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1 
 
SEIZEN YAMASHIRO 
 
Licenciado em Matemática pela Faculdade de Filosofia Ciências e Letras da 
Universidade Presbiteriana Mackenzie-São Paulo 1964 
Mestre em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica-PUC-São Paulo 1991 
Professor Decano da Academia de Polícia Militar do Barro Branco: Lecionou 
Matemática e Estatística no período de 01/08/1970 a 11/02/2008 
Professor Pleno na Faculdade de Tecnologia de São Paulo – FATEC SP: Lecionou 
Cálculo e Estatística no período de 29/02/1980 a 11/02/2008 
Leciona no Curso de Reforço para alunos ingressantes na FATEC SP no início de todos 
os semestres desde 1997 
 
SUZANA ABREU DE OLIVEIRA SOUZA 
 
Bacharel em Matemática pela Universidade Federal do Rio de Janeiro – 1986 
Mestre em Ciências: Matemática Aplicada pela Universidade de São Paulo – 1992 
Doutora em Ciências: Matemática Aplicada pela Universidade São Paulo 
Professora Pleno na Faculdade de Tecnologia de São Paulo - FATEC SP desde 
fevereiro/92 
Professora Adjunto na Universidade Presbiteriana Mackenzie, desde agosto/2006 
Professora Adjunto II no Centro Universitário Padre Sabóia de Medeiros (FEI), desde 
set/2006 
Professora titular no Centro Universitário Nove de Julho (UNINOVE) e professora do 
programa de mestrado em Educação, de abril de 2003 a dezembro de 2004 
Professora do Curso de Reforço para alunos ingressantes na FATEC SP no início de 
todos os semestres desde 1997 
 
 
2 
 
 
 
Curso de Reforço 
 
Mensagem e orientação ao estudante 
1. O objetivo deste pequeno texto é motivá-lo a adquirir o hábito de 
estudo, a compreender e a gostar da Matemática, ingrediente de 
muitas das mais elevadas realizações da mente humana. 
2. Relembraremos e passaremos muitas informações básicas e 
relevantes da Matemática que o ajudarão a compreender melhor o 
curso inicial de Cálculo Diferencial e Integral. 
3. Foram selecionados exercícios que requerem simplificações de 
expressões envolvendo álgebra e trigonometria que serão utilizados 
diretamente ou indiretamente, nos cálculos de limites, derivadas e 
integrais. 
4. Através da resolução de exercícios específicos em ordem crescente 
de dificuldade, pretendemos efetuar uma revisão e fixação dos 
conhecimentos básicos e fundamentais para a aprendizagem dos 
assuntos do Curso Superior. 
5. Orientação para o estudo em GERAL: 
1º) assiduidade às aulas, inclusive nas de reforço; 
2º) estudar diariamente, mesmo que por reduzido espaço de tempo, 
resolvendo todos os exercícios propostos; 
3º) revisar e acompanhar os exercícios resolvidos.
 
3 
 
 
Conteúdo 
Conteúdo ........................................................................................................................... 3 
CAPÍTULO 1 ............................................................................................................... 7 
Conjuntos Numéricos ................................................................................................... 7 
1. Conjunto dos números naturais: N ................................................................... 7 
2. Conjunto dos números inteiros: Z .................................................................... 7 
3. Conjunto dos números racionais: Q ................................................................. 7 
4. Conjunto dos números irracionais: Q’ ............................................................. 7 
5. Conjunto dos números reais: R ......................................................................... 7 
6. Representação Geométrica: a reta real R ........................................................ 7 
7. Operações no conjunto R ................................................................................... 8 
8. Relação de Igualdade ......................................................................................... 8 
8.1 Propriedade aditiva e multiplicativa de igualdade................................................... 9 
8.2 Propriedade do cancelamento .................................................................................. 9 
9. Relação de Desigualdade .................................................................................... 9 
9.1 Princípio da tricotomia ............................................................................................... 9 
 9 
10. Algumas Observações..................................................................................... 10 
11. Regra dos sinais nas operações em R ............................................................ 10 
11.1 Adição e Subtração ................................................................................................. 10 
11.2 Multiplicação e Divisão .......................................................................................... 12 
11.3 Propriedades: .......................................................................................................... 14 
11.3.1 Regras de sinal ..................................................................................................... 14 
11.3.2 Anulamento ......................................................................................................... 14 
12. Operações com frações ................................................................................... 14 
12.1 Igualdade de frações .............................................................................................. 15 
12.2 Frações equivalentes .............................................................................................. 15 
12.3 Adição e subtração de frações ............................................................................... 16 
12.4. Multiplicação e divisão de frações .......................................................................... 1 
12.5 Representação decimal das frações ....................................................................... 19 
 
4 
 
12.6 Representação fracionária dos números decimais ............................................... 21 
Exercícios Resolvidos ...................................................................................................... 24 
Exercícios Propostos ....................................................................................................... 26 
13. Potenciação ...................................................................................................... 28 
Exercícios Resolvidos ...................................................................................................... 29 
Exercícios Propostos ....................................................................................................... 31 
14. Radiciação ....................................................................................................... 32 
Exercícios Resolvidos ...................................................................................................... 33 
Exercícios Propostos ....................................................................................................... 34 
15. Produtos Notáveis ........................................................................................... 36 
Exercícios Resolvidos ...................................................................................................... 38 
Exercícios Propostos ....................................................................................................... 40 
16. Fatoração ......................................................................................................... 42 
Exercícios Resolvidos ...................................................................................................... 44 
Exercícios Propostos ....................................................................................................... 51 
Exercício de revisão ........................................................................................................ 54 
17. Intervalos .........................................................................................................58 
18. Módulo de um número real ........................................................................... 59 
19. Propriedades da relação de igualdade .......................................................... 59 
CAPÍTULO 2 ............................................................................................................. 60 
Operações com conjuntos ........................................................................................... 60 
1. Reunião (ou união) de conjuntos............................................................... 60 
2. Intersecção de conjuntos ............................................................................ 60 
3. Diferença de conjuntos............................................................................... 61 
4. Complementar de B em A ......................................................................... 61 
CAPÍTULO 3 ............................................................................................................. 62 
Relações e Funções ..................................................................................................... 62 
1. Função Constante ............................................................................................. 63 
2. Função Afim (ou função polinomial do 1
o
 Grau) .......................................... 64 
3. Função Quadrática ou função do 2
o
grau ........................................................ 65 
4. Função Modular ............................................................................................... 67 
5. Função Exponencial ......................................................................................... 67 
5.1 Equação Exponencial ................................................................................................ 68 
5.2 Inequação Exponencial ............................................................................................. 68 
6. Logaritmo .......................................................................................................... 69 
7. Função Logarítmica ......................................................................................... 70 
 
5 
 
7.1 Equações Logarítmicas ............................................................................................. 71 
7.2. Inequações Logarítmicas ......................................................................................... 72 
7.3 Logaritmos Decimais ................................................................................................ 73 
CAPÍTULO 4 ............................................................................................................. 75 
Trigonometria ................................................................................................................. 75 
1. Noções Fundamentais de Trigonometria no Triângulo Retângulo ......................... 75 
2. Arcos e Ângulos ..................................................................................................... 76 
3. Funções Trigonométricas ..................................................................................... 79 
4. Redução ao Primeiro Quadrante ............................................................................. 80 
5. Redução ao 1
º
 octante ( 1
º
 oitante ) ....................................................................... 82 
6. Relações Fundamentais da Trigonometria ............................................................. 83 
7. Transformações trigonométricas ............................................................................ 83 
8. Consequências das fórmulas de adição .................................................................. 84 
9. Transformação em produto ou Fatoração Trigonométrica ..................................... 85 
10. Resolução de Triângulos ...................................................................................... 86 
Exercícios Resolvidos ...................................................................................................... 90 
Exercícios Propostos ....................................................................................................... 95 
Apêndice 1 ...................................................................................................................... 97 
1. Nove Fora ............................................................................................................... 97 
2. Raiz Quadrada ........................................................................................................ 99 
3. Raíz Cúbica .......................................................................................................... 103 
Apêndice 2 .................................................................................................................... 106 
1. Sequências ............................................................................................................ 106 
2. Progressão Aritmética (P. A.) .............................................................................. 106 
3. Progressão Geométrica (P. G.) ............................................................................. 107 
Apêndice 3 .................................................................................................................... 110 
Aplicações de simplificações algébricas em Cálculos de Limites Indeterminados.. 110 
Apêndice 4 .................................................................................................................... 114 
1. Número primo ...................................................................................................... 114 
2. Número composto ................................................................................................ 114 
3. Propriedade dos números primos ......................................................................... 114 
Apêndice 5 .................................................................................................................... 115 
1. Sistema Métrico Decimal ..................................................................................... 115 
1.1 Medidas de comprimento ............................................................................. 115 
1.2 Milha Marítima ............................................................................................ 116 
1.3 Segundo Luz .................................................................................................. 116 
1.4 Medidas de Precisão ..................................................................................... 116 
 
6 
 
1.5 Polígonos ........................................................................................................ 116 
1.6 Comprimento ou perímetro da circunferência .......................................... 116 
2. Unidades de área ................................................................................................... 117 
3. Medidas agrárias ................................................................................................... 117 
4. Unidade legal de volume ...................................................................................... 118 
5. Medidas de capacidade ......................................................................................... 119 
6. Unidade legal de massa ........................................................................................ 119 
7. Densidade ou massa específica............................................................................. 121 
8. Sistemas de Medidas não-decimais ...................................................................... 123 
9. Sistema Inglês de Medidas (S.I.M.) ..................................................................... 125 
10. Grau Fahrenheit .................................................................................................. 127 
Apêndice 6 ....................................................................................................................130 
Álgebra ..................................................................................................................... 130 
Fórmulas da Geometria ............................................................................................ 131 
Trigonometria ........................................................................................................... 132 
Geometria Analítica .................................................................................................. 134 
Formulário de derivadas ........................................................................................... 135 
Fórmulas de derivadas e integrais ............................................................................ 136 
Alfabeto Grego ......................................................................................................... 137 
Alfabeto japonês ....................................................................................................... 138 
A escrita japonesa ..................................................................................................... 139 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
CAPÍTULO 1 
Conjuntos Numéricos 
1. Conjunto dos números naturais: N 
 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...} 
N  N* = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} , 0  N * 
 
2. Conjunto dos números inteiros: Z 
Z = {... –3, -2 ,-1, 0 , 1, 2, 3,...}, 0  Z* 
Obs.: Z  Zahlen = número em alemão 
 
3. Conjunto dos números racionais: Q 
Q = { a/b | a  Z e b  Z* } 
Ex.: 7/4 = 1,75; 18/3 = 6 ; -5/2 = -2,5 ; 5/9 = 0,555... 
 
4. Conjunto dos números irracionais: Q’ 
Q’={ x | x  a / b } 
Exemplos: 
 ...5907182818284,2
...1415926535,3
...4142135624,12



e

 
5. Conjunto dos números reais: R 
RQ' R,QZN :Obs 
}irracionalou racional número é |{'

 xxQQR
 
Comparação de números reais: 
  . b aou baou b a então R b , a , b) ( , a 
 
 
6. Representação Geométrica: a reta real R 
 
Consideramos um ponto fixo O, chamado origem e um outro ponto fixo U, à 
direita de O chamado ponto unidade pertencentes à reta r. A distância entre O e U é 
chamada distância unitária. 
 
8 
 
Cada ponto P na reta r é associado a uma coordenada x representando sua 
distância orientada de origem O.Chamaremos o conjunto de todas essas coordenadas x 
de conjunto dos números reais R. 
Entre o conjunto dos números reais e uma reta, pode-se estabelecer uma 
correspondência biunívoca de tal modo que a cada número real x corresponda um e um 
só ponto da reta e reciprocamente, cada ponto da reta corresponda um e um só número 
real. 
 
7. Operações no conjunto R 
 
No conjunto R são possíveis as operações de adição, subtração, multiplicação e 
divisão (com divisor ≠ 0) e são válidas as seguintes propriedades estruturais: 
(a), (b), (c), a, b, c,  R 
 
Adição Multiplicação 
Fechamento: (a + b)  R 
Comutativa: a + b = b + a 
Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) 
Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a 
Elemento oposto: 
a + (–a) = 0 
 
Fechamento: (a.b)  R 
Comutativa: a.b = b.a 
Associativa: (a.b). c = a.(b.c) 
Elemento neutro: a.1 = 1.a = a 
Elemento inverso: 
1
a. 1 (a 0)
a
 
 
8. Relação de Igualdade 
 
Consideremos dois conjuntos A e B de elementos quaisquer e sejam a e b os 
respectivos números de elementos. Dois casos podem, ocorrer: 
1º) Entre A e B pode-se estabelecer uma correspondência biunívoca. Diz-se, neste caso 
que A e B possuem o mesmo número de elementos e escreve-se 
a = b, que se lê “a é igual b” e a relação é denominada Relação de Igualdade (a e b são 
numerais do mesmo número). 
2º) Entre A e B não se pode estabelecer uma correspondência biunívoca. Diz-se, neste 
caso, que o número de elementos de A e B são diferentes e escreve-se a ≠ b que se lê “a 
é diferente de b”. 
 
Distributiva 
a.(b+c) = a.b + a.c (b+c). a = b.a + c.a 
 
9 
 
8.1 Propriedade aditiva e multiplicativa de igualdade 
Regra da Balança ou do equilíbrio 
Se a = b, então a+c = b+c e ac = bc 
8.2 Propriedade do cancelamento 
Se a+c = b+c, então a = b e se ac = bc e c ≠ 0, então a = b. 
 
9. Relação de Desigualdade 
 
As relações < (menor) e > (maior) são denominadas Relações de Desigualdade. 
Existem ainda duas outras relações de desigualdade: 
≤ (menor ou igual): a ≤ b → a < b ou a = b 
≥ (maior ou igual): a ≥ b → a > b ou a = b 
 
9.1 Princípio da tricotomia 
Se x e y são quaisquer números reais, então uma e somente uma das afirmativas 
abaixo é verdadeira: 
1º) x < y 
2º) x > y ou 
3º) x = y 
Se fixarmos y = 0 no princípio da tricotomia, observamos que uma e somente 
uma das condições abaixo é verdadeira: 
1º) x < 0, x é um número real negativo 
2º) x > 0, x é um número real positivo 
3º) x = 0, x é nulo 
 
Exemplos: 
1. Utilizando propriedade, mostre que se 
 
De fato, de ab = c, utilizando 8.1, temos 
 
 
 
 
 
 
c
ab = c a = 
b

1 1
ab. = c.
b b
c 1
 a.1 = .
1 b
c
 a = 
b
 
10 
 
2. Mostre que, utilizando as propriedades estudadas. 
Resolução: 
Façamos 13.9 = 117 
 2.59 = 118, portanto 
 
117 118, 
 
13.9 2.59
13.9 2.59 : (9.59), temos 
9.59 9.59
13 2 2 13
 x.( 1) 
59 9 9 59

 
 
 
  
 
 
10. Algumas Observações 
 
Observação sobre a operação divisão: 
8 2 . 4 pois 4
2
8

 
0 2 . 0 pois 0
2
0

 
4
 nenhum número ( operação inexistente) ; pois, (nenhum número) . 0 4
0
 
0 0 . número)(qualquer pois indeter.) resultado ( número 
0
0

 
Não existe divisão por zero 
açãoindetermin de símbolo 
0
0

 
 
 
11. Regra dos sinais nas operações em R 
11.1 Adição e Subtração 
 
a) As operações de adição e subtração que serão indicadas pelos sinais “+” e “–” de 
dois números reais quaisquer, podem ser definidas através da reta numerada ou 
reta real. 
 
b) Todo movimento à direita na reta numerada será descrito por números positivos 
e todo movimento à esquerda será descrito por números negativos. 
 
 
2 13
 < 
9 59
 
 
11 
 
c) Existe um mesmo comportamento (conhecido pelo nome de isomorfismo entre 
os números inteiros aritméticos (0, 1, 2, 3, 4,...) e os números inteiros, não 
negativos (0, +1, +2, +3, +4,...). 
 
Vamos ver alguns exemplos da adição: 
1º)
 
2º)
 
3º)
 
4º)
 
Vamos ver alguns exemplos da subtração: 
 
A relação existente entre a subtração e a adição de números reais é a mesma que 
conhecemos para a adição e subtração de números reais, isto é são operações inversas. 
a – b = d  d + b = a 
 
12 
 
1º) 
 
11.2 Multiplicação e Divisão 
 
Multiplicação: 
 Vamos destacar alguns conceitos: 
1º) o produto de dois números reais é um número real; 
2º) podemos estabelecer uma correspondência biunívoca entre os dois conjuntos 
numéricos: dos inteiros aritméticos e dos inteiros não-negativos; 
0 1 2 3 4 5 6, ... 
 ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ 
 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6, ... 
3º) valem as seguintes propriedades estruturais: 
- comutativa: a × b = b × a 
- anulamento: a × 0 = 0 
- distributiva: a × (b + c) = a × b + a × c 
 
Exemplos: 
1º) o produto de dois números positivo é um número positivo 
(+3) × (+4) = (+12) 
↓ ↓ ↑ 
3 × 4 = 12 
2º) o produto de um número positivo por zero é zero 
0 × (+4,5) = 0 
↓ ↓ ↑ 
0 × 4,5 = 0 
 
3º)o produto de um número negativo por zero é zero. 
(–2) × 0 = (pela propriedade comutativa) 
= 0 × (–2) = 0 (pela propriedade do anulamento) 
 
13 
 
4º) o produto de um número positivo por um número negativo é um número negativo 
 
Justificativa: 
 
(+3 ) × (–2) = ? 
(+3) × 0 = 0 (propriedade de anulamento) 
 
(+3) × [(+2) + (–2)] = 0 (foi escrito 0 = (+2) + (–2), para introduziro nº (–2) 
(+3) × (+2) + (+3) × (–2) = 0 (propriedade distributiva) 
 
 (+6) + (+3) × (–2) = 0 
 
 (+6) + ? = 0 (pela existência do elemento inverso aditivo) 
 
 (+3) × (–2) = (–6) ou (+3) × (–2) = (–2) × (+3) = –6 
5º) o produto de dois números negativos é um número positivo; 
 
Justificativa: 
(–3) × (–4) = ? (propriedade do anulamento) 
(–3) × [(–4) + (+4)] = 0 (introduzimos (–4) através de (–4) + (+4) =0) 
(–3) × (–4) + (–3) × (+4) = (propriedade distributiva) 
(–3) × (–4) + (–12) = 0 
 (–3) × (–4) = (+12) 
 
Divisão: 
 
 A relação existente entre a divisão e a multiplicação de números reais é a 
mesma para a multiplicação e divisão de números reais, isto é, são operações inversas: 
a : b = c  c × b = a, b ≠ 0, 
Observação: a regra dos sinais para a divisão será a mesma da operação multiplicação. 
Exemplos: 
1º) (–8) : (+4) = (–2)  (–2) × (+4) = (–8) 
 
2º) (–8) : (–4) = (+2)  (+2) × (–4) = (–8) 
 
3º) 
 
 
 
1
2
3 1 3 2 3
 : 
4 2 4 1 2

            
            
         
 
14 
 
4º) 
 
 
 
 
 
 
11.3 Propriedades: 
11.3.1 Regras de sinal 
Para quaisquer a e b reais tem-se: 
1º) – (–a) = a 
 
2º) (–a) b = – (ab) = a (–b) 
 
3º) (–a)(–b) = ab 
 
Exemplos: 
a) – (–5) = 5; 
b) (–3) 4 = 3 (–4) = – (3.4) = –12; 
c) (–6)( –5) = 6.5 = 30 
 
11.3.2 Anulamento 
 
Qualquer que seja a real, temos: 
Fator nulo: a.0 = 0.a =0, de fato 
 a.0 + 0 = a.0 = a (0+0) = a.0 + a.0 
Observando o primeiro e o último membro, podemos concluir que a.0 = 0. 
 
