Conjunto problemas

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Conjuntos
A Teoria dos Conjuntos, um dos temas de matemática que aparecem no Enem, foi formulada no fim do século XIX pelo matemático russo Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor. Conjuntos não podem ser definidos, mas entende-se por conjunto toda coleção de objetos coisas ou números.
Esses objetos da coleção são o que chamamos de elementos do conjunto.
P = {conjunto dos números pares} ⇒ P= {0, 2, 4, 6, 8, 10...}
Exemplo:
 conjunto formado apenas pelos múltiplos de 5, vamos chamá-lo de Q. Temos, então:
 Q = {0, 5, 10, 15...}
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Conjunto União ( 
A união de conjuntos corresponde a junção dos elementos dos conjuntos dados, ou seja, é o conjunto formado pelos elementos de um conjunto mais os elementos dos outros conjuntos.
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {c, a, r, e, t} e B = {a, e, i, o, u}, represente o conjunto união A U B = ?
A U B = {c, a, r, e, t, i, o, u}
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Exemplo:
Dados os conjuntos A = {c, a, r, e, t} e B = {a, e, i, o, u}, represente o conjunto união A U B = ?
A U B = { a, e }
 Conjunto Intersecção ():
A intersecção de conjuntos corresponde aos elementos que se repetem nos conjuntos dados. Ela é representada pelo símbolo ∩.
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Exemplo de exercício usando o Diagrama de Venn 
I - Numa escola de 630 alunos, 350 estudam matemática, 210 estudam física e 90 estudam as duas matérias (matemática e física).
a) Quantos alunos estudam apenas matemática? (estudam matemática mas não estudam física)
b) Quantos alunos estudam apenas física? (estudam física mas não estudam matemática)
c) Quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias?
 
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Exemplo de exercício usando o Diagrama de Venn 
I - Numa escola de 630 alunos, 350 estudam matemática, 210 estudam física e 90 estudam as duas matérias (matemática e física).
630
90
210 – 90 = 120
120
350 – 90 = 260
260
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a) Quantos alunos estudam apenas matemática? (estudam matemática mas não estudam física)
b) Quantos alunos estudam apenas física? (estudam física mas não estudam matemática)
c) Quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias?
 
90
120
260
260
120
630
= 630 – (260 + 90 + 120) = 
= 630 – (470) = 
= 160 
 160 
 160 
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1- Numa outra pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram consultadas 470 pessoas e o resultado foi o seguinte: 250 delas leem o jornal A, 180 leem o jornal B e 60 leem os jornais A e B. Pergunta-se: 
 
a) Quantas pessoas leem apenas o jornal A? 
b) Quantas pessoas leem apenas o jornal B? 
c) Quantas pessoas leem jornais? 
d) Quantas pessoas não leem jornais?
Exercícios
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1- Numa outra pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram consultadas 470 pessoas e o resultado foi o seguinte: 250 delas leem o jornal A, 180 leem o jornal B e 60 leem os jornais A e B. Pergunta-se: 
 
Solução:
60
180 – 60 = 120
120
250 – 60 = 190
190
 470
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 a) Quantas pessoas leem apenas o jornal A? 
b) Quantas pessoas leem apenas o jornal B? 
c) Quantas pessoas leem jornais? 
d) Quantas pessoas não leem jornais?
Solução:
60
120
190
 470
190
120
190 + 60 + 120 = 370
 470 – 370 = 100
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2- (CEPCAR) No concurso para o CPCAR foram entrevistados 979 candidatos, dos quais 527 falam a língua inglesa, 251 a língua francesa e 321 não falam nenhum desses idiomas. O número de candidatos que falam as línguas inglesa e francesa é 
 
a) 778 
b) 120 
c) 658 
d) 131 
 
x
979
527 - x
251 - x
321
527 – x + x + 251 – x + 321 = 979
1099 – x = 979
1099 – 979 = x
 x = 120
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3- (UFMG_MG) Antes da realização de uma campanha de conscientização de qualidade de vida, a Secretaria de Saúde de um município fez algumas observações de campo e notou que dos 300 indivíduos analisados 130 eram tabagistas, 150 eram alcoólatras e 40 tinham esses dois vícios. Após a campanha, o número de pessoas que apresentaram, pelo menos, um dos dois vícios sofreu uma redução de 20%. Com base nessas informações, com essa redução, qual o número de pessoas sem qualquer um desses vícios? 
 
