EDO primeira ordem

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Professora: Sc. Michelle Lopes Reis
REVISÃO
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: 
DEFINIÇÃO: equações que envolvem derivadas; 
O objetivo de uma equação comum 𝑥2 + 5𝑥 + 4 = 0, é encontrar o valor da variável x;
Em ED 𝑦′′ + 2𝑦′ + 𝑦 = 0, o objetivo é encontrar a função da expressão;
Como sabemos, ao resolver a derivada de uma determinada função, obtemos outra função; 
ex: 𝑦 = 𝑒𝑥
2
;
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑒𝑥
2
. Portanto, nosso objetivo é encontrar a função y, correspondente as derivadas 
que compõem as ED’s; e para isso devemos aplicar o que conhecemos como antederivada, ou seja, as 
integrais;
Em equações diferenciais reunimos o que foi aprendido nos dois primeiros cálculos, os quais 
envolvem limites, derivadas e integrais;
NOTAÇÃO: dy/dx ; y’;
APLICAÇÃO: diversas situações no mundo real, envolvem equações diferenciais, em especial, 
e que será demonstrado na disciplina, temos os modelos matemáticos; 
REVISÃO
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: 
CLASSIFICAÇÃO: 
 TIPO:
- ED ORDINÁRIA: pode haver uma ou mais variáveis dependentes, mas, em relação a apenas 
uma única variável independente;
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+
𝒅𝒕
𝒅𝒙
= 𝟐𝒙 + 𝒚
- ED PARCIAL: uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis 
independentes;
𝝏𝒖
𝝏𝒙
=
𝝏𝒗
𝝏𝒚
 ORDEM: y’ = 1ª ordem; y = ordem 0;
 GRAU: 𝑦′ 2 = grau 2;
REVISÃO
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO): 
REPRESENTAÇÕES:
𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒚′, … , 𝒚 𝒏 = 𝟎
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
= 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑦′, … , 𝑦𝑛−1
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
CASO ESPECIAL: 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇(𝒙)
REVISÃO
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO): 
AS EDOs PODEM SER SUBCLASSIFICADAS:
- EDO DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS; 
- EDO AUTÔNOMA; 
- EDO EXATA;
- EDO LINEAR;
- EDO HOMOGÊNEA.
Cada uma delas possui um método de solução, entretanto as soluções são classificadas e 
por conta disso, antes de ver cada uma delas, vamos entender como essas soluções podem ser 
apresentadas.
REVISÃO
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO): 
SOLUÇÕES: a função encontrada, será solução da EDO se, ao ser substituída na EDO ela 
fornecer uma identidade que esteja dentro do intervalo definido. 
- CLASSIFICAÇÃO:
GERAL OU COMPLETA (FAMÍLIA DE SOLUÇÕES);
SOLUÇÃO PARTICULAR (PVI);
SOLUÇÃO SINGULAR (SOLUÇÃO TRIIVAL).
Tais soluções podem ser apresentadas de forma EXPLÍCITA ou IMPLÍCITA. 
Outro ponto a se levar em consideração é que, apesar de estarmos nos referindo como 
se uma EDO apresentasse apenas uma solução, isso não é regra, ou seja, normalmente as EDOs
apresentam mais de uma solução. 
REVISÃO
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO) DE PRIMEIRA ORDEM COM VARIÁVEIS SEPARÁVEIS:
DEFINIÇÃO: EDOs que podem ser escritas na forma:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= ℎ 𝑥 . 𝑔(𝑦);
SOLUÇÃO: separação das variáveis e integração em ambos os lados;
PROBLEMA DE VALOR INICIAL: é uma EDO que apresenta uma condição inicial, e o
nosso objetivo é encontrar uma solução que atenda a essa condição.
Situações envolvendo PVI:
- Não ter solução;
- Ter mais de uma solução;
- Ter apenas uma solução (Teorema da existência e unicidade).
REVISÃO
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO) DE PRIMEIRA ORDEM COM VARIÁVEIS SEPARÁVEIS:
DEFINIÇÃO: EDOs que podem ser escritas na forma:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= ℎ 𝑥 . 𝑔(𝑦);
SOLUÇÃO: separação das variáveis e integração em ambos os lados;
PROBLEMA DE VALOR INICIAL: é uma EDO que apresenta uma condição inicial, e o
nosso objetivo é encontrar uma solução que atenda a essa condição.
Teorema da existência e unicidade da solução: o teorema será válido, se a função e a
sua derivada parcial em relação a y (termo dependente) forem contínuas dentro de um determinado
intervalo que contenha a condição dada;
Além disso, o teorema pode ser descartado quando se analisa se a EDO possui solução
trivial (fazendo x=0, obtemos y=0). Pois isso faz com que a EDO possua duas soluções dentro do intervalo
y(0)=0.
Vale salientar que só é pertinente analisar se há solução trivial quando a condição é y(0) = 0.
REVISÃO
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO) DE PRIMEIRA ORDEM AUTÔNOMAS:
DEFINIÇÃO: EDOs que não apresenta o termo independente explícitamente:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑦 ;
SOLUÇÃO: separação das variáveis e integração em ambos os lados;
Nesse tipo de solução, faz-se a análise da solução. Verifica-se se há solução de equilíbrio ou determina quais
são os intervalos de solução;
Solução de equilíbrio: quando y(x) = c, ou seja, f(c) = 0;
Intervalo de solução: determinado com base no crescimento ou decrescimento da função, analisando a
partir do sinal algébrico da derivada, em relação ao intervalo sobre o eixo do termo dependente; e com isso,
haverá dentro dos diferentes intervalos, soluções para a EDO autônoma.
