Álgebra Vetorial

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Elementos	de	Álgebra	Vetorial	e	suas	representações:	
	
• Objetivo:	Visitar	a	Álgebra	Vetorial	em	suas	definições,	conceitos,	
representações	e	operações.	
	
• Bibliografia:	
	
• Halliday,	Capítulo	de	“Vetores”	em	Fundamentos	da	Física	Vol.1.	
(Chamo	sua	atenção	para	a	leitura	deste	importante	capítulo	do	volume	1	do	livro	do	
Halliday,	disponível	na	biblioteca	virtual	Estácio)	
(Colocar	Hyperlink	do	Livro	Texto	na	Biblioteca	Virtual)	
	
Considere	 um	 objeto	 Matemático	 abstrato,	 que	 chamaremos	 de	 Vetor,	 com	 três	
atributos,	ou	características	definidoras:		
1. Tamanho	(intensidade,	ou	módulo)	
2. Direção	(linha	de	ação)	
3. Sentido	(orientação)	
	
Obs.:	 As	 Grandezas	 não	 Vetoriais	 serão	 chamadas	 de	 Escalares,	 assim	
como	as	intensidades,	ou	módulos,	e	as	Componentes	dos	Vetores.	
	
Podemos	Representar	Vetores,	com	seus	três	atributos,	por	meio	de	três	
Representações	Vetoriais	equivalentes:	
	
Obs.:	Representações	Vetoriais	são	maneiras	diferentes	de	“escrever”,	ou	
traduzir	 em	 linguagem	 Matemática,	 as	 Grandezas	 Vetoriais	 que,	 em	
breve,	ganharão	significado	Físico,	como	Velocidade,	Aceleração,	Força	
etc.	
	
	
• Representação	Diagramática:	
	
	
	
	
	
• Representação	Algébrica	
Fundamental:	
	
A""⃗ 	=	+|A|	Â	
	
	
	
	
	
Obs.:	 O	 sentido	 será	 explicitamente	
representado	 somente	 quando	 for	
negativo,	 do	 contrário	 será	 positivo	
definido.
• Representação	Algébrica	em	Componentes:	
	
A	=	Ax	î	+	Ay	ȷ		+	Az	k	 		 	 	 	 	 	
							Onde	os	Vetores	Unitários	direcionais			î	,	ȷ		e		k		representam	as	direções	X,	Y	e	Z,	
respectivamente	e	têm	tamanho	unitário.	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 	
	 	
	
	
Obs.:	Para	a	Representação	em	Componentes,	necessitamos	de	
um	 Sistema	 de	 Coordenadas	 de	 referência,	 como	 o	 Sistema	
Cartesiano	XYZ.	
Direção	ou	Vetor	
	unitário	direcional. 
Intensidade	
ou	módulo.	 
 
 
Sentido.		 	 	 	
Y 
Z 
X 
ȷ ̂ 
 
î 
Figura	1	
	
Então,	 um	 vetor	 A	 	 qualquer,	 pertencente	 a	 um	Espaço	Vetorial	 contido	 em	R²,	 o	
Espaço	Plano,	pode	ser	representado	em	Coordenadas	XY	como:	
	 	 	 	 	 	
	
	
	
	
	
Figura	2	
	
	
	
	
A	=	|A|	Â		
A	=	Ax	î	+	Ay	ȷ	
	
	
	
Onde	|𝐴|	é	a	intensidade	de	𝐴	,	Â	é	o	
Vetor	Unitário	direcional	de	𝐴	,	Ax	e	Ay	
são	 as	 componentes	 de	𝐴	nas	 direções	
cartesianas	x	e	y.	
Obs.:	Repare	que	essas	duas	representações	de			𝐴		possuem	Vetores	Unitários	direcionais.	
	
