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1 
 
SEIZEN YAMASHIRO 
 
Licenciado em Matemática pela Faculdade de Filosofia Ciências e Letras da 
Universidade Presbiteriana Mackenzie-São Paulo 1964 
Mestre em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica-PUC-São Paulo 1991 
Professor Decano da Academia de Polícia Militar do Barro Branco: Lecionou 
Matemática e Estatística no período de 01/08/1970 a 11/02/2008 
Professor Pleno na Faculdade de Tecnologia de São Paulo – FATEC SP: Lecionou 
Cálculo e Estatística no período de 29/02/1980 a 11/02/2008 
Leciona no Curso de Reforço para alunos ingressantes na FATEC SP no início de todos 
os semestres desde 1997 
 
SUZANA ABREU DE OLIVEIRA SOUZA 
 
Bacharel em Matemática pela Universidade Federal do Rio de Janeiro – 1986 
Mestre em Ciências: Matemática Aplicada pela Universidade de São Paulo – 1992 
Doutora em Ciências: Matemática Aplicada pela Universidade São Paulo 
Professora Pleno na Faculdade de Tecnologia de São Paulo - FATEC SP desde 
fevereiro/92 
Professora Adjunto na Universidade Presbiteriana Mackenzie, desde agosto/2006 
Professora Adjunto II no Centro Universitário Padre Sabóia de Medeiros (FEI), desde 
set/2006 
Professora titular no Centro Universitário Nove de Julho (UNINOVE) e professora do 
programa de mestrado em Educação, de abril de 2003 a dezembro de 2004 
Professora do Curso de Reforço para alunos ingressantes na FATEC SP no início de 
todos os semestres desde 1997 
 
 
2 
 
 
 
Curso de Reforço 
 
Mensagem e orientação ao estudante 
1. O objetivo deste pequeno texto é motivá-lo a adquirir o hábito de 
estudo, a compreender e a gostar da Matemática, ingrediente de 
muitas das mais elevadas realizações da mente humana. 
2. Relembraremos e passaremos muitas informações básicas e 
relevantes da Matemática que o ajudarão a compreender melhor o 
curso inicial de Cálculo Diferencial e Integral. 
3. Foram selecionados exercícios que requerem simplificações de 
expressões envolvendo álgebra e trigonometria que serão utilizados 
diretamente ou indiretamente, nos cálculos de limites, derivadas e 
integrais. 
4. Através da resolução de exercícios específicos em ordem crescente 
de dificuldade, pretendemos efetuar uma revisão e fixação dos 
conhecimentos básicos e fundamentais para a aprendizagem dos 
assuntos do Curso Superior. 
5. Orientação para o estudo em GERAL: 
1º) assiduidade às aulas, inclusive nas de reforço; 
2º) estudar diariamente, mesmo que por reduzido espaço de tempo, 
resolvendo todos os exercícios propostos; 
3º) revisar e acompanhar os exercícios resolvidos.
 
3 
 
 
Conteúdo 
Conteúdo ........................................................................................................................... 3 
CAPÍTULO 1 ............................................................................................................... 7 
Conjuntos Numéricos ................................................................................................... 7 
1. Conjunto dos números naturais: N ................................................................... 7 
2. Conjunto dos números inteiros: Z .................................................................... 7 
3. Conjunto dos números racionais: Q ................................................................. 7 
4. Conjunto dos números irracionais: Q’ ............................................................. 7 
5. Conjunto dos números reais: R ......................................................................... 7 
6. Representação Geométrica: a reta real R ........................................................ 7 
7. Operações no conjunto R ................................................................................... 8 
8. Relação de Igualdade ......................................................................................... 8 
8.1 Propriedade aditiva e multiplicativa de igualdade................................................... 9 
8.2 Propriedade do cancelamento .................................................................................. 9 
9. Relação de Desigualdade .................................................................................... 9 
9.1 Princípio da tricotomia ............................................................................................... 9 
 9 
10. Algumas Observações..................................................................................... 10 
11. Regra dos sinais nas operações em R ............................................................ 10 
11.1 Adição e Subtração ................................................................................................. 10 
11.2 Multiplicação e Divisão .......................................................................................... 12 
11.3 Propriedades: .......................................................................................................... 14 
11.3.1 Regras de sinal ..................................................................................................... 14 
11.3.2 Anulamento ......................................................................................................... 14 
12. Operações com frações ................................................................................... 14 
12.1 Igualdade de frações .............................................................................................. 15 
12.2 Frações equivalentes .............................................................................................. 15 
12.3 Adição e subtração de frações ............................................................................... 16 
12.4. Multiplicação e divisão de frações .......................................................................... 1 
12.5 Representação decimal das frações ....................................................................... 19 
 
4 
 
12.6 Representação fracionária dos números decimais ............................................... 21 
Exercícios Resolvidos ...................................................................................................... 24 
Exercícios Propostos ....................................................................................................... 26 
13. Potenciação ...................................................................................................... 28 
Exercícios Resolvidos ...................................................................................................... 29 
Exercícios Propostos ....................................................................................................... 31 
14. Radiciação ....................................................................................................... 32 
Exercícios Resolvidos ...................................................................................................... 33 
Exercícios Propostos ....................................................................................................... 34 
15. Produtos Notáveis ........................................................................................... 36 
Exercícios Resolvidos ...................................................................................................... 38 
Exercícios Propostos ....................................................................................................... 40 
16. Fatoração ......................................................................................................... 42 
Exercícios Resolvidos ...................................................................................................... 44 
Exercícios Propostos ....................................................................................................... 51 
Exercício de revisão ........................................................................................................ 54 
17. Intervalos .........................................................................................................58 
18. Módulo de um número real ........................................................................... 59 
19. Propriedades da relação de igualdade .......................................................... 59 
CAPÍTULO 2 ............................................................................................................. 60 
Operações com conjuntos ........................................................................................... 60 
1. Reunião (ou união) de conjuntos............................................................... 60 
2. Intersecção de conjuntos ............................................................................ 60 
3. Diferença de conjuntos............................................................................... 61 
4. Complementar de B em A ......................................................................... 61 
CAPÍTULO 3 ............................................................................................................. 62 
Relações e Funções ..................................................................................................... 62 
1. Função Constante ............................................................................................. 63 
2. Função Afim (ou função polinomial do 1
o
 Grau) .......................................... 64 
3. Função Quadrática ou função do 2
o
grau ........................................................ 65 
4. Função Modular ............................................................................................... 67 
5. Função Exponencial ......................................................................................... 67 
5.1 Equação Exponencial ................................................................................................ 68 
5.2 Inequação Exponencial ............................................................................................. 68 
6. Logaritmo .......................................................................................................... 69 
7. Função Logarítmica ......................................................................................... 70 
 
5 
 
7.1 Equações Logarítmicas ............................................................................................. 71 
7.2. Inequações Logarítmicas ......................................................................................... 72 
7.3 Logaritmos Decimais ................................................................................................ 73 
CAPÍTULO 4 ............................................................................................................. 75 
Trigonometria ................................................................................................................. 75 
1. Noções Fundamentais de Trigonometria no Triângulo Retângulo ......................... 75 
2. Arcos e Ângulos ..................................................................................................... 76 
3. Funções Trigonométricas ..................................................................................... 79 
4. Redução ao Primeiro Quadrante ............................................................................. 80 
5. Redução ao 1
º
 octante ( 1
º
 oitante ) ....................................................................... 82 
6. Relações Fundamentais da Trigonometria ............................................................. 83 
7. Transformações trigonométricas ............................................................................ 83 
8. Consequências das fórmulas de adição .................................................................. 84 
9. Transformação em produto ou Fatoração Trigonométrica ..................................... 85 
10. Resolução de Triângulos ...................................................................................... 86 
Exercícios Resolvidos ...................................................................................................... 90 
Exercícios Propostos ....................................................................................................... 95 
Apêndice 1 ...................................................................................................................... 97 
1. Nove Fora ............................................................................................................... 97 
2. Raiz Quadrada ........................................................................................................ 99 
3. Raíz Cúbica .......................................................................................................... 103 
Apêndice 2 .................................................................................................................... 106 
1. Sequências ............................................................................................................ 106 
2. Progressão Aritmética (P. A.) .............................................................................. 106 
3. Progressão Geométrica (P. G.) ............................................................................. 107 
Apêndice 3 .................................................................................................................... 110 
Aplicações de simplificações algébricas em Cálculos de Limites Indeterminados.. 110 
Apêndice 4 .................................................................................................................... 114 
1. Número primo ...................................................................................................... 114 
2. Número composto ................................................................................................ 114 
3. Propriedade dos números primos ......................................................................... 114 
Apêndice 5 .................................................................................................................... 115 
1. Sistema Métrico Decimal ..................................................................................... 115 
1.1 Medidas de comprimento ............................................................................. 115 
1.2 Milha Marítima ............................................................................................ 116 
1.3 Segundo Luz .................................................................................................. 116 
1.4 Medidas de Precisão ..................................................................................... 116 
 
6 
 
1.5 Polígonos ........................................................................................................ 116 
1.6 Comprimento ou perímetro da circunferência .......................................... 116 
2. Unidades de área ................................................................................................... 117 
3. Medidas agrárias ................................................................................................... 117 
4. Unidade legal de volume ...................................................................................... 118 
5. Medidas de capacidade ......................................................................................... 119 
6. Unidade legal de massa ........................................................................................ 119 
7. Densidade ou massa específica............................................................................. 121 
8. Sistemas de Medidas não-decimais ...................................................................... 123 
9. Sistema Inglês de Medidas (S.I.M.) ..................................................................... 125 
10. Grau Fahrenheit .................................................................................................. 127 
Apêndice 6 ....................................................................................................................130 
Álgebra ..................................................................................................................... 130 
Fórmulas da Geometria ............................................................................................ 131 
Trigonometria ........................................................................................................... 132 
Geometria Analítica .................................................................................................. 134 
Formulário de derivadas ........................................................................................... 135 
Fórmulas de derivadas e integrais ............................................................................ 136 
Alfabeto Grego ......................................................................................................... 137 
Alfabeto japonês ....................................................................................................... 138 
A escrita japonesa ..................................................................................................... 139 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
CAPÍTULO 1 
Conjuntos Numéricos 
1. Conjunto dos números naturais: N 
 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...} 
N  N* = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} , 0  N * 
 
2. Conjunto dos números inteiros: Z 
Z = {... –3, -2 ,-1, 0 , 1, 2, 3,...}, 0  Z* 
Obs.: Z  Zahlen = número em alemão 
 
3. Conjunto dos números racionais: Q 
Q = { a/b | a  Z e b  Z* } 
Ex.: 7/4 = 1,75; 18/3 = 6 ; -5/2 = -2,5 ; 5/9 = 0,555... 
 
