Sistemas de equações lineares

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SISTEMAS DE EQUAÇÕES 
LINEARES
CENTRO UNIVERSITÁRIO IESB
Engenharia e Ciência da Computação
Disciplina: ÁLGEBRA LINEAR
Professora Sofia Mitsuyo Taguchi da Cunha
sofia.cunha@iesb.br
mailto:sofia.cunha@iesb.br
O que é Equação Linear?
 É toda equação da forma:
𝒂𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝟑𝒙𝟑 + …+ 𝒂𝒏𝒙𝒏 = 𝒃,
onde 𝒙𝒊 são as variáveis,
𝒂𝒊 são os coeficientes das variáveis e
b é o termo independente.
Os valores numéricos ou algébricos que são calculados 
para 𝒙𝒊 são chamadas de raízes da equação linear.
O que é Sistemas de Equações Lineares?
 É um conjunto de equações lineares na forma:
 Se 𝒃𝒊 são nulos, o sistema é homogêneo;
 Caso contrário, o sistema é não homogêneo.
Tipos de Sistemas
em função das Características do Sistema:
Solução do Sistema (Raízes)
Denominação do 
Sistema de 
Equações Lineares
Estudo das Características
(nº de linhas não zeradas da matriz 
ampliada A ou da matriz dos 
coeficientes V)
1. Não admite solução Incompatível 𝐂𝐀 > 𝐂𝐕
2. Admite solução Compatível 𝐂𝐀 = 𝐂𝐕
• Compatível e 
determinado
𝐂𝐀 = 𝐂𝐕 = n,
onde n é nº de variáveis
• Compatível e 
indeterminado
𝐂𝐀 = 𝐂𝐕 = 𝑪 e C< 𝒏
Neste caso, g = n – C, onde g (grau
de liberdade do sistema) é nº de 
variáveis livres.
Estudo da Característica de um Sistema 
 Característica de um Sistema é o nº de linhas não zeradas da matriz
ampliada A (𝑪𝑨) , da matriz transformada B (𝑪𝑩 ), ou da matriz dos 
coeficientes V 𝑪𝑽 .
Por exemplo: Seja o sistema de 3 equações com 2 variáveis ቐ
𝟐𝐱𝟏 + 𝟒𝐱𝟐 = 𝟏𝟔
𝟓𝐱𝟏 − 𝟐𝐱𝟐 = 𝟒
𝟏𝟎𝐱𝟏 − 𝟒𝐱𝟐 = 𝟑
1) Matriz Ampliada A: 
𝟐 𝟒
𝟓 −𝟐
𝟏𝟎 −𝟒
𝟏𝟔
𝟒
𝟑
~ ... 
𝟏 𝟎
𝟎 𝟏
𝟎 𝟎
𝟐
𝟑
−𝟓
𝟏 𝟎
𝟎 𝟏
𝟎 𝟎
𝟐
𝟑
−𝟓
𝟏 𝟎
𝟎 𝟏
𝟎 𝟎
CA = 3
CV = 2 Como 𝐂𝐀 > 𝐂𝐕 , o Sistema é 
Incompatível (não tem solução) 
Estudo da Característica de um Sistema 
 𝐂𝐀 > 𝐂𝐕 → Sistema Incompatível
 𝐂𝐀 = 𝐂𝐕 → Sistema Compatível. Neste caso de haver solução, pode ser 
a) determinado: uma única solução trivial (só zeros) ou não;
b) indeterminado: infinitas soluções.
a) Se 𝐂𝐀 = 𝐂𝐕 = C e C = n, o Sistema é Compatível e Determinado,
onde n é o nº de variáveis.
Exemplo: Classificar o o sistema ቐ
𝒙 + 𝟑𝒛 = −𝟖
𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 = −𝟒
𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟓𝒛 = 𝟐𝟔
. Quais os passos? 
1) Escrever a matriz ampliada A = 
𝟏 𝟎 𝟑 −𝟖
𝟐 −𝟒 𝟎 −𝟒
𝟑 −𝟐 −𝟓 𝟐𝟔
;
2) Escalonar a matriz A, por meio de operações elementares:
➢ permutar linhas;
➢somar uma linha toda em outra linha;
➢Multiplicar uma linha por um número real conveniente;
➢Somar numa linha, uma outra previamente multiplicada por nº 
conveniente.
3) Estudar as características C e concluir o com o tipo de sistema.
Estudo da Característica e Solução de um Sistema 
 Classificar o o sistema ቐ
𝒙 + 𝟑𝒛 = −𝟖
𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 = −𝟒
𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟓𝒛 = 𝟐𝟔
 1) Escrevendo a matriz ampliada A e 2) escalonando:
→
𝟏 𝟎 𝟑 −𝟖
𝟎 𝟏 𝟑/𝟐 −𝟑
𝟎 𝟎 −𝟏𝟏 𝟒𝟒
~ 
𝟏 𝟎 𝟑 −𝟖
𝟎 𝟏 𝟑/𝟐 −𝟑
𝟎 𝟎 𝟏 −𝟒
~
𝟏 𝟎 𝟎 𝟒
𝟎 𝟏 𝟎 𝟑
𝟎 𝟎 𝟏 −𝟒
 𝑪𝑨 = 𝟑 𝒆 𝑪𝑩 = 𝟑 → 𝑪 = 𝟑 𝒆 𝒏 = 𝟑 →
Conclui-se que o sistema proposto é Sistema Compatível Determinado e existe 
uma única solução não-trivial. ቐ
𝒙 = 𝟒
𝒚 = 𝟑
𝒛 = −𝟒
A = 
𝟏 𝟎 𝟑 −𝟖
𝟐 −𝟒 𝟎 −𝟒
𝟑 −𝟐 −𝟓 𝟐𝟔
~ 
𝟏 𝟎 𝟑 −𝟖
𝟎 −𝟒 −𝟔 𝟏𝟐
𝟎 −𝟐 −𝟏𝟒 𝟓𝟎
~
𝟏 𝟎 𝟑 −𝟖
𝟎 𝟏 𝟑/𝟐 −𝟑
𝟎 −𝟐 −𝟏𝟒 𝟓𝟎
→
Estudo da Característica e Solução de um Sistema 
 Até agora, vimos que: 
 𝐂𝐀 > 𝐂𝐕 → Sistema Incompatível
 𝐂𝐀 = 𝐂𝐕 → Sistema Compatível: 
a) Determinado: se 𝐂𝐀 = 𝐂𝐕 = C e 𝐂 = n, onde n é o nº de variáveis
b) Indeterminado: 𝐒𝐞 𝐂𝐀 = 𝐂𝐕 = 𝑪 e C< 𝒏.