Produto nulo: Sendo a e b números reais, tem-se: Se ab = 0, então a = 0 ou b = 0 ou 
a = b = 0 
12. Operações com frações 
 
Fração é o quociente de b por a, onde a ≠ 0, indicado por ou b/a, é definida por 
b é denominado numerador e a o denominador da fração. 
 
Exemplos: 
1º) 
 
1
( 0,4) : ( 0, 4) 5 2,0
5
 ou
4 5 20
 2
10 1 10
 
       
 

 
   
b
,
ab 1
 b. ,
a a

4 1
 4.
5 5

 
15 
 
 
2º) 
 
 
3º) 
 
 
4º) 
 
 
Obs: Qualquer número real pode ser escrito como uma fração aparente. 
Ex: 
 
 
12.1 Igualdade de frações 
a c
 ad bc
b d
 b 0, d 0
  
  
De fato, pela regra da balança 8.1 temos: 
1º) 
 
 
2º) 
 
 
 
 
 
12.2 Frações equivalentes 
 
De podemos escrever a propriedade fundamental de um número 
 
fracionário. 
O valor de uma fração não altera se multiplicamos ou dividimos o numerador e o 
denominador dessa fração por um número não nulo. 
Diremos nesse caso que obtivemos frações equivalentes. 
Exemplos: 
1º) (simplificação de fração) 
 
 
a b 1 a b
 . a b , c 0
c c c c

    
b 1
 .b
a b a b

 
a 1
 a. 1
a a
 
a
a 
1

x(b.d)a c a.bd c.bd ad cb ou ad bc
b d b d
     
: (bd) ad bc a cad bc
bd bd b d
a ac
consequências de abc bac ,
b bc
 b 0, c 0
    
  
 
a ac
 ,
b bc

21 21: 7 3
 
28 28 : 7 4
 
 
16 
 
 
2º) 
 
 
 
3º) 
 
 
 
Exercício resolvido. Simplifique: 
 
Resolução: 
 
 
ou calculando mdc (98, 84), utilizando o Teorema Fundamental da Aritmética: 
qualquer número inteiro positivo maior que 1 tem uma única decomposição (a menos da 
ordem dos fatores) como produto de números primos, chamada decomposição prima do 
número. 
98 2 84 2 
49 7 42 2
7 7 21 3
1 7 7
98 = 2 7² 1
 84 2² 

 3¹ 7¹  
12.3 Adição e subtração de frações 
 
Para adicionar ou subtrair frações com o mesmo denominador, basta adicionar 
ou subtrair os numeradores e manter o denominador comum. 
De fato: 
a b 1 1 1 a b
 a. b. (a b) 
c c c c c c

     
 
Exemplos: 
1º) 
 
 
2º) 
 
 
Para adicionar ou subtrair frações de denominadores diferentes basta transformá-
las em frações equivalentes com denominadores iguais e em seguida aplicamos o caso 
anterior. 
5 5 10 50
0,5 50%
10 10 10 100

   

1 2 3
 .......
2 4 6
  
98
84
98 98 : 2 49 : 7 7
 
84 84 : 2 42 : 7 6
  
  1 1mdc 98,84 2 7 14
98 98 :14 7
 Logo 
84 84 :14 6
  
 
13 3 13 3 16 : 4 4
 + = 4
4 4 4 4 : 4 1

  
5 1 5 1 4 : 2 2
 = 
6 6 6 6 : 2 3

  
 
17 
 
De fato: 
a c a.d c.b ad cb ad cb
 
b d b.d d.b bd bd bd
b 0, d 0, 

     
  
 
Processo prático: Calculamos o mínimo múltiplo comum dos denominadores e em 
seguida dividimos o mmc (bd) pelo denominador de cada fração, multiplicamos o 
resultado pelo numerador correspondente. 
 
Exemplos: 
 
1º) 
3 1 5 3 1
5 , 
4 6 1 4 6
5 12 3 3 1 2
 
12
60 9 2
 
12
67 7
 5
12 12
     
    

 

 
 
 fração imprópria número misto 
 
Verificação: 
 
 * 
 
(*) 
mmc(50,2,4) 100 
 
2º) 
 
 
 
12.4. Multiplicação e divisão de frações 
a) Para multiplicar duas frações, multiplicam-se os numeradores entre si e da 
mesma forma os denominadores. 
 
Se b ≠ 0 e d ≠ 0, então 
Exemplos: 
1º) 
7 5 12 7 67
5 
12 12 12
 
 
mmc (1,4,6) = 12
1,4,6 2
1,2,3 2
1,1,3 3
1,1,1 12
3 4 1 7 2 1 7
4% 0,5 1 
4 100 2 4 50 2 4
4 50 175 129
 1, 29
100 100
        
 
  
a c ac
 . 
b d bd

7 5 7 5 12 7 67
5 
12 1 12 12 12
 
   
3 5 3.5 15
 . 
4 7 4.7 28
 
 
18 
 
2º) 
 
 
 
3º) 
 
 
 
b) Para dividir uma fração por outra, deve-se multiplicar a primeira pela fração 
obtida da segunda permutando numerador e denominador, isto é, multiplicando a 
primeira fração pelo inverso da segunda fração. 
De fato, temos: 
a a d a d
 . . 
a db b c b c . 
c c d 1 b c
 . 
d d c
a c a d
Logo : . 
b d b c
  

 
Exemplos: 
1º) 
 
 
2º) 
 
 
3º) 
 
 
 
4º) 
 
 
 
5º) 
 
 
 
 
 
3 5 3 15 3
5 . . 3 número misto
4 1 4 4 4
 fração imprópria 
 
     

2 2
1 3
6 9 6 10 6.10 2.2 4
 : . : 
5 10 5 9 5.9 1.3 3

    
  
a a b a c ac
 : . 
b 1 c 1 b b
c
  
1 4 2
12 1
0,5 : 0, 25 
5 25 5 100 1.4
 : . 2
10 100 10 25 2.1

   
a
a c a 1 ab : . 
c b 1 b c bc
  
1 1
2 : 3 
4 5
9 16 9 5 45
 : . 
4 5 4 16 64
 
  
 
   
   
 
2 3
1 1
4 15 4 . 15 2 . 3
 . 6
5 2 5 . 2 1
  
 
19 
 
12.5 Representação decimal das frações 
 
Consideremos um número racional tal que p não é múltiplo de q, ou seja é 
uma fração irredutível. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do 
numerador pelo denominador. 
Nesta divisão podem ocorrer dois casos: 
1º) O número decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos 
(não nulos). 
Exemplos: 
a) 
2
 0,4
5

 
b) 
1
 0,25
4

 
c) 
3
 0,15
20

 
d) 
7
 1,75
4

 
 
Esses números racionais são denominados decimais exatos. 
 
2º) O número decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos 
nulos), que se repetem periodicamente: 
Exemplos: 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
Esses números racionais são denominados decimais periódicos, ou dízimas 
periódicas, em cada um deles, os números que se repetem formam a parte periódica ou 
período da dízima. 
p
,
q
p
q
1
 0,333... 0,3
3
 
5
 0,555... 0,5
9
 
4
 0,121212... 0,12
33
 
37
 1,2333... 1, 23
30
 
2
0,00222... 0,002
900
 
 
20 
 
Quando uma fração é equivalente a uma dízima periódica, a fraçãoé 
denominada fração geratriz da dízima periódica. 
Para sabermos se uma fração irredutível equivale a um decimal exato ou uma 
dízima periódica, basta decompor o denominador em fatores primos: 
a) A fração equivale a um decimal exato se o denominador contiver apenas os 
fatores 2 ou 5; 
b) A fração equivale a uma dízima periódica se o denominador contiver algum 
fator diferente 2 e de 5; 
Exemplos: 
 
1º) 
20 2
10 23
 decimal exato
5 520
1
30 20 
3
de fato 100 0,15 0,15
20
0
 
 
 
 
2º) 
30 2
15 337
 
5 530
1

 
37
a fração gera uma dízima periódica, de fato
30
37 30 
70 1,233...
de fato 100
 
 100
 10
 
37
 1, 233...
30
 
 
 
 
 
21 
 
12.6 Representação fracionária dos números decimais 
1º) O número é decimal exato 
Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal 
sem a vírgula e o denominador é formado pelo número 1 seguido de tantos zeros 
quantas forem as casas decimais do número decimal dado, ou seja, potência de base 10 
cujo expoente é o número de casas decimais. 
Exemplos: 
a) 
2 1
0,2 
10 5
 
 
b) 
210
154 77
1,54 
100 50
 
 
c) 
310
3045
3,045 
1000

 
d) 
310
25 1
0,025 
1000 40
 
 
2º) O número é uma dízima periódica 
Podemos utilizar seguintes procedimentos: 
a) Pela transformação algébrica 
b) Pela regra prática 
c) Pelo limite da soma de uma progressão geométrica (P.G.) decrescente 
 
a.1) 
 
 
   
Seja a dízima 0,444... 0, 4
Façamos x 0,444... 1 e multipliquemos ambos membros por 10:
10x 4,444... 2 , subtraindo as igualdades, membro a membro, 
a primeira 1 da segunda 2 :
10x x 4,444... 0, 44



   4...
 9x 4
4
x 
9
4
Logo 0,444 0,4 fração geratriz 
9


  
 
 
a.2) 
 
     
Seja a dízima 1,232323... 1,23
Façamos x 1,232323... 1 e 
100x 123,2323... 2 , subtraindo, membro a membro temos 2 1 :
100x x 123,2323... 1,2323...
 99x 122


 
  

 
 
22 
 
122
x fração geratriz 
99
122
Logo 1,232323... 1,23 
99
 
  
 
Para concluir a regra prática, façamos: 
 
     
G 1,232323
G 1 0,232323
 x
 x 0,232323 1
100x 23,232323 2 2 1 
23
 99x 23 x 
99
23 23
G 1 1 geratriz
99 99

 

 
  
    
 
 
a.3) Seja a dízima 2, 3050505... 
 Consideremos 
G = 2 + 0, 3050505... 
 x = 0, 3050505... (1) 
 10x = 3, 050505... (2) → (3) – (2) 
1000x = 305, 050505... (3) 
 990x = 305 – 3 
 
305 3
x *
990


 
302 2 990 302
G 2 
990 990
2289
 
990
 
   

 
 
b) Regra Prática 
b.1) 
 
Para a dízima periódica simples 
período 4 4
Fração geratriz 
um 9 para cada algarismo do período 9
 
 
 
b.2) 
 
 
4
0,444 
9

23 122
1,232323 1,23 1 
99 99
  
 
23 
 
b.3) 
305 3 302 2282
 2 2 
990 990 990

  
 
* * * * *
parte não periódica , parte periódica parte não periódica
 
 9 9 0 
305 3 302 302 2282
2 2 2 
990 990 990 990
   
   
   

    
 
(*) um “9” para cada algarismos da parte periódica 
(**) um “0” para cada algarismo da parte não periódica 
 
c) 
 
c.1)0,4444... = 
1
PG descresente
4
a 0,4 
10
 0,4 0,04 0,004 
0,04 1
q 1
0,40 10

 
    
   
 
1
4 4
a 410 10geratriz 
1 91 q 9
1
10 10
   


 
c.2)1,232323... = 
1
PG
23
a 0,23 
100
 1 0,23 0,0023 0,000023 
0,0023 1
q 1
0,23 100

 
     
   
 
1
23 23
a 23 122100 100 1 1 1 1 
1 991 q 99 99
1
100 100
        


 
 
c.3) 2,305005505... = 
1
PG
5
a 0,005 
1000
 2 0,3 0,005 0,00005 
0,00005 1
q 1
0,00500 100

 
     
   
 
2,3050505 2,305
1
n
a
limSn limite da soma de P.G. decrescente
1 q
 

 
24 
 
5 5
31000 1000 2 0,3 2 
1 9910
1
100 100
3 5 297 5
 2 2 
10 990 990
302 1980 302 2282
 2 
990 990 990
     


    

  
 
 
Exercícios Resolvidos: 
 
1. R 
 
R 3 9 4 5 :5 3 9 4 1
 
1 4 5 10 :5 1 4 5 2
60 45 16 10 99 19
 4 ou 4,95
20 20 20
       
  
  

 
 
2. R 
 
R 5 11 12 : 2 3:3
 
1 3 10 : 2 18 :3
5 11 6 1 150 110 36 5
 
1 3 5 6 30
71 11
 2 ou 2,37 2,366666... 2,36
30 30
   
  
     
    

 
 dízima periódica composta; 
 
ou Geratriz 
 
3. R 
 
R 3:3 75 : 25
 1 0,2555... 
9 : 3 100 : 25
1 25 2 3 1 1 23 3
 1 
3 90 4 3 1 90 4
60 180 46 135 151
 
180 180
   

        
  
 

 
3,90, 4 2 
3, 45, 2 2 
3, 45,1 3 
 
1, 15, 1 3 
1, 5, 1 5 
1, 1, 1 180 
Observação: Determinação da fração geratriz das dízimas periódicas. 
1 4
3 2 0,5
4 5
  
2 3
5 3 1,2 
3 18
  
36 3 33 11
 2 2 2
90 90 30

  
0,333... 1, 25555... 0,75 
 
25 
 
I. pela regra 
a) 
 
 
b) 
 
 
II. pela equação 
Façamos: 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
III. pela P.G.: 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 0, 255555... = 0,2 + 0,05 + 0, 005 + ... 
P.G.
1
1 5 5
 ...
5 100 1000
5 1
a , q 
100 10
   
 
 
3 3
0,333... 0,3 
9 9
  
25 2 23
0,2555... 0, 25 
90 90

  
 
 
x 0,333... 0,3 10x 3,333... 3 0,3
3
Logo 10x x 3 0,3 0,3 3 9x 3 x 
9
     
        
x 0,2555... 0, 25 10x 2,5...
 100x 25,5 90x 23
23
 x 
90
    
   

1
n
a
limSn 
1 q


1
3
a 0,3 
10
0,333... 0,3 0,03 0,003 
0,03 1
q 
0,30 10
3
3 10 3 110 . 
1 10 9 9 3
1
10

 
     
  

   

 
26 
 
1
5
a1 1 1 5 10 1 5100 . 
15 1 q 5 5 100 9 5 90
1
10
18 5 23
 
90 90
        



 
 
 
4. R Efetuar 
R
1 2 1
 : 0,2 3
5 15 4
3 2 2 : 2 13 1 1 13
 : : 
15 10 : 2 4 15 5 4
1 4 65 1 20 :5 4 4
 : resposta
15 20 15 :5 69 3 69 207
   
    
   
     
         
     
 
      
  
 
5. R. Efetue as operações 
R
1 2 4
 0,2 : 1 
5 3 5
1 2 2 5 4 1 2 1 3 25 2 5
 : : . 
5 10 3 5 5 25 3 5 25 3 1
   
     
   
        
              
       
1
5
3 50 5 47 2
 . 3 resposta
25 3 1 15 15
47 15
2 3
 
    

 
Exercícios Propostos: 
1. P 
a) 
 
159
Resposta: 1,7
90

 
 
b) 
 
 
1
0,777... 0,9999... 0,1222...
5
  
7
Faça a verificação 0,777... pela equação
9

 
27 
 
c) Faça a verificação, pelo limite da soma PG decrescente, que 0, 999... → 1 
 
 
 
 
 
2. P. Calcular 
2,04
 0,9 1,08
0,4
 
 
Resposta: 4, 128 
 
 
 
 
3. P. Efetue as operações 
1 1 2
3 0,2 : 
4 5 15
   
     
    
207 3
Resposta: ou 51 ou 51,75
4 4 
 
 
 
 
4. P. Efetue as operações 
   7,8 : 2,5 1 0,07     
Resposta: 0,1484 
 
 
 
 
5.P. Efetue as operações 
1 1
2 0,25 4 
4 5
   
      
    
Resposta: 9,5 
 
28 
 
 
13. Potenciação 
 
a
n
 = a . a .a . a . a . a . a ... . a 
 
aR, nZ, n>1, a
n
 é o produto de n fatores iguais a a. 
 
Exemplo: 
2 
5
 = 2. 2. 2. 2. 2 = 32, 
 
onde 2 é a base, 5 é o expoente e 32 é a potência. 
 
Casos particulares 
1 º) a
1
 = a ex.: 2
1
 = 2 ; 
5
3
 
5
3
1





 
 
2 º) a
0
 = 1 ex.: (-3)
0
 = 1 ; 1 
2
1
0






 
 
3 º ) a 
–n
 = 
na
1 
 , n >0, a 0 ex.: 5 
–2
 = 3
3
1
 ; 
25
1
 
5
1
1-2

 
 
Obs.: 
a
b
b
a






1
 ex.: 2 
–1
 = 
9
16 
 
4
3
 ;
2
1
 
2
1
-2
1






 
 
Propriedades 
P1. a 
m 
. a 
n
 = a 
m+n
 m, n  Z 
P2. a 
m 
: a 
n
 = a 
m – n 
 , a  0 
P3. ( a 
m
) 
n
 = a 
m . n
 
P4. ( a . b )
n
 = a
n
 . b 
n 
P5. ( a : b ) 
n 
 = 
nn
n
nn
b : a 
b
a
 
b
 a 






 , b  0 
 
 
 
 
 
 
29 
 
Exercícios Resolvidos: 
 
1.R. Simplifique as seguintes expressões : 
 
 
a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
2. R. Supondo a ≠ 0, efetue. 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
 
d) 
 
   
     
 
2
R
3 5 5
23 3 5 5 3 3 2 2 5 5
5 5 5 5 5-5 5-5 0 0
1
a.b . : a .b 
ab
 a .b . a.b : a .b a .b .a .b : a .b 
 a .b : a .b a .b a .b 1.1 1
  
  
   
       
       
 
3. R. Calcule o valor de 
 
a) 
 
 
 
 
 
       
R
5 3 5 3 2 2 22.5 : 2.5 2.5 2.5 2 .5 4.25 100

    
4 2 4 2 2R
2
2 2 2 2 4
 : 
7 7 7 7 49

     
       
     
   
4 3 7 7 5 2R
55 3 4
2 .2 2 2 2 4 : 4 1
 
2 8 16 24 24 24 : 4 62 . 2 2

    

R
3 3 3 3 0a . a a a 1    
   
R3 2x 32 6
6
1
a a a 
a
    
 
 
R
1
1
1 1
a.b 
aba.b

 
1 1
Ra b b
 
b a a

   
    
   
2 1 2 1
R
2 2 1
2 2
11 13 3 3
 : : 
3 3 11 13
3 13 3 .13 3 13 39
 . 
11 3 11 11 11 121
 

       
        
       

   

 
30 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
e) 
R
2
2
1 1
0,01 10
100 10
  
 
 lê -se: um centésimo 
f) 
R
4
4
1 1
0,0001 10
10000 10
  
 
 lê-se um décimo milésimo 
 
g) 
 
 
 
 
 
 
Lê-se: um inteiro, setenta e três mil e oitenta e oito centésimos de milésimo 
1 1 1 1
R
1 1 1 1
1 1 3 1 3 1
3 3 
2 2 1 2 1 2
6 1 6 1 5 5
 
2 2 2 2
2 2 4
 
5 5 5
   
   
       
              
       
        
           
       
 
1 2 1 2
R
1 2 1 2
2
2
3 3 1 3 5 3 2
0,5 : : 
4 4 2 4 10 4
15 10 1 25 4 20:5 1
 : : . 
20 4 20 1 25:5 4
4 1 1 1
 . 
5 4 5 4 20
   
  
       
           
       
     
        
     
  