Importante:		
As	 três	 Representações	 Vetoriais	 (Diagramática,	 Fundamental	 e	 em	 Componentes)	 são	
completamente	equivalentes.	Igualando	as	duas	Representações	Algébricas	(Fundamental	
e	em	Componentes),	obtemos:	
																						|A|	Â		=		Ax	ı	+	Ay	ȷ	
													Então,																				Â		=		(Ax	ı	+	Ay	ȷ)	/	|A|	
	
Ay 
Ax 
A""⃗ 	
A"	
x	
y	
j	̂
î	
	
	
Onde		|A|	é	a	hipotenusa	do	triângulo	pitagórico	na	Representação	Diagramática:	
	
|A|2	=	(Ax)2	+	(Ay)2	
	
• Assim,	 partindo	 da	 Representação	 Fundamental,	 obtemos	 a	 Representação	 em	
Componentes.	Vejamos:	
	
A	=	|A|	Â					(Rep.	Fundamental)	
	
Se							Â	=	(Ax	/	|A|)	ı	+	(Ay	/	|A|)	ȷ	
	
			Então						A	=	|A|	(Ax	/	|A|)	ı	+	|A|	(Ay	/	|A|)	ȷ	
	
A	=	Ax	î	+	Ay	ȷ				(Rep.	em	Componentes)	
	
	
• O	contrário	também	é	verdadeiro:	
	
Tomemos	o	Diagrama	de	Representação	de	A	no	Sistema	de	Coordenadas	no	
Plano	XY,	com	componentes	Ax	e	Ay	nas	direções	î	e	ȷ.	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Obs.:	Definimos	θ	o	ângulo				
entre	A	e	X.		
Assim,	
Cos	θ	=	(Ax	/	|A|)	
Sen	θ	=	(Ay	/	|A|)	
	
Então,		
A	=	Ax	ı	+	Ay	ȷ	
A	=	|A|	(Cos	θ	ı	+	Sen	θ	ȷ)	
	
													
Portanto,			A	=	|A|	Â	
	
O	Vetor	unitário	Â	pode	ser	decomposto,	no	diagrama	anterior,	nas	suas	Componentes	x,	y:		
Â	=	Cos	θ	î	+	Sen	θ	ȷ	
		
Se	ainda	restar	dúvidas	se,	desta	maneira,	ainda	é	unitário	o	seu	módulo,	basta	calcularmos	via	
teorema	de	Pitágoras:	
	
												|A|	=	 cos²	θ + sen²	θ	=	1	,				para	qualquer	ângulo	θ.	
	
	
Ax 
Ay 
î	
j	̂
A""⃗ 	
A"	
y	
x	
θ	
A"	
Figura	3	
	
• A	Adição	e	a	Subtração	de	vetores	satisfazem	à	regra	do	Paralelogramo:	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 	
	
	
	
	
• Produtos	entre	Vetores:		(Existem	duas	Operações	Produto	entre	Vetores)	
	
1. Produto	Escalar:	(ou	Operação	Ponto,	onde	o	resultado	é	um								
escalar,	ou	seja,	um	número)	
	
A	.	B	=	|A|	.	|B|cos	(θ)	
												
													Onde,	aqui,		θ		é	o	ângulo	entre	os	Vetores	A	e	B.	
	
	
	
A""⃗ 	
B""⃗ 	
C"⃗ 	
B""⃗ 	
-B""⃗ 	
A""⃗ 	
D""⃗ 	
D""⃗ 	
Onde	C"⃗ 	=	A""⃗ 	+	B""⃗ 	
Onde	D""⃗ 	=	A""⃗ 	-	B""⃗ 	
Ou	D""⃗ 	=	A""⃗ 	+	(-B""⃗ )	
Figura	4	
Figura	5	
	
• Desenvolvendo	o	conceito:			
	
Se	tivermos	dois	vetores		A		e		B		representados	em	componentes	de	um	
Sistema	de	Coordenadas	x	y.	
	