REVISÃO
MODELOS MATEMÁTICOS: descrição matemática de um sistema ou fenômeno;
A grande questão é que: soluções reais para problemas aproximados ou soluções aproximadas para
modelos reais. E os estudiosos tem ao máximo tentado ligar essas situações, ou seja, fazer com que as
soluções reais sirvam como solução aproximada para os modelos reais.
Isso é desejável, tendo em vista que, para tornar um modelo real, requer a inserção de diversas variáveis, o
que complica a resolução matemática do problema, fazendo com que as soluções sejam aproximadas ou
impossíveis de serem definidas.
- Crescimento populacional;
- Decaimento radioativo;
- Lei do resfriamento (ou aquecimento) de Newton;
- Circuitos elétricos simples;
- Problemas de misturas;
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MODELOS MATEMÁTICOS
MODELOS MATEMÁTICOS: descrição matemática de um sistema ou fenômeno;
A grande questão é que: soluções reais para problemas aproximados ou soluções aproximadas para
modelos reais. E os estudiosos tem ao máximo tentado ligar essas situações, ou seja, fazer com que as
soluções reais sirvam como solução aproximada para os modelos reais.
Isso é desejável, tendo em vista que, para tornar um modelo real, requer a inserção de diversas variáveis, o
que complica a resolução matemática do problema, fazendo com que as soluções sejam aproximadas ou
impossíveis de serem definidas.
- Crescimento populacional;
- Decaimento radioativo;
- Lei do resfriamento (ou aquecimento) de Newton;
- Circuitos elétricos simples;
- Problemas de misturas;
MODELOS MATEMÁTICOS
CRESCIMENTO POPULCIONAL:
𝑆𝑒𝑗𝑎: 𝑦 = 𝑦 𝑡 → 𝑦 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣í𝑑𝑢𝑜𝑠
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑘. 𝑦(𝑡)
𝐿𝑜𝑔𝑜: 𝑦 𝑡 = 𝑐. 𝑒𝑘𝑡
𝐴𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙: 𝑦 0 = 0
𝑇𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑃 𝑡 = 𝑃𝑜𝑒
𝑘𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑃𝑜 = 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑡 = 0
MODELOS MATEMÁTICOS
CRESCIMENTO POPULCIONAL:
- Exemplo: Em 1910, havia no mundo 1750 milhões de pessoas. Estime a taxa de crescimento
entre 1900 e 1910. Sabendo que a população inicial era 1650 milhões.
MODELOS MATEMÁTICOS
CRESCIMENTO POPULCIONAL:
- Exemplo: Em 1910, havia no mundo 1750 milhões de pessoas. Estime a taxa de crescimento
entre 1900 e 1910. Sabendo que a população inicial era 1650 milhões.
- Resposta:
𝑃 1910 = 1650. 𝑒𝑘.10 →
1750
1650
= 𝑒10𝑘 → 1,06 = 𝑒10𝑘
ln 1,06 = 10𝑘 → 𝑘 =
0,059
10
→ 𝑘 ≈ 0,006 → 𝑘 ≈ 0,6%
MODELOS MATEMÁTICOS
DECAIMENTO RADIOTIVO:
𝑆𝑒𝑗𝑎:𝑚 = 𝑚 𝑡 → 𝑚 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
𝑑𝑚
𝑑𝑡
= 𝑘.𝑚(𝑡)
𝐿𝑜𝑔𝑜:𝑚 𝑡 = 𝑐. 𝑒𝑘𝑡
𝐴𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙: 𝑦 0 = 0
𝑇𝑒𝑚𝑜𝑠:𝑚 𝑡 = 𝑚𝑜𝑒
𝑘𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑚𝑜 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑡 = 0
𝑀𝑒𝑖𝑎 − 𝑣𝑖𝑑𝑎: 𝑚 𝑡 =
𝑚𝑜
2
MODELOS MATEMÁTICOS
DECAIMENTO RADIOATIVO:
- Exemplo: Um osso contém 1/1000 da quantidade original de carbono 14 (C-14). Sabendo que o
tempo de meia vida do C14 é aproximadamente 5700 anos. Determine a idade do fóssil.
MODELOS MATEMÁTICOS
DECAIMENTO RADIOATIVO:
- Exemplo: Um osso contém 1/1000 da quantidade original de carbono 14 (C-14). Sabendo que o
tempo de meia vida do C14 é aproximadamente 5700 anos. Determine a idade do
fóssil.
Primeiro devemos montar a equação:
𝑚 5700 = 𝑚𝑜𝑒
𝑘5700 𝑒 𝑚 5700 =
𝑚𝑜
2
𝑚𝑜
2
= 𝑚𝑜𝑒
5700𝑘 → ln
1
2
= 5700𝑘 → 𝑘 = −
ln 2
5700
E então determinar a idade do fóssil levando em consideração que ele ainda tem 1/1000 da quantidade
original:
𝑚𝑜
1000
= 𝑚𝑜. 𝑒
−
ln 2
5700
.𝑡
→ ln
1
1000
= −
𝑙𝑛2
5700
. 𝑡 → 𝑡 = −
5700. ln 0,001
𝑙𝑛2
→ 𝑡 ≈ 56.805 𝑎𝑛𝑜𝑠
MODELOS MATEMÁTICOS
LEI DO RESFRIAMENTO (OU AQUECIMENTO) DE NEWTON: segundo Newton, a taxa segundo a qual a
temperatura de um corpo varia é proporcional a diferença de temperatura entre o objeto e o meio que o
mesmo se encontra. Então:
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘 𝑇 − 𝑇𝑚 = 𝑘∆𝑇
De modo que:
Tm>T = aquecimento do corpo;
Tm<T = resfriamento do corpo.