A) 102 
B) 104 
C) 106 
D) 108 
E) 110
 
40
150 – 40 = 110
110
130 – 40 = 90
 90
300
Nº de pessoas viciadas:
90 + 40 + 110 = 240
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3- Solução:
  
A) 102 
B) 104 
C) 106 
D) 108 
E) 110
 
Nº de pessoas viciadas:
90 + 40 + 110 = 240
Houve uma redução de 20% no número de viciados:
240 ----- 100% 100x = 4800 
 x --------20% x = 48
240 – 48 = 192 (Número de pessoas viciadas após a redução)
 
Logo, o nº de pessoas não viciadas: 300 - 192 = 108
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4- Em uma pesquisa de mercado foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a três produtos A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que:
 210 compram o produto A.
 210 compram o produto B.
 250 compram o produto C.
 20 compram os três produtos.
 100 não compram nenhum dos três produtos.
 60 compram os produtos A e B.
 70 compram os produtos A e C.
 50 compram os produtos B e C.
 
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Determine:
a) Quantas pessoas compram somente o produto A?
b) Quantas pessoas compram apenas o produto B?
c) Quantas pessoas compram somente o produto C?
d) Quantas pessoas compram dois produtos?
e) Quantas pessoas compram apenas um dos três produtos?
f) Quantas pessoas foram entrevistadas?
Solução:
20
100
40
60 – 20 = 40
70 – 20 = 50
50
50 – 20 = 30
30
210 – (40+20+50) = 100
100
210 – (40+20+30) = 120
120
250 – (50+20+30) = 150
150
 210 compram o produto A.
 210 compram o produto B.
 250 compram o produto C.
 20 compram os três produtos.
 100 não compram nenhum 
 dos três produtos.
 60 compram os produtos A e B.
 70 compram os produtos A e C.
 50 compram os produtos B e C.
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a) Quantas pessoas compram somente o produto A? 
b) Quantas pessoas compram apenas o produto B? 
c) Quantas pessoas compram somente o produto C? 
d) Quantas pessoas compram dois produtos? 
e) Quantas pessoas compram apenas um dos três produtos?
f) Quantas pessoas foram entrevistadas?
20
100
40
50
30
100
120
150
100
120
150
40 + 50 + 30 = 120 
100 + 120 + 150 = 370
 370 + 120 + 100 + 20 = 610
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5- Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações: Helena, Senhora e A Moreninha. para isto, efetuou-se uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas:
600 leram a Moreninha;
300 leram Senhora;
400 leram Helena;
200 leram a Moreninha e Helena
150 leram a Moreninha e Senhora
100 leram Senhora e Helena
20 leram as três obras.
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Calcule:
o número de pessoas que leram apenas uma das três obras.
b) o número de pessoas que não leu nenhuma das três obras.
Solução:
20
100 – 20 = 80
80
150 – 20 = 130
130
200 – 20 = 180
180
400 – (180+ 20+80) = 120
120
300 – (130+ 20+80) = 70
70
600 – (130+ 20+180) = 270
270
1000
600 leram a Moreninha;
300 leram Senhora;
400 leram Helena;
200 leram a Moreninha e Helena
150 leram a Moreninha e Senhora
100 leram Senhora e Helena
20 leram as três obras.
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o número de pessoas que leram apenas uma das três obras.
 = 270 + 70 + 120 = 460
b) o número de pessoas que não leu nenhuma das três obras.
Total de pessoas que leram: 
460 + 180 + 130 + 80 + 20 = 870
Pessoas que não leu nenhuma obra: 
 1000 - 870 = 130
20
80
130
180
120
70
270
1000
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6- (UFMG_MG) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados:
40% dos entrevistados leem o jornal A.
55% dos entrevistados leem o jornal B.
35% dos entrevistados leem o jornal C.
12% dos entrevistados leem o jornal A e B.
15% dos entrevistados leem o jornal A e C.
19% dos entrevistados leem o jornal B e C.
7% dos entrevistados leem os três jornais.
135 pessoas entrevistadas não leem nenhum dos três jornais. 
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Considerando-seesses dados, determine o número total de entrevistados desta pesquisa. 
 
