Questão 
 
 
 Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,-2, 0 ) que tem a 
direção do vetor (1, 0, 1) 
 
 
X= -1+t y = 2 z = t 
 
X= -1-t y = -2 z = t 
 X= -1+t y = -2 z = t 
 
X= 1+t y = -2 z = t 
 
X= -1+t y = -2 z = -t 
Respondido em 18/05/2020 19:06:07 
 
 
Explicação: 
 
Temos que: (x,y,z) = (-1,-2,0) + t(1,0,1) => x=-1+t 
 y=-2 
 z=t 
 
 
 
 
 5
a
 Questão 
 
 
 A equação geral da reta que passa pelos pontos A(2, 3/4) e B(1/3, -5) é dada por: 
 
 -68x + 19y + 122 = 0 
 
 -70x + 19y + 123 = 0 
 
 -69x + 20y + 123 = 0 
 
 70x - 21y - 124 = 0 
 
 -69x + 21y - 122 = 0 
Respondido em 18/05/2020 19:06:16 
 
 
Explicação: 
Na equação genérica da reta no R² (ax + by + c = 0) substituir as coordenadas dos dois pontos dados da 
reta. Resolver o sistema formado (2 equações para as 2 incógnitas - a e b) e determinar a equação da reta 
pedida 
 
 
 
 
 6
a
 Questão 
 
 
 Dados os pontos A(-1, 3), B(2, 5), C(3, -1)e O(0, 0), calcular OA - AB 
 
 
(1 ,1) 
 (-4 1 ) 
 
(4, -4) 
 
(1, 4) 
 
(4, 1) 
Respondido em 18/05/2020 19:06:07 
 
 
 
 
 7
a
 Questão 
 
 
 Podemos afirmar que a distância entre os pontos A=(1,2,3) e B=(5,2,3) é: 
 
 
2 
 
3 
 
1 
 
5 
 4 
Respondido em 18/05/2020 19:06:31 
 
 
Explicação: 
4 
 
 
 
 
 8
a
 Questão 
 
 
 Determine as equações simétricas da reta r que passa pelos pontos A(5,-2,3) e tem a direção do vetor 
v=(4,-4,-7). 
 
 
x+4 / -5 = y-4 / 2 = z-7 / -3 
 
x-5 / -4 = y-2 /-4 = z+3 / 7 
 X-5 /4 = Y+2 /-4 = Z-3 / -7 
 
x+5 / -4 = y-2 / 4 = z+3 /7 
 
x-4 / 5 = y+4 / -2 = z+7 / 3 
Respondido em 18/05/2020 19:06:19 
 
 
Explicação: 
As equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(x',y',z') e tem a direção do vetor v=(x",y"z") é dada 
por: x-x' / x" = y-y' / y" = z-z' / z". Basta então substituir os valores dados. 
 
Questão 
 
 
 A equação geral do plano que passa pelo ponto P (1, 4, 0 ), sendo n = ( 2, -1, 3 ) um vetor normal ao plano 
é: 
 
 
3x - y + 2z + 2 = 0 
 
2x - y + 3z - 6 = 0 
 
3x + y + 2z + 2 = 0 
 2x - y + 3z + 2 = 0 
 
2x - y + 3z - 2 = 0 
Respondido em 18/05/2020 19:06:50 
 
 
 
 
 2
a
 Questão 
 
 
 Se o ponto P do eixo das abscissas pertence ao plano determinado pela equação: 2x + 5y - 10z - 20 = 0. 
Podemos afirmar que: 
 
 
P( 0, 4, 0 ) 
 
P( 0, 0, 2 ) 
 
P( 5, 0, 0 ) 
 P( 10, 0, 0 ) 
 
P( 0, 0, -2 ) 
Respondido em 18/05/2020 19:07:20 
 
 
Explicação: 
Se P pertence eixo das abscissas, P = (x,0,0). Substituindo na equação do plano, 2x-20=0 -> x = 10 
 
 
 
 
 3
a
 Questão 
 
 
 Determinar o vetor x que satisfaz as seguintes condições: x (esc) (3i+2j)=6 e x (vet) (2i+3k)=2i. Seja 
x=x1i+x2j+x3k. 
 
 
x1=1, x2=3 e x3=-7/2 
 x1=0, x2=3 e x3=-7/2 
 
x1=0, x2=-3 e x3=7/2 
 
x1=3, x2=-7/2 e x3=0 
 
x1=-7/2, x2=0 e x3=3 
Respondido em 18/05/2020 19:07:29 
 
 
 