Resolvendo a EDO e aplicando a condição inicial y(0)=0, temos:
∆𝑇 = ∆𝑇𝑜𝑒
𝑘𝑡
MODELOS MATEMÁTICOS
LEI DO RESFRIAMENTO (OU AQUECIMENTO) DE NEWTON:
- Exemplo: Uma garrafa de soda em temperatura ambiente a 72°F é colocada em um refrigerador
onde a temperatura pe de 44°F. Passado meia hora a soda está resfriada a uma temperatura de 61°F.
a) Qual a taxa de resfriamento?
b) Quanto a soda demoraria para atingir 51°F?
MODELOS MATEMÁTICOS
LEI DO RESFRIAMENTO (OU AQUECIMENTO) DE NEWTON:
- Exemplo: Uma garrafa de soda em temperatura ambiente a 72°F é colocada em um refrigerador
onde a temperatura pe de 44°F. Passado meia hora a soda está resfriada a uma temperatura de 61°F.
a) Qual a taxa de resfriamento?
∆𝑇𝑜 = 72 − 44 = 28°𝐹
∆T = 61 − 44 = 17°𝐹
𝐿𝑜𝑔𝑜, 17 = 28𝑒𝑘0,5 →
17
28
= 𝑒0,5𝑘 → ln
17
28
= 0,5𝑘 → 2. ln
17
28
= 𝑘
𝑘 ≈ −1.
b) Quanto a soda demoraria para atingir 51°F?
∆𝑇 = 28𝑒−𝑡 →
7
28
= 𝑒−𝑡 → −𝑙𝑛4 = −𝑡 → 𝑡 ≈ 1,38ℎ → 𝑡 ≈ 83𝑚𝑖𝑛
MODELOS MATEMÁTICOS
CIRCUITO ELÉTRICO SIMPLES: o circuito elétrico simples em questão é composto por um resistor e um
indutor que são constantes, dado o fechamento da chave uma corrente i(t) surge;
Pelas leis de Kirchhoff, a tensão total do circuito é dada pela soma da tensão em R e L;
Ainda considerando as leis, a relação entre corrente e tensão, no resistor é:
𝑉 = 𝑅. 𝑖
Já no indutor, temos que:
𝑉 = 𝐿(
𝑑𝑖
𝑑𝑡
)
Portanto:
𝑉 𝑡 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑅𝑖
MODELOS MATEMÁTICOS
CIRCUITO ELÉTRICO SIMPLES:
- Exemplo: Determine a corrente para um circuito RL, onde R = 12Ω e L = 4H. E a tensão é
fornecida por uma pilha de 60V, e o interruptor é ligado em t=0. Em seguida determine o valor limite da
corrente.
MODELOS MATEMÁTICOS
CIRCUITO ELÉTRICO SIMPLES:
- Exemplo: Determine a corrente para um circuito RL, onde R = 12Ω e L = 4H. E a tensão é
fornecida por uma pilha de 60V, e o interruptor é ligado em t=0. Em seguida determine o valor limite da
corrente.
Primeiro resolvemos a EDO para encontrar i:
60 = 4
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 12 𝑖 → 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 4 → 15 =
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 3𝑖 → 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝐸𝐷𝑂 𝑎𝑢𝑡ô𝑛𝑜𝑚𝑎:
𝑖 𝑡 = 5 + 𝐶𝑒−3𝑡 → 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙: 𝑖 𝑡 = 5 1 − 𝐶𝑒−3𝑡
O valor limite da corrente: como sabemos a função exponencial tem I(-∞;∞), como não existe corrente
negativa, para determinar a máxima, aplica-se a limite para t -> ∞:
lim
𝑡→∞
5 − 5𝐶𝑒−3𝑡 → 5 − lim
𝑡→∞
5𝐶
1
𝑒3𝑡
→ 5𝐴.
MODELOS MATEMÁTICOS
CIRCUITO ELÉTRICO SIMPLES: o circuito elétrico simples em questão é composto por um resistor e um
capacitor que são constantes;
Pelas leis de Kirchhoff, a tensão total do circuito é dada pela soma da tensão em R e C;
Ainda considerando as leis, a relação entre corrente e tensão, no resistor é:
𝑉 = 𝑅. 𝑖
Já no capacitor, temos que:
𝑉 =
Q
C
Portanto:
𝑉 𝑡 =
𝑄
𝐶
+ 𝑅𝑖
Entretanto, há duas incógnitas Q e i, e como se sabe, i é a taxa de variação da carga em relação ao tempo,
logo:
𝑉 𝑡 =
1
𝐶
𝑄(𝑡) + 𝑅
𝑑𝑄
𝑑𝑡
MODELOS MATEMÁTICOS
PRROBLEMAS DE MISTURA: uma solução (química) envolve solvente e soluto. E uma mistura consiste em
envolver soluções;
A mistura de duas soluções com concentrações diferentes, dá origem a uma ED de primeira orem para a
quantidade de sal contida na mistura.