4. Conjunto dos números irracionais: Q’ 
Q’={ x | x  a / b } 
Exemplos: 
 ...5907182818284,2
...1415926535,3
...4142135624,12



e

 
5. Conjunto dos números reais: R 
RQ' R,QZN :Obs 
}irracionalou racional número é |{'

 xxQQR
 
Comparação de números reais: 
  . b aou baou b a então R b , a , b) ( , a 
 
 
6. Representação Geométrica: a reta real R 
 
Consideramos um ponto fixo O, chamado origem e um outro ponto fixo U, à 
direita de O chamado ponto unidade pertencentes à reta r. A distância entre O e U é 
chamada distância unitária. 
 
8 
 
Cada ponto P na reta r é associado a uma coordenada x representando sua 
distância orientada de origem O.Chamaremos o conjunto de todas essas coordenadas x 
de conjunto dos números reais R. 
Entre o conjunto dos números reais e uma reta, pode-se estabelecer uma 
correspondência biunívoca de tal modo que a cada número real x corresponda um e um 
só ponto da reta e reciprocamente, cada ponto da reta corresponda um e um só número 
real. 
 
7. Operações no conjunto R 
 
No conjunto R são possíveis as operações de adição, subtração, multiplicação e 
divisão (com divisor ≠ 0) e são válidas as seguintes propriedades estruturais: 
(a), (b), (c), a, b, c,  R 
 
Adição Multiplicação 
Fechamento: (a + b)  R 
Comutativa: a + b = b + a 
Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) 
Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a 
Elemento oposto: 
a + (–a) = 0 
 
Fechamento: (a.b)  R 
Comutativa: a.b = b.a 
Associativa: (a.b). c = a.(b.c) 
Elemento neutro: a.1 = 1.a = a 
Elemento inverso: 
1
a. 1 (a 0)
a
 
 
8. Relação de Igualdade 
 
Consideremos dois conjuntos A e B de elementos quaisquer e sejam a e b os 
respectivos números de elementos. Dois casos podem, ocorrer: 
1º) Entre A e B pode-se estabelecer uma correspondência biunívoca. Diz-se, neste caso 
que A e B possuem o mesmo número de elementos e escreve-se 
a = b, que se lê “a é igual b” e a relação é denominada Relação de Igualdade (a e b são 
numerais do mesmo número). 
2º) Entre A e B não se pode estabelecer uma correspondência biunívoca. Diz-se, neste 
caso, que o número de elementos de A e B são diferentes e escreve-se a ≠ b que se lê “a 
é diferente de b”. 
 
Distributiva 
a.(b+c) = a.b + a.c (b+c). a = b.a + c.a 
 
9 
 
8.1 Propriedade aditiva e multiplicativa de igualdade 
Regra da Balança ou do equilíbrio 
Se a = b, então a+c = b+c e ac = bc 
8.2 Propriedade do cancelamento 
Se a+c = b+c, então a = b e se ac = bc e c ≠ 0, então a = b. 
 
9. Relação de Desigualdade 
 
As relações < (menor) e > (maior) são denominadas Relações de Desigualdade. 
Existem ainda duas outras relações de desigualdade: 
≤ (menor ou igual): a ≤ b → a < b ou a = b 
≥ (maior ou igual): a ≥ b → a > b ou a = b 
 
9.1 Princípio da tricotomia 
Se x e y são quaisquer números reais, então uma e somente uma das afirmativas 
abaixo é verdadeira: 
1º) x < y 
2º) x > y ou 
3º) x = y 
Se fixarmos y = 0 no princípio da tricotomia, observamos que uma e somente 
uma das condições abaixo é verdadeira: 
1º) x < 0, x é um número real negativo 
2º) x > 0, x é um número real positivo 
3º) x = 0, x é nulo 
 
Exemplos: 
1. Utilizando propriedade, mostre que se 
 
De fato, de ab = c, utilizando 8.1, temos 
 
 
 
 
 
 
c
ab = c a = 
b

1 1
ab. = c.
b b
c 1
 a.1 = .
1 b
c
 a = 
b
 
10 
 
2. Mostre que, utilizando as propriedades estudadas. 
Resolução: 
Façamos 13.9 = 117 
 2.59 = 118, portanto 
 
117 118, 
 
13.9 2.59
13.9 2.59 : (9.59), temos 
9.59 9.59
13 2 2 13
 x.( 1) 
59 9 9 59

 
 
 
  
 
 
10. Algumas Observações 
 
Observação sobre a operação divisão: 
8 2 . 4 pois 4
2
8

 
0 2 . 0 pois 0
2
0

 
4
 nenhum número ( operação inexistente) ; pois, (nenhum número) . 0 4
0
 
0 0 . número)(qualquer pois indeter.) resultado ( número 
0
0

 
Não existe divisão por zero 
açãoindetermin de símbolo 
0
0

 
 
 
11. Regra dos sinais nas operações em R 
11.1 Adição e Subtração 
 
a) As operações de adição e subtração que serão indicadas pelos sinais “+” e “–” de 
dois números reais quaisquer, podem ser definidas através da reta numerada ou 
reta real. 
 
b) Todo movimento à direita na reta numerada será descrito por números positivos 
e todo movimento à esquerda será descrito por números negativos. 
 
 
2 13
 < 
9 59
 
 
11 
 
c) Existe um mesmo comportamento (conhecido pelo nome de isomorfismo entre 
os números inteiros aritméticos (0, 1, 2, 3, 4,...) e os números inteiros, não 
negativos (0, +1, +2, +3, +4,...). 
 
Vamos ver alguns exemplos da adição: 
1º)
 
2º)
 
3º)
 
4º)
 
Vamos ver alguns exemplos da subtração: 
 
A relação existente entre a subtração e a adição de números reais é a mesma que 
conhecemos para a adição e subtração de números reais, isto é são operações inversas. 
a – b = d  d + b = a 
 
12 
 
1º) 
 
11.2 Multiplicação e Divisão 
 
Multiplicação: 
 Vamos destacar alguns conceitos: 
1º) o produto de dois números reais é um número real; 
2º) podemos estabelecer uma correspondência biunívoca entre os dois conjuntos 
numéricos: dos inteiros aritméticos e dos inteiros não-negativos; 
0 1 2 3 4 5 6, ... 
 ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ 
 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6, ... 
3º) valem as seguintes propriedades estruturais: 
- comutativa: a × b = b × a 
- anulamento: a × 0 = 0 
- distributiva: a × (b + c) = a × b + a × c 
 
Exemplos: 
1º) o produto de dois números positivo é um número positivo 
(+3) × (+4) = (+12) 
↓ ↓ ↑ 
3 × 4 = 12 
2º) o produto de um número positivo por zero é zero 
0 × (+4,5) = 0 
↓ ↓ ↑ 
0 × 4,5 = 0 
 
3º)o produto de um número negativo por zero é zero. 
(–2) × 0 = (pela propriedade comutativa) 
= 0 × (–2) = 0 (pela propriedade do anulamento) 
 
13 
 
4º) o produto de um número positivo por um número negativo é um número negativo 
 
Justificativa: 
 
(+3 ) × (–2) = ? 
(+3) × 0 = 0 (propriedade de anulamento) 
 
(+3) × [(+2) + (–2)] = 0 (foi escrito 0 = (+2) + (–2), para introduziro nº (–2) 
(+3) × (+2) + (+3) × (–2) = 0 (propriedade distributiva) 
 
 (+6) + (+3) × (–2) = 0 
 
 (+6) + ? = 0 (pela existência do elemento inverso aditivo) 
 
 (+3) × (–2) = (–6) ou (+3) × (–2) = (–2) × (+3) = –6 
5º) o produto de dois números negativos é um número positivo; 
 
Justificativa: 
(–3) × (–4) = ? (propriedade do anulamento) 
(–3) × [(–4) + (+4)] = 0 (introduzimos (–4) através de (–4) + (+4) =0) 
(–3) × (–4) + (–3) × (+4) = (propriedade distributiva) 
(–3) × (–4) + (–12) = 0 
 (–3) × (–4) = (+12) 
 
Divisão: 
 
 A relação existente entre a divisão e a multiplicação de números reais é a 
mesma para a multiplicação e divisão de números reais, isto é, são operações inversas: 
a : b = c  c × b = a, b ≠ 0, 
Observação: a regra dos sinais para a divisão será a mesma da operação multiplicação. 
Exemplos: 
1º) (–8) : (+4) = (–2)  (–2) × (+4) = (–8) 
 
2º) (–8) : (–4) = (+2)  (+2) × (–4) = (–8) 
 
3º) 
 
 
 
1
2
3 1 3 2 3
 : 
4 2 4 1 2

            
            
         
 
14 
 
4º) 
 
 
 
 
 
 
11.3 Propriedades: 
11.3.1 Regras de sinal 
Para quaisquer a e b reais tem-se: 
1º) – (–a) = a 
 
2º) (–a) b = – (ab) = a (–b) 
 
3º) (–a)(–b) = ab 
 
Exemplos: 
a) – (–5) = 5; 
b) (–3) 4 = 3 (–4) = – (3.4) = –12; 
c) (–6)( –5) = 6.5 = 30 
 
11.3.2 Anulamento 
 
Qualquer que seja a real, temos: 
Fator nulo: a.0 = 0.a =0, de fato 
 a.0 + 0 = a.0 = a (0+0) = a.0 + a.0 
Observando o primeiro e o último membro, podemos concluir que a.0 = 0. 
 
Produto nulo: Sendo a e b números reais, tem-se: Se ab = 0, então a = 0 ou b = 0 ou 
a = b = 0 
12. Operações com frações 
 
Fração é o quociente de b por a, onde a ≠ 0, indicado por ou b/a, é definida por 
b é denominado numerador e a o denominador da fração. 
 