 
 4
a
 Questão 
 
 
 O Módulo do vetor VAB, sendo A = (-1, 3) e B = (1; 3) é: 
 
 
4 
 
0 
 
3,52 
 2 
 
2,83 
Respondido em 18/05/2020 19:07:20 
 
 
 
 
 5
a
 Questão 
 
 
 A equação do plano que contém os pontos A(0,1,2 ) B( 1,-1,4) e C(2,2,2) está na opção 
 
 
2x + 8y =2 
 
3x + 7y - 5z -4 =0 
 -2x + 2y + 5z -12 = 0 
 
2x + 2j + 2k =0 
 
x + y + 2z - 1 =0 
Respondido em 18/05/2020 19:07:24 
 
 
Explicação: 
produto vetorial de dois vetores quaisquer de um plano determina um vetor normal a esse plano. Depois 
substituir um dos pontos para achar a variavel independente desse plano. 
LEMBRAR: o vetor v = (a,b,c) é ortogonal ao plano de equação ax + by + cz + d = 0 
 
 
 
 
 6
a
 Questão 
 
 
 Qual é a equação do plano que contém o ponto A (3, 4, 0) e é ortogonal ao (1,-2,-6) ? 
 
 
 
x - 2 y + 6 z - 5 = 0 
 
x - 2 y - 6 z - 5 = 0 
 x - 2 y - 6 z + 5 = 0 
 
x - 2 y + 6 z - 5 = 0 
 
-x - 2 y - 6 z - 5 = 0 
Respondido em 18/05/2020 19:07:44 
 
 
Explicação: 
1x - 2y - 5z - [+ 1 (3)+ 2 (-4) +6 (0) ] = 0 -> x-2y-6z+5 = 0 
 
 
 
 
 7
a
 Questão 
 
 
 
Qual é a equação do plano que contém o ponto A 
(-3, -4, 0) e é ortogonal 
ao (-1,-2,-6) ? 
 
 -x - 2 y - 6 z - 11 = 0 
 
-x - 2 y - 6 z + 11 = 0 
 
-x + 2 y - 6 z - 11 = 0 
 
x - 2 y - 6 z +11 = 0 
 
x - 2 y - 6 z - 11 = 0 
Respondido em 18/05/2020 19:07:36 
 
 
Explicação: 
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (-3)+ 2 (-4) +6 (0) ] = 0 -> -x-2y-6z-11 = 0 
 
 
 
 
 8
a
 Questão 
 
 
 
Qual é a equação do plano que contém o ponto A 
(-3, 0, 0) e é ortogonal 
ao (-1,-2,-6) ? 
 
 
x - 2 y - 6 z + 3 = 0 
 
-x - 2 y - 6 z + 3 = 0 
 
-x - 2 y + 6 z - 3 = 0 
 
x - 2 y - 6 z - 3 = 0 
 -x - 2 y - 6 z - 3 = 0 
Respondido em 18/05/2020 19:08:01 
 
 
Explicação: -1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (-3)+ 2 (0) +6 (0) ] = 0 -x - 2 y - 6 z - 3 = 0 
 
No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(-2,3) e C(0,5), sendo M o ponto 
médio do lado BC. Podemos afirmar que o comprimento da mediana AM 
é: 
 
 
 
 AM=2AM=2 
 AM=2√3AM=23 
 
AM=3√ 2 AM=32 
 
AM=2√ 2 AM=22 
 
AM=√ 2 AM=2 
Respondido em 18/05/2020 19:08:40 
 
 
Explicação: 
No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(-2,3) e C(0,5), sendo M o ponto médio do lado BC. 
Podemos afirmar que o comprimento da mediana AM é: 
M = ((0 - 2)/ 2, (5 + 3)/ 2) = (-1, 4) 
CAM = raiz((-1 - 1)² + (4 - 2)²) = 2raiz(2) 
 
 
 
 
 2
a
 Questão 
 
 
 O centro e o raio da circunferência dada pela equação x² + y² - 8x - 6y + 9 = 0 são respectivamente: 
 
 
Centro C(-4, -3) e raio 3 
 
Centro C(-4, -3) e raio 4 
 Centro C(4,3) e raio 4 
 
Centro C(4,3) e raio 16 
 
Centro C(4,3) e raio 3 
Respondido em 18/05/2020 19:08:46 
 
 
Explicação: 
Em uma circunferência de equação x² + y² + Ax + By + C = 0, temos 
C = (-A/2; -B/2) 
r = raiz(A²/4 + B²/4 - C) 
 