Neste caso, calcular o grau de liberdade g: n – C 
➢ Grau de liberdade g é o nº de variáveis livres.
Exemplo: Classifique o sistema homogêneo calcule o grau de 
liberdade, se for o caso, exemplifique uma solução não 
trivial do sistema abaixo:
ቊ
𝟔𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟎
−𝟗𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟔𝒛 = 𝟎
Obs.: Sistema homogêneo são sistemas que apresentam termos 
independentes todos nulos.
Estudo da Característica e Solução de um Sistema 
Solução do Sistema proposto 
ቊ
𝟔𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟎
−𝟗𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟔𝒛 = 𝟎
Passos:
1) Identifica a matriz ampliada A;
2) Escalonar para encontrar a matriz escalonada B;
3) Estudar as características;
4) Calcular g = n – C;
5) Procurar um exemplo de solução;
6) Testar no sistema original.
7) Escrever a solução do sistema, se o teste estiver validado.
Estudo da Característica e Solução de um Sistema 
 ቊ
𝟔𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟎
−𝟗𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟔𝒛 = 𝟎
→ 1) A = 
𝟔 𝟐 𝟒
−𝟗 −𝟑 −𝟔
𝟎
𝟎
 2) Escalonando:
𝟔 𝟐 𝟒
−𝟗 −𝟑 −𝟔
𝟎
𝟎
(L1/6) ~ 
𝟏 𝟐/𝟔 𝟒/𝟔
−𝟗 −𝟑 −𝟔
𝟎
𝟎
~ L1.(9) + L2
~ 
𝟏 𝟏/𝟑 𝟐/𝟑
𝟎 𝟎 𝟎
𝟎
𝟎
 3) Estudando as características : 𝑪𝑨 = 𝑪𝑩 = 𝟏 𝐞 𝑪𝑽 = 𝟏
Como 𝑪𝑨 = 𝑪𝑽 = 1, o sistema é compatível → tem solução.
A característica do sistema C = 1.
Se C < n (1 < 3), o sistema é compatível e indeterminado.
 4) g = n – C = 3 – 1 = 2 (duas varáveis livres). 
𝟏 𝟏/𝟑 𝟐/𝟑
𝟎 𝟎 𝟎
𝟎
𝟎
→ ቐ
𝒙 + (
𝟏
𝟑
)𝒚 + (
𝟐
𝟑
)𝒛 = 𝟎
𝟎𝒙 + 𝟎𝒚 + 𝟎𝒛 = 𝟎
→ x = (-1/3)y – (2/3)z ; y e z livres.
Estudo da Característica e Solução de um Sistema 
 ቊ
𝟔𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟎
−𝟗𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟔𝒛 = 𝟎
x = (-1/3)y – (2/3)z , com duas variáveis livres: y e z
 5) Um exemplo de solução:
Se y = 0 e z = 0 → x = 0 (solução trivial). Não serve, porque foi pedido não 
trivial.
Se y=0 e z = 1 → x = x = (-1/3).0– (2/3).1 → x = -2/3.
S1 = (-2/3, 0,1) 
 6) Testando: ቐ
𝟔 −𝟐/𝟑 + 𝟐. 𝟎 + 𝟒. 𝟏 = 𝟎
−𝟗 −
𝟐
𝟑
− 𝟑. 𝟎 − 𝟔. 𝟏 = 𝟎
𝑽
 7) Solução Geral: x = (-1/3)y – (2/3)z, onde y e z são reais qualquer.
Praticando Exercícios:
 Classificar os seguintes sistemas de equações lineares e apresentar as soluções, 
caso houver:
1. ቐ
𝟐𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 = 𝟏𝟔
𝟓𝒙𝟏 − 𝟐𝒙𝟐 = 𝟒
𝟏𝟎𝒙𝟏 − 𝟒𝒙𝟐 = 𝟑
3. ቊ
𝐱 + 𝐲 + 𝟐𝟎𝐳 + 𝟐𝟏𝐭 = 𝟖𝟔
𝐲 + 𝟐𝐳 + 𝟑𝐭 = 𝟏𝟏
2. 
𝟐𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 = 𝟏𝟔
𝟓𝒙𝟏 − 𝟐𝒙𝟐 = 𝟒
𝟑𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟗
𝟒𝒙𝟏 − 𝟓𝒙𝟐 = −𝟕
4) ቐ
𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟔𝒛 = 𝟏𝟏
𝟐𝒙 = 𝟑𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟗
𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟕