Aula 5 Resistencia dos Materiais 1

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SISTEMA UNIVERSITÁRIO PITÁGORAS
CURSO: Engenharia Civil
DISCIPLINA: Resistência dos Materiais
Data: 9 de Maio de 2012 		  
Resistência dos Materiais
Prof. Dr. Eden Santos Silva
TORÇÃO
 Exemplos & Aplicações
TORQUE (Momento de torção) – é o momento que tende a torcer o membro em torno do seu eixo longitudinal
Eixos de transmissão, utilizado para transmitir potência em veículos e maquinarias;
Introdução
Estudo de peças submetidas a efeito de torção; Estudo das tensões e deformações produzidas em peças da seção transversal circular, sujeita a ação conjugadas (TORQUE) que tendem a torcer as peças
 ...Os momentos de torção (Torque, T) têm a mesma intensidade e sentidos opostos
Análise preliminar das tensões em um eixo
 ...Os momentos de torção (Torque, T) têm a mesma intensidade e sentidos opostos
Diagrama do corpo livre
As forças elementares de cisalhamento (dF), perpendiculares ao raio do eixo (ρ) se relaciona com o momento de torção
Eixo sujeito a ação de um momento de torção
 tensão de cisalhamento varia linearmente ao longo da reta radial da seção transversal
Tensões de cisalhamento (em várias planos)
Soma dos momentos das forças dF em relação ao centro, com a mesma intensidade
Esta expressão não indica de que modo as tensões se distribuem na seção transversal; carregamento estaticamente indeterminado
Deformações nos eixos circulares
Eixo circular submetido a um momento de torção T
O eixo gira e a seção transversal da extremidade apresenta uma rotação com ângulo φ (Ângulo de torção)
 Experimentalmente,
 Uma variação no momento de torção (T) , provoca uma mudança no ângulo de torção (φ) proporcional a T e é proporcional ao comprimento (L) do eixo
Propriedades
 Quando um eixo circular fica submetido à torção, todos as seções transversais se mantêm planas e conservam sua forma, mesmo com ângulos de torção diferentes ao longo das seções - AXISSIMÉTRICA 
Distribuição de tensões de cisalhamento na seção transversal
Eixo circular de comprimento L e raio c torcido em um ângulo de torção φ
Retirando do interior do eixo um cilindro de raio ρ, marcando na superfície deste um elemento de área 
Note que após a aplicação do torque (T) o elemento se transforma num losango
Deformação de cisalhamento (γ, rad), com γ pequeno
Provocada pelo momento de torção (T) transformando o elemento de área superficial num losango com variação do ângulo formado pelos lados do elemento 
(Comprimento do arco)
(Seção transversal)
A deformação de cisalhamento em uma barra circular varia linearmente com a distância ao eixo da barra
Deformação de cisalhamento máxima
Ocorre quando ρ = c,
Na superficie do eixo 
Tensões no regime elástico
Tensões de cisalhamento em um eixo circular dentro do regime elástico, o torque tem uma valor tal que as tensões no material se mantêm abaixo da tensão de cisalhamento de escoamento, abaixo do limite de proporcionalidade e do limite de elasticidade, sem deformação permanente (Lei de Hooke)
 Distribuição de tensões de cisalhamento na seção transversal de um eixo circular maciço
Aplicações
 Distribuição de tensões de cisalhamento na seção transversal de um eixo circular vazado
Equacionamento dos momentos de forças elementares exercidos sobre qualquer seção do eixo
 Momento de inércia polar da seção transversal
UNIDADES: 
 T [N.m]
 c e ρ [m]
 J [m4]
 Tensão de cisalhamento com momento de inércia polar de um círculo de raio c maciço; e para um eixo circular vazado
EXEMPLO
Essas relações são válidas para o caso de seções transversais variáveis, ou no caso em que os momentos de torção são aplicados a qualquer ponto do eixo
EXEMPLO: Um eixo circular vazado do aço tem comprimento L = 1,5 m e diâmetros interno e externo respectivamente de 40 e 60 mm. (a) Qual é o maior momento de torção que pode ser aplicado ao eixo, para que as tensões de cisalhamento não excedam 120 MPa? (b) Qual é o valor mínimo da tensão de cisalhamento para este caso?
Carregamentos por tensões normais e de cisalhamento simultâneo
Barra circular submetida a momento de torção (T)
 Note que o elemento a tem suas faces paralelas e perpendiculares ao eixo da barra circular, sendo as únicas tensões atuante no elemento são de cisalhamento
 As faces do elemento b , que formam um ângulo arbitrário com o eixo da barra estarão sujeitos a uma combinação de tensões normais e de cisalhamento
Caso particular
Um elemento c que forma um ângulo de 45o com o eixo da barra circular sujeita a tensões de tração e compressão com mesma intensidade
 Vale saber
	Os materiais dúcteis geralmente se rompem por cisalhamento quando sujeito a torção; e se quebram em um plano perpendicular ao eixo longitudinal.
	Os matérias frágeis são menos resistentes à tração que ao cisalhamento. E quando submetido a torção a ruptura tende a ocorrer ao longo de superfícies perpendiculares à direções longitudinais 
Ângulo de torção no regime elástico
 Relação entre o ângulo de torção φ do eixo circular de comprimento L com seção uniforme de raio c e o torque T que se aplica ao eixo no regime elástico
Deformação de cisalhamento máxima
Regime elástico (Lei de Hooke)
(em rad)
 Caso o material (eixo) seja composto de vários materiais diferentes, deve-se dividi-lo em várias partes
 O esforço interno de torção T em qualquer parte do eixo é obtido passando uma seção por essa parte e desenhando o diagrama de corpo livre da porção do eixo 
Caso geral: Eixo circular com seção transversal variável
(Ângulo de torção total do eixo)
 Caso: E quando as duas extremidades do eixo giram?
 O ângulo de torção do eixo é igual ao ângulo segundo o qual uma extremidade girou em relação a outra
TORÇÃO - Eixos estaticamente indeterminados
 Cálculo das tensões em um eixo, determinação das Equações de equilíbrio -Estática
	- Momento de torção (T);
	-Diagrama de corpo livre 	(Forças & Momento)
 Problemas estaticamente indeterminado,
- Deformação do eixo;
- Restrição da geometria do problema
 EXEMPLO: Um eixo AB tem 250 mm de comprimento e 20 mm de diâmetro, tendo seção transversal circular. O eixo tem seção vazada, com diâmetro interno de 16 mm, no trecho de 125 mm a partir da extremidade B. O eixo é de aço, sendo engastado nas extremidades. Determinar o momento torçor que se exerce no eixo devido a cada apoio, quando um torque de 120 N.m é aplicado no ponto médio de AB.
 EXEMPLO: Um eixo vertical AD é engastado a uma base fixa D, e fica submetido ao momento torçor indicado. A porção CD do eixo tem seção transversal vazada de 44 mm de diâmetro interno. Sabendo-se que o eixo é feito de aço, com módulo de elasticidade transversal G = 80 GPa, calcular o ângulo de torção no ponto A.
Projeto de eixo de transmissão
Principais especificações
 POTÊNCIA – Trabalho realizado por unidade de tempo
 VELOCIDADE DE ROTAÇÃO
<<< O projetista deverá escolher materiais e dimensões adequadas, de modo que a máxima tensão de cisalhamento admissível não seja excedida quando o eixo transmitir a potencia requerida na velocidade especificada >>>
 Para um projeto de eixo de torção em regime elástico
(Parâmetro de projeto ou geométrico, J/c)
Ex: Eixo circular maciço
Relação de unidades Inglês - SI
 1 rpm = 1/60 s-1 = 1/60 Hz 
 1 HP = 746 N.m/s
 EXEMPLO: Um eixo é constituído por um tubo de aço de 50 mm de diâmetro externo e deve transmitir 100 kW de potencia a uma frequência de 20 Hz. Determinar a espessura do tubo para que a tensão máxima de cisalhamento não exceda a 60 MPa.
Concentração de tensões em eixos circulares
Coeficiente de concentração de tensão (K), depende da relação entre os diâmetros
<<< As concentrações de tensões resultantes de uma mudança abrupta do diâmetro (descontinuidade) de um eixo podem ser reduzidas pelo uso de raios concordâncias ou adoçamentos >>>
 EXEMPLO: O eixo de seção transversal variável da figuratransmite a potência de uma turbina para um gerador, girando a 900 rpm. O tipo de aço especificado no projeto tem tensão admissível de cisalhamento de 55 Mpa. (a) As dimensões indicadas são as de um projeto preliminar. Determinar, para esses valores, a máxima potência que pode ser transmitida. (b) Se o projeto final especificar o valor de 10 mm para o raio de adoçamento, qual o aumento percentual, na potência transmitida, em relação ao caso (a)?????? (Ver Gráfico Fig. 3.31 LIVRO)
Deformações plásticas em eixos de seção circular
<<< Mesmo quando as leis de Hooke não podem ser aplicadas, a distribuição de deformações especificas em um eixo circular é sempre linear >>>
Soma das contribuições do Torque para um elemento anelar
Torque plástico Comportamento perfeitamente elástico considerando que a distribuição da tensão de cisalhamento seja constante e que o eixo continua a torcer sem nenhum aumento no valor do torque
Torque último
Módulo de ruptura a torção com falha no eixo
ò
=
T
dF
r
dA
dF
t
=
ò
=
T
dA
rt
g
.
'
L
AA
=
L
f
r
g
.
=
f
r
.
'
=
AA
max
.
g
f
r
g
c
=
g
t
.
G
=
max
.
g
r
g
c
=
max
.
t
r
t
c
=
max
2
1
.
t
t
c
c
=
J
c
T
.
max
=
t
dA
J
ò
=
2
r
J
T
r
t
.
=
4
2
1
c
J
p
=
)
(
2
1
4
1
4
2
c
c
J
-
=
p
J
c
T
o
.
45
±
=
s
L
c
f
g
.
max
=
max
max
.
g
t
G
=
G
J
c
T
.
.
max
=
g
G
J
L
T
.
.
=
f
å
=
i
i
i
i
i
G
J
L
T
.
.
f
G
J
dx
T
d
.
.
=
f
ò
=
L
G
J
dx
T
0
.
.
f
G
J
L
T
B
E
B
E
.
.
/
=
-
=
f
f
f
w
T
P
.
=
f
w
.
2
p
=
T
f
P
.
.
2
p
=
J
c
T
.
max
=
t
max
t
T
c
J
=
4
2
1
c
J
p
=
3
2
1
c
c
J
p
=
J
c
T
K
.
.
max
=
t
r
tr
p
d
T
ò
=
2
2
J
c
T
R
U
T
.
=