 
 
 
 3
a
 Questão 
 
 
 Seja u=(1,0,1) e v=(0,1,0). O produto escalar u.v é igual a: 
 
 
3 
 
4 
 
2 
 0 
 
1 
Respondido em 18/05/2020 19:08:56 
 
 
 
 
 4
a
 Questão 
 
 
 
Seja (x−1)²+(y−3)²=18(x−1)²+(y−3)²=18 a equação reduzida de uma circunferência. 
A razão entre a área desta circunferência e a área do quadrado inscrito nesta 
circunferência, nesta ordem, é: 
 
 
(D) 3π/2 
 
(A) π 
 (B) π/2 
 
(C) 2π/3 
 
(E) 3π 
Respondido em 18/05/2020 19:08:50 
 
 
Explicação: 
Da equação temos que r²=18r²=18, a área da circunferência é: A=πA=πr² 
= 18ππ. 
Quadrado circunscrito, por Pitágoras: (2r)²=x²+x²(2r)²=x²+x², 
portanto, x=6x=6, logo a área do quadrado é 36. A razão será igual a: 
18ππ/36 = ππ/2. 
 
 
 
 
 5
a
 Questão 
 
 
 
 Num dado sistema cartesiano os pontos A(0,5), B (3,-2) e C(-3,-2) definem uma região geométrica. 
Podemos afirmar que a figura tem o formato de: 
 
 Um triângulo isósceles 
 
Um triângulo retângulo 
 
Um triângulo escaleno reto 
 
Um triângulo equilátero 
 
Um triângulo escaleno 
Respondido em 18/05/2020 19:09:15 
 
 
Explicação: 
Vetores no plano - distância entre pontos no plano. 
 
 
 
 
 6
a
 Questão 
 
 
 Identifique o centro e o raio da circunferência representada pela equação geral x² + y² - 2x - 8y + 12 = 0. 
 
 o centro é (1, 4) e o raio é √5. 
 
o centro é (5, 1) e o raio é 2. 
 
o centro é (4, 1) e o raio é √5. 
 
o centro é (5, 4) e o raio é 1. 
 
o centro é (1, 5) e o raio é 2. 
Respondido em 18/05/2020 19:09:24 
 
 
Explicação: 
Em uma circunferência de equação x² + y² + Ax + By + C = 0, temos 
C = (-A/2; -B/2) 
r = raiz(A²/4 + B²/4 - C) 
 
 
 
 
 7
a
 Questão 
 
 
 Dados os vetores u = (2x-1 , 3) e v = ( 3, -4) , determine o valor de x para que u e v sejam 
perpendiculares. 
 
 2,5 
 
3 
 
4,5 
 
3,5 
 
4 
Respondido em 18/05/2020 19:09:32 
 
 
 
 
 8
a
 Questão 
 
 
 Dados dois vetores de módulos 8 cm e 22 cm, a resultante entre eles terá o módulo compreendido entre: 
 
 14 cm e 30 cm 
 
8 cm e 22 cm 
 
21 cm e 26 cm 
 
25 cm e 40 cm 
 
5 cm e 20 cm 
Respondido em 18/05/2020 19:09:31 
 
 Questão 
 
 
 Dedução da equação da parábola no plano cartesiano num caso especial: F = (2,0) e d: x= -2 
 
 
x = y
2
 / 32 
 
x = y
2
 / 2 
 x = y
2
 / 8 
 
x = y
2
 / 4 
 
x = y
2
 / 16 
Respondido em 18/05/2020 19:10:11 
 
 
Explicação: 
Parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz 
 
 
 
 
 2
a
 Questão 
 
 
 Determine a equação das parábola com foco em F = (3 , 2) e diretriz r : x - 4 = 0 
 
 
x = 4 
 x = (-y
2
 + 4y + 3) / 2 
 
x = y 
 
x = y
2
 
 
x = y
2
 + 3y + 4 
Respondido em 18/05/2020 19:10:03 
 
 
Explicação: 
Utilizando a definição de parábola como lugar geométrico dos 
pontos cuja distância ao foco é igual à distância até a diretriz, 
temos d(X,F)=d(X,P) 
= 
onde, elevando os dois membros da igualdade ao quadrado, 
obtemos: 
x
2
-6x+9+y
2
-4y+4=x
2
-8x+16 
ou seja, 2x=3-y
2
+4y de onde x= 
 
 
 
 
 3
a
 Questão 
 
 
 Sobre os segmentos orientados pode-se afirmar: 
 
 O vetor w , quando multiplicado por um escalar (α), o vetor resultanteé paralelo a w . 
 