3 2 3 2
R
3 2 3 2 3 2
3 2 3 2 3 2
3 2 3 2 3 4 3 2 4
1 1 1 2 1 1
 2 : 1 : 
2 4 2 1 1 4
1 4 4+1 5 5 2 4
 : = : : 
2 4 2 4 5 5
2 4 2 5 2 5 1.1
 : 
5 5 5 4 5 2 5 .2
   
   

       
            
       
           
             
           

   
 3 1 1
1 1
 
5 .2 10
 
   
 
3 3
R
3
3
1,2 + 1- 0,04 3 : 10
 1,728 0,96 3 : 10 
 1,728 2,88 : 10 1,728 0,00288 
 1,73088 
 
  
   
    


 
31 
 
4. R. Calcule o valor de 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Propostos: 
5 P. Calcule o valor de 
 
3Resposta: 27a b 
 
 
 
 
   
   
 
 
R3 2. 32 6
6
0
2
3 0 3
2 2
3 6(P2) 2
1
a a a 
a
a 1
De fato: a a 
aa
  
 
  
  
 
R
3 33 3 0
3 3
3 3
3 3
a . a a a 1
a 1 a
De fato: a . a . 1
1 a a
 

  
  
 
R
2 2 2
2 2 2 2
1 1 1
a.b a .b . 
a b a b
    
1
R
1
1
a 1 1 1 b b
 . 
ab 1 a aa
bb
a b
 
b a


 
    
   
 
 
 
  
 
   
     
     
2
3 5 5
R
3 2 5
5 5 0
1
a.b . : a .b
ab
 a.b . ab : ab 
 ab : ab ab 1
  
  
   
  
 
  
     
4 2 1 33a : 5b x 3a .25b
   
   
 
32 
 
 
14. Radiciação 
 
 
 R) (b  baab nn 
 
 
radical. o é símbolo o 
e índice o é 3 
 radicando, o é 8 
: onde 8 2 28 33 
 
 
 
 Propriedades 0) b ,0( a 
 
Dados m, n, p  1, m, p  N, n  Z 
 
 
   
63.n
4 2
2
4m
333n
n
21 215 30: :n
22:ex.a.5
p:ex.a.4
25:10:ex.::a.3
63.2:ex...a.2
9333:ex.a.1





nmm
m n
n
nn
nn
pm pnm
aR
ppaR
babR
babR
aR
 
 
 
Radicando negativo 
Exemplos: 
16real) (nenhum pois real, 16 )2
8(-2) pois ,28- )1
44
33


nenhum
 
 
Obs.: 
Não existe raiz real de número negativo, se o índice do radical for par. 
n
m
n m aa  
a > 0, a  R, n > 0 
 
33 
 
     
 
R
2 4x 8 9x 18 4 16x 32 
 2 4 x 2 9 x 2 4 16 x 2 
 2 . 2 x 2 3 x 2 4 . 4 x 2 
 4 3 16 x 2
 17 x 2
    
      
      
   
 
Exercícios Resolvidos 
 
1. R. Calcule o valor de cada uma das expressões: 
 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
4
4 3 2 2
21 6 2
1 08 2 2
5 4 2
 
27 3
9 3 3³
3 3
1 
3 33 33
R 2
3
R1
3
2 . 2 . 3
 2 . 2.3 
 6 2
 

 

 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
3 6
R
63 3 6
2 27 3 64
 2 3 3 2 
 2 . 3 3 . 2 6 6 0

  
    
3R
3 3
3 3 3R3
1 1
0,001 
10 10
1
 0,1
10

   

  
R
3 34 3 3 33 432 2 .3 2 .2.3   
R
5 10 103 2 15 4
R1
10 10 1011 10 10 10 10
R1
a : a a : a 
 a a .a a . a a a
 
   
 
34 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Propostos 
1. P Calcule o valor de cada uma das expressões: 
a) 
 
Resposta: –9 
 
 
b) 
 
Resposta: 6 
 
c) 
 
Resposta: 0,04 
 
d) 
 
Resposta: 16 2 
 
R
3 36 6 23 3
R 2
2 3 6
R 2,R1 R5
6 66 6 6 6
R 2,R1 R1R5
a b a . b a b
 a b a b 
 ou
 a .b a . b a b
  
 
  
3 35 27 2 27 
100 64 
0,0016 
3 50 2 18 98 
 
35 
 
e) 
 
Resposta: 2 6 
 
f) 
 
Resposta: 3 
 
 
g) 
 
6Resposta: 18 
 
h) 
 
6 3Resposta: a b 
 
i) 
 
6 2Resposta: a bc 
 
6 24 54 
2 12 27 3 48 108  
3 3 2
3a b
5 4 32 3 2 10a a b a bc
 
36 
 
 
n
a b
j) 
 
2 512Resposta: x y
 
 
 
 
15. Produtos Notáveis 
1. Produto da soma pela diferença 
(a + b) . ( a – b) = a 
2
 – b 
2
 
2. Quadrado da soma 
(a + b)
2
 = a 
2
 + 2 a .b + b 
2
 
3. Quadrado da diferença 
(a – b) 
2
 = a 
2 
– 2 a .b + b
2
 
4. Cubo da Soma 
(a + b) 
3 
= a
 3
 + 3 a
2 
b + 3 a b
2
 + b
3
 
5. Cubo da diferença 
(a – b) 
3
 = a 
3
 – 3 a 
2
 b + 3 a b
2
 – b
3 
6. Regra prática para desenvolver: 
 
 
 
1º) O desenvolvimento do Binômio de Newton
1
 
 
n
n n p p
p 0
n
x a x a
p


 
   
 

 
 
 
 
2º) Os coeficientes pela relação de Fermat
2
 
n nn p
 . coeficiente do termo seguinte, temos a regra prática.
p p 1p 1
   
    
    
 
 
 
 
 
1
 Isaac Newton- Nasceu no interior da Inglaterra (1642-1727) estudou no Trinity College em Cambridge. 
Ao morrer, Newton foi enterrado na Abadia de Westminster com as pompas de um rei. 
 
2
 Pierre Simon de Fermat (1601-1665) nasceu na França e estudou direito em Toulouse. Desenvolveu a 
Geometria Analítica e estudou problemas de máximos e mínimos. 
2 34 3x y : xy
 
37 
 
0
 n = 0 1
0
1 1
 n = 1 1 1
0 1
2 2 2
 
0 1 2
 
 
 
  
  
  
   
   
  
n = 2 1 2 1
3 3 3 3
 n = 3 1 3 3 1
0 1 2 3
4 4 4 4 4
 n = 4 1
0 1 2 3 4
    
    
    
     
     
     
 4 6 4 1
5 5 5 5 5 5
 n = 5 1 5 10 10 5 1 
0 1 2 3 4 5
      
      
      
Exemplo: 
 
         
 
 
4
4 0 0 4 1 1 4 2 2 4 3 3 4 4 4
0 1 2 3 4
4 3 2 2 1 3 4
4 4 3 2 2 3 4
x a n 4 4 1 5 termos
4 x .a 4 x .a 4 x .a 4 x .a 4 x .a
4 14 0 4 2 4 3
1x 1. x a 4. x a 6. x a 4. a 
0 1 1 1 2 1 3 1
x a 1x 4x a 6x a 4xa 1a
 
    
     
    
  
    
   
     
 
2
2
4 4 3 2 2 1 3 4
 ou
1 4 3 6 2 4
x a 1x x a 4. x a x a a
1 2 3 4
 
     
 
 
 
4 4 3 2 2 3 4x a x 4x a 6x a 4xa a     
 
 
 
Podemos determinar os coeficientes do desenvolvimento do binômio de Newton 
pelos elementos do triângulo de Pascal
3
 , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
 Blaise Pascal, matemático francês: 1623-1662 
1 4 6 4 1
 1 
1
 1 
4
 1 6
 1 
4
 1 
 
38 
 
Exemplos: 
 
n = 5 → n + 1 = 5 +1 = 6 termos: 
1º) 
 
2º) 
 
 sinais alternados 
 
7. Produto de Stevin4 
 
( x + a ) . ( x + b ) = x
2 
+ ( a+b ) . x + ab 
 
8. Produto de binômio por trinômio 
 
(a + b).( a
2
 – ab + b
2
 ) = a
 3
 + b
3
 
 
(a - b).( a
2
+ ab + b
2
 ) = a 
3 
– b
3
 
Exercícios Resolvidos 
 
1. R Desenvolva e simplifique os seguintes binômios. 
 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4
 Simon Stevin 1540-1620, matemático flamengo[França e Bélgica] 
 
5 5 4 3 2 2 3 4 5x a 1x 5x a 10x a 10x a 5xa 1a      
 
5 5 4 3 2 2 3 4 5
+x a x 5x a 10x a 10x a 5xa a      
 
   
2
R 2 2
3 2
 3 2 3 2 2 
 3 2 6 2 5 2 6

  
    

   
   
R 2 2
6 2 6 2
 6 2 
6 2 4
 
 
 

 
39 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
Regra prática: 
1º) pelo desenvolvimento do binômio de Newton 
 
n
n n p p
p 0
n
x a x a
p


 
   
 

 
2º) coeficientes: pela relação de Fermat 
n nn p
 . coeficiente do termo seguinte,
p p 1p 1
   
    
    
 
5R
0 1 2
5 4 3
3 4 5
2
5 4 3 2
1
 x n 5 n 1 5 1 6 termos
2
1 5 0 1 5 1 1
 1x 1. x . 5. x +
2 0 1 2 1 1 2
5 2 1 5 3 1 5 4 1
 10. x 10. x 5.
2 1 2 3 1 2 4 1 2
1 1 1
 1x 5. x 10. x 10. x 
2 4 8
 
        
 
      
       
      
       
        
       
    

1 1
 5. x 1
16 32

 
 
 
2.R Efetue 
a) 
 
   
3
2 3R
3 2
3 2 3
2 3 3
1
2x 
2x
1 1 1
 2x 3. 2x . 3.2x 
2x 2x 2x
1 1 1 3 1
 8x 3.4x . 3.2x. 8x 6x 
2x 4x 8x 2x 8x
 
 
 
   
      
   
       

5
1
x 
2
 
 
 
1 2
x x 
2 3
   
    
   
 
40 
 
     
R
2
2 2
2
 De acordo com o produto de Stevin,
 x a x b x a b x ab, temos
1 2 1 2 3 4 1
x x . x x 
2 3 2 3 6 3
7 1
 x x 
6 3
     
   
         
   
  

 
 
b) 
 
 
   
R
2 2 3 3
3
3 3
 De acordo com a diferença de cubos,
 a b a ab b a b , temos
1 1
a a 
5 125
    
 
   
 

 
 
c) 
 
   
 
R
2 2 3 3
3
33
 De acordo com a soma de cubos,
 a b a ab b a b , temos
a 1 a 1
    
  

 
 
Exercícios Propostos 
 
1.P Desenvolva e simplifique os seguintes binômios. 
a) 
 
Resposta: 12 2 35
 
b) 
 
Resposta: 11 
 
 
2
7 5
   2 3 1 2 3 1 
21 1 1a a a 
5 5 25
   
     
   
   3 23 3a 1 a a 1  
 
41 
 
c) 
 
6 5 4 3 2Resposta: 64x 192x 240x 160x 60x 12x 1     
 
 
 
2. P Efetuar 
a) 
 
 
2 1 1Resposta: a a 
30 10
 
 
 
b) 
 
 
38a
Resposta: 8
27

 
 
c) 
 
3Resposta: a 125 
 
 
 
 
6
2x 1
 
1
a 0,3 a 
3
 
  
 
24a 2 2 2a
 a 2 2
9 3 3
   
         
   2a 5 a 5a 5  
 
42 
 
16. Fatoração 
 
1. Fator em evidência 
a x + a y = a ( x+ y ) onde a é fator em evidência. 
 
2. Fatoração por agrupamento 
a x + a y + b x + b y = a ( x+y ) + b ( x+y ) = ( x + y ) ( a + b ) 
 
3. Trinômio quadrado perfeito 
222 )(2 bababa  






0b 
0a 
 b , : 22 baaobs
 
 
4. Trinômio do 2 º grau 
a
b
xcbxax
onde
xxxxacbxax
2
0
)'')('(
2
2



 
Vamos deduzir esta fórmula: 
 
Seja a equação 
ax
2
 + bx + c = 0, em que o U = R e a, b, c  R, com a ≠0. 
 
1º) Multiplicamos ambos os membros por 4a e teremos: 
ax
2
 + bx + c = 0 × (4a) 
4a
2
x
2 
+ 4abx + 4ac = 0 
 
2º) Transpomos 4ac para 2º membro pela operação inversa: 
4a
2
x
2
 + 4abx = 0 – 4ac 
4a
2
x
2 
+ 4abx = – 4ac 
 
3º) Pela propriedade da igualdade, adicionamos b
2
 a ambos os membros teremos: 
4a
2
x
2
 + 4abx + b
2 
= b
2
 – 4ac 
 trinômio quadrado perfeito 
 
4º) Fatoramos o 1º membro e teremos: 
(2ax + b)
2
 = b
2
 – 4ac 
 
 
 
43 
 
5º) A expressão b
2
 – 4ac é chamada discriminante será representada pela letra grega ∆ 
(delta) ∆  D. 
∆ = b
2
 – 4ac 
 
6º) Pela operação inversa, teremos 
2ax b     
 
7º) 
 
ou 
2b b 4ac
x : fórmula resolutiva da equação completa do 2º grau
2a
  

. 
b
x ' 
b 2a
De x 
2a b
x" 
2a
  

  

  

 
esta fórmula é conhecida como Fórmula de Bháskara
5
 . 
 
Assim, temos: 
1. Se 0 x', x" R / x' x"
2. Se 0 x', x" R / x' x"
3. Se 0 x', x" R 
 existe 
Obs: 
 não existe
     
     
    
 
  
 





 



4a
Δ
;
2a
b-
V , 
a
c
 x'.x"P , "'
a
b
xxS
 
 
 
5. Expressões da forma 
 
 1n ,
ímparn 1,


Nnba
nba
nn
nn
 
 
 
 
5
Bháskara - matemático hindu (1114-1185) 
b
x 
2a
  

 
44 
 
 
2
R
2
4a c 40ac 100c
 fator comum em evidência fator comum divisor comum
 4c . a 10a 25
 
divisor trinômio quadrado perfeito
 
 
  
 
 
5.1) Diferença de dois quadrados 
))(( 
))((22
baba
bababa


 
 
5.2) Soma e diferença de dois cubos 
))((
))((
2233
2233
babababa
babababa


 
 
5.3) Outros casos: 
))((
))((
322344
322344
babbaababa
ou
babbaababa


 
 
 
))((
))((
43223455
43223455
babbabaababa
ou
babbabaababa


 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1. R Fatore as expressões seguintes: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 2 2 2
2 2
 a - 2ab b a - b
 a a b b
 
 
  
 
2
2a a
 2.a.5 10a 4c a 5
25 5
 
  
  
 
45 
 
 
4 2
2R
2 2
28y 4y
7y 7y
 4y 7y 1 
1 1
diferença de quadrados

 
   

 
 
b) 
 
 
   
   
2 2
2
2
2
a b a b a b
a a
b b
 4y 7y 1 7y 1
   


  
 
 
c) 
 
 
 
 
 
d) 
 
R
 aplicação da fatoração trinômio do 2º grau 
ax
2
 + bx + c = a (x – x
’
) (x – x
”
), onde x
’
 e x
”
 são raízes da equação ax
2
 + bx + c = 0 
 
   
   
2
R
2 2
3 1
x x 
2 2
 a x x ' x x" 
 1 x x ' x x"
3 1
x x 0 2x 3x 1 0
2 2
 
   
 
      
 
   
3 1 1
x ' 
3 9 8 3 1 4 2
x 
3 12 2 4
x" 1
4
1 1
 1 xx 1 x x 1
2 2

 
  
 

 
   
        
    
 
   
       
2
R
12a 3a 20ab 5b
 fatoração por agrupamento
 3a 4a 1 5b 4a 1
 4a 1 3a 5b 4a 1 3a 5b
  

    
     
2 3 1x x 
2 2
 
 
46 
 
225.R Consideremos a equação ax + bx + c = 0 e suponhamos 0, 
c c
verificar que o produto das raízes é igual a ou seja x'.x" = 
a a
 
 
   
R
22
2
b b
 x ' e x" , logo 
2a 2a
bb b
x ' . x" . 
2a 2a 4a
     
  
          
       
    
 2 22
2 2 2
b b 4acb 4ac c c
 x '.x " 
4a 4a 4a a a
 
     
 
27.R Verificar que ax
2
 + bx + c = a (x – x’) (x–x”) sabendo-se que 
b c
x' x" e x' . x" 
a a

  
 
  
      
        
R
2
2 2
2
 ax bx c 
b c
 a x x a x x ' x" x x ' . x" 
a a
 a x x'x x"x x 'x" a x x x ' x" x x ' 
 a x x ' x x" a x x ' x x"
   
 
        
 
        
     
 
 
29. R Fatore: 
a) 8a3 – 1 
     
       
R
2 2 3 3
3 3
3
3
2 2 2
 diferença de cubos: a b a ab b a b
8a 2a
 8a 1 
1 1
 2a 1 4a 2a 1 2a 1 4a 2a 1
     
 
   

       
 
b) 16x3 + 2 
 
   
R
3 3
2 2 2
 16x 2 2 8x 1 
 2 2x 1 4x 2x . 1 1 2 2x 1 4x 2x . 1 1
    
              
31. R Simplificar as seguintes expressões 
a) 
 
 
2
2
fatoração: diferença de quadrados e trinômio quadrado perfeito 4x 1
,
4x 4x 1

 
 
47 
 
  
 
 
 
 
R
2
2x 1 2x 1
 , divisor comum 2x 1 0
2x 1
2x 1 2x 1
 
2x 1 2x 1
 
   

 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
   R 2 2x 3y 3 x 2y 4x 6y 3x 6y x
 
6 6 6
     
  
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
   
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
2
R
2
2
2
11
22
2 2
1 1
ab ab aa 1
 : 
1 1 ab 1 1 ab
1 1 ab ab aa 1 ab b a
 : 
1 ab 1 ab
1 aba a b b a
 . 
1 ab 1 ab ab a
b a 11 aba b b 1 b
 . . 
1 ab 1 11 a 1 a
  
            
      
          
     
          

   
  
 b
 
 
d) 
 
 
 
3 3R
3
3
8x 2x A
 8x 1 
1 1 B
  
   
  
reduzir ao denominador comum mmc (3,2) 6 2x 3y x 2y
, 
3 2
 

2b a ab a
a : 1 , com ab -1
1 ab 1 ab
   
    
    
     
3
2
3 3 2 2
8x 1
, 
4x 2x 1
obs: diferença de cubos: A B A B A AB B

 
    
 
48 
 
          
 
  
 
 
2 2
2
2
2
2x 1 2x 2x . 1 1
 
4x 2x 1
2x 1 4x 2x 1
 2x 1
4x 2x 1
  
 
 
  
  
 
 
 
e) 
 
 
 
 
  
  
 
 
  
  
R y z y z y z y z x w x w x w
 : . 
x w x w x w x w y z y z y z
      
  
      
 
 
33. R Racionalize o denominador das seguintes frações: 
a) 
 
 
3 3 32 2 2R
3 3 3 31 1 2 3
4 4 5 4 5 4 5
 55 5 5 5

   
 
 
b) 
 
   
 
 
 
 
   
   
 
R
2 2
 fator racionalizante de 3 2 é 3 2
 3 23
3 2 3 2
3 3 2 3 3 2 3 3 2
 3 3 2
3 2 13 2
  
 

  
  
    

 
2 2
2 2
y z y z
 : 
x w x w
 
 
3 33 1 2
3
4
 fator racionalizante: 5 5
5
 
3
3 2
 
49 
 
   
   