A	=	Ax	ı	+	Ay	ȷ	
B	=	Bx	ı	+	By	ȷ	
	
Vamos	obter	o	Produto	Escalar		A	.	B		:	
	
Ax	 ,	 Ay	 ,	 Bx	 e	 By	 são	 Componentes	 escalares,	 î	 e	 ȷ,	 são	 Vetores	 Unitários.	 Operando	
distributivamente	esse	Produto	Escalar,			
	
A	.	B	=	(Ax	ı	+	Ay	ȷ	)	.	(Bx	ı	+	By	ȷ	)	
=	Ax	Bx	(ı	.	ı)	+	Ax	By	(ı	.	ȷ)	+	Ay	Bx	(ȷ	.	ı)	+	Ay	By	(ȷ	.	ȷ)	
	
	
Os	Produtos	entre	parêntese	são	Produtos	Escalares	entre	os	Vetores	Unitários.	
Usando	a	definição	da	página	anterior,		
	
	
	
	
Álgebra	do	Produto	Escalar	para	
Coordenadas	X	e	Y	
	
(ı	.	ı)	=	|ı|	|ı|	cos	0º	=	1	
(ı	.	ȷ)	=	|ı|	|ȷ|	cos	90º	=	0	
(ȷ	.	ı)	=	|ȷ|	|ı|	cos	90º	=	0	
(ȷ	.	ȷ)	=	|ȷ|	|ȷ|	cos	0º	=	1	
	
Obs.:	 Os	 Produtos	 Escalares	 entre	 Vetores	 Unitário	 da	
mesma	direção	 resultam	em	1,	 já	os	Produtos	Escalares	
entre	Vetores	Unitários	perpendiculares	são	nulos.	
	
Então,	
	A	.	B	=	Ax	Bx	+	Ay	By	
	
Exemplo:	(Produto	Escalar)			
	
	A	=	5		ı	+	3	ȷ	;	
	B	=	2		ı	+	5	ȷ	
A	.	B	=	10	+	15	=	25	
			Exemplo:	(Adição)		
			A	+	B	=	7		ı	+	8	ȷ	
	
				Exemplo:	(Subtração)	
			A	-	B	=	3		ı	-	2	ȷ
	
	
	
	
	
	
• Continuando...	
	
Tomemos	um	Vetor	e	suas	Componentes	X	e	Y.	
	
A	=	Ax	ı	+	Ay	ȷ	
Tomando	o	Produto	Escalar	com	î,	
	
A	.	ı	=	Ax	(ı	.	ı)	+	Ay	(ȷ	.	ı)	
	
	
Vetor!		
Vetor!		
Escalar!		
	Da	Álgebra	do	Produto	Escalar,	para	o	Sistema	de	Coordenadas	X	Y,	página	anterior,	
	
A	.	ı	=	Ax	
	
	Da	mesma	maneira,	tomando	o	Produto	Escalar	com	ȷ,	
	
A	.	ȷ	=	Ax	(ı	.	ȷ)	+	Ay	(ȷ	.	ȷ)	
	
A	.	ȷ	=	Ay	
	
Importante:		
As	 Componentes	 de	 um	 Vetor,	 além	 de	 projeções	 geométricas	 em	 uma	 Representação	
diagramática,	são	o	resultado	do	Produto	Escalar	desse	Vetor	com	os	Vetores	Unitários	direcionais	
do	Sistema	de	Coordenadas	escolhidos.	
	
	
• Principio	de	Superposição	Vetorial:	
	
Ø Se	num	Espaço	Vetorial,	ou	num	problema	aplicado,	tivermos	um	certo	número	“a”	de	
Vetores		Aa	,	a	resultante	destes	Vetores	será:								
					
	
AR	=	 AQRST a	
	
	
Onde	cada	Componente	da	resultante	será	a	soma	das	Componentes	dos	Vetores	em	suas	
direções.				
	
	
Exercício	1.	
	
	
Obtenha	a	intensidade	da	Força	Resultante,	sua	direção	e	sentido,	considerando	as	duas	Forças,	
abaixo,	Representadas	Diagramaticamente	com	módulos	de	500N	cada:	
	
	
x	
	
	
	
	
	
Resolução:	
F1	=	-	500	N	Cos	300	ı	+	500	N	Sen	300	ȷ	
F2	=	500	N	Cos	300	ı	+	500	N	Sen	300	ȷ		
	
	
Para	a	resultante,	as	componentes	na	direção	de	X	irão	se	anular,	logo:	
	
	
FR	=	F1	+	F2	
FR	=	500	N	ȷ	
	
	
	
F1 = 500N	 F2 = 500N	
y	
30º	
120º	
X	
	
		
Exercício	2.	
	
