Aula 02_Calculo Numerico

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Prof. Msc. Talles Caio L. de Oliveira
Disciplina: Cálculo Numérico
Fontes e Tipos de Erros
Aritmética de Ponto Flutuante
Fonte e tipo de erros 
A resolução de um problema físico utilizando um método numérico produz, em geral, uma solução aproximada do problema.
 
A introdução de erros na resolução do problema pode ser devida a vários fatores.
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Fonte e tipo de erros 
Em função da sua origem, podemos considerar os diferentes tipos de erros:
Erros iniciais do problema (são exteriores ao processo de cálculo);
 Erros inerentes ao modelo matemático;
 Erros inerentes aos dados;
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Fonte e tipo de erros 
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Erros inerentes ao modelo 
Um modelo matemático raramente oferece uma representação exata dos fenômenos reais. 
Na grande maioria dos casos são apenas modelos idealizados, já que ao estudar os fenômenos da natureza somos forçados, regra geral, a aceitar certas condições que simplificam o problema por forma a torná-lo tratável. 
Os melhores modelos são os que incluem aquelas características do problema real necessárias para reduzir os erros nesta fase a um nível aceitável.
Fonte e tipo de erros 
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Fonte e tipo de erros 
Um engenheiro quer determinar a altura de um edifício e que para isso disponha apenas de uma bolinha de metal, um cronômetro, ele sobe então ao topo do edifício e mede o tempo que a bolinha gasta para tocar o solo, ou seja, 3 segundos.
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d = do + vot +(1/2)at2
Fonte e tipo de erros 
onde:
d - distância percorrida;
do - distância inicial;
vo - velocidade inicial;
t – tempo;
a – aceleração;
Este resultado é confiável?
Bem provável que não, pois no modelo matemático não foram consideradas outras forças como, por exemplo, a resistência do ar, a velocidade do vento etc.
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Fonte e tipo de erros 
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Fonte e tipo de erros 
Além destas, existe um outro fator que tem muita influência: a precisão da leitura do cronômetro, pois para uma pequena variação no tempo medido existe uma grande variação na altura do edificio. 
Se o tempo medido fosse 3,5 segundos ao invés de 3 segundos, a altura do edifício seria de 60 metros.
 
Em outras palavras, para uma variação de 14,3% no valor lido no cronômetro, a altura calculada apresenta uma variação de 26,6%.
Os Erros associados ao uso de métodos numéricos (ocorrem no processo de cálculo) são:
Erros de arredondamento;
Erros de truncamento;
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Fonte e tipo de erros 
Fonte e tipo de erros 
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Erros de arredondamento
Ao se aplicar um método numérico, os erros de arredodamento devidos aos valores iniciais, intermediários e finais conduzem a um erro global (diferença entre o exato e o obtido) também chamado de arredondamento.
Erros iniciais são os cometidos no arredondamento dos dados iniciais.
Ex:  Gravidade ao nível do mar: 9,80665 m/s2 
Fonte e tipo de erros 
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Erros de arredondamento
Os erros intermediários são decorrentes dos erros cometidos durante a aplicação do método numérico.
 Erros finais decorrentes da apresentação final do resultado.
Fonte e tipo de erros 
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Erros de arredondamento - Exemplos
Exemplo 1
Fonte e tipo de erros 
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Considere o número π = 3,1415926535, defina um processo de representação deste número com 3, 4 e 5 algarismos.
Exemplo 2
Erro Absoluto
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Fonte e tipo de erros 
Se N' é um valor obtido por arredondamento de N então chama-se erro absoluto de arredondamento dado por:
 