   
2 2
Obs: Expressões do tipo a b e a b são chamadas 
expressões conjugadas e a b . a b 
a b a b, pelo produto notável 
 
  
  
 
 
       
 
   
x 4 x 3 x 2 1 x 4 x 3 x 2 1
= 
x 2 1 x 3
 x 4 x 2 1
       

  
   
 
 
   
   
2 2
2
Obs: 
1º) a b a b a b
2º ) ax bx c a x x ' x x"
   
    
 
 
c) 
 
 
 
 
 
   
   
   
 
   
 
   
2
R
22
2 xx 16 .
 
2 x . 2 x
x 4 x 4 2 x x 4 x 4 2 x
 
4 x2 x
x 4 4 x 2 x
 x 4 2 x
4 x

 
 
     
 

   
    

 
 
  
 
 
 
   
   
2
2R
2
2 2
x 7x 12
c)
x 2 1
b b 4ac
 x 7x 12 0 x 
2a
x ' 47 49 48 7 1 7 1
x 
x" 32 2 2
x 2 1 x 4 x 3 x 2 1x 4 x 3 .
 
x 2 1 . x 2 1 x 2 1
 
 
  
     
   
   

      
  
     
2x 16
2 x


 
50 
 
35. R Racionalize o numerador das seguintes frações 
 
a) 
 
  
 
2R
2 2
2
x 3x 4 x
 
2
x 3x 4 x x 3x 4 x
 
2. x 3x 4 x
  
 
     

  
 
   
     
2
22
2 2
2 2 2
x 3x 4 x x 3x 4 x 3x+4
 
2. x 3x 4 x 2. x 3x 4 x 2. x 3x 4 x
     
  
        
 
 
b) 
 
      
      
   
  
 
  
2 2
3 3 3 3 3 3
R
2 2
3 3 3 3
3 3
3 3
3 2 3 3
3 2 3 33 2 3 3
x 2 x x. 2 2
 
x 2 x x. 2 2
x 2
 
x 2 x 2x 4
x 2 1
 
x 2x 4x 2 x 2x 4
  
 
  


  

 
   
 
37. R Simplifique as seguintes expressões: 
a) 
 
2x 3x 4 x
2
  
     
3 3
2 2 3 3
x 2
x 2
Obs: a b a ab b a b


    
2 3 2 3
 
1 5 1 5
 

 
 
51 
 
 
     
  
   
R
22
1 5 2 3 1 5 2 3
 
1 5 1 5
2 3 2 5 5.3 2 3 2 5 5.3
 
1 5
    
 
 
      


 
   2 2 15 2 154 2 15
 
1 5 4 2
  
  
  
 
b) 
 
 
5 2
R
4 2 2
10 2
2 2
1 1
 a a a
4 2
1
 a , Obs: 18, P3 x x
2
   
       
   
   
 
 
Exercícios Propostos 
 
1. P Verificar que a soma das raízes da equação ax
2 
+ bx + c = 0, ∆ ≥ 0 é 
b b
igual ou seja x' x" 
a a
 
 
 
 
2. P Fatore as expressões seguintes: 
a) 
 
   2 2 2Resposta: 6d 2b 1 2b - 1 
b) 
 
 
23Resposta: 7x x 3y
 
c) 
   2Resposta: x 5a 1 2b 
 
d) 
4 2 224b d 6d
5 4 3 27x 42x y 63x y 
2 2x 2bx 5a 10ab  
2 4 3 21 a b 5ab 25b
4
 
5
4 210
1
a a
4
 
   
 
 
52 
 
2
2 1Resposta: b ab 5
2
 
 
  
 
3. P Fatore 
a) 
25a 2 25a 5a 4
Resposta: 
8 3 64 12 9
  
    
    
b) a3 – b6 
   2 2 4Resposta: a b a ab b  
 
 
 
c) a4 – 125ac3 
   2 2Resposta: a a 5c a 5ac 25c  
 
 
4. P Simplificar as seguintes expressões: 
a) 
 
 
x 1
Resposta: 
x 1

 
 
 
 
b) 
 
 
 
1
Resposta: 
5 a 1
 
 
c) 
 
 
1
Resposta: 
x 1 
3125 8a 
512 27

2
2
x 2x 1
x 1
 

 
 
 2
22
20 a 2a 14 a 1
 : 
a 1a 2a 1
 
 
2
2
x 4x 1 x 2
 
x 1 x 1
   

 
 
53 
 
d) 
 
 
2Resposta: 9a 3a 1  
 
5. P Racionalize o denominador das seguintes frações: 
a) 
 
 
Resposta: 2 3
 
b) 
 
ab
Resposta: 
b 
 
c) 
 
34Resposta: 8m
 
 
 
d) 
 
 
Resposta: 2 + 3 
 
6. P Racionalize o numerador das seguintes frações: 
a) 
 
327a 1
 
3a 1


6
3
a
ab
4
2m
2m
3 1
3 1


x 3
, x 3
x 3



 
54 
 
1
Resposta: 
x 3 
 
b) 
 
  
1
Resposta: 
x 4 x 2 1  
 
c) 
 
  
1
Resposta: 
x 4 2 x

 
 
 
7. P Simplifique as seguintes expressões: 
a) 
 
 
2 2Resposta: x ax a 
 
 
 
b) 
 
 
2x x 1
Resposta: 
 x 3
 

 
Exercício de revisão 
41. P Simplificar as seguintes expressões fracionárias, supondo denominador não nulo 
41.1 
2
x 2 1
, x 3, x 4
x 7x 12
 
 
 
2
2 x
, x 4
x 16

 

3 3x a
x a


3
2
x 1
x 4x 3

 
 
55 
 
2x 25
x 5

 
Resposta: x 5
 
 
41.2 
2
3
2x 3x 2
x 8
 
 
2
2x + 1
Resposta: 
x 2x 4 
 
 
 
 
41.3 
2
2
x 7x 6
x 1
 
 
x 6
Resposta: 
x 1

 
 
41.4 
2
2
x 3x 10
x 4
 
 
x 5
Resposta: 
x 2

 
 
 
56 
 
41.5 
4
3 2
x 10x 4
x2x
 
 
3 2
2
x 2x 4x 2
Resposta: 
x
  
 
 
 
41.6 
2
2
x 1
x x 2

  
x 1
Resposta: 
x 2

 
 
41.7 
2
3x 6
x 3x 2

  
3
Resposta: 
x 1 
 
41.8 
2
2
x 2x 8
x x 6
 
  
x 4
Resposta: 
x 3

 
 
 
57 
 
41.9 
3 3
2 2
x a
x a

 
2 2x ax a
Resposta: 
x a
 
 
 
41.10 
4 3
2
x 3x x 3
x 4x 3
  
  
2Resposta: x x 1 
 
 
 
 
58 
 
17. Intervalos 
b a , R b a,  
1. Intervalo Fechado 
[ a ; b] = {x  R | a  x  b} 
2. Intervalo Aberto 
] a ; b [ = ( a ; b ) = { x  R | a < x < b} 
3. Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita 
[a ; b [ = [ a ; b) = { x  R | a  x  b} 
4. Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita 
] a ; b] = ( a; b ] = { x  R | a < x  b } 
5. Intervalos infinitos 
5.1 [ a ;  [ = [ a ; ) = { x  R | x  a } 
5.2 ] a ;  [ = ( a ; ) = { x  R | x > a } 
 
59 
 
5.3 ] -  ; a ] = ( -  ; a ] = { x  R | x  a 
}
 
5.4 ] -  ; a [ = ( -  ; a ) = { x  R | x < a } 
 
 
18. Módulo de um número real 
 
Definição: Dado um número real x, 
 






0 xse x,-
0 xse x,
 x 
Propriedades:  x, y  R, temos 
P1. | x |  0 ; | x |  x 
P2. | x | 
2
 = x
 2 
P3. 
2x = | x | 
P4. | -x | = | x | 
P5. | x | = | y |  ( x = y  x = -y ) 
P6. | x | = a  ( x = a  x = -a ), 
 (a > 0 ) 
P7. | x | < a  -a < x < a , ( a > 0 ) 
 
P8. | x | > a  ( x < -a  x > a ), 
 ( a > 0 ) 
P9. | x . y | = | x | . | y | 
P10. 
) 0 (y 
||
||

y
x
y
x
 
P11. | x + y |  | x | + | y | 
 
19. Propriedades da relação de igualdade 
a, b, c  R 
1. Reflexiva 
a = a ;  a 
2. Simétrica 
a = b  b = a  a ,  b 
3. Transitiva 
cb,a, 





ca
cb
ba
 
 
60 
 
 B 
CAPÍTULO 2 
Operações com conjuntos 
1. Reunião (ou união) de conjuntos 
 
C = A  B = { x / x  A  x  B} 
Lê-se: “A união B” ;  =ou 
Em diagrama ( de Euler – Venn) 
 
 
 
2. Intersecção de conjuntos 
 
e , " Bointersecçã A" se- Lê 
 B}x A x |{xB A C


 
 
 
61 
 
 
 
3. Diferença de conjuntos 
 
" Bmenos A " se- Lê 
} Bx A x |x { B- A C 
 
 
4. Complementar de B em A 
 
A"a relação em Bdear complement" se-lê 
C A B BA BA
 
Em diagrama: 
 
AUCA' universo conjunto U Obs Au :. 
 
 
62 
 
CAPÍTULO 3 
Relações e Funções 
 
Par ordenado – conceito primitivo 
( x, y ) = ( a, b )  ( x = a ^ y = b) 
 
Produto Cartesiano 
Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos o produto entre eles como 
sendo o conjunto A  B = { ( x, y ) | x  A e y  B }. Este conjunto é chamado de 
produto cartesiano de A por B. 
 => lê –se “ A cartesiano B” ou “ produto cartesiano de A por B”. 
 
Observação: O número de elementos de A  B é igual ao produto do número de 
elementos de cada conjunto, ou seja, n ( A  B ) = n(A) . n(B). 
 
Relação Binária 
 
Dizemos que R é uma relação binária de A em B se, e somente se, R é um 
subconjunto de A  B, ou seja, R  A  B. 
A = conjunto de partida da relação R 
B = conjunto de chegada ou contradomínio da relação R. 
( x, y )  R <=> x R y . 
DR = Domínio de R, x  DR <=>  y  A | ( x, y )  R. 
ImR = Imagem de R, y  ImR <=>  x, x  A | ( x, y )  R. 
Obs. DR  A e Im  B 
 
Relação Inversa : R
-1
 
 Se R é um subconjunto de A  B , então R
-1 
 é um subconjunto de B  A, ou 
ainda, R: A  B , R
-1
 = { ( y, x )  B  A | ( x, y )  R } 
 
 ( y, x)  R
-1
 <=> ( x, y )  R 
Função 
 
Dizemos que uma relação de A em B é chamada de função ou aplicação quando, 
associa a todo elemento de A, um único elemento em B. 
Resumindo, 
( f é aplicação ou função de A em B )<=>{ x  A,  y  B |( x, y )  f} 
f = { ( x, y ) | x  A , y  B ^ y = f(x) } 
 
 
63 
 
Notações 
1) f , g , h 
2) f : A  B ou A 
f
 B 
 x  f (x) x  f (x) 
3) y = f (x) 
Em diagrama: 
Tipos de funções 
 
(f é sobrejetora)  (conjunto imagem = contradomínio) 
(f é injetora)  ((x1  x2, x1, x2  D)  f(x1)  f(x2)) 
(f é bijetora)  (f é sobrejetora e injetora) 
 
1. Função Constante 
Definição : f : R  R 
 x  y = c ( c = constante) 
 
D = R ; CD = R ; Im = { c } 
 
 
64 
 
2. Função Afim (ou função polinomial do 1
o
 Grau) 
Definição f : R  R 
 x  y = f(x) = ax + b, (a, b  R ^ a  0) 
a = tg  = coeficiente angular = ou declive da reta 
b = coeficiente linear ( cond. x = 0) 
x0 = 
a
b
 

 = zero ou raiz da função ( condição y = 0) 
 
 
Casos Particulares: 
 
2.1 Função Linear 
 
Definição 
 f : R  R 
x  y = ax , a  0 
Im = R 
 obs.: P(0,0)  r 
 
65 
 
 
2.2 Função identidade 
 
Definição 
 f : R  R 
 x  y = x 
 Im = R 
 
 
 
 
Obs.: (r) contém as bissetrizes do 1 
o
 e 3 
o
 quadrantes. 
 
3. Função Quadrática ou função do 2
o
grau 
 
Definição f : R  R 
 x  y = f(x) = ax2 + bx + c 
  a, b, c  R ^ a  0 
Gráfico : parábola 
zeros ou raízes 
y = 0  a x
2
 + bx + c = 0 (equação do 2 
o
 grau) 
a
ac
x
2
4b b -
 
2 
 ac 4 b 2  (discriminante) 
a
b
x
2
'

 
a
b
x
2
''

 
 > 0   x’, x” R | x’  x” 
 = 0   x’, x” R | x’ = x” 
 < 0   x’, x” R vértice v = (xv, yv) = 
aa
b
4
,
2

 
 
66 
 
 
Imagem 
a > 0  Im = { y  R | y  
a4

 } 
 
a < 0  Im = { y  R | y  
a4

 } 
 
Exemplo: 
 Observando a figura ao lado, qual o perímetro do retângulo de área máxima 
inscrito no triângulo isósceles de base 4 cm e altura 6 cm. 
Resolução 
Área máxima  V (Xv, Yv) 
y = área do retângulo 
y = base × altura 
 ↓ ↓ 
y = (4 – 2x) . z 1 
 
 
 
 
 
67 
 
Cálculo de z 
∆ AHC ~ ∆ ∆DEC 2 , substituir 2 em 1 
temos 
y = (4 – 2x) . 3x = 12 x – 6x² 
y = – 6x² + 12x → função quadrática MÁX 
V(Xv, Yv) → ponto de máximo, pois a = – 6 < 0 → 
b 12
Xv Xv 1 z 3.1 3
2a 2( 6)
 
      
 
 
 
 3 3 → perímetro = 2 × (2 + 3) = 10 cm 
 2 2 → área máxima = 2 × 3 = 6cm² 
 ↑ 
base (4 2x) 4 2.1 2, altura z 3x z 3.1 3          
 
 
 
4. Função Modular 
 
 
Definição f : R  R 






0x se ,
0 x se ,
||)(
x
x
xxf
 
 
5. Função Exponencial 
 
Definição f : R  R 
 x  y = f (x) = ax , a > 0 e a  1 
1 
o
 caso : a > 1  f (x) = a 
x 
é crescente 
6 2 6x
 z 3x
z x 2
    
 
68 
 
 
 Exemplo: y = 2 
x
 
 
 
 
2 
o
 caso : 0 < a < 1  f (x) = a 
x 
é decrescente 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.1 Equação Exponencial 
 
 
a 
f(x)
 = a
 g(x) 
 f(x) = g(x) 
 
5.2 Inequação Exponencial 
 
1 
o
 caso: a > 1 
a 
f(x)
 < a
 g(x) 
 f(x) < g(x) 
 
2 
o
 caso: 0 < a < 1 
a 
f(x)
 < a
 g(x) 
 f(x) > g(x) 
x 2
x 
-3 1/8 
-2 1/4 
-1 1/2 
0 1 
1 2 
2 4 
3 8 
x (1/2)
x 
-3 8 
-2 4 
-1 2 
0 1 
1 1/2 
2 1/4 
3 1/8 
 
69 
 
 
 
6. Logaritmo 
 
Definição 
1 a 0 , b a log c  cba 
 
 Notação : c = logaritmo 
 a = base 
 b = logaritmando( ou antilogaritmo) 
 
 
Consequências da definição : 
Para 0 < a  1, b > 0 , c > 0 e   R , temos : 
1) cbcb aa  loglog 
2) 01log a 
3) 1log aa 
4) ba
ba 
log
 
 
Propriedades dos Logaritmos 
 
P1. Logaritmo do produto ( 0 < a  1 e b1, b2, ..., bn > 0 ) 
naaaana bbbbbbbb log...logloglog).......(log 321321  
 
P2. Logaritmo do quociente 
0) c b, e 1, a(0 logloglog 





cb
c
b
aaa 
 
 
P3. Logaritmo da potência 
R) e 0 b 1, a(0 log.log   bb aa 
 
P4. Logaritmo da raiz 
N*) n e 0 b 1, a (0 
log
log 
n
b
b ana 
 
 
70 
 
 
Cologaritmo: Definição 
b
bbb aaa
1
logcolog logcolog a  
Antilogaritmo: Definição cbcb aa antilog log  
Mudança de base: 
 
b
c
b
a
b
b
a
c
c
a
log
1
log 
 
log
log
log
ca
iaconsequênc
 

 
 
1 e 1 , R ,, *   cacba 
7. Função Logarítmica 
 
Definição:
 1 a 0 R,a ,log yx 
R R:
a
*


x
f

 
1 
o
 caso : a > 1  f é crescente 
ex. xy 2log 
 
2 
o
 caso : 0 < a < 1  f é decrescente 
ex. xy
2
1log
 
 
71 
 
7.1 Equações Logarítmicas 
 
1 
o 
tipo : Se 0 < a  1, então 
0)()()(log)(log  xgxfxgxf aa 
Exemplo: 
Resolver a equação 7log)53(log 22 x . 
Resolução: 
{4}S 4)0(7537log)53(log 22  xxx 
 
2 
o
 tipo : Se 0 < a  1 e R , então 
0)(0: 
 )()(log


xfaObs
axfxfa


 
Exemplo: 
Resolver a equação 4)13(log2 x 
Resolução: 
{5}S 5x 213x 4)13(log 42 x 
 
3 
o
 tipo : Incógnita auxiliar : 
São as equações que resolvemos fazendo inicialmente uma mudança de incógnita. 
 
Exemplo: 
 Resolver a equação 2loglog 2
2
2  xx 
 
Resolução: 
2
1
21log 
2 "y
-1 y'
 02log
1
2
2
2







xx
yyyx
 
 
 
} 4 ;
2
1
 {S 0, x..
422log 22


ec
xx
 
 
72 
 
7.2. Inequações Logarítmicas 
 
1º tipo Se a > 1, então conserva-se 
 
 
0)()()(log)(log  xgxfxgxf aa 
 
 
 Se 0 < a < 1, então inverte-se 
 
 
)()(0)(log)(log xgxfxgxf aa  
 
 
Exemplos: 
1º ) 








2
7
;
2
1
2
7
2
1
6)12(06log)12(log
12
22 Sxxx
a
 
 
2
º
 ) 
  5;40;1
)(54
)(04
5405log)4(log
2
2
2
3
1
2
3
1
1
3
1





S
llxx
lxx
xxxx
a
 
 
 
 
2º tipo 
k
aaa
k
aaa
axfkxf
axfkxf
log)(log)(log
log)(log)(log


 
k=constante  R 
 
 
 
 
 
73 
 
de 1º e 2º tipos, temos 
 



















10 ,)(
1 ,)(0
)(log
1a0 ,)(0
1 ,)(
)(log
aseaxf
aseaxf
kxf
seaxf
aseaxf
kxf
k
k
a
k
k
a
 
 
Exemplos 
2
3
1
2 2
1
2
2 7
log (3 2) 2 0 3 2 3 ;
3 3
1 1 3
log (2 3 ) 1 0 2 3 ;0 ;2
2 2 2
x x S
x x x x S

 
         
 
     
             
     
 
7.3 Logaritmos Decimais 
 
   11010 loglog
axxy 
m= mantissa ( parte decimal ou parte não inteira) 
c= característica (parte inteira) 
 
 
 
Regras da Característica: 
 
Regra I (x>1) 
A característica do logaritmo decimal de um número x > 1 é igual ao número de 
algarismos de sua parte inteira menos 1. 
 