- Considere um recipiente com 300l de salmoura (água + uma taxa de sal).
-Nesse recipiente é bombeado outra salmoura a 3l/min e a concentração é de 2g/l de sal.
-Quando as soluções estiverem bem misturadas, ela (a mistura) será bombeada para fora a 3l/min.
-Sendo A(t) a quantidade de sal no instante t, A(t) vai variar a uma taxa líquida (entrada-saída):
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 𝑅𝑒 − 𝑅𝑠 = 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎çã𝑜𝑒 ∗ 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑒𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑒 − (𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎çã𝑜𝑠 ∗ 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑒𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠)
𝑅𝑒 = 2
𝑔
𝑙
∗ 3
𝑙
𝑚𝑖𝑛
𝑒 𝑅𝑠 =
𝐴 𝑡
300𝑙
∗ 3
𝑙
𝑚𝑖𝑛
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 6 −
𝐴
100
→
𝑑𝐴
6 −
𝐴
100
= 𝑑𝑡 → 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 → ? ? ?
MODELOS MATEMÁTICOS
PROBLEMAS DE MISTURA:
- Exemplo: Um tanque contém 20kg de sal dissolvido em 5000l de água. Uma água salgada com
0,03kg/l entra no tanque a uma taxa de 25l/min. A solução é completamente misturada e sai do tanque a
mesma taxa. Qual a quantidade de sal que permanece no tanque após meia hora?
MODELOS MATEMÁTICOS
PROBLEMAS DE MISTURA:
- Exemplo: Um tanque contém 20kg de sal dissolvido em 5000l de água. Uma água salgada com
0,03kg/l entra no tanque a uma taxa de 25l/min. A solução é completamente misturada e sai do tanque a
mesma taxa. Qual a quantidade de sal que permanece no tanque após meia hora?
A(0) = 20kg
Re = 0,75 (kg/min)
Rs = A/200 (kg/min)
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 0,75 −
𝐴
200
→
𝑑𝐴
0,75 −
𝐴
200
= 𝑑𝑡 → 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 → 𝐴 𝑡 = 150 − 𝐶𝑒−(
𝑡
200)
𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝐴 0 = 20 → 𝐴 𝑡 = 150 − 130𝑒−(
𝑡
200)
𝐴𝑝ó𝑠 30𝑚𝑖𝑛: 𝐴 30 = 150 − 130𝑒−
30
200 = 38,1𝑘𝑔
𝐸 𝑎 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎çã𝑜 é 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑎𝑜 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 lim
𝑡→∞
150 −
130
𝑒𝑡
= 150𝑘𝑔
MODELOS MATEMÁTICOS
MAIS MODELOS DAS PÁGINAS 20 A 26!!!
EDO DE 1ª ORDEM EXATA
Será uma ED exata aquela que atender as seguintes condições:
- Puder ser escrita na forma:
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
- E se:
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑥, 𝑦 =
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑥, 𝑦
Exemplo: 2𝑥 − 5𝑦 𝑑𝑥 + −5𝑥 + 3𝑦2 𝑑𝑦 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑥, 𝑦 = −5
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑥, 𝑦 = −5
EDO DE 1ª ORDEM EXATA
Método de resolução: do cálculo de funções de várias variáveis, temos que a diferencial, é:
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑑𝑦
Caso, f(x,y)=c, podemos gerar uma ED de primeira ordem computando a diferencial em ambos os
lados da igualdade.
Exemplo: 𝑥2 − 5𝑥𝑦 + 𝑦3 = 𝑐, fazendo o diferencial temos 2𝑥 − 5𝑦 𝑑𝑥 + −5𝑥 + 3𝑦2 𝑑𝑦 = 0
Porém nem sempre, uma ED na forma𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0, corresponderá a f(x,y)=c.
Então, o objetivo é analisar se a ED é de alguma maneira diferencial de d 𝑥2 − 5𝑥𝑦 + 𝑦3 , se for,
então a solução geral implícita da EDO exata será F(x,y)=c, c e R.
EDO DE 1ª ORDEM EXATA
Método de resolução: sendo
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
, então existe uma função ‘f’, que:
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑀 𝑥, 𝑦
E por ser encontrada aplicando a integral em ambos os lados, obtendo assim:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑦
Em seguida, para encontrar a função g(y), podemos fazer a diferencial de f(x,y) em relação a y e
compara com a parte N(x,y) da ED:
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= [
𝜕
𝜕𝑦
 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥] + 𝑔′ 𝑦 = 𝑁(𝑥, 𝑦)
𝑔′ 𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦 −
𝜕
𝜕𝑦
 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥
EDO DE 1ª ORDEM EXATA
Método de resolução:
Exemplo: 𝑥2𝑦3 𝑑𝑥 + 𝑥3𝑦2𝑑𝑦 = 0
1º) Está na forma𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0;
2º)
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑥, 𝑦 = 3𝑥2𝑦2
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑥, 𝑦 = 3𝑥2𝑦2
Então:
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦3 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦3𝑑𝑥 𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥3𝑦3
3
+ 𝑔(𝑦)
Diferenciando em y:
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑥3𝑦2 + 𝑔′ 𝑦 = 𝑥3𝑦2
𝑔′ 𝑦 = 0 → 𝑔 𝑦 = 𝑐
Portanto: 𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥3𝑦3
3
= 𝑐.
