Séries de Fourier - Aplicada em Circuitos RC

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Séries	de	Fourier	
Aplicada	em	circuitos	RC	
Física	Experimental	III		
2018	
Baron Jean Baptiste Joseph Fourier 
 (1768-1830) 
•  O	matemá@co	e	Asico	Fourier	esteve	profundamente	envolvido		
					na	polí@ca	da	França	na	época	da	Revolução	Francesa	e	sua		
				carreira	e	contribuições	cienHficas		estão	ligadas	a	esse	contexto.		
•  Ele	nasceu	de	uma	família	pobre	e	foi	ao	longo	de	sua	vida		
					professor	(inclusive	da	Ecole	Politecnique),	prisioneiro	polí@co,	
governador	do	Egito	na	época	da	invasão	desse	país	por	Napoleão,	
governador	da	região	de	Isère	e	Rhône;	amigo	pessoal	de	Napoleão		e	
secretário	da	Académie	des	Sciences.		
•  Seu	trabalho	mais	importante,	The	Analy@c	Theory	of	Heat,																						
(Théorie	analy-que	de	la	chaleur).	Nesse	trabalho	ele	introduziu	uma	
maneira	simples	de	resolver	a	equação	da	propagação	do	calor	em	uma	
placa	metálica	descrevendo	uma	função	arbitrária,	conHnua	em	uma	
série	de	funções	trigonométricas	simples.	
•  Esse	trabalho	mudou	para	sempre	a	maneira	dos	cien@stas	pensarem	as	
funções	matemá@cas		e	descreveu	corretamente	as	equações	que	
governam	a	transferência	de	calor	nos	sólidos.			
•  Ele	recebeu	2	Htulos	honoríficos:	cavaleiro	na	Légion	d'Honneur	de	
Napoleão,	in	1804,	e	barão	quando	publicou	a	obra	Déscrip@on	de	
l`Egypte,	em	1809.	
•  É	a	maneira	de	representar	uma	função	periódica	como	uma	
soma	de	funções	simples	senoidais.	Assim,	funções	
trigonométricas	podem	ser	combinadas	de	tal	forma	a	
representar	qualquer	função	matemá@ca	periódica:	
•  Lembra-se	que	é	possível	escrever:	
 
Séries de Fourier 
 
Essa	série	é	
chamada	de	série	
de	Fourier	em	
homenagem	ao	
cien2sta	que	
descobriu	essa	
propriedade	
f (x) = A0
2
+ An sin
2πnx
T
+φn
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
n=1
N
∑
sin 2πnx
T
+φn
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟= sin φn( )cos
2πnx
T
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟+ cos φn( )sin
2πnx
T
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
sin 2πnx
T
+φn
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟= Re
1
j
e
j 2πnx
T
+φn
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
1
2 j
e
j 2πnx
T
+φn
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟−
1
2 j
e
− j 2πnx
T
+φn
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
N	inteiro	≥	1		
•  Assim	é	mais	conveniente	escrever		esse	formalismo	de	maneira	geral:	
	
	
	
•  As	funções	{sin(2πnx);cos(2πnx)},	assim	como	ej2πnx	representam	uma	base	
ortonormal,	consequentemente	as	constantes	an bn	podem	ser	ob@das	
como	(n>0):	
Séries de Fourier 
hkps://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series	
Use a fórmula de 
Euler e substituia na 
expressão anterior 
ejx=cosx + j sinx
€ 
an =
1
π
f (x)cos(nx)dx
−π
π
∫
€ 
bn =
1
π
f (x)sin(nx)dx
−π
π
∫
f (x) = A0
2
+ N An sin
2πnx
T
+φn
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
n=1
∑ =
= N An sin φn( )cos
2πnx
T
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟+ An cos φn( )sin
2πnx
T
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭n=1
∑
=
a0
2
+ N an cos
2πnx
T
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟+ bn sin
2πnx
T
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭n=1
∑ = cn
n=−N
N
∑ e
j2πnx
T
Cn =
def
j
 An
2 j
eiφn = 1
2
an − jbn( )
 1
2
A0 =
1
2
a0
cn
*
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
for n > 0
for n = 0
for n < 0
 