 Eabs = | N − N'|
Arredondamento
Valor Exato
Valor Aproximado
Erro Relativo
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Fonte e tipo de erros 
Erro Relativo é definido como o erro absoluto dividido pelo valor aproximado.
Valor Aproximado
Valor Exato
Exemplo 3 - Considere o número π = 3,1415926535 
a) Qual o erro absoluto se aproxima-lo para 3,14?
b) Qual o erro relativo se aproxima-lo para 3,14?
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Fonte e tipo de erros 
Fonte e tipo de erros 
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Erros de Truncamento 
São erros provenientes da utilização de processos que deveriam ser infinitos ou muito grandes para a determinação de um valor e que, por razões práticas, são truncados.
Estes processos infinitos são muito utilizados na avaliação de funções matemáticas, tais como, exponenciação, logaritmos, funções trigonométricas e várias outras que uma máquina pode ter. 	 
Fonte e tipo de erros 
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Erros de Truncamento - Exemplos
Pode-se calcular a função seno(x) utilizando as seguintes técnica:
Fonte e tipo de erros 
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Erros de Truncamento - Exemplos
Exemplo 4 - Calcule o cosseno do número por truncamento do segundo termo e calcule o erro relativo com o valor obtido pela calculadora?
0,01
0,8
Aritmética de Ponto Flutuante
Números reais são difíceis de representar computacionalmente:
Podem ser muito extensos;
Dízimas periódicas;
Números irracionais;
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Aritmética de Ponto Flutuante
Representação Ponto flutuante:
± (,d1d2...dt) x βe
onde:
β e a base em que a maquina opera;
t é o numero de dígitos na mantissa; d1 ≠ 0;
e é o expoente no intervalo [m, M].
Um computador ou Calculadora representa um número real r no sistema denominado aritmética de ponto flutuante F[β, t,-m,M], da seguinte forma:
Exemplo 6 - Representar o número 702,54 no formato de ponto flutuante de cinco digitos para β = 10, m = -3 e M = 3.
 
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Aritmética de Ponto Flutuante
Resp. 0,70254 x 103
Exemplo 7 - Representar o número 28,65 no formato de ponto flutuante de três dígitos para β = 10, m = -3 e M = 3.
 
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Aritmética de Ponto Flutuante
Resp. 0,286 x 102
Exemplo 8 – Uma maquina opera com o seguinte sistema :
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Aritmética de Ponto Flutuante
Qual o menor e o maior valor que pode ser obtido utilizando esse maquina???
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Aritmética de Ponto Flutuante
O menor número, em valor absoluto, representado nesta maquina é:
m = 0,100 x 10-5 = 10-6
O maior número, em valor absoluto, é:
M = 0,999 x 105 = 99900
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Aritmética de Ponto Flutuante
Exemplo 9 – Os números 0,345 x 10-7 e 0,875 x 109, Podem serem representados pelo ponto flutuante de três dígitos para β = 10, m = -5 e M = 5 ?
O número 0,345 x 10-7 não pode ser representado nesta máquina porque o expoente e é menor que -5 . Esta é uma situação em que o sistema acusa a ocorrência de underflow;
O número 0,875 x 109 .Neste caso, o expoente e é maior que 5 e a máquina acusa a ocorrência de overflow. 
Exemplo 10 - Representar o número 58,68 no formato de ponto flutuante de três dígitos para β = 10, m = -3 e M = 3.
 
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Aritmética de Ponto Flutuante
Arredondamento;
Truncamento;
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Aritmética de Ponto Flutuante
Algumas linguagens de programação permitem que as variáveis sejam declaradas em precisão dupla. 
Neste caso, esta variável será representada no sistema de aritmética de ponto flutuante da maquina, mas com aproximadamente o dobro de dígitos disponíveis na mantissa. 
É importante observar que, neste caso, o tempo de execução e requerimentos de memoria aumentam de forma significativa.
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Exercícios Propostos
Exercício 1- Calcule o exponencial dos número 0,75 e 0,25 por truncamento do terceiro termo e calcule o erro relativo e absoluto com o obtido pela calculadora?
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Exercícios Propostos
Exercício 2 - Qual a representação dos números a seguir em um sistema de aritmética de ponto flutuante de três dígitos para β = 10, m = -4 e M = 4.
a) 1,25
b) 2,71828 
c) -238,15
d) 0,000007
e) 718235.82
3) Considerando o valor de π = 3,1415926535 como valor exato calcule o erro relativo para o volume da esfera de raio 1 m utilizando os seguintes valores de π :
3 casas decimais por arredondamento;
3 casas decimais por truncamento.
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Exercícios Propostos
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Exercícios Propostos
4) Represente os números na Tabela a seguir no sistema de ponto flutuante F[10, 3,-4,4]. 
x
Representaçãoobtida por
arrendondamento
Representação obtida por
truncamento
0,032
1,25
10,053
-238,15
2,71828
0,000007
718235,82
Obrigado pelaAtenção!
Cálculo Numérico