Exemplos: 
1º) 
 
1
( 0,4) : ( 0, 4) 5 2,0
5
 ou
4 5 20
 2
10 1 10
 
       
 

 
   
b
,
ab 1
 b. ,
a a

4 1
 4.
5 5

 
15 
 
 
2º) 
 
 
3º) 
 
 
4º) 
 
 
Obs: Qualquer número real pode ser escrito como uma fração aparente. 
Ex: 
 
 
12.1 Igualdade de frações 
a c
 ad bc
b d
 b 0, d 0
  
  
De fato, pela regra da balança 8.1 temos: 
1º) 
 
 
2º) 
 
 
 
 
 
12.2 Frações equivalentes 
 
De podemos escrever a propriedade fundamental de um número 
 
fracionário. 
O valor de uma fração não altera se multiplicamos ou dividimos o numerador e o 
denominador dessa fração por um número não nulo. 
Diremos nesse caso que obtivemos frações equivalentes. 
Exemplos: 
1º) (simplificação de fração) 
 
 
a b 1 a b
 . a b , c 0
c c c c

    
b 1
 .b
a b a b

 
a 1
 a. 1
a a
 
a
a 
1

x(b.d)a c a.bd c.bd ad cb ou ad bc
b d b d
     
: (bd) ad bc a cad bc
bd bd b d
a ac
consequências de abc bac ,
b bc
 b 0, c 0
    
  
 
a ac
 ,
b bc

21 21: 7 3
 
28 28 : 7 4
 
 
16 
 
 
2º) 
 
 
 
3º) 
 
 
 
Exercício resolvido. Simplifique: 
 
Resolução: 
 
 
ou calculando mdc (98, 84), utilizando o Teorema Fundamental da Aritmética: 
qualquer número inteiro positivo maior que 1 tem uma única decomposição (a menos da 
ordem dos fatores) como produto de números primos, chamada decomposição prima do 
número. 
98 2 84 2 
49 7 42 2
7 7 21 3
1 7 7
98 = 2 7² 1
 84 2² 

 3¹ 7¹  
12.3 Adição e subtração de frações 
 
Para adicionar ou subtrair frações com o mesmo denominador, basta adicionar 
ou subtrair os numeradores e manter o denominador comum. 
De fato: 
a b 1 1 1 a b
 a. b. (a b) 
c c c c c c

     
 
Exemplos: 
1º) 
 
 
2º) 
 
 
Para adicionar ou subtrair frações de denominadores diferentes basta transformá-
las em frações equivalentes com denominadores iguais e em seguida aplicamos o caso 
anterior. 
5 5 10 50
0,5 50%
10 10 10 100

   

1 2 3
 .......
2 4 6
  
98
84
98 98 : 2 49 : 7 7
 
84 84 : 2 42 : 7 6
  
  1 1mdc 98,84 2 7 14
98 98 :14 7
 Logo 
84 84 :14 6
  
 
13 3 13 3 16 : 4 4
 + = 4
4 4 4 4 : 4 1

  
5 1 5 1 4 : 2 2
 = 
6 6 6 6 : 2 3

  
 
17 
 
De fato: 
a c a.d c.b ad cb ad cb
 
b d b.d d.b bd bd bd
b 0, d 0, 

     
  
 
Processo prático: Calculamos o mínimo múltiplo comum dos denominadores e em 
seguida dividimos o mmc (bd) pelo denominador de cada fração, multiplicamos o 
resultado pelo numerador correspondente. 
 
Exemplos: 
 
1º) 
3 1 5 3 1
5 , 
4 6 1 4 6
5 12 3 3 1 2
 
12
60 9 2
 
12
67 7
 5
12 12
     
    

 

 
 
 fração imprópria número misto 
 
Verificação: 
 
 * 
 
(*) 
mmc(50,2,4) 100 
 
2º) 
 
 
 
12.4. Multiplicação e divisão de frações 
a) Para multiplicar duas frações, multiplicam-se os numeradores entre si e da 
mesma forma os denominadores. 
 
Se b ≠ 0 e d ≠ 0, então 
Exemplos: 
1º) 
7 5 12 7 67
5 
12 12 12
 
 
mmc (1,4,6) = 12
1,4,6 2
1,2,3 2
1,1,3 3
1,1,1 12
3 4 1 7 2 1 7
4% 0,5 1 
4 100 2 4 50 2 4
4 50 175 129
 1, 29
100 100
        
 
  
a c ac
 . 
b d bd

7 5 7 5 12 7 67
5 
12 1 12 12 12
 
   
3 5 3.5 15
 . 
4 7 4.7 28
 
 
18 
 
2º) 
 
 
 
3º) 
 
 
 
b) Para dividir uma fração por outra, deve-se multiplicar a primeira pela fração 
obtida da segunda permutando numerador e denominador, isto é, multiplicando a 
primeira fração pelo inverso da segunda fração. 
De fato, temos: 
a a d a d
 . . 
a db b c b c . 
c c d 1 b c
 . 
d d c
a c a d
Logo : . 
b d b c
  

 
Exemplos: 
1º) 
 
 
2º) 
 
 
3º) 
 
 
 
4º) 
 
 
 
5º) 
 
 
 
 
 
3 5 3 15 3
5 . . 3 número misto
4 1 4 4 4
 fração imprópria 
 
     

2 2
1 3
6 9 6 10 6.10 2.2 4
 : . : 
5 10 5 9 5.9 1.3 3

    
  
a a b a c ac
 : . 
b 1 c 1 b b
c
  
1 4 2
12 1
0,5 : 0, 25 
5 25 5 100 1.4
 : . 2
10 100 10 25 2.1

   
a
a c a 1 ab : . 
c b 1 b c bc
  
1 1
2 : 3 
4 5
9 16 9 5 45
 : . 
4 5 4 16 64
 
  
 
   
   
 
2 3
1 1
4 15 4 . 15 2 . 3
 . 6
5 2 5 . 2 1
  
 
19 
 
12.5 Representação decimal das frações 
 
Consideremos um número racional tal que p não é múltiplo de q, ou seja é 
uma fração irredutível. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do 
numerador pelo denominador. 
Nesta divisão podem ocorrer dois casos: 
1º) O número decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos 
(não nulos). 
Exemplos: 
a) 
2
 0,4
5

 
b) 
1
 0,25
4

 
c) 
3
 0,15
20

 
d) 
7
 1,75
4

 
 
Esses números racionais são denominados decimais exatos. 
 
2º) O número decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos 
nulos), que se repetem periodicamente: 
Exemplos: 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
Esses números racionais são denominados decimais periódicos, ou dízimas 
periódicas, em cada um deles, os números que se repetem formam a parte periódica ou 
período da dízima. 
p
,
q
p
q
1
 0,333... 0,3
3
 
5
 0,555... 0,5
9
 
4
 0,121212... 0,12
33
 
37
 1,2333... 1, 23
30
 
2
0,00222... 0,002
900
 
 
20 
 
Quando uma fração é equivalente a uma dízima periódica, a fraçãoé 
denominada fração geratriz da dízima periódica. 
Para sabermos se uma fração irredutível equivale a um decimal exato ou uma 
dízima periódica, basta decompor o denominador em fatores primos: 
a) A fração equivale a um decimal exato se o denominador contiver apenas os 
fatores 2 ou 5; 
b) A fração equivale a uma dízima periódica se o denominador contiver algum 
fator diferente 2 e de 5; 
Exemplos: 
 
1º) 
20 2
10 23
 decimal exato
5 520
1
30 20 
3
de fato 100 0,15 0,15
20
0
 
 
 
 
2º) 
30 2
15 337
 
5 530
1

 
37
a fração gera uma dízima periódica, de fato
30
37 30 
70 1,233...
de fato 100
 
 100
 10
 
37
 1, 233...
30
 
 
 
 
 
21 
 
12.6 Representação fracionária dos números decimais 
1º) O número é decimal exato 
Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal 
sem a vírgula e o denominador é formado pelo número 1 seguido de tantos zeros 
quantas forem as casas decimais do número decimal dado, ou seja, potência de base 10 
cujo expoente é o número de casas decimais. 
Exemplos: 
a) 
2 1
0,2 
10 5
 
 
b) 
210
154 77
1,54 
100 50
 
 
c) 
310
3045
3,045 
1000

 
d) 
310
25 1
0,025 
1000 40
 
 
2º) O número é uma dízima periódica 
Podemos utilizar seguintes procedimentos: 
a) Pela transformação algébrica 
b) Pela regra prática 
c) Pelo limite da soma de uma progressão geométrica (P.G.) decrescente 
 
a.1) 
 
 
   
Seja a dízima 0,444... 0, 4
Façamos x 0,444... 1 e multipliquemos ambos membros por 10:
10x 4,444... 2 , subtraindo as igualdades, membro a membro, 
a primeira 1 da segunda 2 :
10x x 4,444... 0, 44



   4...
 9x 4
4
x 
9
4
Logo 0,444 0,4 fração geratriz 
9


  
 
 
a.2) 
 
     
Seja a dízima 1,232323... 1,23
Façamos x 1,232323... 1 e 
100x 123,2323... 2 , subtraindo, membro a membro temos 2 1 :
100x x 123,2323... 1,2323...
 99x 122


 
  

 
 
22 
 
122
x fração geratriz 
99
122
Logo 1,232323... 1,23 
99
 
  
 
Para concluir a regra prática, façamos: 
 
     
G 1,232323
G 1 0,232323
 x
 x 0,232323 1
100x 23,232323 2 2 1 
23
 99x 23 x 
99
23 23
G 1 1 geratriz
99 99

 

 
  
    
 
 
a.3) Seja a dízima 2, 3050505... 
 Consideremos 
G = 2 + 0, 3050505... 
 x = 0, 3050505... (1) 
 10x = 3, 050505... (2) → (3) – (2) 
1000x = 305, 050505... (3) 
 990x = 305 – 3 
 
305 3
x *
990


 
302 2 990 302
G 2 
990 990
2289
 
990
 
   

 
 
b) Regra Prática 
b.1) 
 
Para a dízima periódica simples 
período 4 4
Fração geratriz 
um 9 para cada algarismo do período 9
 
 
 
b.2) 
 
 
4
0,444 
9

23 122
1,232323 1,23 1 
99 99
  
 
23 
 
b.3) 
305 3 302 2282
 2 2 
990 990 990

  
 
* * * * *
parte não periódica , parte periódica parte não periódica
 
 9 9 0 
305 3 302 302 2282
2 2 2 
990 990 990 990
   
   
   

    
 
(*) um “9” para cada algarismos da parte periódica 
(**) um “0” para cada algarismo da parte não periódica 
 
c) 
 
c.1)0,4444... = 
1
PG descresente
4
a 0,4 
10
 0,4 0,04 0,004 
0,04 1
q 1
0,40 10

 
    
   
 
1
4 4
a 410 10geratriz 
1 91 q 9
1
10 10
   


 
c.2)1,232323... = 
1
PG
23
a 0,23 
100
 1 0,23 0,0023 0,000023 
0,0023 1
q 1
0,23 100

 
     
   
 
1
23 23
a 23 122100 100 1 1 1 1 
1 991 q 99 99
1
100 100
        


 
 
c.3) 2,305005505... = 
1
PG
5
a 0,005 
1000
 2 0,3 0,005 0,00005 
0,00005 1
q 1
0,00500 100

 
     
   
 