As	forças	F1	e	F2,	atuam	no	olhal	como	na	figura.	Obtenha	sua	resultante	em	Representação	
Vetorial:	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Resolução:	
F1	=	800	N	cos	450	ı	+	800	N	sen	450	ȷ	
F2	=	1000	N	cos	600	ı	-	1000	N	sen	600	ȷ	
	
FR	=	 FiQZST 	
	
FR	=	[800	.	( 2)/2	+	1000	.	1/2]	ı	+		
+	[800	.	( 2)/2	–	1000	.	( 3)/2]	ȷ	
=	(565,69	+	500)	ı	+	(565,69	–	866,03)	ȷ	
	
FR	=	1065,69	N	ı	-	300,34	N	ȷ	
y	
x	
45º	
F1 = 800 N	
F2 = 1000 N	
30º	
	
• Vetor	Posição	e	Vetor	Deslocamento,	generalização	da	Álgebra	Vetorial	
Tridimensional.	
	
	
	
Figura	6	
• Vetor	Posição:	
	
Ø É	um	vetor	de	localização	espacial	
de	um	ponto	a	partir	de	uma	
origem	num	sistema	de	
coordenadasx,	y,	z	pertencente	
a	R³.	Um	ponto	P	=	P(x,	y,	z)	
fica	perfeitamente	representado,	
a	partir	da	origem	0,	por	um	
vetor	
	
Ø r	=	r	(x,	y,	z).	
	
r	=	OP	
r	=	x	ı	+	y	ȷ	+	z	k	
	
	
	
Satisfaz	à	regra		
de	adição	vetorial!	
• Vetor	Deslocamento:	
	
Ø É	o	vetor	posição	de	um	ponto	B	=	B(xB,	yB,	zB)	tendo	como	origem	um	ponto	
A	=	A(xA,	yA,	zA)		
	
rA	=	OA	=	xA	ı	+	yA		ȷ	+	zA		k	
	
rB	=	OB	=	xB	ı	+	yB		ȷ	+	zB		k	
rAB	=	rB	-	rA	
rAB	=	 xa − xc 	ı	+	 ya − yc 	ȷ	+	(za − zc)	k	
	
Em	representação	fundamental,	
rAB	=|rAB|	rAB	
Onde	
|rAB|	=	 xa − xc d +	 ya − yc d +	(za − zc)²	
	
Assim,	igualando	representações	
xa − xc 	ı	+	 ya − yc 	ȷ	+	(za − zc)	k	=	|rAB|	rAB	
	
rca =
(xa 	−	xc)	ı 	+ 	(ya 	−	yc)	ȷ 	+ 	(za 	− 	zc)	k
xa − xc d +	 ya − yc d +	(za − zc)²
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
z	
zB	
zA	
r⃗AB	
	 j	̂
	
k" 	
	
yA	yB	
A	
B	
0	
y	
î		
	
x	
XB	
xA	
	Ou	simplificadamente,	
rAB	=	rAB	/	|rAB|	
	
Em	termos	do	vetor	A	,	
Â	=	A%%⃗ /|A%%⃗ |	
	
Onde			
A	=	Ax	ı	+	Ay	ȷ	+	Az	k	
e		
|A|	=	 𝐴e²	 + 	𝐴f²			𝐴g²		
	
Importante:	
O	vetor	unitário	rAB	pode	sempre	ser	obtido	da	representação	em	componentes	de	rAB.	
	
Exemplo	1.	
O	cabo	AB	exerce	uma	força	de	100N	sobre	a	extremidade	da	barra	OA.	Obtenha	a	
representação	dessa	força	ao	longo	do	cabo	AB.	
	