EDO DE 1ª ORDEM EXATA
Método de resolução:
Exemplo: 𝑥2𝑦3 𝑑𝑥 + 𝑥3𝑦2𝑑𝑦 = 0
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥3𝑦3
3
= 𝑐.
- Importante observar que a EDO acima é também separável, e vale salientar que a maioria das
EDOs de variáveis separáveis são exatas.
EDO DE 1ª ORDEM EXATA
Método
de resolução:
Resolvam:
a) 2𝑥𝑦𝑑𝑥 + 𝑥2 − 1 𝑑𝑦 = 0  𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒚 𝒙𝟐 − 𝟏 = 𝒄
b) 𝑒2𝑦 − 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑒2𝑦 − 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 + 2𝑦 𝑑𝑦 = 0 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝒆𝟐𝒚 − 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒚 + 𝒚𝟐
c)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥𝑦2−𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑦 1−𝑥2
𝑦 0 = 2  𝒇 𝒙, 𝒚 =
𝒚𝟐
𝟐
𝒙𝟐 − 𝟏 +
𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟐
𝟐
= 𝒄
𝒄 = −
𝟑
𝟐
→ 𝒚𝟐 𝒙𝟐 − 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟐 = −𝟑
EDO DE 1ª ORDEM EXATA
Método de resolução: Fator integrante.
Há casos em que a ED pode ser escrita na forma 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0, mas, ela não
exata;
A partir do fator integrante, é possível transformar uma ED não exata, em uma ED exata; basta
multiplicar esse fator em ambos os termos da expressão acima:
𝜇(𝑥, 𝑦)𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝜇(𝑥, 𝑦)𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝜇(𝑥, 𝑦)0
Esse fator deve ser:
- Não-nulo;
- Diferenciável;
Podemos ter um fator que dependa só de x, só de y ou de ambos;
EDO DE 1ª ORDEM EXATA
Método de resolução: Fator integrante.
𝜇(𝑥, 𝑦)𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝜇(𝑥, 𝑦)𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝜇(𝑥, 𝑦)0
Se ele torna a ED exata, então:
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝜇
𝜕𝑦
𝑀 + 𝜇
𝜕𝑀
𝜕y
=
𝜕𝑁
𝜕x
=
𝜕𝜇
𝜕𝑥
𝑁 + 𝜇
𝜕𝑁
𝜕𝑥
Vamos considerar que o fator dependa apenas de x, logo 𝜇 = 𝜇 𝑥 ;
E então:
𝜕𝜇
𝜕𝑦
= 0, logo, 𝜇
𝜕𝑀
𝜕y
=
𝜕𝜇
𝜕𝑥
𝑁 + 𝜇
𝜕𝑁
𝜕𝑥
 𝜇
𝜕𝑀
𝜕y
−
𝜕𝑁
𝜕x
=
𝜕𝜇
𝜕𝑥
𝑁 
𝜕𝑀
𝜕y
−
𝜕𝑁
𝜕x
𝑁
=
𝜕𝜇
𝜕𝑥
𝜇
;
Se a condição for verdadeira, a função que será obtida ao lado esquerdo, após a integração, deve
depender apenas de x;
 
𝜕𝑀
𝜕y
−
𝜕𝑁
𝜕x
𝑁
𝑑𝑥 = 
𝜕𝜇
𝜕𝑥
𝜇
𝑑𝑥 
𝜕𝑀
𝜕y
−
𝜕𝑁
𝜕x
𝑁
𝑑𝑥 = ln 𝜇  𝜇 = 𝑒 
𝜕𝑀
𝜕y
−
𝜕𝑁
𝜕x
𝑁
𝑑𝑥
EDO DE 1ª ORDEM EXATA
Método de resolução: Fator integrante (RESUMO)
1º) Verifica se EDO não é exata;
2º) Verifica se o fator integrante depende de x ou de y:
𝜕𝑀
𝜕y
−
𝜕𝑁
𝜕x
𝑁
= 𝜇(𝑥)
𝜕𝑁
𝜕𝑥
−
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑀
= 𝜇(𝑦)
Se alguma das condições forem verdadeiras, basta colocar exponencial de uma delas, multiplicar
na EDO e resolver;
Exemplo: 1 − 𝑥𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦2
1º) Colocando na forma𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 1 − 𝑥𝑦 𝑑𝑦 − 𝑦2𝑑𝑥 = 0
2º)
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑥, 𝑦 = −2𝑦
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑥, 𝑦 = −𝑦
EDO DE 1ª ORDEM EXATA
Método de resolução: Fator integrante
Exemplo: 1 − 𝑥𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦2
1º) Colocando na forma𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 1 − 𝑥𝑦 𝑑𝑦 − 𝑦2𝑑𝑥 = 0
2º)
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑥, 𝑦 = −2𝑦
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑥, 𝑦 = −𝑦
3º) Verifica se 𝜇 é dependente de x ou de y;
𝜕𝑀
𝜕y
−
𝜕𝑁
𝜕x
𝑁
= 𝜇(𝑥)
−2𝑦+𝑦
1−𝑥𝑦
= 𝜇(𝑥) 𝜇 𝑥 = −
𝑦
1−𝑥𝑦
 não depende de x, logo não pode ser o
fator integrante;
𝜕𝑁
𝜕𝑥
−
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑀
= 𝜇(𝑦)
−𝑦+2𝑦
𝑦2
= 𝜇(𝑦) 𝜇 𝑦 = −
1
𝑦
 a função só depende de y, logo esse será o
fator integrante.
