Cálculo Numérico Aula 7 - Sistemas Lineares

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Cálculo Numérico
Professor: Douglas Rafael Mendes Alves
E-mail: douglasalves@prof.fanese.edu.br
Aula 7: Sistemas Lineares
Sistemas Lineares
• Um problema de grande interesse prático que aparece, por exemplo, em cálculo
de estruturas e redes elétricas e solução de equações diferenciais, é o da
resolução numérica de um sistema linear Sn de n equações com n incógnitas:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
Sn = ..........................................
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn
n
ou Sn =  aijxj = bi , i = 1,2,...,n
j=1
Sistemas Lineares
• Sob a forma matricial Sn pode ser escrito como
Ax = b
• onde A é uma matriz quadrada de ordem n, b e x são matrizes n x 1, isto é, com n
linhas e uma coluna, aij é chamado coeficiente da incógnita xj e os bi são chamados
termos independentes, com i,j = 1,2,...,n. Tanto os coeficientes quanto os termos
independentes são, em geral, dados do problema. A matriz A é chamada matriz dos
coeficientes e a matriz:
a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
B = ........................... = [A : b]
an1 an2 . . . ann bn
• é chamada matriz aumentada ou matriz completa do sistema.
Sistemas Lineares
• Os números x1, x2, ..., xn constituem uma solução se para xi = xi, i = 1, 2, ..., n as
equações de Sn se transformam em igualdade numéricas. Com estes números,
pode-se formar a matriz coluna.
x1
x2
.
x = .
.
xn
◼ a qual é chamada matriz solução. Por definição
x = (x1 x2 ... xn)
T , onde x é o vetor solução gerada a partir da 
matriz x transposta.
Sistemas Lineares
• Um sistema linear pode ser classificado quanto ao número de soluções em
compatível, quando apresenta solução, e incompatível, caso contrário.
• Exemplo de sistemas compatíveis:
• Se bj = 0, i = 1, 2, ..., n, isto é se a matriz b = 0, o sistema é dito homogêneo. Todo sistema
homogêneo é compatível, pois admite sempre a solução xi = 0, i = 1, 2, ..., n, ou seja, a matriz
x = 0 é sempre solução. Esta solução é chamada de trivial.
4x1 + 3x2 = 0
x1 + 2x2 = 0 Solução: X1=0 ; X2=0
• Exemplo de sistemas incompatíveis:
x1 + x2 = 0
x1 + x2 = 1 Não há solução para este sistema.
Sistemas Lineares
• É incompatível. Geometricamente, pode-se interpretar o sistema do seguinte
modo: tomando coordenadas num plano, a equação x1 + x2 = 0 é a equação de uma
reta, o mesmo sucedendo para a equação x1 + x2 = 1:
x2
x1
x1 + x2 = 0
x1 + x2 = 1
(0,1)
(1,0)
Logo, a solução do 
sistema, que seria o 
ponto comum entre as 
retas, não existe, pois 
elas são paralelas.
Sistemas Lineares
• Os sistemas compatíveis podem ainda ser classificados em determinado, quando apresenta uma
única solução, e indeterminado, quando apresenta mais de uma solução.
• Exemplo:
• O sistema homogêneo é determinado
x1 + x2 = 8
S1 =
2x1 – x2 = 1 Solução: (X1=3/X2=5)
enquanto que o sistema abaixo é indeterminado
x1 + x2 = 8
S2 =
2x1 + 2x2 = 16 Solução: (X1=0/X2=8); (X1=1/X2=7); (X1=2/X2=6); (X1=3/X2=5); (X1=4/X2=4)
Sistemas Lineares
• Seja um sistema Sn:
Ax = b
onde a matriz A = (aij) é tal que aij = 0 se j < i; i, j = 1, 2, ..., n, ou seja, Um sistema deste tipo é chamado triangular superior
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 
a22x2 + ... + a2nxn = b2
............................................
annxn = bn
◼ Enquanto que se aij = 0 se j > i; i, j = 1, 2, ..., n tem-se um sistema triangular inferior:
a11x1 = b1 
a21x1 + a22x2 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
......................................................
an1x1 + an2x2 + an3x3 + ... + annxn = bn
Sistemas Lineares
• Exemplo:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = b1 
0 + a22x2 + a23x3 + a24x4 = b2
0 + 0 + a33x3 + a34x4 = b3
0 + 0 + 0 + a44x4 = b4
x4 =
b4
a44
; x3 =
b3 −a34x4
a33
; x2 =
b2 −a23x3−a24x4
a22
; x1 =
b1 −a12x2−a13x3−a14x4
a11
xn =
bn
ann
; xi =
bi −σj=i+1
n aijxj
aii
De forma geral:
Sistemas Lineares
• Exemplos.
3x1 + 4x2 - 5x3 + x4 = -10
x2 + x3 - 2x4 = -1
4x3 - 5x4 = 3 
2x4 = 2 
Substituição retroativas:
x4 = 2/2 → x4 = 1
4x3 – 5 . 1 = 3 → x3 = 2
x2 + 2 – 2 . 1 = - 1 → x2 = - 1
3x1 + 4(-1) - 5 . 2 + 1 = -10 → x1 = 1
A solução é x = [ 1 –1 2 1 ]T
O sistema é determinado.
Sistemas Lineares
• Exemplos.
3x1 + 4x2 - 5x3 + x4 = -10
x3 - 2x4 = 0
4x3 - 5x4 = 3 
2x4 = 2 
Substituição retroativas:
x4 = 2/2 → x4 = 1
4x3 – 5 . 1 = 3 → x3 = 2
0x2 + 2 – 2 . 1 = 0 → 0x2 = 0
Qualquer valor de x2 satisfaz a equação acima. Seja, então, x2 = 
3x1 + 4  - 5 . 2 + 1 = -10 → x1 = -( 1 + 4  )/3
A solução é x = [-( 1 + 4  )/3  2 1 ]T
O sistema é indeterminado.
Sistemas Lineares
• Exemplos.
3x1 + 4x2 - 5x3 + x4 = -10
x3 - 2x4 = -1
4x3 - 5x4 = 3 
2x4 = 2 
Substituição retroativas:
x4 = 2/2 → x4 = 1
4x3 – 5 . 1 = 3 → x3 = 2
0x2 + 2 – 2 . 1 = -1 → 0x2 = -1
Nenhum valor de x2 satisfaz a equação acima. O sistema é 
incompatível pois não admite solução.
Sistemas Lineares
• Exemplos.
x1 = 1
2x1 + 5x2 = 2
3x1 + 6x2 + 4x3 = 3
x1 = 1
x1 + x2 = -1
2x1 + x2 + 3x3 = 0 
x1 + x2 + x3 = -1
x1 - x2 + x3 - x4 + x5 = 3
x1 - 3x2 + x3 = 6
4x2 - x3 = 5
x3 = 4 
x1 - 2x2 + 5x3 + x4 = 4
3x3 + x4 = 3
x3 + x4 = 2 
x4 = 1 
x1 = 1
x1 + x2 = -1
x1 + x2 + x3 = 3
x1 + x2 + x3 +x4 = 3
x1 + x2 + x3 + x4 = 4
x2 + 3x3 + x4 = 3
x3 + x4 = 2 
x4 = 1