Séries de Fourier: aplicação 
 
Vamos	ver	na	prá@ca	como	isso	funciona:	uma	onda	quadrada	pode	ser		
representada	pela	seguinte	série	de	Fourier	(calcule	por	si	mesmo!):	
( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +ω
π
+ω
π
+ω
π
= .....5
5
43
3
44
0 tsentsentsenVtV
 ‘Quadripolos’ (elemento de um filtro) 
“quadripolo”,	elemento	(“porta”)	com	duas	entradas	e	duas	
saídas	que	modifica	um	sinal	elétrico:	
O	sinal	de	entrada	pode	ser	
representado	por	uma	série	de	
ondas	senoidais	de	freq	múl-plas	
da	freq	fundamental	
Cada	uma	delas	é	
modificada	pelo	
circuito:	
E	a	somatória	de	
todas	elas	é	o	
sinal	de	saída	
 
quadripolo RC + onda quadrada 
 
O que acontece com uma onda quadrada em um quadripolo RC? 
Termos	da	série	de	
Fourier	que	representa	
uma	onda	quadrada	
A	ação	do	circuito	
sobre	cada	uma	delas:	
O	resultado	
+	
+	
Como encontrar a série de Fourier para um 
sinal: 
•  A		análise	de	
Fourier	permite	
obter	a		
transformada	de	
Fourier	
–  Que	pode	ser	
representada	através	de	
um	gráfico	cujo	eixo-X	
representa	a	freqüência	
da	componente	de	
Fourier	e	o	eixo-Y 
mostra	a	amplitude	de	
cada	componente	
f (Hz) 
Amp (V) 
Existem	métodos	numéricos	
para	a	obtenção	da	série	de	
Fourier:	Fast	Fourier	Transform	
(FFT)	
Onda	
senoidal	
Onda	
triangular	
Onda	
Dente	de	serra	
Pulsos	regulares	
(onda	quadrada	assimétrica)	
As	vantagens	
•  Podemos	ver	claramente	a	contribuição	de	
cada	harmônica	para	o	sinal	final:	fica	fácil	
projetar	o	circuito	que	se	quer.	
•  Abre	incríveis	possibilidades	para	o	
tratamento	de	sinais	e	imagens!!	
•  Existem	métodos	numéricos	para	a	obtenção	
da	série	de	Fourier:	Fast	Fourier	Transform	
(FFT)	
 
Série de Fourier para uma onda 
quadrada 
 
EXEMPLO:	ONDA	QUADRADA	
 
Vamos calcular um caso específico: 
FILTRO RC, freq. corte: fC ~ 1.5 kHZ 
A	transição	nas	bordas	fica	um	pouco	“redonda”	
 
Aumentando a freqüência do sinal para 
500Hz 
FILTRO RC fC ~ 1.5 kHZ 
A	transição	nas	bordas	fica	bem	“redonda”	
Para 1500Hz: 
FILTRO RC fC ~ 1.5 kHZ 
Não	parece	mais	uma	onda	quadrada..	Estou	integrando	o	sinal	
	(lembra-se	da	aula	da	semana	retrasada...)				
 
para 5000Hz: 
 
FILTRO RC ` fC ~ 1.5 kHZ 
É	quase	um	triangulo..	Estou	integrando	o	sinal	
		(lembra-se	da	aula	da	semana	retrasada...)			
Para 30.000Hz: 
FILTRO RC fC ~ 1.5 kHZ 
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ....5
5
83
3
88
22 −+−= tsen
VtsenVtsenVtV PPP ω
π
ω
π
ω
π
O resultado: 
•  Nessa	série	de	imagens	o	que	vemos	é:	
– À	medida	que	aumentamos	a	freqüência,	o	
circuito	passou	de	uma	bom	filtro	passa-baixa	a	
um	bom	integrador.	
•  E	isso	foi	feito	com	um	programa	que:	
– decompõe	a	onda	quadrada	da	entrada	numa	
série	de	Fourier	
–  	aplica	a	cada	componente	da	onda	quadrada	o	
ganho	e	a	fase	
– soma	tudo	e	recompõe	a	onda	na	saída.