2,3050505 2,305
1
n
a
limSn limite da soma de P.G. decrescente
1 q
 

 
24 
 
5 5
31000 1000 2 0,3 2 
1 9910
1
100 100
3 5 297 5
 2 2 
10 990 990
302 1980 302 2282
 2 
990 990 990
     


    

  
 
 
Exercícios Resolvidos: 
 
1. R 
 
R 3 9 4 5 :5 3 9 4 1
 
1 4 5 10 :5 1 4 5 2
60 45 16 10 99 19
 4 ou 4,95
20 20 20
       
  
  

 
 
2. R 
 
R 5 11 12 : 2 3:3
 
1 3 10 : 2 18 :3
5 11 6 1 150 110 36 5
 
1 3 5 6 30
71 11
 2 ou 2,37 2,366666... 2,36
30 30
   
  
     
    

 
 dízima periódica composta; 
 
ou Geratriz 
 
3. R 
 
R 3:3 75 : 25
 1 0,2555... 
9 : 3 100 : 25
1 25 2 3 1 1 23 3
 1 
3 90 4 3 1 90 4
60 180 46 135 151
 
180 180
   

        
  
 

 
3,90, 4 2 
3, 45, 2 2 
3, 45,1 3 
 
1, 15, 1 3 
1, 5, 1 5 
1, 1, 1 180 
Observação: Determinação da fração geratriz das dízimas periódicas. 
1 4
3 2 0,5
4 5
  
2 3
5 3 1,2 
3 18
  
36 3 33 11
 2 2 2
90 90 30

  
0,333... 1, 25555... 0,75 
 
25 
 
I. pela regra 
a) 
 
 
b) 
 
 
II. pela equação 
Façamos: 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
III. pela P.G.: 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 0, 255555... = 0,2 + 0,05 + 0, 005 + ... 
P.G.
1
1 5 5
 ...
5 100 1000
5 1
a , q 
100 10
   
 
 
3 3
0,333... 0,3 
9 9
  
25 2 23
0,2555... 0, 25 
90 90

  
 
 
x 0,333... 0,3 10x 3,333... 3 0,3
3
Logo 10x x 3 0,3 0,3 3 9x 3 x 
9
     
        
x 0,2555... 0, 25 10x 2,5...
 100x 25,5 90x 23
23
 x 
90
    
   

1
n
a
limSn 
1 q


1
3
a 0,3 
10
0,333... 0,3 0,03 0,003 
0,03 1
q 
0,30 10
3
3 10 3 110 . 
1 10 9 9 3
1
10

 
     
  

   

 
26 
 
1
5
a1 1 1 5 10 1 5100 . 
15 1 q 5 5 100 9 5 90
1
10
18 5 23
 
90 90
        



 
 
 
4. R Efetuar 
R
1 2 1
 : 0,2 3
5 15 4
3 2 2 : 2 13 1 1 13
 : : 
15 10 : 2 4 15 5 4
1 4 65 1 20 :5 4 4
 : resposta
15 20 15 :5 69 3 69 207
   
    
   
     
         
     
 
      
  
 
5. R. Efetue as operações 
R
1 2 4
 0,2 : 1 
5 3 5
1 2 2 5 4 1 2 1 3 25 2 5
 : : . 
5 10 3 5 5 25 3 5 25 3 1
   
     
   
        
              
       
1
5
3 50 5 47 2
 . 3 resposta
25 3 1 15 15
47 15
2 3
 
    

 
Exercícios Propostos: 
1. P 
a) 
 
159
Resposta: 1,7
90

 
 
b) 
 
 
1
0,777... 0,9999... 0,1222...
5
  
7
Faça a verificação 0,777... pela equação
9

 
27 
 
c) Faça a verificação, pelo limite da soma PG decrescente, que 0, 999... → 1 
 
 
 
 
 
2. P. Calcular 
2,04
 0,9 1,08
0,4
 
 
Resposta: 4, 128 
 
 
 
 
3. P. Efetue as operações 
1 1 2
3 0,2 : 
4 5 15
   
     
    
207 3
Resposta: ou 51 ou 51,75
4 4 
 
 
 
 
4. P. Efetue as operações 
   7,8 : 2,5 1 0,07     
Resposta: 0,1484 
 
 
 
 
5.P. Efetue as operações 
1 1
2 0,25 4 
4 5
   
      
    
Resposta: 9,5 
 
28 
 
 
13. Potenciação 
 
a
n
 = a . a .a . a . a . a . a ... . a 
 
aR, nZ, n>1, a
n
 é o produto de n fatores iguais a a. 
 
Exemplo: 
2 
5
 = 2. 2. 2. 2. 2 = 32, 
 
onde 2 é a base, 5 é o expoente e 32 é a potência. 
 
Casos particulares 
1 º) a
1
 = a ex.: 2
1
 = 2 ; 
5
3
 
5
3
1





 
 
2 º) a
0
 = 1 ex.: (-3)
0
 = 1 ; 1 
2
1
0






 
 
3 º ) a 
–n
 = 
na
1 
 , n >0, a 0 ex.: 5 
–2
 = 3
3
1
 ; 
25
1
 
5
1
1-2

 
 
Obs.: 
a
b
b
a






1
 ex.: 2 
–1
 = 
9
16 
 
4
3
 ;
2
1
 
2
1
-2
1






 
 
Propriedades 
P1. a 
m 
. a 
n
 = a 
m+n
 m, n  Z 
P2. a 
m 
: a 
n
 = a 
m – n 
 , a  0 
P3. ( a 
m
) 
n
 = a 
m . n
 
P4. ( a . b )
n
 = a
n
 . b 
n 
P5. ( a : b ) 
n 
 = 
nn
n
nn
b : a 
b
a
 
b
 a 






 , b  0 
 
 
 
 
 
 
29 
 
Exercícios Resolvidos: 
 
1.R. Simplifique as seguintes expressões : 
 
 
a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
2. R. Supondo a ≠ 0, efetue. 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
 
d) 
 
   
     
 
2
R
3 5 5
23 3 5 5 3 3 2 2 5 5
5 5 5 5 5-5 5-5 0 0
1
a.b . : a .b 
ab
 a .b . a.b : a .b a .b .a .b : a .b 
 a .b : a .b a .b a .b 1.1 1
  
  
   
       
       
 
3. R. Calcule o valor de 
 
a) 
 
 
 
 
 
       
R
5 3 5 3 2 2 22.5 : 2.5 2.5 2.5 2 .5 4.25 100

    
4 2 4 2 2R
2
2 2 2 2 4
 : 
7 7 7 7 49

     
       
     
   
4 3 7 7 5 2R
55 3 4
2 .2 2 2 2 4 : 4 1
 
2 8 16 24 24 24 : 4 62 . 2 2

    

R
3 3 3 3 0a . a a a 1    
   
R3 2x 32 6
6
1
a a a 
a
    
 
 
R
1
1
1 1
a.b 
aba.b

 
1 1
Ra b b
 
b a a

   
    
   
2 1 2 1
R
2 2 1
2 2
11 13 3 3
 : : 
3 3 11 13
3 13 3 .13 3 13 39
 . 
11 3 11 11 11 121
 

       
        
       

   

 
30 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
e) 
R
2
2
1 1
0,01 10
100 10
  
 
 lê -se: um centésimo 
f) 
R
4
4
1 1
0,0001 10
10000 10
  
 
 lê-se um décimo milésimo 
 
g) 
 
 
 
 
 
 
Lê-se: um inteiro, setenta e três mil e oitenta e oito centésimos de milésimo 
1 1 1 1
R
1 1 1 1
1 1 3 1 3 1
3 3 
2 2 1 2 1 2
6 1 6 1 5 5
 
2 2 2 2
2 2 4
 
5 5 5
   
   
       
              
       
        
           
       
 
1 2 1 2
R
1 2 1 2
2
2
3 3 1 3 5 3 2
0,5 : : 
4 4 2 4 10 4
15 10 1 25 4 20:5 1
 : : . 
20 4 20 1 25:5 4
4 1 1 1
 . 
5 4 5 4 20
   
  
       
           
       
     
        
     
  

3 2 3 2
R
3 2 3 2 3 2
3 2 3 2 3 2
3 2 3 2 3 4 3 2 4
1 1 1 2 1 1
 2 : 1 : 
2 4 2 1 1 4
1 4 4+1 5 5 2 4
 : = : : 
2 4 2 4 5 5
2 4 2 5 2 5 1.1
 : 
5 5 5 4 5 2 5 .2
   
   

       
            
       
           
             
           

   
 3 1 1
1 1
 
5 .2 10
 
   
 
3 3
R
3
3
1,2 + 1- 0,04 3 : 10
 1,728 0,96 3 : 10 
 1,728 2,88 : 10 1,728 0,00288 
 1,73088 
 
  
   
    


 
31 
 
4. R. Calcule o valor de 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Propostos: 
5 P. Calcule o valor de 
 
3Resposta: 27a b 
 
 
 
 
   
   
 
 
R3 2. 32 6
6
0
2
3 0 3
2 2
3 6(P2) 2
1
a a a 
a
a 1
De fato: a a 
aa
  
 
  
  
 
R
3 33 3 0
3 3
3 3
3 3
a . a a a 1
a 1 a
De fato: a . a . 1
1 a a
 

  
  
 
R
2 2 2
2 2 2 2
1 1 1
a.b a .b . 
a b a b
    
1
R
1
1
a 1 1 1 b b
 . 
ab 1 a aa
bb
a b
 
b a


 
    
   
 
 
 
  
 
   
     
     
2
3 5 5
R
3 2 5
5 5 0
1
a.b . : a .b
ab
 a.b . ab : ab 
 ab : ab ab 1
  
  
   
  
 
  
     
4 2 1 33a : 5b x 3a .25b
   
   
 
32 
 
 
14. Radiciação 
 
 
 R) (b  baab nn 
 
 
radical. o é símbolo o 
e índice o é 3 
 radicando, o é 8 
: onde 8 2 28 33 
 
 
 
 Propriedades 0) b ,0( a 
 
Dados m, n, p  1, m, p  N, n  Z 
 
 
   
63.n
4 2
2
4m
333n
n
21 215 30: :n
22:ex.a.5
p:ex.a.4
25:10:ex.::a.3
63.2:ex...a.2
9333:ex.a.1





nmm
m n
n
nn
nn
pm pnm
aR
ppaR
babR
babR
aR
 
 
 
Radicando negativo 
Exemplos: 
16real) (nenhum pois real, 16 )2
8(-2) pois ,28- )1
44
33


nenhum
 
 
Obs.: 
Não existe raiz real de número negativo, se o índice do radical for par. 
n
m
n m aa  
a > 0, a  R, n > 0 
 
33 
 
     
 