10 
,log


meconde
mcx

 
74 
 
Exemplos: 
 
31alg41991log
11alg276,35log
01alg15,2log



c
c
c
 
 
 
Regra II ( 0 < x < 1 ) 
A característica do logaritmo decimal de um número 0 <x<1 é o oposto da 
quantidade de zeros que precedem o primeiro algarismo significativo. 
 
Exemplos: 
 
)4(400021,0log
)2(207000,0log
)1(12,0log
zerosc
zerosc
zeroc



 
 
75 
 
 
 
CAPÍTULO 4 
Trigonometria 
1. Noções Fundamentais de Trigonometria no Triângulo Retângulo 
( do grego, trigonos : triângulo ; metrein : medir ) 
 
1
o
) Â = 90
º
 
2
o
) 
90 ( ângulos complementares) 
3
o
) b, c, catetos ; a = hipotenusa 
4
o
) a 
2
 = b 
2 
 + c 
2
 (Teorema de Pitágoras --- 540 a. C.) 
 
 cos
a
b
sen
 
 cos sen
a
c

 
 cotg tg 
c
b
 
 
)90cos(   sen 
 
)90( cos   sen )90(gcot tg  

 
 
1cos22  sen 
 
 
76 
 



cos
sen
 tg 
 


sen
cos
 cotg  
 
 
 
 
Valores Notáveis 
 
Razão ângulo 30 
o 
45 
o 
60 
o 
90 
o 
sen 
2
1
 
2
2
 
2
3
 1
 
cos 
2
3
 
2
2
 
2
1
 0
 
tg 
3
3
 1 3 ---
 
cotg 3 1 
3
3
 0
 
2. Arcos e Ângulos 
Arco : B A

  ângulo central AÔB 
 
Medida de Arco B A

 
 
u
AB
B A

 (medida de arco AB) = 
 
 
comprimento do arco AB
comprimento do arco unitário (u)
 
77 
 
 
Unidades 
Grau (símbolo: º)  u = 
360
1
 C, C = comp. da circunferência 
 
Radiano (símbolo: rad ou rd)  u = r, r = raio da circunferência 
 
 
 
Conversão da Unidades 
90
º
 –––––––– rd
2

 
180
º
 –––––––––  rd 
 
270
º
 ––––––––––––
2
3
 rd 
 
360
º
 –––––––––– 2  rd 
 
Ângulo 
 Dadas duas semi-retas distintas a e b de mesma origem 0 e não opostas, chama-
se ângulo ab ou a0b à reunião de a e b, isto é aUb. Indicamos a^b ou aÔb. 
 
 
78 
 
Ângulo Central 
 
Um ângulo aÔb é denominado central, se o vértice 0 coincide com o centro da 
circunferência. Indicamos AÔB. 
Def: m(A^B ) = m (AÔB) 
Comprimento de um arco (l) 
 rl
r
l
rdrd .  (  em rd ) 
  
 rlrd .
180180 


 
  (  em graus ) 
 
 
79 
 
3. Funções Trigonométricas 
 
Definições 
 
y = sen x = OM1 
y = cos x = OM2 
y = tg x = 
x
x
cos
sen
 = AT 
y = cotg x = 
x
x
sen
cos
 = BC 
y = sec x = 
xcos
1
 = OS 
y = cossec x = 
xsen
1
 = OD 
 
80 
 
4. Redução ao Primeiro Quadrante 
 
 
sen (  - x ) = + sen x 
cos (  - x ) = - cos x 
tg (  - x ) = - tg x 
cotg( - x ) = - cotg x 
 sec (  - x ) = - sec x 
cossec (  - x ) = + cossec x 
Ex. cos 150
º
 = - cos 30
º
 = - 
2
3
 
 (180
º
 -150
º 
) 
 
81 
 
 
sen (  + x ) = - sen x 
cos (  + x ) = - cos x 
tg (  + x ) = + tg x 
cotg (  + x ) = + cotg x 
sec (  + x ) = - sec x 
cossec (  + x ) = - cossec x 
Ex. tg 210
º
 = + tg 30
º
 = 
3
3
 
 
82 
 
sen ( 2  - x ) = sen (-x) = -sen x 
cos ( 2  - x ) = cos (-x) = + cos x 
tg ( 2  - x ) = tg (-x ) = - tg x 
cotg ( 2  - x ) = cotg (-x ) = - cotg x 
sec ( 2  - x ) = sec (-x) = + sec x 
cossec ( 2  - x ) = cossec (-x) = - cossec x 
 
Ex. sec 300
º
 = + sec 60
º
 = 60cos
1
 = 2 
5. Redução ao 1
º
 octante ( 1
º
 oitante ) 
Ângulos Complementares 



cos)90sen(
cossen
9090





 o

 
Ex. 
 30cos60sen30  
  
 1
º
 octante 
 
sen )
2
( x

 = cos x 
 cos )
2
( x

 = sen x 
 tg )
2
( x

 = cotg x 
 cotg )
2
( x

 = tg x 
 sec )
2
( x

 = cossec x 
 cossec )
2
( x

 = sec x 
Ex. cossec 60
º
 = sec 30
º
 = 
30cos
1
 = 
2
3
1
 = 
3
2
 = 
3
32
 
 90
º
 - 60
º
 
 
83 
 
6. Relações Fundamentais da Trigonometria 
1. 1cossen
22  xx
 
Rx 
 
2. x
x
tgx
cos
sen

 


kxRx
2
/
 
 
3. 
x
x
x
sen
cos
cotg 
 
kxRx  / 
 
4. 
x
x
cos
1
sec  

kxRx 
2
/ 
 
5. 
x
x
sen
1
seccos  kxRx  / 
 
6. 
tgx
x
1
cotg  
2
/

kxRx  
 
7. xxtg
22 sec1
 


kxRx 
2
/ 
 
8. xxg
22 seccoscot1  kxRx  / 
7. Transformações trigonométricas 
Observação 
Sabemos que 090cos
2
1
60cos,
2
3
30cos   e , portanto 
 30cos60cos90cos  , isto é 
 
1 30
2 2
cos(60 30 ) cos60 cos30

  
 
Seno da Soma 
abbaba cos.sencos.sen)sen(  
 
Seno da Diferença 
abbaba cos.sencos.sen)sen(  
 
 
84 
 
Cosseno da Soma 
bababa sen.sencos.cos)cos(  
 
Cosseno da Diferença 
bababa sen.sencos.cos)cos(  
 
 
 Tangente da Soma Tangente da Diferença 
 
tgbtga
tgbtga
batg
.1
)(


 
tgbtga
tgbtga
batg
.1
)(


 
8. Consequências das fórmulas de adição 
Fórmulas de Arco Duplo 
 
asenaasen cos..2)2(  
 
asena 221)2cos(  
 
asenaa 22cos)2cos(  
 
1cos2)2cos( 2  aa 
 
atg
tga
atg
21
2
)2(

  
tga
atg
ag
2
1
)2(cot
2
 
 
Fórmulas de Arco Metade 
 
2
cos1
2
sen
xx 
 
x
xx
tg
cos1
cos1
2 

 
2
cos1
2
cos
xx 
 
 
85 
 
 
 
2
1
2
2
sen
2 xtg
x
tg
x

 
 
2
1
2
2
 
2 xtg
x
tg
xtg

 
 
2
1
2
1
cos
2
2
x
tg
x
tg
x


 
 
Observação: Fazendo t
x
tg 
2
 , temos: 
 
 
21
2
sen
t
t
x

 
 
21
2
t
t
tgx

 
 
2
2
1
1
cos
t
t
x


 
 
 
9. Transformação em produto ou Fatoração Trigonométrica 
Empregando as fórmulas de adição de arcos, obtemos: 
sen (a+b) + sen (a-b) = 2 sen a cos b 
sen (a+b) - sen (a-b) = 2 sen b cos a 
cos (a+b) + cos (a-b) = 2 cos a cos b 
cos (a+b) - cos (a-b) = -2 sen a sen b 
 
 
 
86 
 
Fórmula de Werner
6
 : 
Fazendo pba  
2
qp
a

 
2
bp
b

 
 qba  
Fórmula de Prostaférese
7
 : 
 
)
2
cos()
2
sen(2sensen
qpqp
qp

 
 
)
2
cos()
2
sen(2sensen
qpqp
qp

 
 
)
2
cos()
2
cos(2coscos
qpqp
qp

 
 
)
2
sen()
2
sen(2coscos
qpqp
qp

 
 
 
10. Resolução de Triângulos 
Notações : 
Medida dos ângulos internos: 
 , 
^
B , 
^
C (Â + 
^
B + 
^
C = 180º ) 
Medidas dos lados: 
a ( oposto ao vértice A ) 
b (oposto ao vértice B ) 
c ( oposto ao vértice C ) 
 
Área do Triângulo : S 
 
 
 
 
6
 Johannes Werner (1468 – 1528 ) – Alemanha. 
 
7
 prosthaphaeresis, palavra grega que significa adição e subtração - SEC. XVl 
 
87 
 
 
Triângulos Retângulos 
 
 
Relações Métricas 
1. 222 cba  (Teorema de Pitágoras) séc.VI a.C. 
2. mab .2  
3. nac .2  
4. nmh .2  
5. hacb ..  
6. 
2
.
2
. hacb
S  
 
Justificativas: 
a) ∆ ABC ≈ ∆ HAC (Â , L , Â) 
 2
a b
 b am 1
b m
  
 
 
b) ∆ ABC ≈ ∆ HAB (Â , L , Â) 
 2
a c
 c an 2
c n
  
 
(1) + (2)  b² + c² = am + an 
 = a (m + n) 
 = a . a 
 
Relações Trigonométricas 
 
2 2 2 a b c
teorema de pitágoras
  
 
88 
 
 
 Seno do 
^
B = cateto oposto a 
^
B 
 hipotenusa 
 
 Cosseno de 
^
B = cateto adjacente 
^
B 
 hipotenusa 
 
 Tangente de 
^
B = cateto oposto a 
^
B 
 cateto adjacente a 
^
B 
 
^^
cot Cg
c
b
Btg 
 
 
^^
cossen B
a
c
C 
 
 
^^
cossen B
a
c
C 
 
 
^^
cot Bg
b
c
Ctg 
 
 
 
Triângulos Quaisquer 
Teorema dos Senos 
 
^^^
sensensen C
c
B
b
A
a
 
 
Teorema dos Cossenos 
a
2
= b
2
 + c
2
 - 2bc . cos 
^
A 
b
2
 = a
2
 + c
2
 – 2ac . cos 
^
B 
c
2
 = a
2
 + b
2
 – 2ab . cos 
^
C 
 
 
89 
 
Teorema da Área 
^
sen
2
1
AbcS  
^
sen
2
1
BacS  
^
sen
2
1
CabS  
 
Relações Fundamentais 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos: 
22
2
2
2 )()()( OMOMMM  
222 )1()(cos)(sen  xx 
 
1
ª
 Relação : Rxxx  ,1cossen 22 
 
2
ª
 Relação :  KKxRx
x
x
tgx ,.
2
/,
cos
sen


 
 
3
ª
 Relação :  KKxRx
x
x
gx ,. /,
sen
cos
cot  
 
4
ª
 Relação :  KKxRx
x
x ,.
2
/,
cos
1
sec 

 
 
5
ª
 Relação :  KKxRx
x
x ,./,
sen
1
seccos  
 
6
ª
 Relação :  KKxx
tgx
gx ,
2
./,
1
cot

 
 
7
ª
 Relação : 1cos22  xxsen 
 
xx
x
x
x
22
2
2
2
cos
1
cos
cos
cos
sen
 )0(cos x 
  KKxRxxxtg ,.
2
/,sec1 22 

 
 
90 
 
 
8
ª
 Relação : 1cos22  xxsen 
 
xx
x
x
x
22
2
2
2
sen
1
sen
cos
sen
sen
 )0(sen x 
 
  KKxRxxxg ,./,seccoscot1 22  
 
Exercícios Resolvidos 
1. Dado 
2
0,
5
4
sen

 xx , calcule as demais funções trigonométricas de x : 
a) 
5
3
cos
25
9
cos
25
16
1cos1cos
25
16
1cos
5
4
1cossen
2
222
2
22








xx
xxxxx
 
 
 Sendo 
2
0

 x , temos 0cos x , logo , 
5
3
cos x . 
 
b) 
5
3
5
4
cos
sen
x
x
tgx
3
4
tgx 
c) 
5
4
5
3
sen
cos
cot
x
x
gx
4
3
cot gx 
d) 
5
3
1
cos
1
sec
x
x
3
5
sec x 
e) 
5
4
1
sen
1
seccos
x
x
4
5
seccos  
 
 
 
2. Simplifique a expressão 
 
xxx
xx
y
cos.sensen
cossen
2
22


 



)cos.(sensen
)cos).(sencos(sen
xxx
xxxx
 
 
 
91 
 
gx
x
x
x
x
x
xx
cot1
sen
cos
sen
sen
sen
cossen



 
 
Lembrete : Produto da soma de dois números pela sua diferença. 
 ( p + q ) . ( p – q ) = p
2 
– p . q + q . p - q
2 
 = p
2
 – q
2 
 
,, RqRp  temos ( p + q ) . ( p – q ) = p
2
 – q
2 
Fatoração da diferença de quadrados. 
p
2
 – q
2
 = ( p + q ) . ( p – q ) 
Pôr em evidência um fator comum 
p
2
 + p . q = p . p + p. q = p . ( p + q ) 
 
3. Sabe-se que axx cossec e bxx cossec . 
 Mostre que a
2 
 – b
2
 = 4. 
 
 2222 )cos(sec)cos(sec xxxxba 
 )coscos.sec.2(sec)coscos.sec.2(sec 2222 xxxxxxxx 
 xxxxxxxx 2222 coscos.sec.2seccoscos.sec.2sec 
 xxxx cos.sec.2cos.sec.2 
 xx cos.sec.4 
4cos.
cos
1
.4  x
x
 
 
Lembrete: Quadrado da soma de dois números: 
( p + q ) 
2
 = ( p + q ) . ( p + q ) = 
= p
2
 + p. q + q . p + q
2
 = p
2
 + 2 . p . q + q
2
 
RqRp  , , temos ( p + q ) 
2
 = p
2
 + 2 . p . q + q
2 
 
Quadrado da diferença de dois números 
 ( p – q ) 
2 
= ( p – q ) . ( p – q ) = p
2
 - p . q - q . p + q 
2
 = 
= p
2
 – 2 . p . q + q
2
 
RqRp  , , temos ( p – q )
2
 = p
2
 – 2 . p . q + q
2
 
 
 
4. Simplifique a expressão 
x
xgx
y
sen
seccoscot 
 









x
x
xx
x
x
x
x
x
xx
x
2cos1
1cos
sen
1
.
sen
1cos
sen
sen
1cos
sen
sen
1
sen
cos
 
 
92 
 
xxx
x
xx
x
cos1
1
)cos1).(cos1(
cos1
)cos1).(cos1(
1cos






 
Dado ,
2
2
sen x calcule o valor da expressão 
1
1sec
2
2



xtg
A . 






xx
x
x
x
xtg
x
A
22
2
2
2
2
2
sec
1
sec
sec
sec
1sec
1
1sec
x
x
x
2
2
2
sen
1
cos
.11
cos
1
1
1  
Como 
2
2
sen x , temos : 
2
1
4
2
2
2
sen
2
2 








 xA 
 
5. Mostre que ( 1 + sen x ) . ( 1 – sen x ) - cos2 x = 0 . 
 xxxxx 222 cossen1cos)sen1).(sen1( 
 0coscos 22  xx 
 
6. Mostre que ( 1 + tgx ) . ( 1 – tgx ) = 2 - sec2 x . 
 )1(sec11)1).(1( 22 xxtgtgxtgx xx 22 sec21sec1  
 
7. Mostre que 
 ( a . sen x – b . cos x )
2 
+ ( a . cos x + b sen x )
2
 = a
2 
 + b
2. 
 
 22 )sencos.()cos.sen.( xbxaxbxa 
 xbxbxaxaxbxbxaxa 2.2222222 sensen..cos..2cos.cos.cos..sen..2sen. 
 xbaxbxa 2.222222 sencos.cos.sen.
2
 
 )sen.(cos)cos.(sen 222222 xxbxxa 
2222 1.1. baba  
8. Mostre que 
(cos a + cos b) . (cos a – cos b) + (sen a + sen b) . (sen a - sen b ) = 0 
 
2 2 2 2
2 2 2 2
(cos cos ).(cos cos ) (sen sen ).(sen sen ) cos cos cos cos 
sen cos (sen cos ) 1 1 0
         
      
a b a b a b a b a b a b
a a b b
 
Transformações Trigonométricas 
 
Seno da Soma: abbaba cos.sencos.sen)sen(  
 
93 
 
 
Seno da Diferença : abbaba cos.sencos.sen)sen(  
 
Cosseno da Soma : bababa sen.sencos.cos)cos(  
 
Cosseno da Diferença : bababa sen.sencos.cos)cos(  
 
Exemplos: 
 
A ) 
  45cos.30sen30cos.45sen3045sen75sen
 
4
26
4
2
4
6
2
2
.
2
1
2
3
.
2
2 
 
 
 
B )   45cos.30sen30cos.45sen)3045sen(15sen 

4
26
4
2
4
6
2
2
.
2
1
2
3
.
2
2 
 
 
 
C )   30sen.45sen30cos.45cos)3045cos(75cos 
4
26
4
2
4
6
2
1
.
2
2
2
3
.
2
2 
 
 
 
D )     30sen.45sen30cos.45cos3045cos15cos 
4
26
4
2
4
6
2
1
.
2
2
2
3
.
2
2 

 
 
 
 
Consequências das Fórmulas de Adição 
Fórmulas do Arco Duplo 
 
aaaaaaa cos.sencos.sen)sen(2sen  aa cos.sen2 
aaa cos.sen22sen  
 
94 
 
 
 aaaaaaa sen.sencos.cos)cos(2cos 
aa 22 sencos  
 aaa 22 sensen12cos aa 2sen212cos  
 aaa 22 sencos2cos 1cos22cos
2  aa 
 
Exemplos: 
1. Sabendo que 2,0cossen  xx , determine o valor de x2sen . 
 xxxxxxxxxx cos.sen2cossen04,0coscos.sen2sen)2,0()cos(sen 222222
96,02sen104,02sen04,02sen104,0  xxx 
 
2. Simplifique a expressão .
cos
2cos
sen
2sen
x
x
x
x
A  
 








x
xxx
x
xxx
x
xx
x
xx
x
x
x
x
A
cos
)sen(coscos2
cos
sencos
1
cos2
cos
sencos
sen
cos.sen2
cos
2cos
sen
2sen
222
2222
 
 
x
xx
xx
x
xxx
sec
cos
1
cos
sencos
cos
sencoscos2 22222




 
3. Simplificar 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2R
2
2 2
2
cosx cosx sen x
 
1 cosx
: 1 cosx1 cosx
 Relação trigonométrica senx cosx 1
: 1 cosx1 cosx
1
 
1 cosx
 
 


  


 
b) 
 
 
 
 
   
 
2
cosx 1 cosx senx senx
1 cosx
  

 
R
sen 2x senx cosx
cosx
2 senx cosx senx cosx senx cosx
 senx 
cosx cosx


  
 
95 
 
Exercícios Propostos 
1. P Simplificar 
a) 
 
 
x senx
Resposta: 
1 cosx

 
 
 
b) 
 
  
cosx
Resposta: 
1 senx 1 cosx 
 
 
 
c) 
 
 
Resposta: sec x
 
 
d) 
 
 
Resposta: cossec x 
 
 
  
2
2
senx x cos x 1 cosx xsenx
1 2cosx cosx
  
 
   
2
2
cosx 1 senx senx 1 cosx
 : 
cosxcosx
  
   
2
2
cosx 1 senx .senx 1 senx
 : 
cosxcosx
  
 
 
2
2
cosx 1 cosx senx senx
 : 
1 cosx1 2cosx cosx
 
 
 
96 
 
e) 
 
 
cosx
Resposta: 
senx cosx 
 
f) 
 
 
Resposta: 1
 
 
2.P . Simplifique 
 2
2
5x 1 cosx
5 5cosx

 
2x
Resposta: 
1 cosx 
3.P. Simplifique 
 
 
senx 2x senx cosx
senx 2x

 
1
Resposta: 
2 
   
 
sen 2x . cosx senx
 : 2senx
cos 2x

 
 
2
senx cosx
1 sen 2x


 
97 
 
 
Apêndice 1 
 
1. Nove Fora 
 
 Cálculo Aritmético 
 
A aritmética é a parte da matemática que estuda as operações numéricas. O 
termo aritmética provém do grego “arithmós” que se refere aos números. 
Ouve-se muito em rádios e televisões a expressão “Prova dos nove” embora, 
provavelmente muitos não saibam o seu significado. 
Trata-se de uma técnica de verificação simples dos resultados das operações 
elementares de adição, subtração, multiplicação, divisão, extração da raiz quadrada 
exata ou não de números inteiros. 
Baseia-se no seguinte conceito matemático: 
 “Se x e x’, respectivamente, y e y’ têm o mesmo resto módulo 9, então x+y e x’+y’, x-y 
e x’-y’, xy e x’y’ também o têm” 
Se o resultado fosse discrepante, concluiríamos que um erro fora cometido. 
Todavia, alguns erros, como por exemplo, a falta de um ou mais dígitos cuja soma de 
seus valores seja múltiplo de 9 ou erro de permutação dos dígitos, não alteram o 
resultado final do módulo. Isto faz com que um resultado da prova dos nove não garanta 
que o cálculo esteja correto. 
Essa técnica é útil para apontar a maioria dos erros aleatórios, mas não todos. 
 