A) 1500.
B) 1600.
C) 1800.
D) 2000.
7%
135
19% - 7% = 12%
12%
15% - 7% = 8%
8%
12% - 7% = 5%
5%
35% - (8%+ 7% + 12%) = 8%
8%
55% - (5%+ 7% + 12%) = 31%
31%
40% - (5%+ 7% + 8%) = 20%
20%
100%
40% dos entrevistados leem o jornal A.
55% dos entrevistados leem o jornal B.
35% dos entrevistados leem o jornal C.
12% dos entrevistados leem o jornal A e B.
15% dos entrevistados leem o jornal A e C.
19% dos entrevistados leem o jornal B e C.
7% dos entrevistados leem os três jornais.
135 pessoas entrevistadas não leem nenhum dos três jornais. 
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7%
135
12%
8%
5%
8%
31%
20%
100%
Total de pessoas que leem jornais:
20% + 5%+ 31% + 7% + 8% + 12% + 8% = 
= 91%
Número de pessoas que não leem 
jornais:
100% - 91% = 9%
 9% ------- 135
100% ----- x
 9x = 13500
 x = 
 x = 1500
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7- As marcas de cerveja mais consumidas em um bar, num certo dia, 
foram A, B e S. Os garçons constataram que o consumo se deu de 
acordo com a tabela a seguir:
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Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia?
b) Dentre os consumidores de A, B e S, quantos beberam apenas duas dessas marcas?
c) Quantos não consumiram a cerveja S?
d) Quantos não consumiram a marca B nem a marca S?
15
70
20 – 15 = 5
5
40 – 15 = 25
25
60 – 15 = 45
45
150 – (45 + 15 + 5) = 85
85
120 – (45 + 15 + 25) = 35
35
80 – (5 + 15 + 25) = 35
35
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Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia?
b) Dentre os consumidores de A, B e S, quantos beberam apenas duas dessas marcas?
c) Quantos não consumiram a cerveja S?
d) Quantos não consumiram a marca B nem a marca S?
15
70
5
25
45
85
35
35
85 + 45 + 35+ 15 + 5 + 25 + 35 + 70 = 315 
 45 + 5 + 25 = 75 
85 + 45 + 35 + 70 = 235 
85 + 70 = 155 
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8- Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados:
- 600 entrevistados leem o jornal A.
- 825 entrevistados leem o jornal B.
- 525 entrevistados leem o jornal C.
- 180 entrevistados leem os jornais A e B.
- 225 entrevistados leem os jornais A e C.
- 285 entrevistados leem os jornais B e C.
- 105 entrevistados leem os três jornais.
- 135 pessoas entrevistadas não leem nenhum dos três jornais.
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Considerando-se esses dados, determine:
O número de pessoas que leem apenas o jornal A?
b) O número de pessoas que leem penas o jornal B?
c) O número de pessoas que leem penas o jornal C?
d) O total de pessoas entrevistadas?
105
135
285 – 105 = 180
180
225 – 105 = 120
120
180 – 105 = 75
75
525 – (120 + 105 + 180) = 120
120
825 – (75 + 105 + 180) = 465
465
600 – (75 + 105 + 120) = 300
300
- 600 entrevistados leem o jornal A.
- 825 entrevistados leem o jornal B.
- 525 entrevistados leem o jornal C.
- 180 entrevistados leem os jornais A e B.
- 225 entrevistados leem os jornais A e C.
- 285 entrevistados leem os jornais B e C.
- 105 entrevistados leem os três jornais.
135 pessoas entrevistadas não leem
 nenhum dos três jornais.
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O número de pessoas que leem apenas o jornal A?
b) O número de pessoas que leem penas o jornal B?
c) O número de pessoas que leem penas 
o jornal C?
d) O total de pessoas entrevistadas?
105
135
180
120
75
120
465
300
300
465
120
300 + 75 + 105 + 120 + 180 + 465 + 135 + 120 = 1500
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9- (ENEM) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas.
Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em C1.
Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dos três catálogos, necessitará de um total de originais de impressão igual a:
135. b) 126. c) 118. d) 114. e)110. 
ENEM
Conjunto
Resolução:
Diagrama de Venn _ Euler
C1
C3
C2
4
1
6
2
38
34
33
38 + 34+ 33+ 6+ 4 + 2 + 1 = 118
Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas.
Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em C1.
40 – (2 + 4 + 1) = 33
45 – (6 + 4 + 1) = 34
50 – (6 + 4 + 2) = 38
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10- (UESC_BA) Ao se aproximar a data de realização de certo concurso, uma escola que se dedica a preparar candidatos a cargos públicos deu três aulas de revisão intensiva para seus alunos. Do total T de alunos, sabe-se que 80 compareceram à primeira aula, 85 à segunda e 65 compareceram à terceira aula de revisão. Dos alunos que assistiram à primeira aula, 36 não retornaram para as duas aulas seguintes, 15 retornaram apenas para a segunda e 20 compareceram às três aulas. Dos alunos que não estavam presentes na primeira aula, 30 compareceram à segunda e à terceira aulas. 
Com base nessas informações, se 1/3 do total de alunos não compareceu às aulas de revisão, então o valor de T é 
165. b) 191. c) 204. d) 230. e)345. 
36 + 15 + 20 + z = 80
Do total T de alunos, sabe-se que 80 compareceram à primeira aula, 85 à segunda e 65 compareceram à terceira aula de revisão. Dos alunos que assistiram à primeira aula, 36 não retornaram para as duas aulas seguintes, 15 retornaram apenas para a segunda e 20 compareceram às três aulas. Dos alunos que não estavam presentes na primeira aula, 30 compareceram à segunda e à terceira aulas. 
20
30
15
36
x
y
z
1º) alunos que assistiram somente a primeira e a terceira aula:
2º) alunos que assistiram somente a segunda aula:
 z = 9
15 + 20 + 30 + x = 85
3º) alunos que assistiram somente a terceira aula: 
9 + 20 + 30 + y = 65
y = 6
 x = 20
Com base nessas informações, se 1/3 do total de alunos não compareceu às aulas
20
30
15
36
20
6
9
Então o valor de T ? 
4º) Total de alunos:
36 + 15 + 20 + 20 + 9 + 30 + 6 + = T 
136 + = T 
 + = 
408 + T = 3T
408 = 3T - T
408 = 2T 
 T = 
 T = 204
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11- (UFU_MG) Numa sala de aula com 60 alunos, 11 jogam xadrez, 31 são homens e 3 mulheres jogam xadrez. Conclui-se, portanto, que: 
 