O módulo, a direção e o sentido de um vetor v não é o módulo, a direção e o sentido de qualquer 
um dos seus representantes. 
 
O ângulo entre os vetores não-nulos u e v ., é o ângulo Ɵ formado por duas semi-retas de origens 
diferentes. 
 
Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos diferentes. 
 
Mesmo sendo um vetor nulo, seu módulo é igual ao vetor unitário. 
Respondido em 18/05/2020 19:10:28 
 
 
 
 
 4
a
 Questão 
 
 
 Dados os vetores u=2i -3j , v=i-j e w =-2i+j , determine 3u-v/2-w /2 
 
 
(13, -9) 
 
(13/2, -8) 
 
(13/2, 8) 
 
(13,9) 
 (13/2, -9) 
Respondido em 18/05/2020 19:10:18 
 
 
Explicação: Substituir cada vetor na equação oferecida 
 
 
 
 
 5
a
 Questão 
 
 
 
Ache a equação cartesiana da parábola que tem diretriz no eixo x e vértice em . 
 
 
y = -x
2
 / 6 + 4x / 9 
 y = -x
2
 / 6 + 4x / 9 - 97 / 54 
 
y = -x
2
 / 6 - 97 / 54 
 
y = -x
2
 / 6 
 
y = 4x² 
Respondido em 18/05/2020 19:10:27 
 
 
Explicação: 
A parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz 
 
 
 
 
 6
a
 Questão 
 
 
 Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB, sendo A = (-1, 4, 2) e B = (-3, -2, 0). 
 
 
(1, 3, -1) 
 
(-1, 2, 1) 
 
(-1, 3, 1) 
 
(1, -4, 2) 
 (-2, 1, 1) 
 
(ESPCEX 2013) Sobre a curva 9x² + 25y² − 36x + 50y − 164 = 0, assinale a alternativa correta. 
 
 
A distância focal é 4. 
 
Seu centro é (−2,1). 
 
A medida do seu eixo menor é 9. 
 
A medida do seu eixo maior é 25. 
 Sua excentricidade é 0,8. 
Respondido em 18/05/2020 19:11:08 
 
 
Explicação: 
9x² + 25y² − 36x + 50y − 164 = 0 
9x² - 36x + 25y² + 50y − 164 = 0 
9(x² - 4x) + 25(y² + 2y) − 164 = 0 
9(x² - 4x + 4) + 25(y² + 2y + 1) − 164 - 9.4 - 25.1= 0 
9(x - 2)² + 25(y + 1)² = 164+36+25 
9(x - 2)² + 25(y + 1)² = 225 
[(x - 2)²] / 25 + [(y + 1)²] / 9 = 1 
a² = 25 -> a = 5 
b² = 9 -> b = 3 
c² = 25 - 9 
c = 4 
e = c/ a = 4/ 5 = 0,8 
 
 
 
 
 2
a
 Questão 
 
 
 A distância focal e a excentricidade da elipse com centro na origem e que passa pelos pontos (1, 0) e (0, -2) 
são, respectivamente, 
 
 2√323 e √ 3 232 
 √ 3 232 e 1212 
 √33 e √ 3 232 
 
3 e 1/2 
 1/2 e √33 
Respondido em 18/05/2020 19:11:14 
 
 
 
 
 3
a
 Questão 
 
 
 Determine o valor de a, sabendo que os 
vetores →u=2→i+3→j+4→ku→=2i→+3j→+4k→ e → v=→i 
−3→j+ a→k →v=i→ -3j→+ ak→ são ortogonais 
 
 
2 
 
2/4 
 
1 
 7/4 
 
5 
Respondido em 18/05/2020 19:11:37 
 
 
 