Figura	7	
Resolução:	
	
1. F	=	100N	ao	longo	do	cabo	AB.		Mas		F		=	100N	AB.	O	vetor	unitário	AB	
pode	ser	obtido	de			AB	=		AB	/|	AB|	
	
2. Representação	do	Vetor	Posição	AB	
	
	
AB	=	|AB|AB			
(Rep.	Fundamental)	
AB	=	-	ABx	ı	–	ABy	ȷ	+	ABz	z		
	
	
	
		ABx	=	3	Cos	600	
		ABy	=	3	Sen	600	
		ABz	=	4	 	
|AB|	=	 (3 cos 60º)²	 + 	(3	sen	60º)²	 + 	4²			
=	 9 cosd60º + send60º + 	16	
|AB|	=	 25	=	5	
	
Então,		
AB	=	(-	3/2	ı		–		3	( 3)/2	ȷ		+		4	k)	m	
AB	=	AB/|AB|	
	AB	=	-3/10	ı	–	(3 3)/10	ȷ	+	4/5	k	
Logo,	
	𝐅	=	100	(-	3/10	j	-	(3 𝟑)/10	l	+	4/5	𝐤)	
	
Exemplo	2.	
A	estrutura	mostrada	está	submetida	a	uma	Força	horizontal.	Obtenha	as	componentes	
dessa	força	paralela	e	perpendicular	à	direção	do	segmento	AB,	e	suas	respectivas	
componentes	x,	y	e	z.	
	
Figura	8	
	
Resolução:	
AB	=	(B − A)	
AB	=	2	ı	+	6	ȷ	+	3	k	
AB	=	|AB|	AB	
|AB|	=	 2² + 6² + 3²	=	7	m	
	
Então,			
	
AB	=	2/7	ı	+	6/7	ȷ	+	3/7	k	
	
	
	
	
	
A	componente	de	F	paralela	a	AB,	é:	
	
F//AB	=	F	.	AB						(escalar!)	
	
F//AB	=	300	N	ȷ	.	(2	ı	+	6	J	+	3	k)/7	=	1800/7	N	
	
F//AB	=	257,14	N	
	
Assim,		
F//AB	=	F//AB	AB						 (vetor!)	
	
=	257,14	N	(2	ı	+	6	J	+	3	k)/7	
	
F//AB	=	(73,47	ı	+	220,41	ȷ	+	110,20	k	)	N	
	
A	componente	perpendicular,	da	força,	à	direção	AB	será:	
	
F	=	F//AB	+	FT	AB	
	
onde		FT	AB				é	a	componente	vetorial,	transversa	à	direção	AB,	do	vetor		F.	
	
	
	
FT	AB	=	(300	ȷ	)	N	–	(73,47	ı	+	220,41	ȷ	+	110,20	k)	N	
	
FT	AB	=	(-	73,47	ı	+	79,59	ȷ	-	110,20	k)	N	
	
	
Cujo	módulo	fornecerá	o	que	procuramos,	ou	seja,	a	Componente	(escalar)	da	direção	
perpendicular	a	AB.	
	
|FT	AB|	=	 73,47² + 79,59² + 110,20²	=	154,52	N	
	
Também	podemos	calcular	esse	resultado	de	outra	maneira:	
	
|FT	AB	|²	=	|F|²	-	|F//AB|²	
	
|FT	AB	|	=	 300² − 257,14²	
	
|FT	AB	|	=	154,52	N	
	
	
	
	
	
	
• Produto	Escalar	em	3D:	
	
Sejam	dois	vetores,	
	
A	=	Ax	𝚤	+	Ay	ȷ	+	Az	k	=	|A|Â	
B	=	Bx	ı	+	By	ȷ	+	Bz	k	=	|B|B	
	
	
em	Representações	em	Componentes	x,	y,	z	e	Representações	Fundamentais.		
	
	
A	.	B		=	(Ax	ı	+	Ay	ȷ	+	Az	k)	.	(Bx	ı	+	By	ȷ	+	Bz	k)	
	
=			Ax	Bx	(ı	.	ı)	+	Ax	By	(ı	.	ȷ)	+	Ax	Bz	(ı	.	k)	+	Ay	Bx	(ȷ	.	ı)		
+	Ay	By	(ȷ	.	ȷ)	+	Ay	Bz	(ȷ	.	k)	+	Az	Bx	(k	.	ı)	+	Az	By	(k	.	ȷ)		
+	Az	Bz	(k	.	k)	
	
	
Os	Produtos	Escalares	entre	os	vetores	unitários	somente	serão	não	nulos	se	não	forem	
perpendiculares.		
	