R
2 4x 8 9x 18 4 16x 32 
 2 4 x 2 9 x 2 4 16 x 2 
 2 . 2 x 2 3 x 2 4 . 4 x 2 
 4 3 16 x 2
 17 x 2
    
      
      
   
 
Exercícios Resolvidos 
 
1. R. Calcule o valor de cada uma das expressões: 
 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
4
4 3 2 2
21 6 2
1 08 2 2
5 4 2
 
27 3
9 3 3³
3 3
1 
3 33 33
R 2
3
R1
3
2 . 2 . 3
 2 . 2.3 
 6 2
 

 

 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
3 6
R
63 3 6
2 27 3 64
 2 3 3 2 
 2 . 3 3 . 2 6 6 0

  
    
3R
3 3
3 3 3R3
1 1
0,001 
10 10
1
 0,1
10

   

  
R
3 34 3 3 33 432 2 .3 2 .2.3   
R
5 10 103 2 15 4
R1
10 10 1011 10 10 10 10
R1
a : a a : a 
 a a .a a . a a a
 
   
 
34 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Propostos 
1. P Calcule o valor de cada uma das expressões: 
a) 
 
Resposta: –9 
 
 
b) 
 
Resposta: 6 
 
c) 
 
Resposta: 0,04 
 
d) 
 
Resposta: 16 2 
 
R
3 36 6 23 3
R 2
2 3 6
R 2,R1 R5
6 66 6 6 6
R 2,R1 R1R5
a b a . b a b
 a b a b 
 ou
 a .b a . b a b
  
 
  
3 35 27 2 27 
100 64 
0,0016 
3 50 2 18 98 
 
35 
 
e) 
 
Resposta: 2 6 
 
f) 
 
Resposta: 3 
 
 
g) 
 
6Resposta: 18 
 
h) 
 
6 3Resposta: a b 
 
i) 
 
6 2Resposta: a bc 
 
6 24 54 
2 12 27 3 48 108  
3 3 2
3a b
5 4 32 3 2 10a a b a bc
 
36 
 
 
n
a b
j) 
 
2 512Resposta: x y
 
 
 
 
15. Produtos Notáveis 
1. Produto da soma pela diferença 
(a + b) . ( a – b) = a 
2
 – b 
2
 
2. Quadrado da soma 
(a + b)
2
 = a 
2
 + 2 a .b + b 
2
 
3. Quadrado da diferença 
(a – b) 
2
 = a 
2 
– 2 a .b + b
2
 
4. Cubo da Soma 
(a + b) 
3 
= a
 3
 + 3 a
2 
b + 3 a b
2
 + b
3
 
5. Cubo da diferença 
(a – b) 
3
 = a 
3
 – 3 a 
2
 b + 3 a b
2
 – b
3 
6. Regra prática para desenvolver: 
 
 
 
1º) O desenvolvimento do Binômio de Newton
1
 
 
n
n n p p
p 0
n
x a x a
p


 
   
 

 
 
 
 
2º) Os coeficientes pela relação de Fermat
2
 
n nn p
 . coeficiente do termo seguinte, temos a regra prática.
p p 1p 1
   
    
    
 
 
 
 
 
1
 Isaac Newton- Nasceu no interior da Inglaterra (1642-1727) estudou no Trinity College em Cambridge. 
Ao morrer, Newton foi enterrado na Abadia de Westminster com as pompas de um rei. 
 
2
 Pierre Simon de Fermat (1601-1665) nasceu na França e estudou direito em Toulouse. Desenvolveu a 
Geometria Analítica e estudou problemas de máximos e mínimos. 
2 34 3x y : xy
 
37 
 
0
 n = 0 1
0
1 1
 n = 1 1 1
0 1
2 2 2
 
0 1 2
 
 
 
  
  
  
   
   
  
n = 2 1 2 1
3 3 3 3
 n = 3 1 3 3 1
0 1 2 3
4 4 4 4 4
 n = 4 1
0 1 2 3 4
    
    
    
     
     
     
 4 6 4 1
5 5 5 5 5 5
 n = 5 1 5 10 10 5 1 
0 1 2 3 4 5
      
      
      
Exemplo: 
 
         
 
 
4
4 0 0 4 1 1 4 2 2 4 3 3 4 4 4
0 1 2 3 4
4 3 2 2 1 3 4
4 4 3 2 2 3 4
x a n 4 4 1 5 termos
4 x .a 4 x .a 4 x .a 4 x .a 4 x .a
4 14 0 4 2 4 3
1x 1. x a 4. x a 6. x a 4. a 
0 1 1 1 2 1 3 1
x a 1x 4x a 6x a 4xa 1a
 
    
     
    
  
    
   
     
 
2
2
4 4 3 2 2 1 3 4
 ou
1 4 3 6 2 4
x a 1x x a 4. x a x a a
1 2 3 4
 
     
 
 
 
4 4 3 2 2 3 4x a x 4x a 6x a 4xa a     
 
 
 
Podemos determinar os coeficientes do desenvolvimento do binômio de Newton 
pelos elementos do triângulo de Pascal
3
 , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
 Blaise Pascal, matemático francês: 1623-1662 
1 4 6 4 1
 1 
1
 1 
4
 1 6
 1 
4
 1 
 
38 
 
Exemplos: 
 
n = 5 → n + 1 = 5 +1 = 6 termos: 
1º) 
 
2º) 
 
 sinais alternados 
 
7. Produto de Stevin4 
 
( x + a ) . ( x + b ) = x
2 
+ ( a+b ) . x + ab 
 
8. Produto de binômio por trinômio 
 
(a + b).( a
2
 – ab + b
2
 ) = a
 3
 + b
3
 
 
(a - b).( a
2
+ ab + b
2
 ) = a 
3 
– b
3
 
Exercícios Resolvidos 
 
1. R Desenvolva e simplifique os seguintes binômios. 
 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4
 Simon Stevin 1540-1620, matemático flamengo[França e Bélgica] 
 
5 5 4 3 2 2 3 4 5x a 1x 5x a 10x a 10x a 5xa 1a      
 
5 5 4 3 2 2 3 4 5
+x a x 5x a 10x a 10x a 5xa a      
 
   
2
R 2 2
3 2
 3 2 3 2 2 
 3 2 6 2 5 2 6

  
    

   
   
R 2 2
6 2 6 2
 6 2 
6 2 4
 
 
 

 
39 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
Regra prática: 
1º) pelo desenvolvimento do binômio de Newton 
 
n
n n p p
p 0
n
x a x a
p


 
   
 

 
2º) coeficientes: pela relação de Fermat 
n nn p
 . coeficiente do termo seguinte,
p p 1p 1
   
    
    
 
5R
0 1 2
5 4 3
3 4 5
2
5 4 3 2
1
 x n 5 n 1 5 1 6 termos
2
1 5 0 1 5 1 1
 1x 1. x . 5. x +
2 0 1 2 1 1 2
5 2 1 5 3 1 5 4 1
 10. x 10. x 5.
2 1 2 3 1 2 4 1 2
1 1 1
 1x 5. x 10. x 10. x 
2 4 8
 
        
 
      
       
      
       
        
       
    

1 1
 5. x 1
16 32

 
 
 
2.R Efetue 
a) 
 
   
3
2 3R
3 2
3 2 3
2 3 3
1
2x 
2x
1 1 1
 2x 3. 2x . 3.2x 
2x 2x 2x
1 1 1 3 1
 8x 3.4x . 3.2x. 8x 6x 
2x 4x 8x 2x 8x
 
 
 
   
      
   
       

5
1
x 
2
 
 
 
1 2
x x 
2 3
   
    
   
 
40 
 
     
R
2
2 2
2
 De acordo com o produto de Stevin,
 x a x b x a b x ab, temos
1 2 1 2 3 4 1
x x . x x 
2 3 2 3 6 3
7 1
 x x 
6 3
     
   
         
   
  

 
 
b) 
 
 
   
R
2 2 3 3
3
3 3
 De acordo com a diferença de cubos,
 a b a ab b a b , temos
1 1
a a 
5 125
    
 
   
 

 
 
c) 
 
   
 
R
2 2 3 3
3
33
 De acordo com a soma de cubos,
 a b a ab b a b , temos
a 1 a 1
    
  

 
 
Exercícios Propostos 
 
1.P Desenvolva e simplifique os seguintes binômios. 
a) 
 
Resposta: 12 2 35
 
b) 
 
Resposta: 11 
 
 
2
7 5
   2 3 1 2 3 1 
21 1 1a a a 
5 5 25
   
     
   
   3 23 3a 1 a a 1  
 
41 
 
c) 
 
6 5 4 3 2Resposta: 64x 192x 240x 160x 60x 12x 1     
 
 
 
2. P Efetuar 
a) 
 
 
2 1 1Resposta: a a 
30 10
 
 
 
b) 
 
 
38a
Resposta: 8
27

 
 
c) 
 
3Resposta: a 125 
 
 
 
 
6
2x 1
 
1
a 0,3 a 
3
 
  
 
24a 2 2 2a
 a 2 2
9 3 3
   
         
   2a 5 a 5a 5  
 
42 
 
16. Fatoração 
 
1. Fator em evidência 
a x + a y = a ( x+ y ) onde a é fator em evidência. 
 
2. Fatoração por agrupamento 
a x + a y + b x + b y = a ( x+y ) + b ( x+y ) = ( x + y ) ( a + b ) 
 
3. Trinômio quadrado perfeito 
222 )(2 bababa  






0b 
0a 
 b , : 22 baaobs
 
 
4. Trinômio do 2 º grau 
a
b
xcbxax
onde
xxxxacbxax
2
0
)'')('(
2
2



 
Vamos deduzir esta fórmula: 
 
Seja a equação 
ax
2
 + bx + c = 0, em que o U = R e a, b, c  R, com a ≠0. 
 
1º) Multiplicamos ambos os membros por 4a e teremos: 
ax
2
 + bx + c = 0 × (4a) 
4a
2
x
2 
+ 4abx + 4ac = 0 
 
2º) Transpomos 4ac para 2º membro pela operação inversa: 
4a
2
x
2
 + 4abx = 0 – 4ac 
4a
2
x
2 
+ 4abx = – 4ac 
 
3º) Pela propriedade da igualdade, adicionamos b
2
 a ambos os membros teremos: 
4a
2
x
2
 + 4abx + b
2 
= b
2
 – 4ac 
 trinômio quadrado perfeito 
 
4º) Fatoramos o 1º membro e teremos: 
(2ax + b)
2
 = b
2
 – 4ac 
 
 
 
43 
 
5º) A expressão b
2
 – 4ac é chamada discriminante será representada pela letra grega ∆ 
(delta) ∆  D. 
∆ = b
2
 – 4ac 
 
6º) Pela operação inversa, teremos 
2ax b     
 
7º) 
 
ou 
2b b 4ac
x : fórmula resolutiva da equação completa do 2º grau
2a
  

. 
b
x ' 
b 2a
De x 
2a b
x" 
2a
  

  

  

 
esta fórmula é conhecida como Fórmula de Bháskara
5
 . 
 
Assim, temos: 
1. Se 0 x', x" R / x' x"
2. Se 0 x', x" R / x' x"
3. Se 0 x', x" R 
 existe 
Obs: 
 não existe
     
     
    
 
  
 





 



4a
Δ
;
2a
b-
V , 
a
c
 x'.x"P , "'
a
b
xxS
 
 
 
5. Expressões da forma 
 
 1n ,
ímparn 1,


Nnba
nba
nn
nn
 
 
 
 
5
Bháskara - matemático hindu (1114-1185) 
b
x 
2a
  

 
44 
 
 
2
R
2
4a c 40ac 100c
 fator comum em evidência fator comum divisor comum
 4c . a 10a 25
 
divisor trinômio quadrado perfeito
 
 
  
 
 
5.1) Diferença de dois quadrados 
))(( 
))((22
baba
bababa


 
 
5.2) Soma e diferença de dois cubos 
))((
))((
2233
2233
babababa
babababa


 
 
5.3) Outros casos: 
))((
))((
322344
322344
babbaababa
ou
babbaababa


 
 
 
))((
))((
43223455
43223455
babbabaababa
ou
babbabaababa


 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1. R Fatore as expressões seguintes: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 2 2 2
2 2
 a - 2ab b a - b
 a a b b
 
 
  
 
2
2a a
 2.a.5 10a 4c a 5
25 5
 
  
  
 
45 
 
 
4 2
2R
2 2
28y 4y
7y 7y
 4y 7y 1 
1 1
diferença de quadrados

 
   

 
 
b) 
 
 
   
   
2 2
2
2
2
a b a b a b
a a
b b
 4y 7y 1 7y 1
   


  
 
 
c) 
 
 
 
 
 
d) 
 
R
 aplicação da fatoração trinômio do 2º grau 
ax
2
 + bx + c = a (x – x
’
) (x – x
”
), onde x
’
 e x
”
 são raízes da equação ax
2
 + bx + c = 0 
 
   
   
2
R
2 2
3 1
x x 
2 2
 a x x ' x x" 
 1 x x ' x x"
3 1
x x 0 2x 3x 1 0
2 2
 
   
 
      
 
   
3 1 1
x ' 
3 9 8 3 1 4 2
x 
3 12 2 4
x" 1
4
1 1
 1 xx 1 x x 1
2 2

 
  
 

 
   
        
    
 
   
       
2
R
12a 3a 20ab 5b
 fatoração por agrupamento
 3a 4a 1 5b 4a 1
 4a 1 3a 5b 4a 1 3a 5b
  

    
     
2 3 1x x 
2 2
 
 
46 
 
225.R Consideremos a equação ax + bx + c = 0 e suponhamos 0, 
c c
verificar que o produto das raízes é igual a ou seja x'.x" = 
a a
 
 
   
R
22
2
b b
 x ' e x" , logo 
2a 2a
bb b
x ' . x" . 
2a 2a 4a
     
  
          
       
    
 2 22
2 2 2
b b 4acb 4ac c c
 x '.x " 
4a 4a 4a a a
 
     
 
27.R Verificar que ax
2
 + bx + c = a (x – x’) (x–x”) sabendo-se que 
b c
x' x" e x' . x" 
a a

  
 
  
      
        
R
2
2 2
2
 ax bx c 
b c
 a x x a x x ' x" x x ' . x" 
a a
 a x x'x x"x x 'x" a x x x ' x" x x ' 
 a x x ' x x" a x x ' x x"
   
 
        
 
        
     
 
 
29. R Fatore: 
a) 8a3 – 1 
     
       
R
2 2 3 3
3 3
3
3
2 2 2
 diferença de cubos: a b a ab b a b
8a 2a
 8a 1 
1 1
 2a 1 4a 2a 1 2a 1 4a 2a 1
     
 
   

       
 
b) 16x3 + 2 
 
   
R
3 3
2 2 2
 16x 2 2 8x 1 
 2 2x 1 4x 2x . 1 1 2 2x 1 4x 2x . 1 1
    
              
31. R Simplificar as seguintes expressões 
a) 
 
 
2
2
fatoração: diferença de quadrados e trinômio quadrado perfeito 4x 1
,
4x 4x 1

 
 
47 
 
  
 
 
 
 
R
2
2x 1 2x 1
 , divisor comum 2x 1 0
2x 1
2x 1 2x 1
 
2x 1 2x 1
 
   

 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
   R 2 2x 3y 3 x 2y 4x 6y 3x 6y x
 
6 6 6
     
  
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
   
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
2
R
2
2
2
11
22
2 2
1 1
ab ab aa 1
 : 
1 1 ab 1 1 ab
1 1 ab ab aa 1 ab b a
 : 
1 ab 1 ab
1 aba a b b a
 . 
1 ab 1 ab ab a
b a 11 aba b b 1 b
 . . 
1 ab 1 11 a 1 a
  
            
      
          
     
          

   
  
 b
 
 
d) 
 
 
 
3 3R
3
3
8x 2x A
 8x 1 
1 1 B
  
   
  
reduzir ao denominador comum mmc (3,2) 6 2x 3y x 2y
, 
3 2
 

2b a ab a
a : 1 , com ab -1
1 ab 1 ab
   
    
    
     
3
2
3 3 2 2
8x 1
, 
4x 2x 1
obs: diferença de cubos: A B A B A AB B

 
    
 
48 
 
          
 
  
 
 
2 2
2
2
2
2x 1 2x 2x . 1 1
 
4x 2x 1
2x 1 4x 2x 1
 2x 1
4x 2x 1
  
 
 
  
  
 
 
 
e) 
 
 
 
 
  
  
 
 
  
  
R y z y z y z y z x w x w x w
 : . 
x w x w x w x w y z y z y z
      
  
      
 
 
33. R Racionalize o denominador das seguintes frações: 
a) 
 
 
3 3 32 2 2R
3 3 3 31 1 2 3
4 4 5 4 5 4 5
 55 5 5 5

   
 
 
b) 
 
   
 
 
 
 
   
   
 
R
2 2
 fator racionalizante de 3 2 é 3 2
 3 23
3 2 3 2
3 3 2 3 3 2 3 3 2
 3 3 2
3 2 13 2
  
 

  
  
    

 
2 2
2 2
y z y z
 : 
x w x w
 
 
3 33 1 2
3
4
 fator racionalizante: 5 5
5
 
3
3 2
 
49 
 
   
   
   
2 2
Obs: Expressões do tipo a b e a b são chamadas 
expressões conjugadas e a b . a b 
a b a b, pelo produto notável 
 
  
  
 
 
       
 
   
x 4 x 3 x 2 1 x 4 x 3 x 2 1
= 
x 2 1 x 3
 x 4 x 2 1
       

  
   
 
 
   
   
2 2
2
Obs: 
1º) a b a b a b
2º ) ax bx c a x x ' x x"
   
    
 
 
c) 
 
 
 
 
 
   
   
   
 
   
 
   
2
R
22
2 xx 16 .
 
2 x . 2 x
x 4 x 4 2 x x 4 x 4 2 x
 
4 x2 x
x 4 4 x 2 x
 x 4 2 x
4 x

 
 
     
 

   
    

 
 
  
 
 
 
   
   
2
2R
2
2 2
x 7x 12
c)
x 2 1
b b 4ac
 x 7x 12 0 x 
2a
x ' 47 49 48 7 1 7 1
x 
x" 32 2 2
x 2 1 x 4 x 3 x 2 1x 4 x 3 .
 
x 2 1 . x 2 1 x 2 1
 
 
  
     
   
   

      
  
     
2x 16
2 x


 
50 
 
35. R Racionalize o numerador das seguintes frações 
 
a) 
 
  
 
2R
2 2
2
x 3x 4 x
 
2
x 3x 4 x x 3x 4 x
 
2. x 3x 4 x
  
 
     

  
 
   
     
2
22
2 2
2 2 2
x 3x 4 x x 3x 4 x 3x+4
 
2. x 3x 4 x 2. x 3x 4 x 2. x 3x 4 x
     
  
        
 
 
b) 
 
      
      
   
  
 
  
2 2
3 3 3 3 3 3
R
2 2
3 3 3 3
3 3
3 3
3 2 3 3
3 2 3 33 2 3 3
x 2 x x. 2 2
 
x 2 x x. 2 2
x 2
 
x 2 x 2x 4
x 2 1
 
x 2x 4x 2 x 2x 4
  
 
  


  

 
   
 
37. R Simplifique as seguintes expressões: 
a) 
 
2x 3x 4 x
2
  
     
3 3
2 2 3 3
x 2
x 2
Obs: a b a ab b a b


    
2 3 2 3
 
1 5 1 5
 

 
 
51 
 
 
     
  
   
R
22
1 5 2 3 1 5 2 3
 
1 5 1 5
2 3 2 5 5.3 2 3 2 5 5.3
 
1 5
    
 
 
      


 
   2 2 15 2 154 2 15
 
1 5 4 2
  
  
  
 
b) 
 
 
5 2
R
4 2 2
10 2
2 2
1 1
 a a a
4 2
1
 a , Obs: 18, P3 x x
2
   
       
   
   
 
 
Exercícios Propostos 
 
1. P Verificar que a soma das raízes da equação ax
2 
+ bx + c = 0, ∆ ≥ 0 é 
b b
igual ou seja x' x" 
a a
 
 
 
 
2. P Fatore as expressões seguintes: 
a) 
 
   2 2 2Resposta: 6d 2b 1 2b - 1 
b) 
 
 
23Resposta: 7x x 3y
 
c) 
   2Resposta: x 5a 1 2b 
 
d) 
4 2 224b d 6d
5 4 3 27x 42x y 63x y 
2 2x 2bx 5a 10ab  
2 4 3 21 a b 5ab 25b
4
 
5
4 210
1
a a
4
 
   
 
 
52 
 
2
2 1Resposta: b ab 5
2
 
 
  
 
3. P Fatore 
a) 
25a 2 25a 5a 4
Resposta: 
8 3 64 12 9
  
    
    
b) a3 – b6 
   2 2 4Resposta: a b a ab b  
 
 
 
c) a4 – 125ac3 
   2 2Resposta: a a 5c a 5ac 25c  
 
 
4. P Simplificar as seguintes expressões: 
a) 
 
 
x 1
Resposta: 
x 1

 
 
 
 
b) 
 
 
 