 
 4
a
 Questão 
 
 
 Chama-se Produto Escalar de dois vetores →uu→ = x1→ii→ + y1→jj→+ z1→kk→ e →vv→ = x2→ii→ + y2→jj→+ 
z2→kk→ denotado por →uu→.→vv→ : 
 
 
ao vetor →ww→ dado por →ww→ = x1x2→ii→ + y1y2 →jj→ + z1z2 →kk→ 
 
ao vetor →ww→ dado por →ww→ = (x1 + x2)→ii→ + (y1 + y2 )→jj→ + (z1 + z2)→kk→ 
 ao número real k dado por k = √ (x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2 (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2 
 ao número real k, dado por : k = x1x2 + y1y2 + z1z2 
 
ao número real k, dado por: k = x+1x−1x+1x-1 = y+1y−1y+1y-1= z+1z−1z+1z-1 
Respondido em 18/05/2020 19:11:49 
 
 
 
 
 5
a
 Questão 
 
 
 Sabendo que a distância focal de uma elipse é 16 e o eixo menor é igual a 12, qual o comprimento do eixo 
maior? 
 
 
10 
 20 
 
16 
 
12 
 
18 
Respondido em 18/05/2020 19:11:58 
 
 
Explicação: 
a² = b² + c² 
a² = 16² + 12² 
a = 20 
 
 
 
 
 6
a
 Questão 
 
 
 Determine o centro e o raio da circunferência de equação x²+y²-4x+6y-3=0. 
 
 (2,-3) e 4 
 
(3,-1) e 5 
 
(-1,3) e 5 
 
(3,-2) e 4 
 
(3,4) e 6 
 
a
 Questão 
 
 
 Qual volume do paralelepípedo formado pelos vetores u=(3,5,7) , v=(2,0,-1) e w=(0,1,3) ? 
 
 
15 unidades de volume 
 13 unidades de volume 
 
17 unidades de volume 
 
14 unidades de volume 
 
16 unidades de volume 
Respondido em 18/05/2020 19:12:57 
 
 
 
 
 2
a
 Questão 
 
 
 Consideremos num sistema de coordenadas cartesianas um ponto P=(2,0) e uma reta r de equação x-
1=0.Qual é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias ao ponto P e à reta r são iguais ? 
 
 
Uma parábola cuja equação é y = 2x
2
 -3 
 Uma parábola cuja equação é y
2 
=2x-3 
 
Uma circunferência com centro no ponto (3,0) e raio 1,5 
 
Uma circunferência de equação x
2
+y
2 
=3 
 
Duas semiretas cujas equações são x-y=1,5 e x+y=1,5,com x>1,5 
Respondido em 18/05/2020 19:13:04 
 
 
 
 
 3
a
 Questão 
 
 
 Encontre a área do triângulo de vértices A(1, 2, 5) B(3, 4, -1) e C(-2, -1, 4) 
 
 
10 
 
20 
 5x (2)
1/2
 
 20 x(2)
1/2
 
 10 x (2) 
1/2 
 
Respondido em 18/05/2020 19:13:15 
 
 
 
 
 4
a
 Questão 
 
 
 Uma parábola é um conjunto de pontos no plano cujas distâncias a um ponto fixo e a uma reta fixa são iguais. 
O ponto e a reta citados, na definição acima, são chamados: 
 
 
centro e diretriz 
 
foco e eixo 
 
vértice e eixo 
 
centro e eixo 
 foco e diretriz 
Respondido em 18/05/2020 19:13:23 
 
 
 
 
 5
a
 Questão 
 
 
 Dada à hipérbole de equação 5x2 - 4y2- 20x - 8y - 4 = 0, determine o centro da hipérbole. 
 
 (2, -1) 
 
(1,2) 
 
(-2,1) 
 
(-2,-1) 
 
(2,1) 
Respondido em 18/05/2020 19:13:13 
 
 
Explicação: 
Escrevendo a hipérbole da maneira convencional teríamos 5[x
2
 - 4x + 4 - 4] - 4[y
2
 + 2y + 1] = 0 e daí, 5(x 
- 2)
2
 - 4(y + 1)
2
 = 20 e dividindo ambos os membros por 20 passamos a ter: (x - 2)
2
 / 4 + (y + 1)
2
 / 5 = 1. 
Então o centro é C(2, - 1) 
 
 
 
 
 6
a
 Questão 
 
 
 Marque a alternativa que mostra a equação geral do plano determinado pelos pontos: A(0,2,-1), B(1,-1,-1) 
e C(1,0,2). 
 
 -9x-3y+z+7=0 
 
-5x-3y+z+7=0 
 
-9x-3y+z+9=0 
 
-9x-8y+z+7=0 
 
-9x-3y+z+=0