CV - AULA 1 - Integrais duplas e triplas - 2020

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Disciplina: Cálculo Vetorial
Profª. Leila Muniz
INTEGRAL DUPLA
Consideremos uma função 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 ≥ 0
definida em um retângulo fechado.
𝑅 = 𝑎, 𝑏 × [𝑐, 𝑑]
INTEGRAL DUPLA
Seja S o sólido que está acima da região de
integração R e abaixo do gráfico de 𝑓 𝑥, 𝑦 ,
logo: 𝑆 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ3/0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑓 𝑥, 𝑦 , (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ}
Vamos determinar o
volume do sólido S.
INTEGRAL DUPLA
Inicialmente vamos dividir o retângulo R em
sub-retângulos (que estão totalmente contidos
em R).
INTEGRAL DUPLA
O volume desse prisma é dado pela sua
altura vezes a área do retângulo da
base.
V = 𝑓 𝑥∗, 𝑦∗ . ∆𝐴
V = 𝑓 𝑥∗, 𝑦∗ . ∆𝑥. ∆𝑦
INTEGRAL DUPLA
Se seguirmos com esse procedimento para todos os
retângulos e somarmos os volumes dos prismas,
obtemos uma boa aproximação do volume total do sólido
de S:
𝑉 = ෍
𝑘=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 . ∆𝐴𝑘
𝑉 = ෍
𝑘=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑘, 𝑦𝑘 . ∆𝑥𝑘. ∆𝑦𝑘
INTEGRAL DUPLA
Se o número de retângulos aumentar, a soma dos
volumes dos prismas aproxima-se cada vez mais do
volume do sólido S. Sendo assim, o volume de S será
igual a soma dos volumes dos prismas quando n cresce
ilimitadamente, ou seja:
𝑉 = lim
𝑛→∞
෍
𝑘=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑘, 𝑦𝑘 . ∆𝐴𝑘
INTEGRAL DUPLA
A integral dupla da função f sobre uma região R
(fechada e limitada) do plano XOY é:
ඵ
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = lim
𝑛→∞
෍
𝑘=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑘, 𝑦𝑘 . ∆𝐴𝑘
ඵ
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = lim
𝑛→∞
෍
𝑘=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑘, 𝑦𝑘 . ∆𝑥𝑘. ∆𝑦𝑘
Dizemos que f é integrável em R (região de integração).
Desde que o limite exista!
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DUPLA
1.ඵ
𝑅
𝐾𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 =𝐾ඵ
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴
Onde k é constante.
2.ඵ
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 ± 𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 =ඵ
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 ±ඵ
𝑅
𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴
3. Se 𝑓 𝑥, 𝑦 ≥ 𝑔 𝑥, 𝑦 para todo 𝑥, 𝑦 em R, então:
ඵ
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 ≥ඵ
𝑅
𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴
INTEGRAL ITERADA
Suponha que f seja uma função contínua em R = 𝑎, 𝑏 × [𝑐, 𝑑]:
න
𝑎
𝑏
න
𝑐
𝑑
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥 = න
𝑎
𝑏
න
𝑐
𝑑
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
→Primeiro integramos com relação a y de c a d
Depois em relação a x de a até b.
“de dentro para fora”
INTEGRAL ITERADA
Suponha que f seja uma função contínua em R = 𝑎, 𝑏 × [𝑐, 𝑑]:
න
𝑐
𝑑
න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
→ Primeiro integramos com relação a x de a a b
Depois em relação a y de c até d.
“de dentro para fora”
INTEGRAL DUPLA - exemplo
1. Calcule o valor das integrais iteradas:
𝑎)න
0
3
න
1
2
𝑥2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑏)න
1
2
න
0
3
𝑥2𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
Com resultados, o que podemos concluir?
TEOREMA DE FUBINI
Seja f contínua no retângulo 𝑅 = 𝑥, 𝑦 /𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 e 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 , 
então :
ඵ
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = න
𝑎
𝑏
න
𝑐
𝑑
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥 =න
𝑐
𝑑
න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
INTEGRAL DUPLA - exemplo
2. Estime o volume do sólido que está acima do
quadrado 𝑅 = 0,2 × [0,2] e abaixo do
paraboloide elíptico 𝑧 = 16 − 𝑥2 − 2𝑦2. (R:48)
Integrais Duplas sobre Regiões Gerais
Tipo I
Uma região plana D é do tipo I se for a região entre o gráfico
de duas funções contínuas de x, ou seja:
𝐷 = { 𝑥, 𝑦 ; 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 e 𝑔1(𝑥) ≤ y ≤ 𝑔2(𝑥)}
onde 𝑔1 e 𝑔2 são contínuas em [a, b].