1.1. Técnica 
 
Adicionam-se os valores dos 2 dígitos (algarismos) do número dado, 
a) se a soma resultar no número < 9 → adiciona-se valor do dígito seguinte, 
b) se a soma resultar no número = 9 → associa-se zero, isto é “9 fora”, 
c) se a soma resultar número > 9 → adicionam-se os valores desses 2 
dígitos 
e assim sucessivamente até o último dígito do número dado. O resultado final de um 
dígito será o “9 fora” ou o resto módulo 9. 
Exemplos: Determinar o “9 fora” (ou o resto da divisão do número por 9) dos seguintes 
números. 
 
1º) 45 → 4+5 = 9 → 0 45 9 
 0 5 
 
98 
 
 
 
2º) 1284281 → 1+2 = 3 1284281 9 
 3+8 = 11 38 142697 
 1+1 = 2 24 
 2+4 = 6 62 
 6+2 = 8 88 
 8+8 = 16 → 1+6 = 7 → 7+1 = 8 71 
 8 resto 
1.2. Prova dos nove 
Aplicar a prova dos nove nas seguintes operações: 
1º) 38 
 72 8 certo 
 + 51 8 
 161 
 
2º) 7+8 
 78 49 
 – 29 6  + 29 6 certo 
 49 6 78 6 
 
3º) 105 6 6 certo 
 × 28 ×1 6 
 840 
 210 
 2940 
 
 56 
4º) 341 8 2 certo 
 × 232 ×7 2 
 682 
 1023 
 682 
 79112 
 
 
5º) 3089 25 × 7 2 certo 
 58 123 6 2 
 89 42 
 
99 
 
 14 14 
 
Exercício: 
1. Efetue as operações 
1,08 × 0,9 + 2,04: 0,4 e verifique se não houve erro em cada cálculo pela técnica da 
prova “dos 9 fora”. 
Resposta: 6, 072 
 
 
2. Efetue as operações 0,3 × 0,11 + 5: (–2) –3 e faça a verificação do resultado 
pela aplicação da congruência módulo 9 
R
 0,033 2,5 3 
 0,033 5,5 
 5,467
  
  
 

1 1
0 3
 3+3
Cálculos: 
1º) 0,11 
 0,3 
 0,33



 
2 3
2 6
3 6


certo
 
 
2 5
2º) 5 2 
 0 2,5 

 
 
1 4
2 5
7 5
14 

certo
 
 
 5 + 5 = 105,500
3º)
0,033
 5,467

 


1
1 
certo
 
3 3 5 11 2 2 4 6 12 3 3 7 10 1             
 
 
2. Raiz Quadrada 
Sabemos que 5² = 5×5 = 25. Podemos agora inverter o problema, ou seja, dado o 
número 25, determinar o número cuja potência seja 25, isto é procurar uma técnica de 
cálculo que permita calcular 5. Neste caso, 5 é denominada raiz quadradade 25 e se 
indica 5 = √25 ou √25 = 5 e a operação é denominada extração da raiz quadrada. 
Diremos que 25 é um quadrado perfeito e 5 é a raiz exata. 
Logo: 
Extrair a raiz quadrada de um número que é quadrado perfeito é determinar o 
número cujo quadrado é o número dado. 
Ex: √25 = 5 ↔ 5² = 25 
 
No caso de um número não quadrado perfeito, temos: 
 
100 
 
A raiz quadrada por falta é MAIOR número cujo quadrado é MENOR que o 
número dado; a raiz quadrada por excesso é o MENOR número cujo quadrado é 
MAIOR que o número dado. 
Exemplos: 
1) 
 
 
 
2) 
 
 
 
Observação: Quando não se diz nada a respeito do erro, entende-se que é por falta. 
 
2.2 Técnica para extrair a raiz quadrada de um número inteiro 
Apresentaremos a técnica de extração de raiz quadrada através de exemplos 
numéricos. 
1º) √5246 
a) a raiz quadrada de 5246 possui dois algarismos, pois é a metade do número de 
algarismos, isto é 4 algarismos divide por 2. √52.46, separa-se o número em 
classes de dois algarismos, da direita para a esquerda. 
b) Cálculo de 1º algarismo, mentalmente, por falta √52  7 
52.46 (10x y) (10x y)² 52.46
 (10x)² 2(10x)y y² 5246
52 7 (10x)² [2(10x) y]y 4900 346
(10x)² 4900 10x 70 x 7
 
[2(10x) y]y 3
    
   
     
    

  x 746 20.7.y y² 346


    
140y 346
346
 y
140
y 2, 47
 y 2
 


 
2
 
52.46 (10x y)
 10.7 2
 72 72² 5184, 5246 5184 62 resto
5246 72 72 62 5246 radicando

 
 
     
      
 
 
28 5 resposta com erro por falta
5² 25, 28 25 3 resto
logo 28 5 5² 3 28
 
   
   
28 6 resposta com erro por excesso
6² 36, 36 28 8 excesso
logo 28 6 6² 8 28
 
   
   
 
101 
 
Dispositivo prático: 
 
a) √52.46 (10x + y) 
 – 49 00 (10x)² = 4900 → x = 7 
 346 [2(10x) + y] y = 
 [2.(10.7) + 2] 2 = 284 
 – 284 . 
 62 
b) √5246 → separa-se o número em classes de dois algarismos da direita para a 
esquerda: 52 . 46. A primeira classe da esquerda é o único que pode ter apenas 
um algarismo. 
c) Acha-se a raiz quadrada da primeira classe à esquerda, isto é: √52  7. Este 
resultado vai ser o primeiro algarismo à esquerda da raiz procurada, o qual se 
chama a primeira raiz achada. 
d) Subtrai-se de 52 o quadrado de 7, isto é 52 – 7² = 3 que é o primeiro resto. 
e) Coloca-se ao lado do resto 3 a segunda classe, 46 e separa-se o último algarismo 
da direita do número formado 34.6 
f) Divide-se 34 pelo dobro da primeira raiz achada 34 ÷ (2×7)  2, que é o segundo 
algarismo da raiz, então 72 é a raiz calculada. 
g) Coloca-se 2 à direita do dobro da primeira raiz achada, o que dá 142 e 
multiplica-se 142 por 2; a seguir, subtrai-se o resultado de 346, ou seja 346 – 
284 = 62. Se acontecer que o subtraendo da última operação seja maior que o 
minuendo, diminui-se o valor do segundo algarismo de uma unidade, e repete-se 
a operação. 
Repetem-se as operações anteriores com a terceira classe e com as seguintes, 
quando houver. 
O dispositivo prático é o que segue: 
(prova dos nove) 
 5 + 2 = 7 → 7 + 4 = 11 → 1 + 1 = 2 → 2 + 6 = 8 
 7 + 2 = 9 → 0 
 √52.46 72 
 − 49 7² = 49 × 0 8 certo 
 34.6 7 × 2 = 14 repete-se → 0 8 
 34 : 14  2 
 − 284 142 × 2 = 284 0 = 0 × 0 
 62 620 
 
Prova real  √52.46  72  72² + 62 = 5184 + 62 = 5246 
 Resto = 62 
 radicando 
 raiz aproximada por falta 
 
 
 
102 
 
2º) √675 = 10x + y ↔ (10x + y)² + resto = 675 
 √6  2 (10x)
2
 + 2(10x) y + y
2
 = 675 
 (10x)
2
 + [2(10x) + y] y = 400 + 275 
x 2
(10x)² 400 10x 20 x 2
275
[2(10x) y]y 227 [2(10.2) y]y 275 40y y² 275 y 6
40

    

 
          
 
 x = 2 e y  6, temos 
 [2(10x) + y] y = [2.10.2 + 6] 6 = 46 × 6 = 276 > 275 
 √675 = 10x + y = 10 × 2 + 6 ↔ 26² = 676 > 675 
 ↓ 
 Baixamos y de 1 unidade, y = 5 
 √675 = 10 x + y = 10.2 + 5 = 25 
 6 + 7 = 13 → 1 + 3 = 4 → 4 + 5 = 9 → 0 
 
 √675 25 
– 4 2² = 4 × 7 0 certo . 
 27.5 2 × 2 = 4 7 0 
 27: 4  6 → 5 
– 225 4 5 × 5 = 225 
 50 4 ← 49 
 504 → 9 → 0 
Prova real 
675 25 25² 50 625 50 675 radicando       
 
2.3 Propriedade do resto 
O resto é sempre menor ou igual ao dobro da raiz. 
Assim: 
1º) 
 
 
 
2º) 
 
 
5246 72
62 2 72
resto = 62
 
 

675 25
 50 2 25
resto 50
 
 
 
 
103 
 
3. Raíz Cúbica 
Sabemos o que significa 5³, isto é: 5³ = 5 × 5 × 5 = 125. Vamos inverter o 
problema, determinar o número cuja terceira potência é 125, isto é, determinar uma 
técnica que permita calcular 5. 
O número 5 se chama raiz cúbica de 125, e se indica e lê se 5 é raiz 
cúbica de 125. A operação que se executa para obter a raiz cúbica é denominada 
extração da raiz cúbica. Quando existe a raiz cúbica, como em 8, 27, 64, 125, 216, etc. 
diz-se que o número é cubo perfeito e o resultado é raiz exata. 
Quando o número não é cubo perfeito, temos raiz cúbica aproximada com erro 
por falta ou por excesso. 
Quando nada se diz, entende-se se sempre que a raiz é obtida por falta. 
Resumindo, temos: 
 
 
3.1 Número Cubo Perfeito 
Extrair a raiz cúbica de um número CUBO PERFEITO é determinar o número 
cujo cubo é o número dado. 
33Ex : 8 2 2 8   
 
 cubo perfeito 
 
 
 
3.2 Número Não Cubo Perfeito 
Extrair a raiz cúbica de um número NÃO CUBO PERFEITO, por falta, é 
determinar o MAIOR número cujo cubo é MENOR que o número dado; por excesso, é 
determinar o MENOR número cujo cubo é MAIOR que o número dado. 
 
3.3 Propriedade do resto 
O resto é sempre menor ou igual a 3 vezes o quadrado da raiz mais 3 vezes a 
raiz. 
 
3.4 Técnicas para extrair a raiz cúbica de um número inteiro 
Apresentaremos a técnica da extração da raiz cúbica através de exemplos 
numéricos. 
 
 
1º) 
 
cubo perfeito raiz exata 
35 125,
3 512 8 8³ 8 8 8 512     
 
104 
 
 
 
 
 
 
 
2º) 
 
 
a) Separamos o número, a partir da direita, em classes de três algarismos, isto é, 
26.498. A primeira classe à esquerda é a única que pode ter menos de 3 
algarismos. 
b) Determina-se maior cubo contido em 26, isto é, 8, 2 é o 
primeiro algarismo da raiz procurada, ou primeira raiz Subtrai-se 8 de 26, e 
coloca-se à direita do resto 18 a classe seguinte, isto é, obtém se 18498. 
c) Separam-se os dois últimos algarismos da direita deste número e tem-se: 184.98. 
d) Divide-se o número à esquerda 184 pelo triplo do quadrado da primeira raiz, isto 
é, por 3×2² = 12, o que dá 9, pois não se usa número maior que 9, 184 ÷ 12  
15,33 → 9 
e) Coloca-se 9 à direita de 2, obtém-se 29 (segunda raiz). Como não há maisclasses, a raiz é 29 e o resto é 26498 – 29³ = 
= 26498 – 24389 = 2109 
f) Justifiquemos a técnica de Cálculo da raiz cúbica: 
3 26498 = (10x + y) (10x + y)³ = 26498 , 
desenvolvendo o cubo temos: 
(10x)³ + 3(10x)²y + 3(10x)y² + y³ = 26498 
 
 
Vamos decompor 26498 em duas parcelas de modo que a primeira parcela seja potência 
da primeira raiz 
 
3
3
 8 2 (2 10)³ (20)³ 8000
 26498 8000 18498
(10x) 3(10x)²y 3(10x)y² y³ 8000 18498
 (10x)³ = 8000 (10x)³ = (20)³ x 2
 
    
 
    
   
 e 
 3(10x)²y 3(10x)y² y³ 18948
para x 2 3(10.2)²y 18498
18.498
 y 15,42
1200
 y 
   
  
 
  
3
9
26498 (10x y) (10.2 9) 29 resto      
3 26498
3 8 2,
 
105 
 
3 8 2  
 
 
 
 
 
 
Temos, então o seguinte dispositivo prático primeira raiz 
 
 29 
 – 8 2³ = 8 
18498 3(10x)²y = 3 × 20² × 9 = 10.800 
 – 16.389 3(10x)y² = 3 × 10 × 2 × 9² = 4860 
02109 y³ = 9³ = + 729 
 1.6389 
resto 
Prova real: 
3 26498 29 29³ 2109
2109 24389 2109
 26498 radicando; certo
   
  
  
 
Prova dos nove 
 (raiz) 29 
 × 2 2 26498 (radicando); 
 2² 2 
 certo 
 2 × 2² = 8 → 8 2109 → 2 
resto 
 
 
3 26498
 
106 
 
 
 
Apêndice 2 
1. Sequências 
Chama-se sequência (ou sucessão) infinita toda aplicação ƒ de N* em R 
f ={ (1, a1) , (2, a2) . (3, a3) , ... , ( n, an) , ...} 
 
Indiquemos uma sequência f anotando apenas a imagem de f 
f = (a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ...) 
2. Progressão Aritmética (P. A.) 
P. A. (a 1 ,a 2 , a 3, ... , a n , ... ) 
Fórmula de recorrência 







dados reais números sãor ea onde 
2 n ,N n ,r a a
 termo)1º (a a
1-nn
1
 
Classificação 
1
º
 )Crescentes: r > 0 ex.: a1 = 1 , r = 2  PA(1, 3, 5, 7, 9,...) 
 
2
º
 )Decrescentes: r < 0 ex.: a1 = 10, r = -2PA(10,8,6,4,2,0,-2,...) 
 
3
º
 ) Constantes : r = 0 ex.: a1 = 
3
2
, r = 0 PA( 2/3 , 2/3, ... ) 
 
Notações Especiais 
1
º
 )para 3 termos: (x, x + r, x + 2r) ou ( x - r , x, x + r) 
2
º
 )para 4 termos: (x, x+r, x+2r, x+3r) ou ( x-3y, x-y, x+y, x+3y) onde y = 
2
r
 
3
º
 ) para 5 termos: ( x , x+r , x+2r , x+3r, x+4r ) 
ou 
( x-2r, x-r, x, x+r, x+2r) 
Fórmula do termo geral 
PA ( a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ...)  an = a1 + ( n – 1 ) r 
 
107 
 
Interpolação Aritmética 
P. A. ( a , ---, ---. ---, ... , ---, ---, ---, b) 
 a1 an 
n = k +2  an = a1 + (n-1) r  b = a + (k+2-1)r  
1
r 



k
ab
 
 
Soma dos Termos de uma PA Finita 
Sn = a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n-1 + a n 
 
Propriedade: Em toda P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é 
igual à soma dos extremos. 
 
a k+1 + a n-k = a1 + a n 
 (k < n) 
 
Fórmulas 
2
).(
S )( 1n
naa
I n

 
2
r].n )1-(n a [2
Sn )( 1

II 
 
Casos Particulares 
1
º
 ) Soma dos n primeiros números naturais positivos 
Sn = 1+ 2 + 3 + ... + n = 
2
).1( nn
  
2
1)n(n
 Sn

 
2
º
 ) Soma dos n primeiros números pares positivos 
Sn = 2+ 4+ 6+ ... = 

2
].2).1(2.2[ nn
 )1(Sn  nn 
3
º
 ) Soma dos n primeiros números ímpares positivos 
Sn = 1 +3 +5 + ... = 

 
2
].2).1(1.2[ nn
 
2
nS n 
3. Progressão Geométrica (P. G.) 
P.G. ( a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ... ) q = razão 
 
Fórmula de recorrência 
 








reais. números são e onde 2 n ,N n 
, q .a a
a a
 1-nn
1
qa
 
 
108 
 
 
Classificação 
1. Crescentes 
a) P.G. com termos positivos  q > 1 ^ a1 > 0 
ex. P.G. (1, 2, 4, 8, ...) 
b) P.G. com termos negativos  0 < q < 1 ^ a1 < 0 
ex. P.G. (-2, -1, -1/2, -1/4, ...) 
2. Decrescentes 
a) P.G. com termos positivos  0 < q < 1 ^ a1 > 0 
ex. P.G. (10 , 5 , 5/2 , 5/4 , ... ) 
b) P.G. com termos negativos  q > 1 ^ a1 < 0 
ex. P. G. (-3 , -6 , -12 , ... ) 
3. Constantes  q = 1 
ex. P.G. (0 , 0 , 0 , 0 , ... ) ,  q 
P.G. (3/5 , 3/5 , 3/5 , ...) 
4. Alternantes  q < 0 
ex. P.G. (3 , -6 , 12 , -24 , ...) 
5. Estacionárias ou singulares  a1  0 ^ q = 0 
ex. P.G. ( 5 , 0 , 0 , 0 , ... ) 
 
Notações Especiais (P.G.) 
1. Para n = número ímpar 
n = 3 (
q
x
 ; x ; x q ) ou ( x ; x q ; x q
2
 ) 
n = 5 ( 2q
x
 ; 
q
x
; x ; x q ; x q
2
 ) ou ( x ; x q ; x q
2
 ; x q
3
 ; x q
4
 ) 
 
2. Para n = número par 
n = 4 ( 3y
x
 ; 
y
x
 ; x y ; x y 
3
 ) ou ( x ; xq ; xq
2
 ; xq
3 
) q = y
2
 
 
Fórmula do Termo Geral 
P.G. (a 1, a 2, a 3, ... ,a n, ... )  a n = a 1 . q 
n-1 
 
 
Interpolação geométrica ( a, __ , __ , ... , __ , b ), k meios geométricos 
 a n = a1 . q
n – 1 
  b = a q
 k+2-1
  
1 k
a
b
q 
 
 
109 
 
Propriedade: Em toda P.G. finita, o produto de dois termos equidistantes dos 
extremos é igual ao produto dos extremos. 
ak+1 . an-k = a1 . an (k< n ) 
 
Fórmula do produto 
P n = a 1 . a 2 . a 3 . ... . a n-2 . a n-1 . a n 
 
n
naaPn ).(|| 1 ou q
nn
n
n aP
2
)1(
1 .


 
 
Sinal 
1º ) a1 > 0  q > 0 ( P.G. positiva )  Pn > 0 
2º ) a1 < 0  q > 0 ( ap < 0 ,  p  N* ) 
  





0 Pn impar n
0 Pn par n
 
3º ) a1  0  q < 0 (P.G. alternante ) 
 





0 Pn ímpar k
0 Pn par k
 
 
(k = número de termos negativos) 
Regra prática
 
:










3 r 1 
 Pr,de mesmo o é Pde sinal o 0, r Se c)
positivo é produto o 0, r Se b)
r resto o obtemos e 4por n Dividimosa)
n
 
 
Soma dos Termos de P.G. Finita 
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an 
I) 
1
. 1



q
aqa
Sn n II) 
1
)1(1



q
qa
Sn
n
 
 1q 1q 
 
Soma dos Termos de P.G. Infinita 
Sn = ( a1 + a2 + a3 + ... + an + .... ) 
III) 1q  
q
a
SS n
n 



1
lim 1 
 
110 
 
 
Apêndice 3 
Aplicações de simplificações algébricas em Cálculos de Limites 
Indeterminados 
 
a)
    
   















 xx
x
xx
x
xx
xx
x
x
xxxx cos1
1
.
sen
lim
cos1.
cos1
lim
cos1.
cos1.cos1
lim
cos1
lim
2
2
02
2
02020
 
2
1
11
1
.1
cos1
1
lim.
sen
lim
0
2
0











 xx
x
xx
 
 
b)
 
21.1.2coslim.
sen
lim.2
cos.sen2
lim
000


x
x
x
x
xx
xxx
 
 
c)
 
  21.2cos2limcos.cos2lim)2(lim 2
0
1
1
00













x
senx
x
xsenx
tgx
xsen
xxx
 
 
d)
 
    4
3
22
3
2
3
lim
2.2
)2.(3
lim
4
63
lim
2
1
1
222










 xxx
x
x
x
xxx
 
 
e) 
      
 













1
1
2
22
222 )2.(2
2
lim
)2).(2(
2
lim
)2).(2(
2.2
lim
2
2
lim
xx
x
xx
x
xx
xx
x
x
xxxx
 
4
2
22
1
22
1
2
1
lim
2





 xx
 
 
f) 








 )22).(4(
4)2(
lim
)22).(4(
)22).(22(
lim
4
22
lim
2
2
2222 xx
x
xx
xx
x
x
xx
 




 )22).(2)(2(
42
lim
2 xxx
x
x
 
 
111 
 
 




1
1
2 )22).(2).(2(
2
lim
xxx
x
x 161
)222).(22(
1 


 
 
g)
 
2
2
4
2
222
lim
)2.(
)2).(2(
lim
2
4
lim
2
1
1
22
2
2










 x
x
xx
xx
xx
x
xxx
 
 
h)
 
63
2
3
.2)32(lim
32
)32).(32(
lim
32
94
lim
2
3
1
1
2
3
2
2
3







x
x
xx
x
x
xxx
 
 
i ) 
2
3
11
111
1
1
lim
)1).(1(
)1.()1(
lim
1
1
lim
22
1
1
2
1
12
3
1












 x
xx
xx
xxx
x
x
xxx
 
OBS: )).(( 2233 babababa  
 
j ) 








 
1
2
1
2
02
2
0
2
0
2
0
)cos1.(
lim
cos1
)cos1.(
lim
)cos1).(cos1(
)cos1.(
lim
cos1
lim
xsen
xxsen
x
xxsen
xx
xxsen
x
xsen
xxxx
 
2110cos1)cos1(lim
0


x
x
 
 
k )
 
 





 senxsenxx
senxsenxsenxsenx
x
senxsenx
xx 11.
)11).(11(
lim
11
lim
00
 
   
   







 senxsenxx
senxsenx
senxsenxx
senxsenx
xx 11.
11
lim
11.
11
lim
0
22
0
 
 










 xxx
x
xxx
x
xx sen1sen1
2
.
sen
lim
sen1sen1.
sen.2
lim
00
 
11.1
2
2
.1
11
2
.1
sen1sen1
2
lim.
sen
lim
00





 xxx
x
xx
 
 
l)
 
    
  xx
xxx
x
xxx
xsen
x
xxx cos1.cos1
coscos1.cos1
lim
cos1
coscos1.cos1
lim
cos1
lim
1
2
1
02
2
02
3
0 













 
2
3
11
111
0cos1
0cos0cos1
cos1
coscos1
lim
222
0










 x
xx
x
 
 
112 
 
 )).((: 2233 babababaobs  
 )coscos1).(cos1(cos1 233 xxxx  
 
Exercícios 
1. Calcule a derivada da função 
62
22



x
xx
y e simplifique o seu resultado. 
2
2
2
2
2
22
2
2
)62(
)56(2
)62(
10122
)62(
42262124
)62(
)2)(2()62)(12(
'













x
xx
x
xx
x
xxxxx
x
xxxx
y
 
2. Mostre que se )(xf
tgx
tgx


1
1
, então 
tgxx
x
xf
2sec
sec2
)('
2
2

 . 
xtgxtg
xtgxxxtgxx
tgx
xxtgxtgx
xf
2
2222
2
22
)(21
)(.secsec)(.secsec
)1(
)sec)).((1()(1(sec
)('






 
)(2sec
sec2
2
2
xtgx
x

 
 
3. Calcular a derivada primeira da função )ln(cos.2 3 xxy  e simplificar o seu 
resultado. 
].).[ln(cos2].)ln(cos.3.[2
.2)ln(cos.6).(2)ln(cos.6).(
cos
1
.2).(cosln.6'
322
323232
tgxxxxtgxxxx
tgxxxxtgxxxxsenx
x
xxxy


 
4. Calcular a derivada primeira da função )2sen(cos.sen xxxy  e simplifique o 
seu resultado. 
)2cos(.3
)2cos(.2)2(cos)2cos(2sencos)2cos(.2)sen(sencos.cos' 22
x
xxxxxxxxxxy


 
5. Calcular a derivada segunda da função )2(sen2 xy  e simplifique o seu 
resultado. 
)4cos(.8)4cos(.4.2"
)4sen(.2)2cos().2sen(.2.2)2cos(.2).2sen(.2'
xxy
xxxxxy


 
 
6. Calcular a derivada primeira da função )]2ln[sec( xy  e simplifique o seu 
resultado.
 
 
)2(.2)2().2sec(.2.
)2sec(
1
' xtgxtgx
x
y  
 
113 
 
 
7. Calcular a derivada primeira da função 
x
x
y
sen
cos1
 e simplifique o seu 
resultado. 
xxxx
x
x
x
x
x
x
xxx
x
xxx
x
xxxx
y
cos1
1
cos1
1
)cos1)(cos1(
)cos1(
cos1
)cos1(
sen
cos1
sen
cos)cos(sen
sen
coscossen
sen
cos).cos1(sen).sen(
'
22
2
22
2
22
2




















 
 
8. Calcular a derivada segunda da função y= cos2(3x)-sen2(3x) e simplificar o seu 
resultado. 
)6sen(.6)6sen(.3)6sen(.3
)3cos().3sen(2.3)3cos().3sen(.2.33)].3).[cos(3sen(.23)].3sen().[3cos(.2'
xxx
xxxxxxxxy


)6cos(.366).6cos(.6" xxy  
9. Calcular a derivada primeira da função 
x
x
y
cos1
sen

 e simplificar o seu 
resultado. 
xxx
x
x
xxx
x
xxxx
y
cos1
1
)cos1)(cos1(
cos1
)cos1(
sencoscos
)cos1(
)sen.(sen)cos1(cos
'
2
22
2 










 
10. Calcular a derivada primeira da função )2ln(5)2sen(5 2 xxxy  simplificar 
o seu resultado. 
x
xx
x
xx
x
xxy
1
])2.[cos(10
1
10)2cos(.10
2
1
.2.2.5)2cos(.2.5'  
 
11. Calcular a derivada primeira da função )]2ln[cos()2( xxtgy  e simplificar o 
seu resultado. 
)]2()2(.[sec2)2(2)2(sec.2)]2sen(.[
)2cos(
1
.2)2(sec.2' 222 xtgxxtgxx
x
xy 
 
 
114 
 
 
Apêndice 4 
1. Número primo 
Um número primo (RPM – 73/2010, p.13) é um natural maior ou igual 2 que 
tem exatamente dois divisores diferentes, a saber 1 e ele mesmo. 
Exemplo: 
2, 3, 5, 7, 11, 13, etc. 
2. Número composto 
Um número natural maior que 2 que não é primo é denominado número 
composto. 
Exemplo: 
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, etc. 
O número 1 não é considerado número primo e nem número composto. 
3. Propriedade dos números primos 
Todo número par maior que 2 é a soma de dois primos 
Exemplos: 
 
Existem infinitos números primos gêmeos, isto é, números primos cuja diferença 
é 2. 
Exemplos: 
1º) 3 e 5 
4º) 17 e 19 
2º) 5 e 7 
5º) 41 e 43 
3º) 11 e 13 
6º) 59 e 61, etc. 
 
1º) 4 = 2+2 
2º) 6 = 3 +3 
3º) 8 = 3+ 5 
4º) 10 = 5+ 5 
5º) 12 = 5 + 7 
6º) 14 = 3 + 11= 7+ 7 
7º) 16 = 3 + 13 = 5 + 11 
8º) 18 = 5 + 13 = 7 + 11 
9º) 20 = 3 + 17 = 7 + 13 
10º) 22 = 3 + 19 = 5 + 17 = 11 + 11 
 
115 
 
 
Apêndice 5 
1. Sistema Métrico Decimal 
1.1 Medidas de comprimento 
Para haver uniformidade na medição estabeleceu-se um sistema universal de 
medida chamado Sistema Métrico Decimal que se baseia no metro linear. 
 
O metro linear é o comprimento equivalente à fração da distância 
que vai de um polo até a linha do equador, medida sobre um meridiano. 
Esse comprimento encontra-se assinalado sobre uma barra de metal nobre 
depositada no Museu Internacional de Pesos e Medidas, na França. No Brasil, o Museu 
Nacional tem uma cópia do metro-padrão. 
A unidade fundamental das medidas de comprimento é o metro. 
 
 
 
 
Múltiplos 
 
 
 
 
Unidade 
Principal 
 
 
 
 
 
Submúltiplos 
 
 
 
 
 
 
Unidades 
 Quilômetro 
 Hectômetro 
 Decâmetro 
 
 
 
 
 Metro 
 
 
 
 
 Decímetro 
 
 Centímetro 
 
 Milímetro 
Símbolos 
km 
hm 
dam 
 
 
 
 
m 
 
 
 
 
dm 
 
cm 
 
mm 
Valores 
1000 metros 
100 metros 
10 metros 
 
 
 
 
1 m 
 
 
 
 
1
 m
10 
1
 m
100 
1
 m
1000 
1
10.000.000
 
116 
 
1.2 Milha Marítima 
Milha Marítima (M) = 1852m, para as medidas de comprimentos marítimos 
1.3 Segundo Luz 
Para as distâncias astronômicas utilizamos segundo-luz  300.000 km que é a 
distância percorrida pela luz em um segundo. 
1.4 Medidas de Precisão 
Para medidas de precisão, utilizamos 
 
a) 
 
b) O milimícron (m) = 0,001 do mícron 
c) O angstrom (Å) = 0,1 de mícron 
1.5 Polígonos 
Os principais polígonos recebem nomes, conforme o número de lados: 
triângulo 
quadrilátero 
pentágono 
hexágono 
heptágono 
octógono 
eneágono 
decágono 
undecágono 
dodecágono 
tridecágono 
tetradecágono 
pentadecágono 
hexadecágono 
heptadecagóno 
octodecágono 
eneadecágono 
icoságono 
– 3 lados 
– 4 lados 
– 5 lados 
– 6 lados 
– 7 lados 
– 8 lados 
– 9 lados 
– 10 lados 
– 11 lados 
– 12 lados 
– 13 lados 
– 14 lados 
– 15 lados 
– 16 lados 
– 17 lados 
– 18 lados 
– 19 lados 
– 20 lados 
d) A soma dos lados de um polígono chama-se perímetro. 
1.6 Comprimento ou perímetro da circunferência 
Comprimento da circunferência é igual a 2 × comprimento do raio × 3,14159 .... 
Designando-se o comprimento da circunferência por C, o raio por R e 3,1415924 
... por  . 
Temos a fórmula: 
 C = 2 ×  × R ou C = 2 R 
  66
1 1
o mícron 0,001 mm m m 10 m
1.000.000 10
    
 
117 
 
2. Unidades de área 
A unidade de área é a área de um quadrado cujo lado tem o comprimento de um 
metro e se chama metro quadrado. 
O seu símbolo é m². 
A unidade, múltiplos e submúltiplos usuais são: 
 
 
 
MúltiplosUnidade 
Principal 
 
 
 
 
 
Submúltiplos 
 
 
 
3. Medidas agrárias 
a) Para as medidas de superfícies nos campos, usam-se algumas das unidades 
anteriores (2.) com nomes diferentes, que são: 
 
 
dam² = 
hm² = 
m² = 
Unidades 
are 
hectare 
centiare 
Símbolos 
a 
ha 
ca 
Valores 
(10 m)² = 100 m² 
(100 m)² = 10.000 m² 
(1 m)² = 1 m² 
 
b) O alqueire 
Antes da adoção do sistema métrico no Brasil, havia uma série de medidas 
brasileiras, como o pé, a vara, o côvado* (cúbito) etc. 
Unidades 
quilômetro quadrado 
hectômetro quadrado 
decâmetro quadrado 
 
 
 
 
metro quadrado 
 
 
 
 
Decímetro quadrado 
 
Centímetro quadrado 
 
Milílimetro quadrado 
Símbolos 
km² 
hm² 
dam² 
 
 
 
 
m² 
 
 
 
 
dm² 
 
cm² 
 
mm² 
Valores 
1.000.000 m² 
10.000 m² 
100 m² 
 
 
 
 
1 m² 
 
 
 
 
21 m
100 
21 m
10.000 
21 m
1.000.000 
 
118 
 
(*) côvado ou cúbito: antiga unidade de medida de comprimento equivalente a três 
palmos ou seja 0,66m. 
palmo  22 cm, antiga unidade de medida de comprimento 
pé  12 pol, ou 12 × 2,75 cm = 33 cm 
vara  5 palmos = 1,10 m 
polegada  2,75cm, antiga unidade de medida de comprimento 
polegada  2,54 do sistema métrico decimal, 
neste caso é a medida inglesa de comprimento. 
Entre essas medidas antigas está o alqueire que ainda é usado na avaliação de 
grandes áreas. 
Há duas espécies de alqueire: 
a) Paulista cuja medida é 24.200 m² ou 242 ares. 
b) Mineiro ou geométrico cuja medida é 48.400 m² ou 484 ares. 
4. Unidade legal de volume 
A unidade legal de volume é o volume de um cubo, cujo lado ou aresta tem o 
comprimento de um metro: metro cúbico (m³) 
A unidade, múltiplos e submúltiplos usuais são: 
 
 
 
Múltiplos 
 
 
 
 
Unidade 
Principal 
 
 
 
 
Submúltiplos 
 
 
Unidades 
 Decâmetro cúbico 
 Hectômetro cúbico 
 Quilômetro cúbico 
 
 
 
 
 
 Metro cúbico 
 
 
 
 
 
Decímetro cúbico 
Centímetro cúbico 
Milílimetro cúbico 
Símbolos 
dam³ 
hm³ 
km³ 
 
 
 
 
 
m³ 
 
 
 
 
dam³ 
cm³ 
mm³ 
Valores 
1.000 m³ 
1.000.000 m³ 
1.000.000.000 m³ 
 
 
 
 
 
1 m³ 
 
 
 
 
0,001 dm³ 
0,000 001 dm³ 
0,000 000 001 dm³ 
 
119 
 
5. Medidas de capacidade 
É usual também, como medida de volume o litro para medir líquidos e gases. 
Antigamente servia, também, para medir cereais como feijão, arroz, etc. 
A unidade legal do litro é ou volume de um quilograma de água destilada e 
isenta de ar, à temperatura de 4 graus centígrados, sob a pressão atmosférica normal. 
Na prática, o litro tem o volume de 1 dm³, indica-se o litro pelo símbolo l. 
1 l = 1 dm³ 
A unidade, múltiplos e submúltiplos são: 
 
 
Múltiplos 
 
 
 
 
 
Unidade 
Principal 
 
 
 
 
Submúltiplos 
 
6. Unidade legal de massa 
A unidade legal de massa é a massa do protótipo internacional do quilograma de 
platina iridiada sancionada pela 1º conferência Geral de Pesos e Medidas e que se acha 
depositada na Repartição Internacional de Pesos e Medidas. 
O seu símbolo é kg. 
O quilograma é a massa aproximada, no vácuo, de um decímetro cúbico de água 
destilada à temperatura de 4 graus centígrados acima de zero. 
Massa de um corpo é a quantidade de matéria que esse corpo contém. Como a 
quantidade de matéria de um certo corpo é sempre a mesma para qualquer lugar da 
Terra, a massa de um corpo não varia qualquer que seja a posição que esteja ocupando. 
A unidade, múltiplos e submúltiplos são: 
Unidades 
 Hectolitro 
 Decalitro 
 
 
 
 
 
 Litro 
 
 
 
 
Decilitro 
Centilitro 
Mililitro 
Símbolos 
hl 
dal 
 
 
 
 
l 
 
 
 
 
dl 
cl 
ml 
Valores 
100 l 
10 l 
 
 
 
 
1 l 
 
 
 
 
0, 1 l 
0,01 l 
0,001 l 
 
120 
 
 
 
 
 
 
Múltiplos 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 
Principal 
 
 
 
 
 
 
Submúltiplos 
 
 
 
 
O quilate é usado para metais preciosos e pedras preciosas. 
A relação entre as unidades de volume, capacidade e massa para água destilada a 
4 graus centígrados é a seguinte: 
 
Volume 
1 cm³ 
1 dm³ 
1 m³ 
Capacidade 
1 ml 
1 l 
1 kl 
Massa 
1 g 
1 kg 
1 t 
 
Observação: 
peso bruto, é o peso de uma mercadoria com a sua embalagem; 
peso líquido, é o peso de mercadoria somente e tara, é o peso da embalagem somente. 
Unidades 
Tonelada 
Quintal 
Quilograma 
Hectograma 
Decagrama 
Símbolos 
t 
q 
kg 
hg 
dag 
Valores 
1.000.000 g 
100.000 g 
1.000 g 
100 g 
10 g 
Unidades 
 
 
Grama 
 
 
 
 
Decigrama 
 
Centigrama 
 
Miligrama 
 
Quilate 
Símbolos 
 
 
g 
 
 
 
 
dg 
 
cg 
 
mg 
 
 
Valores 
 
 
1 g 
 
 
 
1
 g
10 
1
 g
100 
1
 g
1000 
0,2 g 
 
121 
 
7. Densidade ou massa específica 
Densidade absoluta ou massa específica de um corpo é a massa, em gramas, da 
unidade de volume desse corpo. 
Unidade legal de massa específica 
A unidade legal é o grama por centímetro cúbico que é a densidade de um corpo 
homogêneo no qual cada centímetro cúbico tem a massa de um grama. 
 
O seu símbolo é 
 
 
Outras unidades e seus símbolos são: 
 
a) b) c) 
 
Chamando-se a massa específica ou densidade por d, a massa em gramas, por m e o 
volume em cm³ por V, temos as fórmulas: 
 
a) b) c) 
 
Para resolução de exercícios seguem as densidades de alguns corpos: 
 
1º)Platina 
2º)Ouro 
3º)Prata 
4º)Chumbo 
5º)Cobre 
6º)Ferro fundido 
7º)Zinco 
8º)Vidro 
9º)Gelo 
10º)Mercúrio 
11º)Álcool absoluto 
12º)Água do mar 
13º)Leite 
14º)Óleo 
21,6 
19,26 
10,47 
11,35 
8,79 
7,21 
6,86 
2,48 
0,92 
13,596 ou 13,60 
0,794 
1,026 
1,03 
0,915 
 
 
Exercícios de aplicação resolvidos 
 
3
t
m
3
g
cm
m
d 
v
 m d v 
m
v 
d

3
kg
dm
3
g
 
cm
 
122 
 
1R. Calcular a massa de 76 cm³ de mercúrio. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2R. Calcular o volume de um bloco de gelo de 16 kg. 
g
3
v ?
d 0,92
Obs : kg dm


 
 
 
 
3R. Calcular a densidade de um corpo de 4cm
3
 e cuja massa é de 12g. 
d = ? 
m = 12g 
v = 4 cm³ 
 Obs: 
 
 
 
4R. Reduzir 
 
d = ? 5t 
 
3
g
cm3
3
3 3
5t 5.000.000 (g)
 5.000.000.000
mm 0,001
 cm 
Obs :5t 5.000.000g
mm 0,001cm
 

 
 
5.R Passar 
 
Resolução: 
3
m
d m d.v ?
v
 d = 13,596 
m 13,596 76 v = 76cm
m 1033,296 gramas Obs: g c
   
 
  3m
3
m m
d v 
v d
16kg 16,00
v 
0,92 0,92
v 17,391304 dm
  
 

g
cm³
m
d
v
12
d
4
d 3



1
0,001 
1000

3 3
5t g
 a 
mm cm
3 3
g kg
8
cm mm

 
123 
 
8g = 0,008 kg 
 1cm³ = 1000 mm³ 
33 3
3
8g 0,008kg 8 kg
 
mmcm 1000mm 1.000.000
kg
 0,000.008 
mm
 

 
 
8. Sistemas de Medidas não-decimais 
a) Medida do Tempo 
Unidade principal é o segundo, cujo símbolo é s ou seg. 
1
Segundo é o intervalo de tempo igual à fração do dia solar 
86400 
médio, definido de acordo com as convenções de Astronomia. 
Os seus múltiplos são: 
Unidades Símbolo ValoresSegundo s ou seg 1s (unidade) 
Minuto m ou min 60s 
Hora h 3600s = 1h × 60 min × 60 seg 
Dia d ou da 86400s = 24h × 60 min × 60 seg 
 
Logo 1 d = 24 h 24 h 60 min = 1.440 min 1.440 min 60 s = 86.400 s    
Exemplo: 
Lê-se : 3d 13h 35min → 3 dias 13 horas e trinta e cinco minutos. 
Observação: Para aplicação comercial, lembremos que: 
1º) O ano comercial  360 dias 
2º) O trimestre  3 meses 
3º) O semestre  6 meses 
4º) O biênio  2 anos 
5º) O triênio  3 anos 
6º) O quadriênio  4 anos 
7º) O quinquênio  5 anos 
8º) O decênio ou década  10 anos 
9º) O século  100 anos 
10º) O milênio  1000 anos 
 
b) Medida de Ângulos Planos 
 
124 
 
Ângulo é a menor abertura obtida pela figura formada por duas semi-retas que 
têm a mesma origem e não são colineares; 
 lado 
 B 
 
 O   = AÔB 
 
 vértice A 
 lado 
Duas retas que se interceptam determinam quatro ângulos; se esses ângulos 
forem todos iguais, as retas dizem-se perpendiculares e os ângulos retos. 
A unidade fundamental legal do ângulo plano é o ângulo reto cujo símbolo é r. 
a) Entre as unidades secundárias do ângulo reto constam as sexagecimais (dos 
antigos babilônios), conforme o quadro abaixo: 
Nomes Símbolos Valores 
 
Grau 
 
1º 
1
r
90 
 
Minuto (de ângulo) 
 
1’ 
1º
60 
 
Segundo (de ângulo) 
 
1” 
1'
60 
Logo 
1 grau tem 60′ e um minuto 60″ 
 
Exemplo 
42º 17’ 51” → lê-se: quarenta e dois graus, dezessete minutos e cinquenta e um 
segundos. 
b) Outra unidade legal para a medida de ângulos planos que se adota 
um sistema decimal, é o grado. 
O grado está relacionado decimalmente com o seu múltiplo ângulo 
reto. 
O grado é o ângulo equivalente a do ângulo reto. Símbolo: gr. 
 
Observação: gr → grado; g → grama 
S.M.D. → Sistema Métrico Decimal 
S.I.M. → Sistema Inglês de Medidas 
 
Seus submúltiplos, cujos nomes têm os prefixos do S.M.D., são: 
 
Nomes Símbolos Valores 
1
100
 
125 
 
 
decígrado 
 
dgr 
1
gr
10 
 
centígrado 
 
cgr 
1
gr
100 
 
milígrado 
 
mgr 
1
gr
1000 
 
Exemplo: 
15,38 gr, lê-se: quinze grados e trinta e oito centígrados. 
9. Sistema Inglês de Medidas (S.I.M.) 
É o sistema de medidas usado nos Estados Unidos (U.S.A.) e Inglaterra. 
a) Unidade de Comprimento 
Algumas dessas unidades foram construídas tomando-se como modelos as 
dimensões de certas partes corporais do homem: braço, pé, polegar, etc. 
A jarda (yard, em inglês), símbolo: yd, corresponde ao comprimento da distância 
entre o nariz e o polegar da mão direita, quando uma pessoa estica o braço direito (91,94 
cm). 
O pé (foot, em inglês), símbolo: ft, conta-se que o rei Eduardo III da Inglaterra 
(1324) decretou que a unidade do comprimento a ser adotada em todo o império seria 
exatamente expressa pela medida do seu pé (30,48 cm). 
A polegada (inch, em inglês), símbolo: in, corresponde à medida do polegar da 
mão direita (2,54 cm). 
Temos a seguir, parte das tabelas fornecidas pela legislação metrológica: 
 
Nomes 
Símbolo 
Valores em Jardas Valores aproximados em 
metros Inglês Português 
1 yard uma jarda yd 1yd 0,9144018 m 
 
1 foot 
 
um pé 
 
ft 
1
yd
3 
0,3048006 m 
 
1 inch 
 
uma polegada 
 
in 
1
yd
36 
0,0254005m 
1 mile uma milha mi 1760 yd 1609,3472000m 
 
Observações: 
1º) Conversões do S.M.D. ao S.I.M. 
1
1m yd 1,0936111 yd, da mesma forma
0,9144018
 
 
1m  3,28 ft 
 
126 
 
1m  39,37 in 
1m  0,0006215 mi ou 1 km = 0,6215 mi 
 
2º) 3 pés 
 1 pé vale 
 1 jarda 
 12 polegadas 
 36 polegadas 
 
 
 
b) Unidade de Superfície (Inglesa) 
 
Nomes Símbolo 
em inglês 
Valores em unidades brasileiras 
Inglês Português 
square inch polegada quadrada sq. in. 6,4516 cm² 
square foot pé quadrado sq.ft. 9,2103 dm² 
square yard jarda quadrada sq.yd. 0,836126 m² 
square mile milha quadrada sq. mi. 259,00 ha 
 
Obs (1609,3 m)² = 2589.846,4 m² 
 10.000 m² = 1 ha 
 2589846,4 m² → 258,984 ha  259 ha 
 10000 
 
c) Unidades de Volume (Inglesa) 
 
Nomes Símbolo 
em inglês 
Valores em unidades 
brasileiras Inglês Português 
cubic inch polegada cúbica cu. in. 16,387 cm³ 
cubic foot pé cúbico cu.ft. 0,028317 m³ 
cubic yard jarda cúbica cu.yd. 0,764553 m³ 
 
d) Unidades de Capacidade (norteamericana) 
 
Nomes Símbolo em 
inglês 
Valores aproximados em 
litros Inglês Português 
1 liquid quart uma quarta liq. qt. 0,946l 
 
127 
 
1 gallon um galão gal. 3,785l 
 
e) Unidade de Massa (Inglesa e norte-americano) 
 
Nomes Símbolo em 
inglês 
Valores aproximados em 
gramas ou Kg Inglês Português 
1 ounce uma onça oz. 28,350 g 
1 pound uma libra lb. 453,592 g 
1 ton uma tonelada tn. 1016 Kg 
 
f) Moeda Inglesa 
A unidade é a libra esterlina cujo símbolo é £. 
A libra esterlina equivale a 20 shillings (sh) e o shilling, a 12 pence (d), pence 
também é chamado dinheiro, razão porque é abreviado por d; pence é o plural de penny. 
Logo, a libra esterlina tem 240 pence. 
Temos, então o seguinte quadro: 
 
Unidade Símbolos Valores 
Libra esterlina £ 1 
 
Shilling 
 
sh 
1
£
20 
 
Penny 
 
d 
1
sh
12 
Exemplo: 
A representação de 8 libras, 15 shillings e 6 pence é feita do seguinte modo: £8 – 15 – 6 
10. Grau Fahrenheit 
O grau Fahrenheit (símbolo: °F) é uma escala de temperatura proposta por 
Daniel Gabriel Fahrenheit em 1724. Nesta escala o ponto de fusão da água é de 32 °F e 
o ponto de ebulição de 212 °F. Uma diferença de 1,8 grau Fahrenheit equivale à de 1 
°C. 
Esta escala foi utilizada principalmente pelos países que foram colonizados 
pelos britânicos, mas seu uso atualmente se restringe a poucos países de língua inglesa, 
como os Estados Unidos e Belize. 
Para uso científico, há uma escala de temperatura, chamada de Rankine, que leva 
o marco zero de sua escala ao zero absoluto e possui a mesma variação da escala 
Fahrenheit, existindo portanto, correlação entre a escala de Rankine e grau Fahrenheit 
do mesmo modo que existe correlação das escalas Kelvin e grau Celsius. 
Fórmulas de conversão de graus Fahrenheit: 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Temperatura
http://pt.wikipedia.org/wiki/Daniel_Gabriel_Fahrenheit
http://pt.wikipedia.org/wiki/1724
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fus%C3%A3o_(f%C3%ADsica)
http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81gua
http://pt.wikipedia.org/wiki/Grau_Celsius
http://pt.wikipedia.org/wiki/Pa%C3%ADs
http://pt.wikipedia.org/wiki/Imp%C3%A9rio_Brit%C3%A2nico
http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADngua_inglesa
http://pt.wikipedia.org/wiki/Estados_Unidos_da_Am%C3%A9rica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Belize
http://pt.wikipedia.org/wiki/Rankine
http://pt.wikipedia.org/wiki/Kelvin
http://pt.wikipedia.org/wiki/Grau_Celsius
 
128 
 
Conversão de para: Fórmula 
grau Fahrenheit Celsius °C = (°F - 32)/1,8 
grau Celsius grau Fahrenheit °F = °C × 1,8 + 32 
grau Fahrenheit Kelvin K = (°F + 459,67) / 1,8 
Kelvin grau Fahrenheit °F = K × 1,8 - 459,67 
grau Fahrenheit Rankine °Ra = °F + 459,67 
Rankine grau Fahrenheit °F = °Ra - 459,67 
grau Fahrenheit Réaumur °Ré = (°F - 32) / 2,25 
Réaumur grau Fahrenheit °F = °Ré × 2,25 + 32 
ATENÇÃO (*) 
 
 Não diga “a grama”, mas “o grama”. 
 Não escreva 3m,25 mas 3,25 m. 
 Não coloque o símbolo no alto, comose fosse expoente, mas na mesma linha do 
número: 3 km. Esta regra só admite exceção no caso de unidades de temperatura 
e tempo e das unidades sexagesimais de ângulo. 
 Não separe por ponto, mas por vírgula, a parte inteira da decimal: 3,35m e não 
3.35m. 
 Não coloque ponto após o símbolo das unidades: escreva 3g, 4m, e não 3g. e 4m. 
 Não pluralize os símbolos de medidas, isto é, não escreva 3gs, 4ts, mas 3g. e 4t. 
 Não escreva cc, mas cm3, por centímetro cúbico. 
 Não fale mais em “miriâmetro” para designar 10 quilômetros. 
 Os minutos e os segundos relativos a tempo devem ser representados por m. (ou 
min) e s, e não por ′ e ″. Assim, escreva 5h 10m 7s ou 5 h 10min 7s e não 5h 10 ′ 
7″. 
 Não fale em “milhas”, “polegadas”, “libras”, “pés”, “graus Fahrenheit”. Quando 
tiver que traduzir escritos em que apareçam essas medidas, converta-os ao 
sistema métrico decimal. 
A inobservância da legislação metrológica é mais do que infração. É prova de 
ignorância e falta de brasilidade. 
 
PREFIXOS DOS MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DECIMAIS DAS 
UNIDADES INTERNACIONAIS DE MEDIDA (**) 
FATOR PELO QUAL A 
UNIDADE É MULTIPLICADA 
PREFIXO A 
ANTEPOR AO 
NOME DA 
UNIDADE 
SÍMBOLO A 
ANTEPOR AO 
DA UNIDADE 
 1 000 000 000 000 = 10
12 
tera T 
 1 000 000 000 = 10
9
 giga G 
 1 000 000 = 10
6
 mega M 
 1 000 = 10
3
 quilo k 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Grau_Celsius
http://pt.wikipedia.org/wiki/Kelvin
http://pt.wikipedia.org/wiki/Rankine
http://pt.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9aumur
 
129 
 
100 = 10
2
 hecto h 
10 = 10
1
 deca da 
0,1 = 10
–1
 deci d 
0,01 = 10
–2
 centi c 
0,001 = 10
–3
 mili m 
0, 000 001 = 10
–6
 micro μ 
0,000 000 001 = 10
–9
 nano n 
0,000 000 000 001 = 10
–12
 pico p 
0, 000 000 000 000 001 = 10
–15
 femto f 
0,000 000 000 000 000 001 = 10
–18
 atto a 
Ex: 5 Gm (lê-se: cinco gigâmetros) = 5× 1 000 000 000 m = 5 000 000 000 m 26 pl 
(lê=se: vinte e seis picolitros) = 26 × 0,000 000 000 001 l = 0,000 000 000 026 l. 
(*) Transcrito da “Folha de São Paulo”, de 17/6/1962 – Trabalho do Dr. J. Reis – por ocasião das 
comemorações do centenário do uso do Sistema Métrico Decimal no Brasil (26/6/1962). 
(**) Reunião da Comissão Internacional de Pesos e Medidas, Paris, outubro de 1962. 
 
 
130 
 
 
Apêndice 6 
Álgebra 
EXPOENTES E RADICAIS 
 
 
 
 
 
 
VALOR ABSOLUTO (d > 0) 
 se e só se 
 se e só se ou 
 (desigualdade do triâgulo) 
 
DESIGUALDADES 
Se e , então 
Se , então 
Se e , então 
Se e , então 
FÓRMULA QUADRÁTICA 
Se , as raízes de são 
LOGARITMOS 
 significa 
 
 
 
 
 
 
 
ln 
 
 
TEOREMA BINOMINAL 
 
 
131 
 
 
Fórmulas da Geometria 
Área A; circunferência C; volume V; área de uma superfície curva S; altura h; raio r. 
 
TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
TRIÂNGULO 
 
TRIÂNGULO EQUILÁTERO 
 
RETÂNGULO 
 
PARALELOGRAMO 
 
 
TRAPEZÓIDE 
 
CÍRCULO 
 
SETOR CIRCULAR 
 
COROA CIRCULAR 
 
CAIXA RETANGULAR 
 
 
 
132 
 
ESFERA 
 
CILINDRO CIRCULAR RETO 
 
CONE CIRCULAR RETO 
 
TRONCO DE CONE 
 
PRISMA 
 
 
 
 
Trigonometria 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DE 
ÂNGULOS AGUDOS 
 
DE NÚEMROS 
REAIS 
 
DE ÂNGULOS ARBITRÁRIOS 
 
TRIÂNGULOS ESPECIAIS 
 
 
 
 
133 
 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
134 
 
VALORES ESPECIAIS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Geometria Analítica 
FÓRUMA DA DISTÂNCIA 
 
 
 
 
FORMA PONTO-COEFICIENTE 
ANGULAR 
 
 
 
 
 
COEFICIENTE ANGULAR m DE UMA 
RETA 
 
 
FORMA COEFICIENTE ANGULAR-
INTERCEPTO 
 
 
 
 
 
 
135 
 
EQUAÇÃO DE UM CÍRCULO 
 
 
 
 
 
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 
QUADRÁTICA 
 
Se ∆ ≥ 0, então põe 
raízes reais 
Se ∆ < 0, não existem raízes reais. 
 
 
Formulário de derivadas 
DERIVADA DE ALGUMAS FUNÇÕES COMPOSTAS: Se C é uma constante real, 
u = u(x) e v = v(x) são funções deriváveis então: 
 
 
 
136 
 
 
 
Fórmulas de derivadas e integrais 
FÓRMULAS DE DERIVADAS 
FÓRMULAS DE DERIVADAS 
 
FÓRMULAS DE INTEGRAIS 
 
 
137 
 
 
 
 
Alfabeto Grego 
Maiúsculas Minúsculas Seu significado Nome 
  a Alfa 
  b Beta 
  g Gama 
  d Delta 
  e Épsilon 
  z Zeta 
  ê Eta 
  t Téta 
  j Iota 
  ka Capa 
  l Lambda 
  m Miu 
  n Niu 
  x Csi 
  0 Omicron 
  p Pi 
  r Ró 
  s Sigma 
  t Tau 
  u Upsilon 
  f Fi 
  qu Chi 
  os Psi 
  ô Omega 
 
138 
 
Alfabeto japonês 
 
一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 
 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 
ichi ni san shi go roku shichi hachi kyuu jyuu 
 
 
139 
 
A escrita japonesa 
Para expressar graficamente a língua japonesa, são utilizados três tipos de grafia: 
KANJI, HIRAGANA E KATAKANA. 
KANJI é o ideograma, ou seja, o símbolo que expressa uma ideia. É de origem 
chinesa, e foi introduzido no Japão antes do século V. 
HIRAGANA e KATAKANA são fonogramas criados no Japão depois do século 
IX, tendo por origem o KANJI. Servem para expressar as sílabas e são destituídos de 
significado. 
O KATAKANA originou-se de uma parte componente do KANJI. 
Ex: 
加 → カ 
(KA) (KU) 
久 → ク 
 (KA) (KU) 
O HIRAGANA originou-se da forma cursiva do kanji. 
Ex: 
 
Ao lado desses três sistemas de escrita utiliza-se o sistema ROMAJI, ou seja, a 
transliteração dos sons da língua japonesa, para o nosso alfabeto. 
Ex: 
にほん → NIHON わたし → WATASHI 
 
HIRAGANA 
 
 
140 
 
KATAKANA 
 
 
Ex: 
口 = kuti 目= me 耳= mimi 手 = t e 足= as h i 
 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 
 boca olho orelha mão pé 
木 = ki 犬 = inu 上 = ue 下 = shita 中= naka 川 = kawa 
 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 
árvore cachorro em cima em baixo dentro rio