1
Resposta: 
5 a 1
 
 
c) 
 
 
1
Resposta: 
x 1 
3125 8a 
512 27

2
2
x 2x 1
x 1
 

 
 
 2
22
20 a 2a 14 a 1
 : 
a 1a 2a 1
 
 
2
2
x 4x 1 x 2
 
x 1 x 1
   

 
 
53 
 
d) 
 
 
2Resposta: 9a 3a 1  
 
5. P Racionalize o denominador das seguintes frações: 
a) 
 
 
Resposta: 2 3
 
b) 
 
ab
Resposta: 
b 
 
c) 
 
34Resposta: 8m
 
 
 
d) 
 
 
Resposta: 2 + 3 
 
6. P Racionalize o numerador das seguintes frações: 
a) 
 
327a 1
 
3a 1


6
3
a
ab
4
2m
2m
3 1
3 1


x 3
, x 3
x 3



 
54 
 
1
Resposta: 
x 3 
 
b) 
 
  
1
Resposta: 
x 4 x 2 1  
 
c) 
 
  
1
Resposta: 
x 4 2 x

 
 
 
7. P Simplifique as seguintes expressões: 
a) 
 
 
2 2Resposta: x ax a 
 
 
 
b) 
 
 
2x x 1
Resposta: 
 x 3
 

 
Exercício de revisão 
41. P Simplificar as seguintes expressões fracionárias, supondo denominador não nulo 
41.1 
2
x 2 1
, x 3, x 4
x 7x 12
 
 
 
2
2 x
, x 4
x 16

 

3 3x a
x a


3
2
x 1
x 4x 3

 
 
55 
 
2x 25
x 5

 
Resposta: x 5
 
 
41.2 
2
3
2x 3x 2
x 8
 
 
2
2x + 1
Resposta: 
x 2x 4 
 
 
 
 
41.3 
2
2
x 7x 6
x 1
 
 
x 6
Resposta: 
x 1

 
 
41.4 
2
2
x 3x 10
x 4
 
 
x 5
Resposta: 
x 2

 
 
 
56 
 
41.5 
4
3 2
x 10x 4
x2x
 
 
3 2
2
x 2x 4x 2
Resposta: 
x
  
 
 
 
41.6 
2
2
x 1
x x 2

  
x 1
Resposta: 
x 2

 
 
41.7 
2
3x 6
x 3x 2

  
3
Resposta: 
x 1 
 
41.8 
2
2
x 2x 8
x x 6
 
  
x 4
Resposta: 
x 3

 
 
 
57 
 
41.9 
3 3
2 2
x a
x a

 
2 2x ax a
Resposta: 
x a
 
 
 
41.10 
4 3
2
x 3x x 3
x 4x 3
  
  
2Resposta: x x 1 
 
 
 
 
58 
 
17. Intervalos 
b a , R b a,  
1. Intervalo Fechado 
[ a ; b] = {x  R | a  x  b} 
2. Intervalo Aberto 
] a ; b [ = ( a ; b ) = { x  R | a < x < b} 
3. Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita 
[a ; b [ = [ a ; b) = { x  R | a  x  b} 
4. Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita 
] a ; b] = ( a; b ] = { x  R | a < x  b } 
5. Intervalos infinitos 
5.1 [ a ;  [ = [ a ; ) = { x  R | x  a } 
5.2 ] a ;  [ = ( a ; ) = { x  R | x > a } 
 
59 
 
5.3 ] -  ; a ] = ( -  ; a ] = { x  R | x  a 
}
 
5.4 ] -  ; a [ = ( -  ; a ) = { x  R | x < a } 
 
 
18. Módulo de um número real 
 
Definição: Dado um número real x, 
 






0 xse x,-
0 xse x,
 x 
Propriedades:  x, y  R, temos 
P1. | x |  0 ; | x |  x 
P2. | x | 
2
 = x
 2 
P3. 
2x = | x | 
P4. | -x | = | x | 
P5. | x | = | y |  ( x = y  x = -y ) 
P6. | x | = a  ( x = a  x = -a ), 
 (a > 0 ) 
P7. | x | < a  -a < x < a , ( a > 0 ) 
 
P8. | x | > a  ( x < -a  x > a ), 
 ( a > 0 ) 
P9. | x . y | = | x | . | y | 
P10. 
) 0 (y 
||
||

y
x
y
x
 
P11. | x + y |  | x | + | y | 
 
19. Propriedades da relação de igualdade 
a, b, c  R 
1. Reflexiva 
a = a ;  a 
2. Simétrica 
a = b  b = a  a ,  b 
3. Transitiva 
cb,a, 





ca
cb
ba
 
 
60 
 
 B 
CAPÍTULO 2 
Operações com conjuntos 
1. Reunião (ou união) de conjuntos 
 
C = A  B = { x / x  A  x  B} 
Lê-se: “A união B” ;  =ou 
Em diagrama ( de Euler – Venn) 
 
 
 
2. Intersecção de conjuntos 
 
e , " Bointersecçã A" se- Lê 
 B}x A x |{xB A C


 
 
 
61 
 
 
 
3. Diferença de conjuntos 
 
" Bmenos A " se- Lê 
} Bx A x |x { B- A C 
 
 
4. Complementar de B em A 
 
A"a relação em Bdear complement" se-lê 
C A B BA BA
 
Em diagrama: 
 
AUCA' universo conjunto U Obs Au :. 
 
 
62 
 
CAPÍTULO 3 
Relações e Funções 
 
Par ordenado – conceito primitivo 
( x, y ) = ( a, b )  ( x = a ^ y = b) 
 
Produto Cartesiano 
Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos o produto entre eles como 
sendo o conjunto A  B = { ( x, y ) | x  A e y  B }. Este conjunto é chamado de 
produto cartesiano de A por B. 
 => lê –se “ A cartesiano B” ou “ produto cartesiano de A por B”. 
 
Observação: O número de elementos de A  B é igual ao produto do número de 
elementos de cada conjunto, ou seja, n ( A  B ) = n(A) . n(B). 
 
Relação Binária 
 
Dizemos que R é uma relação binária de A em B se, e somente se, R é um 
subconjunto de A  B, ou seja, R  A  B. 
A = conjunto de partida da relação R 
B = conjunto de chegada ou contradomínio da relação R. 
( x, y )  R <=> x R y . 
DR = Domínio de R, x  DR <=>  y  A | ( x, y )  R. 
ImR = Imagem de R, y  ImR <=>  x, x  A | ( x, y )  R. 
Obs. DR  A e Im  B 
 
Relação Inversa : R
-1
 
 Se R é um subconjunto de A  B , então R
-1 
 é um subconjunto de B  A, ou 
ainda, R: A  B , R
-1
 = { ( y, x )  B  A | ( x, y )  R } 
 
 ( y, x)  R
-1
 <=> ( x, y )  R 
Função 
 
Dizemos que uma relação de A em B é chamada de função ou aplicação quando, 
associa a todo elemento de A, um único elemento em B. 
Resumindo, 
( f é aplicação ou função de A em B )<=>{ x  A,  y  B |( x, y )  f} 
f = { ( x, y ) | x  A , y  B ^ y = f(x) } 
 
 
63 
 
Notações 
1) f , g , h 
2) f : A  B ou A 
f
 B 
 x  f (x) x  f (x) 
3) y = f (x) 
Em diagrama: 
Tipos de funções 
 
(f é sobrejetora)  (conjunto imagem = contradomínio) 
(f é injetora)  ((x1  x2, x1, x2  D)  f(x1)  f(x2)) 
(f é bijetora)  (f é sobrejetora e injetora) 
 
1. Função Constante 
Definição : f : R  R 
 x  y = c ( c = constante) 
 
D = R ; CD = R ; Im = { c } 
 
 
64 
 
2. Função Afim (ou função polinomial do 1
o
 Grau) 
Definição f : R  R 
 x  y = f(x) = ax + b, (a, b  R ^ a  0) 
a = tg  = coeficiente angular = ou declive da reta 
b = coeficiente linear ( cond. x = 0) 
x0 = 
a
b
 

 = zero ou raiz da função ( condição y = 0) 
 
 
Casos Particulares: 
 
2.1 Função Linear 
 
Definição 
 f : R  R 
x  y = ax , a  0 
Im = R 
 obs.: P(0,0)  r 
 
65 
 
 
2.2 Função identidade 
 
Definição 
 f : R  R 
 x  y = x 
 Im = R 
 
 
 
 
Obs.: (r) contém as bissetrizes do 1 
o
 e 3 
o
 quadrantes. 
 
3. Função Quadrática ou função do 2
o
grau 
 
Definição f : R  R 
 x  y = f(x) = ax2 + bx + c 
  a, b, c  R ^ a  0 
Gráfico : parábola 
zeros ou raízes 
y = 0  a x
2
 + bx + c = 0 (equação do 2 
o
 grau) 
a
ac
x
2
4b b -
 
2 
 ac 4 b 2  (discriminante) 
a
b
x
2
'

 
a
b
x
2
''

 
 > 0   x’, x” R | x’  x” 
 = 0   x’, x” R | x’ = x” 
 < 0   x’, x” R vértice v = (xv, yv) = 
aa
b
4
,
2

 
 
66 
 
 
Imagem 
a > 0  Im = { y  R | y  
a4

 } 
 
a < 0  Im = { y  R | y  
a4

 } 
 
Exemplo: 
 Observando a figura ao lado, qual o perímetro do retângulo de área máxima 
inscrito no triângulo isósceles de base 4 cm e altura 6 cm. 
Resolução 
Área máxima  V (Xv, Yv) 
y = área do retângulo 
y = base × altura 
 ↓ ↓ 
y = (4 – 2x) . z 1 
 
 
 
 
 
67 
 
Cálculo de z 
∆ AHC ~ ∆ ∆DEC 2 , substituir 2 em 1 
temos 
y = (4 – 2x) . 3x = 12 x – 6x² 
y = – 6x² + 12x → função quadrática MÁX 
V(Xv, Yv) → ponto de máximo, pois a = – 6 < 0 → 
b 12
Xv Xv 1 z 3.1 3
2a 2( 6)
 
      
 
 
 
 3 3 → perímetro = 2 × (2 + 3) = 10 cm 
 2 2 → área máxima = 2 × 3 = 6cm² 
 ↑ 
base (4 2x) 4 2.1 2, altura z 3x z 3.1 3          
 
 
 
4. Função Modular 
 
 
Definição f : R  R 






0x se ,
0 x se ,
||)(
x
x
xxf
 
 
5. Função Exponencial 
 
Definição f : R  R 
 x  y = f (x) = ax , a > 0 e a  1 
1 
o
 caso : a > 1  f (x) = a 
x 
é crescente 
6 2 6x
 z 3x
z x 2
    