EDO DE 1ª ORDEM EXATA
Método de resolução: Fator integrante
Exemplo: 1 − 𝑥𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦2
𝜕𝑁
𝜕𝑥
−
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑀
= 𝜇(𝑦)
−𝑦+2𝑦
𝑦2
= 𝜇(𝑦) 𝜇 𝑦 = −
1
𝑦
 a função só depende de y, logo esse será o
fator integrante.
Então, 𝜇 = 𝑒 
−
𝜕𝑀
𝜕y
−
𝜕𝑁
𝜕x
𝑀
𝑑𝑦
 𝜇 = 𝑒
 −
1
𝑦
𝑑𝑦
 𝜇 = 𝑒 − ln 𝑦  𝜇 = 𝑦−1 =
1
𝑦
Multiplicando na EDO:
1
y
1 − 𝑥𝑦 𝑑𝑦 −
1
𝑦
𝑦2𝑑𝑥 = 0
1
𝑦
− 𝑥 𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 = 0
Podemos testar agora se ela é exata:
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑥, 𝑦 = −1
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑥, 𝑦 = −1
EDO DE 1ª ORDEM EXATA
Método de resolução: Fator integrante
Exemplo: 1 − 𝑥𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦2
A EDO a ser resolvida é:
1
𝑦
− 𝑥 𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 = 0
Então:
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑀 𝑥, 𝑦 = −𝑦  𝑓 𝑥, 𝑦 = −𝑦 𝑑𝑥 𝑓 𝑥, 𝑦 = −𝑥𝑦 + 𝑔(𝑦)
Diferenciando em y e comparando com N:
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= −𝑥 + 𝑔′ 𝑦 =
1
𝑦
− 𝑥
𝑔′ 𝑦 =
1
𝑦
→ 𝑔 𝑦 = 𝑙𝑛𝑦
Portanto: 𝑓 𝑥, 𝑦 = −𝑥𝑦 + 𝑙𝑛𝑦 = 𝑐.
EDO DE 1ª ORDEM LINEAR
Será linear a EDO que escrita na forma:
𝑎𝑛 𝑥
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
+ 𝑎𝑛−1 𝑥
𝑑𝑛−1𝑦
𝑑𝑥𝑛−1
+ ……+ 𝑎𝑜 𝑥 𝑦 𝑥 = 𝑔(𝑥)
Seguir as condições abaixo:
-As derivadas tiverem grau 1;
- Os coeficientes (a), só dependerem do termo independente;
Como estamos tratando da EDO de 1ª ordem, a expressão fica:
𝑎1 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎𝑜 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥)
Escrevendo na forma de uma ED (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦)), temos:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑔 𝑥 −𝑎𝑜 𝑥 𝑦
𝑎1 𝑥

𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑔 𝑥
𝑎1 𝑥
−
𝑎𝑜 𝑥 𝑦
𝑎1 𝑥

𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄(𝑥) 𝑑𝑦 + 𝑃 𝑥 𝑦 − 𝑄 𝑥 = 0
EDO DE 1ª ORDEM LINEAR
Método de resolução: fator integrante.
𝑑𝑦 + 𝑃 𝑥 𝑦 − 𝑄 𝑥 = 0
A EDO acima encontra-se na forma de uma EDO exata, entretanto, ela não é exata, então
usaremos o fator integrante para transformá-la em exata e resolver.
𝜕𝑀
𝜕y
−
𝜕𝑁
𝜕x
𝑁
= 𝜇(𝑥)
𝑃(𝑥)−0
1
= 𝜇(𝑥) 𝜇 = 𝑃 𝑥
Nesse caso, como os coeficientes devem depender de x para que a EDO seja linear, o fator
integrante das EDOs lineares será sempre:
𝜇 = 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
Para resolver os problemas, basta multiplicar na EDO acima, testar se virou exata e resolver como
uma EDO exata. Entretanto, vamos observar no exemplo a seguir, que é mais conveniente
integrar y e diferenciar em x.
EDO DE 1ª ORDEM LINEAR
Método de resolução: fator integrante.
Exemplo:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 3𝑦 = 0
Colocando na forma de uma EDO exata: 𝑑𝑦 − 3𝑦𝑑𝑥 = 0;
Verificando se é exata:
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑥, 𝑦 = −3
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑥, 𝑦 = 0
Sendo o fator integrante: 𝜇 = 𝑒 −3𝑑𝑥 = 𝑒−3𝑥
Então: 𝑒−3𝑥𝑑𝑦 − 3𝑦𝑒−3𝑥𝑑𝑥 = 0
Pelo cálculo de funções de várias variáveis, podemos ter:
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑀 𝑥, 𝑦 = −3𝑦𝑒−3𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑒−3𝑥
Integrar a relação em y é muito mais simples, então:
EDO DE 1ª ORDEM LINEAR
Método de resolução: fator integrante.
