questão calculo II

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Ministério da Educação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Curitiba - DAMAT
MA72A - Cálculo Diferencial e Integral 2
Profa Dra Diane Rizzotto Rossetto
LISTA 7 - Gradiente, Derivada Direcional
⇒ Desenvolvida a partir das referências.
Questão 1: Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado.
a) x2 + xy + y2 − 3y = 1 em (1, 2).
b) e2x−y + 2x+ 2y = 4 em
(
1
2
, 1
)
.
Questão 2: Seja f(x, y) =

x3
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
.
Mostre que
∂f
∂u
(0, 0) 6= 〈∇f(0, 0), u〉, onde u =
(
1√
2
,
1√
2
)
. Explique.
Questão 3: Determine a derivada direcional de f no ponto dado e a direção indicada pelo ângulo θ.
a) f(x, y) = x2y3 + 2x4y, (−1, 2), θ = π
3
b) f(x, y) =
√
5x− 4y, (4, 1), θ = −π
6
Questão 4: Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.
a) g(s, t) = s2et, (2, 0), v = i+ j
b) f(x, y, z) =
x
y + z
, (4, 1, 1), v = (1, 2, 3)
Questão 5: Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso
ocorre.
a) f(x, y) = ln(x2 + y2, (1, 2)
b) f(x, y) = sen(xy), (1, 0)
1
c) f(x, y, z) =
x
y
+
y
z
, (4, 2, 1)
Questão 6: A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do
centro da bola, que tomamos como sendo a origem. A temperatura no ponto (1, 2, 2)
é 120o.
a) Determine a taxa de variação T em (1, 2, 2) em direção ao ponto (2, 1, 3).
b) Mostre que em qualquer ponto da bola a direção de maior crescimento na temper-
atura é dada pelo vetor que aponta para a origem.
Questão 7: Suponha que numa certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por
V (x, y, z) = 5x2 − 3xy + xyz
a) Determine a taxa de variação do potencial em P = (3, 4, 5) na direção do vetor
v = i+ j− k.
b) Em que direção V varia mais rapidamente em P?
c) Qual a taxa máxima de variação em P?
Questão 8: Suponha que você esteja subindo um morro cujo formato é dado pela equação
z = 1000− 0, 01x2 − 0, 02y2
e você esteja num ponto de coordenadas (60, 100, 764).
a) Em que direção você deve seguir inicialmente de modo a chegar no topo do morro?
b) Se você subir nessa direção, qual será o ângulo acima da horizontal no qual você
iniciará a súbida?
Questão 9: Mostre que a função f(x, y) = 3
√
xy é contínua e suas derivadas parciais fx e fy existem
na origem mas a derivada direcional não existe.
Respostas
1a) y − 2 = −2(x− 1)
1b) y = −4x+ 3
3a) 7
√
3− 16
3b)
5
16
√
3 +
1
4
2
4a) 4
√
2
5b) 1, (0, 1)
6a) − 40
3
√
3
7a)
32√
3
7b) (38, 6, 12)
7c) 2
√
406
3