 
68 
 
 
 Exemplo: y = 2 
x
 
 
 
 
2 
o
 caso : 0 < a < 1  f (x) = a 
x 
é decrescente 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.1 Equação Exponencial 
 
 
a 
f(x)
 = a
 g(x) 
 f(x) = g(x) 
 
5.2 Inequação Exponencial 
 
1 
o
 caso: a > 1 
a 
f(x)
 < a
 g(x) 
 f(x) < g(x) 
 
2 
o
 caso: 0 < a < 1 
a 
f(x)
 < a
 g(x) 
 f(x) > g(x) 
x 2
x 
-3 1/8 
-2 1/4 
-1 1/2 
0 1 
1 2 
2 4 
3 8 
x (1/2)
x 
-3 8 
-2 4 
-1 2 
0 1 
1 1/2 
2 1/4 
3 1/8 
 
69 
 
 
 
6. Logaritmo 
 
Definição 
1 a 0 , b a log c  cba 
 
 Notação : c = logaritmo 
 a = base 
 b = logaritmando( ou antilogaritmo) 
 
 
Consequências da definição : 
Para 0 < a  1, b > 0 , c > 0 e   R , temos : 
1) cbcb aa  loglog 
2) 01log a 
3) 1log aa 
4) ba
ba 
log
 
 
Propriedades dos Logaritmos 
 
P1. Logaritmo do produto ( 0 < a  1 e b1, b2, ..., bn > 0 ) 
naaaana bbbbbbbb log...logloglog).......(log 321321  
 
P2. Logaritmo do quociente 
0) c b, e 1, a(0 logloglog 





cb
c
b
aaa 
 
 
P3. Logaritmo da potência 
R) e 0 b 1, a(0 log.log   bb aa 
 
P4. Logaritmo da raiz 
N*) n e 0 b 1, a (0 
log
log 
n
b
b ana 
 
 
70 
 
 
Cologaritmo: Definição 
b
bbb aaa
1
logcolog logcolog a  
Antilogaritmo: Definição cbcb aa antilog log  
Mudança de base: 
 
b
c
b
a
b
b
a
c
c
a
log
1
log 
 
log
log
log
ca
iaconsequênc
 

 
 
1 e 1 , R ,, *   cacba 
7. Função Logarítmica 
 
Definição:
 1 a 0 R,a ,log yx 
R R:
a
*


x
f

 
1 
o
 caso : a > 1  f é crescente 
ex. xy 2log 
 
2 
o
 caso : 0 < a < 1  f é decrescente 
ex. xy
2
1log
 
 
71 
 
7.1 Equações Logarítmicas 
 
1 
o 
tipo : Se 0 < a  1, então 
0)()()(log)(log  xgxfxgxf aa 
Exemplo: 
Resolver a equação 7log)53(log 22 x . 
Resolução: 
{4}S 4)0(7537log)53(log 22  xxx 
 
2 
o
 tipo : Se 0 < a  1 e R , então 
0)(0: 
 )()(log


xfaObs
axfxfa


 
Exemplo: 
Resolver a equação 4)13(log2 x 
Resolução: 
{5}S 5x 213x 4)13(log 42 x 
 
3 
o
 tipo : Incógnita auxiliar : 
São as equações que resolvemos fazendo inicialmente uma mudança de incógnita. 
 
Exemplo: 
 Resolver a equação 2loglog 2
2
2  xx 
 
Resolução: 
2
1
21log 
2 "y
-1 y'
 02log
1
2
2
2







xx
yyyx
 
 
 
} 4 ;
2
1
 {S 0, x..
422log 22


ec
xx
 
 
72 
 
7.2. Inequações Logarítmicas 
 
1º tipo Se a > 1, então conserva-se 
 
 
0)()()(log)(log  xgxfxgxf aa 
 
 
 Se 0 < a < 1, então inverte-se 
 
 
)()(0)(log)(log xgxfxgxf aa  
 
 
Exemplos: 
1º ) 








2
7
;
2
1
2
7
2
1
6)12(06log)12(log
12
22 Sxxx
a
 
 
2
º
 ) 
  5;40;1
)(54
)(04
5405log)4(log
2
2
2
3
1
2
3
1
1
3
1





S
llxx
lxx
xxxx
a
 
 
 
 
2º tipo 
k
aaa
k
aaa
axfkxf
axfkxf
log)(log)(log
log)(log)(log


 
k=constante  R 
 
 
 
 
 
73 
 
de 1º e 2º tipos, temos 
 



















10 ,)(
1 ,)(0
)(log
1a0 ,)(0
1 ,)(
)(log
aseaxf
aseaxf
kxf
seaxf
aseaxf
kxf
k
k
a
k
k
a
 
 
Exemplos 
2
3
1
2 2
1
2
2 7
log (3 2) 2 0 3 2 3 ;
3 3
1 1 3
log (2 3 ) 1 0 2 3 ;0 ;2
2 2 2
x x S
x x x x S

 
         
 
     
             
     
 
7.3 Logaritmos Decimais 
 
   11010 loglog
axxy 
m= mantissa ( parte decimal ou parte não inteira) 
c= característica (parte inteira) 
 
 
 
Regras da Característica: 
 
Regra I (x>1) 
A característica do logaritmo decimal de um número x > 1 é igual ao número de 
algarismos de sua parte inteira menos 1. 
 
10 
,log


meconde
mcx

 
74 
 
Exemplos: 
 
31alg41991log
11alg276,35log
01alg15,2log



c
c
c
 
 
 
Regra II ( 0 < x < 1 ) 
A característica do logaritmo decimal de um número 0 <x<1 é o oposto da 
quantidade de zeros que precedem o primeiro algarismo significativo. 
 
Exemplos: 
 
)4(400021,0log
)2(207000,0log
)1(12,0log
zerosc
zerosc
zeroc



 
 
75 
 
 
 
CAPÍTULO 4 
Trigonometria 
1. Noções Fundamentais de Trigonometria no Triângulo Retângulo 
( do grego, trigonos : triângulo ; metrein : medir ) 
 
1
o
) Â = 90
º
 
2
o
) 
90 ( ângulos complementares) 
3
o
) b, c, catetos ; a = hipotenusa 
4
o
) a 
2
 = b 
2 
 + c 
2
 (Teorema de Pitágoras --- 540 a. C.) 
 
 cos
a
b
sen
 
 cos sen
a
c

 
 cotg tg 
c
b
 
 
)90cos(   sen 
 
)90( cos   sen )90(gcot tg  

 
 
1cos22  sen 
 
 
76 
 



cos
sen
 tg 
 


sen
cos
 cotg  
 
 
 
 
Valores Notáveis 
 
Razão ângulo 30 
o 
45 
o 
60 
o 
90 
o 
sen 
2
1
 
2
2
 
2
3
 1
 
cos 
2
3
 
2
2
 
2
1
 0
 
tg 
3
3
 1 3 ---
 
cotg 3 1 
3
3
 0
 
2. Arcos e Ângulos 
Arco : B A

  ângulo central AÔB 
 
Medida de Arco B A

 
 
u
AB
B A

 (medida de arco AB) = 
 
 
comprimento do arco AB
comprimento do arco unitário (u)
 
77 
 
 
Unidades 
Grau (símbolo: º)  u = 
360
1
 C, C = comp. da circunferência 
 
Radiano (símbolo: rad ou rd)  u = r, r = raio da circunferência 
 
 
 
Conversão da Unidades 
90
º
 –––––––– rd
2

 
180
º
 –––––––––  rd 
 
270
º
 ––––––––––––
2
3
 rd 
 
360
º
 –––––––––– 2  rd 
 
Ângulo 
 Dadas duas semi-retas distintas a e b de mesma origem 0 e não opostas, chama-
se ângulo ab ou a0b à reunião de a e b, isto é aUb. Indicamos a^b ou aÔb. 
 
 
78 
 
Ângulo Central 
 
Um ângulo aÔb é denominado central, se o vértice 0 coincide com o centro da 
circunferência. Indicamos AÔB. 
Def: m(A^B ) = m (AÔB) 
Comprimento de um arco (l) 
 rl
r
l
rdrd .  (  em rd ) 
  
 rlrd .
180180 


 
  (  em graus ) 
 
 
79 
 
3. Funções Trigonométricas 
 
Definições 
 
y = sen x = OM1 
y = cos x = OM2 
y = tg x = 
x
x
cos
sen
 = AT 
y = cotg x = 
x
x
sen
cos
 = BC 
y = sec x = 
xcos
1
 = OS 
y = cossec x = 
xsen
1
 = OD 
 
80 
 
4. Redução ao Primeiro Quadrante 
 
 
sen (  - x ) = + sen x 
cos (  - x ) = - cos x 
tg (  - x ) = - tg x 
cotg( - x ) = - cotg x 
 sec (  - x ) = - sec x 
cossec (  - x ) = + cossec x 
Ex. cos 150
º
 = - cos 30
º
 = - 
2
3
 
 (180
º
 -150
º 
) 
 
81 
 
 
sen (  + x ) = - sen x 
cos (  + x ) = - cos x 
tg (  + x ) = + tg x 
cotg (  + x ) = + cotg x 
sec (  + x ) = - sec x 
cossec (  + x ) = - cossec x 
Ex. tg 210
º
 = + tg 30
º
 = 
3
3
 
 
82 
 
sen ( 2  - x ) = sen (-x) = -sen x 
cos ( 2  - x ) = cos (-x) = + cos x 
tg ( 2  - x ) = tg (-x ) = - tg x 
cotg ( 2  - x ) = cotg (-x ) = - cotg x 
sec ( 2  - x ) = sec (-x) = + sec x 
cossec ( 2  - x ) = cossec (-x) = - cossec x 
 
Ex. sec 300
º
 = + sec 60
º
 = 60cos
1
 = 2 
5. Redução ao 1
º
 octante ( 1
º
 oitante ) 
Ângulos Complementares 



cos)90sen(
cossen
9090





 o

 
Ex. 
 30cos60sen30  
  
 1
º
 octante 
 
sen )
2
( x

 = cos x 
 cos )
2
( x

 = sen x 
 tg )
2
( x

 = cotg x 
 cotg )
2
( x

 = tg x 
 sec )
2
( x

 = cossec x 
 cossec )
2
( x

 = sec x 
Ex. cossec 60
º
 = sec 30
º
 = 
30cos
1
 = 
2
3
1
 = 
3
2
 = 
3
32
 
 90
º
 - 60
º
 
 
83 
 
6. Relações Fundamentais da Trigonometria 
1. 1cossen
22  xx
 
Rx 
 
2. x
x
tgx
cos
sen

 


kxRx