Exemplo:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 3𝑦 = 0
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑀 𝑥, 𝑦 = −3𝑦𝑒−3𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑒−3𝑥
Integrar a relação em y é muito mais simples, então:
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒−3𝑥𝑑𝑦 → 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒−3𝑥. 𝑦 + ℎ(𝑥)
Diferencia em x, e compara com M:
𝜕𝑓 𝑥, 𝑦
𝜕𝑥
= −3𝑒−3𝑥. 𝑦 + ℎ′ 𝑥 = −3𝑦𝑒−3𝑥
Logo, h’(x) = 0 h(x) = c; então: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦𝑒−3𝑥 = 𝑐 𝑦 = 𝑐𝑒3𝑥 ; 𝑐𝑒𝑅
EDO DE 1ª ORDEM LINEAR
Método de resolução:
Exemplo:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 3𝑦 = 0
Quando a função g(x) = 0, classifica-se a EDO como homogênea, além disso, há uma propriedade
das EDOs lineares que diz: a soluço de uma EDO linear é dada pela soma de duas soluções:
𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝
Sendo Yc = solução homogênea e Yp = solução da eq. não homogênea;
Aplicando na EDO para verificar é possível chegar no fator integrante.
Ver livro do Ziil pág. 56 e 57.
EDO DE 1ª ORDEM LINEAR
Funções Definidas por Integrais: existem funções que não possuem antiderivadas elementares,
contudo, as integrais desse tipo de função são chamadas de não elementares.
Exemplo: 𝑒−𝑥
2
𝑑𝑥 e 𝑠𝑒𝑛𝑥2𝑑𝑥
As primitivas dessas integrais são denominadas de função erro e função erro complementar:
erf 𝑡 =
2
𝜋
 
0
𝑥
𝑒−𝑡
2
𝑑𝑡 erfc 𝑡 =
2
𝜋
 
𝑥
∞
𝑒−𝑡
2
𝑑𝑡
erf 𝑡 + erfc 𝑡 = 1
É extremamente importante no estudo de probabilidade, estatística e EDs parciais aplicadas.
EDO DE 1ª ORDEM LINEAR
Funções Definidas por Integrais:
Exemplo:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 2𝑥𝑦 = 2 ; 𝑦 0 = 1
É uma EDO linear, portanto, colocamos na forma da EDO exata: 𝑑𝑦 + 2 −𝑥𝑦 − 1 𝑑𝑥 = 0
Verificando se ela é exata, obtemos que:
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑥, 𝑦 = −2𝑥
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑥, 𝑦 = 0
Então encontra-se o fator integrante: 𝜇 = 𝑒 −2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒−𝑥
2
Assim: 𝑒−𝑥
2
𝑑𝑦 + 2𝑒−𝑥
2
−𝑥𝑦 − 1 𝑑𝑥 = 0
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑀 𝑥, 𝑦 = 2𝑒−𝑥
2
−𝑥𝑦 − 1
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑒−𝑥
2
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒−𝑥
2
𝑑𝑦 → 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒−𝑥
2
. 𝑦 + ℎ(𝑥)
𝑑𝑦 + 𝑃 𝑥 𝑦 − 𝑄 𝑥 = 0
EDO DE 1ª ORDEM LINEAR
Funções Definidas por Integrais:
Exemplo:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 2𝑥𝑦 = 2 ; 𝑦 0 = 1
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒−𝑥
2
𝑑𝑦 → 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒−𝑥
2
. 𝑦 + ℎ(𝑥)
Diferencia em x, e compara com M:
𝜕𝑓 𝑥, 𝑦
𝜕𝑥
= −2𝑥𝑒−𝑥
2
. 𝑦 + ℎ′ 𝑥 = −2𝑦𝑥𝑒−𝑥
2
− 2𝑒−𝑥
2
Logo, h’(x) = −2𝑒−𝑥
2
 h(x) = −2 𝑒−𝑥
2
𝑑𝑥; então: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒−𝑥
2
. 𝑦 − 2 𝑒−𝑥
2
𝑑𝑥 = 𝑐 
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒−𝑥
2
. 𝑦 − 2(erf 𝑥 ) = 𝑐  𝑦 =
𝑐+2 erf 𝑥
𝑒−𝑥
2  𝑦 = 𝑐𝑒
𝑥2 + 2𝑒𝑥
2
erf 𝑥  aplicando a
condição inicial 1 = 2𝑒0 erf 0 + 𝑐𝑒0 𝑐 = 1 𝒚 𝒙 = 𝟐𝒆𝒙
𝟐
𝐞𝐫𝐟
𝒙 + 𝟏 , 𝒙 ≥ 𝟎.
EDO DE 1ª ORDEM EXATA
Método de resolução:
Resolvam:
a) 2𝑥𝑦𝑑𝑥 + 𝑥2 − 1 𝑑𝑦 = 0  𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒚 𝒙𝟐 − 𝟏 = 𝒄
b) 𝑒2𝑦 − 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑒2𝑦 − 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 + 2𝑦 𝑑𝑦 = 0 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝒆𝟐𝒚 − 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒚 + 𝒚𝟐
c)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥𝑦2−𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑦 1−𝑥2
𝑦 0 = 2  𝒇 𝒙, 𝒚 =
𝒚𝟐
𝟐
𝒙𝟐 − 𝟏 +
𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟐
𝟐
= 𝒄
𝒄 = −
𝟑
𝟐
→ 𝒚𝟐 𝒙𝟐 − 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟐 = −𝟑
EDO DE 1ª ORDEM LINEAR
Resolvam: 𝑥2 − 9
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑥𝑦 = 0  𝐲 𝐱 =
𝐜
( 𝐱𝟐−𝟗)
EDO DE 1ª ORDEM HOMOGÊNEA
Uma função é dita homogênea se puder ser escrita na forma:
𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑡𝑎𝑓 𝑥, 𝑦 𝑎𝑒𝑅;
Portanto, será uma função homogênea de grau a;
Exemplo: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 5𝑦2
𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑡𝑥 2 − 3 𝑡𝑥 𝑡𝑦 + 5 𝑡𝑦 2 𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑡2𝑥2 − 3𝑡2𝑥𝑦 + 5𝑡2𝑦2
𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑡2(𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 5𝑦2) 𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑡2𝑓(𝑥, 𝑦) é homogênea de grau 2.