a) 31 são mulheres 
b) 26 são mulheres 
c) 29 mulheres não jogam xadrez 
d) 23 homens não jogam xadrez 
e) 39 homens não jogam xadrez
	 	HOMENS	MULHERES	TOTAL
	JOGAM XADREZ			
	NÃO JOGAM XADREZ			
	TOTAL			
60
11
31
3
60 – 31 = 29 
 29 
 29 – 3 = 26 
26
60 – 11 = 49 
 49 
 49 – 26 = 23 
 23 
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12- (UFU_MG) Em um conjunto de 30 pessoas, 5 são altas e gordas, 11 são baixas e 13 são gordas. O número de pessoas desse conjunto que são simultaneamente altas e magras é: 
 
a) 3
b) 8
c) 14
d) 16
	 	Altas	Baixas	TOTAL
	Magras			
	Gordas			
	TOTAL			
30
5
11
13
 30 – 11 = 19 
19
19 – 5 = 14 
 14 
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13- (UFG_GO) Numa escola mista existem 42 meninas, 24 crianças ruivas, 13 meninos não ruivos e 9 meninas ruivas. Quantas crianças existem na escola?
 
a) 56
b) 62
c) 68
d) 70
e) 86
	Crianças 	Meninas	Meninos	TOTAL
	Ruivas			
	Não ruivas			
	TOTAL			
42
24
13
9
 42 – 9 = 33 
33
33 + 13 = 46 
 46 
46 + 24 = 70 
70
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14 - Numa sociedade existem:
 
 • 35 homens
 • 18 pessoas que usam óculos
 • 15 mulheres que não usam óculos 
• 7 homens que usam óculos 
 
Qual o número de pessoas que compõem a sociedade?
a) 26 
b) 35
c) 40 
d) 46 
e) 61
		Homens	Mulheres	TOTAL
	Usam óculos			
	Não usam óculos			
	TOTAL			
35
15
18
7
 18 – 7 = 11 
11
11 + 15 = 26 
 26 
35 + 26 = 61 
61