	
	
	
	
	
Então,									 	 (ı	.	ı)	=	1	
											 	 (ȷ	.	ȷ)	=	1	
										 	 (ı	.	ı)	=	1,									
	
	e	todos	os	demais	serão	nulos.	
	
Assim,		
A	.	B	=	Ax	Bx	+	Ay	By	+	Az	Bz	
	
Generalizando	o	resultado	em	3D:	
	
Se		
	
A	=	Ax	ı	+	Ay	ȷ	+	Az		k	
	
A	=	|A|	Â,	
	
Â	=	(Ax	ı	+	Ay	ȷ	+	Az		k)/|A|	=	A/|A|	
	
	
Se	tomarmos	o	produto	escalar	de	A		com	ı,		ȷ,		k	,	obteremos	as	Componentes	
Vetoriais	nessas	direções	
	
	
	
Ax	=	A	.	ı	
Ay	=	A	.	ȷ	
Az	=	A	.	k	
	
	
• Produto	Vetorial:	(cujo	resultado	é	um	Vetor)	
	
1ª	definição:	(em	dois	níveis)	
	
a) 		|A	x	B|	=	|A||B|	sen	(AB)	
b) 		Régra	da	Mão-Direita	
	
O	resultado	é	um	terceiro	vetor	com	módulo	dado	acima	e	direção	e	sentido	pela	regra	
da	Mão-Direita,	perpendicular	ao	plano	formado	por	A	e	B.	
						Se	tivermos	representações	em	componentes	x,	y,	z,	algebricamente,	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
z	
x	
y	
î	 j	̂
k"	
Figura	9	
	
A	x	B	=	(Ax	ı	+	Ay	ȷ	+	Az	k)	x	(Bx	ı+	By	ȷ	+	Bz	k)	
=			Ax	Bx	(ı		x	ı)	+	Ax	By	(ı		x	ȷ)	+	Ax	Bz	(ı		x	k)	+		
+	Ay	Bx	(ȷ	x	ı)	+	Ay	By	(ȷ		x	ȷ)	+	Ay	Bz	(ȷ		x	k)	+		
+	Az	Bx	(k		x	ı)	+	Az	By	(k	x	ȷ)	+	Az	Bz	(k		x	k).	
	
	
Os	Produtos	Vetoriais	entre	vetores	unitários,	entre	parênteses,	formarão	a	
Álgebra	do	Produto	Vetorial	para	ı,	ȷ,	k,	no	Sistema	Coordenado	XYZ.	
	
	
	
A	 Regra	 da	Mão-Direita	 satisfaz	 à	 uma	 simetria	 de	 ciclicidade.	 No	 sentido	 horário	 os	
Produtos	Vetoriais	retornam	o	unitário	seguinte,	no	anti-horário	incide	um	sinal	negativo.	
TESTE	VOCÊ	COM	A	MÃO	DIREITA!!	
	
hh	
	
	
			
	
	
	
Figura	12	Figura	13	 Figura	10	Figura	11	
	
2ª	definição:	(Algébrica)	
O	Produto	Vetorial		A	x	B	é	o	resultado	do	Determinante	da	Matriz	3x3	onde	a	primeira	
linha	da	Matriz	contém	os	Vetores	unitários,	a	segunda	linha	as	Componentes	de	A	e	a	
terceira	linha	as	Componentes	de	B.	Então,	calcula-se	o	determinante	dessa	Matriz:	
	
	
	
Momento	de	força:	
Definição:	Quando	uma	Força	promove	uma	rotação	em	torno	de	um	eixo,	expressamos	o	
Momento	de	Força	ou	Torque.	
r	é	o	vetor	“Braço-de-ação”	que	se	origina	no	eixo	de	rotação	até	o	ponto	de	ação	da	força	F.	
Importante:	Não	se	pode	comutar	a	ordem	de	r	e	F	na	definição	do	momento	de	força	sem	
inverter	a	orientação	do	resultado.	
	
MA	=	r	x	F	
	
	
		
A	
	
		
F#⃗ 	
	
		
r⃗	
	
Figura	14