b) 𝒇 𝒙, 𝒚 =
𝟑
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
c) 𝒇 𝒙, 𝒚 =
𝒙
𝟐𝒚
+ 𝟒
d) 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 + 𝟏
EDO DE 1ª ORDEM HOMOGÊNEA
Uma equação diferencial é homogênea, se os coeficientes M e N forem homogêneos e de mesmo
grau:
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
𝑀 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑡𝑎𝑀 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑁 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑡𝑎𝑁 𝑥, 𝑦
Sendo a condição atendida, podemos escrever:
𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑎𝑀 1,
𝑦
𝑥
𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑎𝑁 1,
𝑦
𝑥
𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑦𝑎𝑀
𝑥
𝑦
, 1 𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑦𝑎𝑁
𝑥
𝑦
, 1
EDO DE 1ª ORDEM HOMOGÊNEA
Uma equação diferencial é homogênea, se os coeficientes M e N forem homogêneos e de mesmo
grau:
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
𝑀 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑡𝑎𝑀 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑁 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑡𝑎𝑁 𝑥, 𝑦
Exemplos:
a) 2𝑥𝑦𝑑𝑥 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑑𝑦 = 0
𝑀 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 𝑒 𝑁 𝑥, 𝑦 = −𝑥2 + 𝑦2
São homogêneas de grau 2, logo é uma EDO homogênea.
b) 2 𝑥𝑦 − 𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 0
EDO DE 1ª ORDEM HOMOGÊNEA
Método de resolução: mudança de variáveis;
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑦 = 𝑔(𝑥, 𝑢)
Assim pela regra da cadeia:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝜕𝑔
𝜕x
.
𝑑𝑥
𝑑𝑥
+
𝜕𝑔
𝜕𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥

𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔𝑥 𝑥, 𝑢 + 𝑔𝑢 𝑥, 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑔𝑥 𝑥, 𝑢 + 𝑔𝑢 𝑥, 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑔 𝑥, 𝑢 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝐹(𝑥, 𝑢)
Uma solução seria: y = g(x, Ф(x)).
A partir de: 𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑎𝑀 1,
𝑦
𝑥
𝑒 𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑎𝑁 1,
𝑦
𝑥
, temos que u pode ser y/x, ou
seja, y = ux.
Ou pode-se isolar o x, e considerar x = yu.
EDO DE 1ª ORDEM HOMOGÊNEA
Método de resolução: mudança de variáveis;
1º) Primeiro testa se é homogênea;
2º) Escolhe onde será feita a mudança de variável: x = uy ou y = ux;
3º) Substitui na EDO e obterá uma EDO de variáveis separáveis;
Exemplo: 2𝑥𝑦3𝑑𝑦 + 𝑥4 + 𝑦4 𝑑𝑥 = 0
𝑀 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦3 / 𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑥4 + 𝑦4 são homogêneas de grau 4;
Escolhendo y = ux, e fazendo a regra da cadeia teremos: 𝑑𝑦 = 𝑢 𝑥 . 𝑑𝑥 + 𝑥. 𝑑𝑢
2𝑥𝑢3𝑥3(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) + 𝑥4 + 𝑢4𝑥 4 𝑑𝑥 = 0
Fazendo a distributiva e agrupando os termos, teremos: 3𝑢4 + 1 𝑑𝑥 = −2𝑥𝑢3𝑑𝑢
Que gera a EDO separável:
𝑑𝑥
𝑥
=
−2𝑢3𝑑𝑢
3𝑢4+1
, resolvendo-a obtém-se:
1
𝑥
= 𝐶 3𝑢4 + 1 1/6
EDO DE 1ª ORDEM HOMOGÊNEA
Método de resolução: mudança de variáveis;
Que gera a EDO separável:
𝑑𝑥
𝑥
=
−2𝑢3𝑑𝑢
3𝑢4+1
, resolvendo-a obtém-se:
1
𝑥
= 𝐶 3𝑢4 + 1 1/6
Sendo u = y/x, temos:
1
𝑥
= 𝐶
3𝑦4
𝑥4
+ 1
1
6

1
𝐶𝑥
6
=
3𝑦4+𝑥4
𝑥4

x4
1
𝐶6𝑥6
−𝑥4
3
= 𝑦4
1
𝐶6𝑥2
−𝑥4
3
= 𝑦4 
1
3
𝐶1
𝑥2
− 𝑥4 = 𝑦4, 𝐶1 =
1
𝐶6
Pratiquem:
a) Resolva a mesma EDO considerando x = uy;
b) Resolva 2𝑥𝑦𝑑𝑥 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑑𝑦 = 0; para y = ux e x = uy
OUTRAS EDOs
Existem as EDOs não-lineares e modelos matemáticos referentes a eles, os quais envolvem ainda
mais parâmetros e não são de interesses para a nossa disciplina; (pág. 98 a 102)
Existem também os sistemas de equações lineares e não lineares, e os respectivos modelos
englobam mais de uma ED, como exemplo: as redes elétricas; entretanto também não são os
objetivos da disciplina; (pág. 110 a 114).