Tipo II
Uma região plana D é do tipo I se for a região entre o gráfico
de duas funções contínuas de x, ou seja:
𝐷 = { 𝑥, 𝑦 ; 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 e ℎ1(𝑥) ≤ 𝑥 ≤ ℎ2(𝑥)}
onde ℎ1 e ℎ2 são contínuas em [c, d].
INTEGRAL DUPLA - exemplo
3. Calcule a integral:
𝐼 = ඵ
𝑅
𝑥 + 𝑦 𝑑𝐴
Onde R é a região limitada pelas curvas 𝑦 = 𝑥2 e 𝑦 = 2𝑥. (52/15)
4. Calcule a integral:
𝐼 = ඵ
𝑅
𝑒−𝑦
2
𝑑𝑦 𝑑𝑥
Onde R é a região limitada pelas curvas 𝑦 = 4𝑥, 𝑥 = 0 e 𝑦 =4. 1
8
1 − 𝑒−16
INTEGRAL DUPLA - exemplo
5. Esboce o gráfico da região de integração e calcule a integral
dupla:
𝐼 = න
−1
1
න
2𝑥2
1+𝑥2
𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
(32/15)
INTEGRAL DUPLA - exemplo
6. Inverta a ordem de integração e calcule as integrais duplas:
𝑎) 𝐼 = න
0
2
න
𝑥2
2𝑥
𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑏) 𝐼 = න
−2
4
න
1
2
𝑦2−3
𝑦+1
𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑐) 𝐼 = න
0
1
න
𝑥
1
sen(𝑦2) 𝑑𝑦 𝑑𝑥
INTEGRAL DUPLA - exemplo
7. Determine o volume do tetraedro limitados pelos planos 𝑥 +
2𝑦 + 𝑧 = 2, 𝑥 = 2𝑦, 𝑥 = 0 e 𝑧 = 0. (1/3)
Aplicação da Integral Dupla
Se integrarmos a função constante 𝑓 𝑥, 𝑦 = 1 sobre
uma região D, obteremos a área de D:
ඵ
𝑅
1𝑑𝐴 = 𝐴(𝐷)
Integrais Duplas: Mudança de Variáveis
Na integração de funções de uma variável, o método de
substituição é usado para transformar uma integral em
outra mais simples.
Nas integrais duplas, utilizaremos um procedimento
semelhante.
Considerando as funções: 𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣) e 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣)
ඵ
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 =ඵ
𝑅
𝑓 𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣)
𝜕 𝑥, 𝑦
𝜕 𝑢, 𝑣
𝑑𝑢𝑑𝑣
a) (32/15)
Onde 
𝜕 𝑥,𝑦
𝜕 𝑢,𝑣
é o determinante 
Jacobiano de x e y em 
relação a eu v.
Determinante Jacobiano
Interpretação Geométrica:
Determinante Jacobiano de x e y em relação a u e v:
Determinante Jacobiano
Determinante Jacobiano de x e y em relação a u e v:
𝜕 𝑥, 𝑦
𝜕 𝑢, 𝑣
=
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
Integrais Duplas: Mudança de Variáveis
Mudança para Coordenadas Polares:
Neste caso o Determinante Jacobiano é dado por:
𝜕 𝑥, 𝑦
𝜕 𝑟, 𝜃
=
cos(𝜃) −r. sen(𝜃)
sen(𝜃) 𝑟. cos(𝜃)
= 𝑟
Assim temos que:
ඵ
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 =ඵ
𝑅′
𝑓 rcos(𝜃) , r. sen(𝜃) 𝑟𝑑𝑟 𝑑𝜃
Equações de transformação: 
ቊ
𝑥 = 𝑟. cos(𝜃)
𝑦 = 𝑟. sen(𝜃)
INTEGRAL DUPLA - exemplo
8. Determine o volume do sólido limitado pelo plano 𝑧 = 0 e
pelo paraboloide 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2. 𝜋
2
9. Use a integral dupla para calcular a área contida em um laço
da rosácea de quatro pétalas: 𝑟 = cos(2𝜃). 𝜋
8
INTEGRAL DUPLA - exemplo
10. Calcule 𝑅׭ (3𝑥 + 4𝑦
2)𝑑𝐴, onde R é a região limitada pelos
círculos 𝑥2 + 𝑦2 = 1 e 𝑥2 + 𝑦2 = 4. 15𝜋
11. Calcule 𝑅׭ 𝑒
−𝑥2−𝑦2𝑑𝐴, onde R é a região limitada pelo
semicírculo 𝑥 = 4 − 𝑦2 e o eixo 𝑦. 𝜋
2
1 − 𝑒−4
INTEGRAL DUPLA - exemplo
12. Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide
𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, acima do plano 𝑥𝑦 e dentro do cilindro
𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥. 3𝜋
2
INTEGRAL DUPLA - exemplo
13. Considerando as regiões R abaixo indicadas, escreva a
integral 𝑅׭ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 como uma integral iterada.
a) b)
INTEGRAL DUPLA - exemplo
14. Esboce a região cuja área é dada pela integral:
a)න
𝜋
2𝜋
න
4
6
𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
b)න
0
𝜋/2
න
0
4 cos(𝜃)
𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
INTEGRAL TRIPLA
Seja 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) uma função definida em uma região 
fechada e limitada B do espaço.
A integral tripla da função 𝑤 sobre uma região B é:
ම
𝐵
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉
INTEGRAL TRIPLA 
Teorema de Fubini
Seja 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) uma função definida em uma região
fechada e limitada:
𝐵 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 /𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 𝑠 ≤ 𝑧 ≤ 𝑟}
ම
𝐵
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 = න
𝑠
𝑟
න
𝑐
𝑑
න
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
INTEGRAL TRIPLA - exemplo
15. Calcule a integral tripla
a)ම
𝐵
𝑥𝑦𝑧2𝑑𝑉
𝐵 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 / 0 < 𝑥 ≤ 1,−1 ≤ 𝑦 ≤ 2, 0 ≤ 𝑧 ≤ 3 27
4
b)ම
𝐵
6𝑥𝑧𝑑𝑉
𝐵 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 /0 < 𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑧, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑧, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1}
INTEGRAL TRIPLA
Integral tripla sobre uma região limitada 
geral E no espaço tridimensional (um 
sólido). 
INTEGRAL TRIPLA
Vamos restringir às funções contínuas 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) em certos tipos 
de regiões: tipo 1, tipo 2 e tipo 3.
16. Calcule a integral tripla:
a)ම
𝐸
𝑧𝑑𝑉
(1/24)
INTEGRAL TRIPLA – exemplo
INTEGRAL TRIPLA
TIPO 1
Região sólido E do tipo 1: está contida entre os gráficos de 
duas funções contínuas de 𝑥 e 𝑦. Assim:
𝐸 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 / (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 𝑢1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑢2(𝑥, 𝑦)}
Onde D é a projeção do 
sólido E sobre o plano 𝒙𝒚
INTEGRAL TRIPLA
TIPO 2
Região sólido E do tipo 2: está contida entre os gráficos de 
duas funções contínuas de 𝑧 e 𝑦. Assim:
𝐸 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 / (𝑦, 𝑧) ∈ 𝐷 𝑢1(𝑦, 𝑧) ≤ 𝑧 ≤ 𝑢2(𝑦, 𝑧)}
Onde D é a projeção do 
sólido E sobre o plano zy
INTEGRAL TRIPLA
Onde D é a projeção do 
sólido E sobre o plano zx
TIPO3
Região sólido E do tipo 3: está contida entre os gráficos de 
duas funções contínuas de 𝑧 e 𝑥. Assim:
𝐸 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 / (𝑥, 𝑧) ∈ 𝐷 𝑢1(𝑥, 𝑧) ≤ 𝑧 ≤ 𝑢2(𝑥, 𝑧)}
17. Calcule a integral 𝐸׮ 𝑘𝑑𝑧𝑑𝐴, onde E é a região delimitada
pelo cilindro parabólico 𝑥 = 𝑦2 e pelos planos 𝑥 = 𝑧 , 𝑧 =
0 e 𝑥 = 1.
(4k/5)
INTEGRAL TRIPLA – exemplo
18. Calcule a integral 𝐸׮ (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑉, onde E é a região
delimitada pelo prisma de base quadrada contida no plano xy
de vértices (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0) e (0,1,0) e superiormente
pelo plano 𝑧 = 5 − 𝑥 − 𝑦.
(11/12)
INTEGRAL TRIPLA – exemplo
19. Calcule o volume do sólido E indicado abaixo.
( )
INTEGRAL TRIPLA – exemplo
Aplicação da Integral Tripla
O gráfico de 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 pertence ao espaço quadridimensional.
Apesar disso, a integral tripla pode ser interpretada de formas
diversas, dependendo das interpretações físicas de 𝑥, 𝑦, 𝑧 e
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 .
Um caso especial, onde 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1 para todos os pontos
do sólido E, a integral tripla representa o volume de E.
ම
𝐸
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 = 𝑉(𝐸)
20. Calcule a integral 𝐸׮ 𝑥
2 + 𝑧2𝑑𝑉, onde E é a região
delimitada pelo paraboloide 𝑦 = 𝑥2 + 𝑧2 e pelo plano 𝑦 = 4.
(128𝜋/15)
INTEGRAL TRIPLA – exemplo
Integral Tripla: Mudança de Variáveis
Coordenadas Cilíndricas
No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto P no espaço
tridimensional é representado pela tripla ordenada (𝑟, 𝜃, 𝑧),
onde 𝑟 e 𝜃 são as coordenadas polares da projeção de P no
plano 𝑥𝑦 e 𝑧 é a distância orientada do plano 𝑥𝑦 a P.
ቐ
𝑥 = 𝑟. cos(𝜃)
𝑦 = 𝑟. sen(𝜃)
𝑧 = 𝑧
Integral Tripla - Coordenadas Cilíndricas
ම
𝐸
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 = ඵ
𝐷
න
𝑢1(𝑥,𝑦)
𝑢2(𝑥,𝑦)
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝐴
Determinando Jacobiano –
Coordenadas Cilíndricas
𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕(𝑟,𝜃, 𝑧)
=
𝜕𝑥
𝜕𝑟
𝜕𝑥
𝜕𝜃
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑟
𝜕𝑦
𝜕𝜃
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑟
𝜕𝑧
𝜕𝜃
𝜕𝑧
𝜕𝑧
= … = r
Integral Tripla: Mudança de Variáveis
Coordenadas Cilíndricas
ම
𝐸
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 = න
𝛼
𝛽
න
ℎ1
ℎ2
න
𝑢1
𝑢2
𝑓(𝑟 cos 𝜃 , 𝑟 sen(𝜃) , 𝑧) 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃
Coordenadas cilíndricas são úteis 
em situações que envolvem simetria 
em torno do eixo z
21. Calcule a integral:
ම
𝐸
𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑉
(12pi/5 )
INTEGRAL TRIPLA – exemplo
22. Calcule a integral:
න
−2
2
න
− 4−𝑥2
4−𝑥2
න
𝑥2+𝑦2
2
(𝑥2+𝑦2) 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
(16pi/5)
INTEGRAL TRIPLA – exemplo
Integral Tripla: Mudança de Variáveis
Coordenadas Esféricas
No sistema de coordenadas esféricas um ponto P no espaço
tridimensional é representado (𝜌, 𝜃, 𝜙) , onde𝜌 e 𝜃 são as
coordenadas polares da projeção de P no plano 𝑥𝑦 e 𝜙 é o
ângulo entre o eixo z positivo e o segmento de reta OP.
𝜌 ≥ 0
0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋
Integral Tripla: Mudança de Variáveis
Coordenadas Esféricas
൞
𝑥 = 𝜌. sen(𝜙) . cos(𝜃)
𝑦 = 𝜌. sen(𝜙) . sen(𝜃)
𝑧 = 𝜌. cos(𝜙)
𝜌2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
Determinando Jacobiano –
Coordenadas Esféricas
𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕(𝜌, 𝜃, 𝜙)
= ⋯ = 𝜌2 s𝑒𝑛(𝜙)
Integral Tripla: Mudança de Variáveis
Coordenadas Esféricas
ම
𝐸
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 =
=ම
𝐸
𝑓(𝜌. sen(𝜙) . cos(𝜃) , 𝜌. sen(𝜙) . sen(𝜃) , 𝜌. cos(𝜙)) 𝜌2 s𝑒𝑛(𝜙) 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜙
൞
𝑥 = 𝜌. sen(𝜙) . cos(𝜃)
𝑦 = 𝜌. sen(𝜙) . sen(𝜃)
𝑧 = 𝜌. cos(𝜙)
23. Utilize coordenadas esféricas e determine o volume do sólido
que está acima do cone 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 e abaixo da esfera 𝑥2 + 𝑦2 +
𝑧2 = 𝑧, de acordo com a figura.
INTEGRAL TRIPLA – exemplo
(𝜋/8)
24. Determine:
ම
𝐵
𝑒 𝑥
2+𝑦2+𝑧2
3/2
𝑑𝑉
Onde B é a esfera unitária: 𝐵 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 1 }
INTEGRAL TRIPLA – exemplo
(4
𝜋
3
(e-1))
25. Utilize coordenas cilíndricas ou esféricas e determine
o volume dos sólidos:
INTEGRAL TRIPLA – exemplo
26. Determine:
ම
𝐵
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 2𝑑𝑉
Onde B é a esfera com centro na origem e raio 5.
INTEGRAL TRIPLA – exemplo
312.500pi/7
27. Determine:
ම
𝐵
𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑉
Onde B está entre as esferas:
𝑥2 + 𝑦2 + z2 = 4 e 𝑥2 + 𝑦2 + z2 = 9
INTEGRAL TRIPLA – exemplo
1.688pi/15