TRABALHO SOBRE INEQUAÇÂO matematica

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UNIVERSIDADE SALGADO DE OLIVEIRA
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
MARCOS MANUEL CIRIACO JUNIOR
LEIDJANE
INEQUAÇÕES
SÃO GONÇALO
2016
MARCOS MANUEL CIRIACO JUNIOR
LEIDJANE
INEQUAÇÕES
Projeto apresentado à Disciplina de matemática básica
Universidade Salgado de Oliveira – UNIVERSO,
Orientador: Prof Lucinda
SÃO GONÇALO
2016
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ____________________________________________1
INEQUAÇÃO PRODUTO DE 1º GRAU_________________2 
INEQUAÇÃO QUOCIENTE DE 1º GRAU_______________3
SISTEMAS DE INEQUALÇÕES DO 1ºGRAU E 
INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS ______________________________4
INEQUAÇÃO PRODUTO DE 2º GRAU_________________5
INEQUAÇÃO QUOCIENTE DE 2º GRAU_______________6
 SISTEMAS DE INEQUALÇÕES DO 2ºGRAU E 
INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS ______________________________7
QUESTÕES DE FUNÇÃO DE 1º GRAU________________8
QUESTÕES DE FUNÇÃO DE 2º GRAU________________9
QUESTÕES DE FUNÇÃO DE 2º GRAU________________10
Introdução
As inequações representam uma desigualdade matemática. Elas são identificadas pelos sinais >(maior), < (menor), ≤(menor igual), ≥(maior igual).
 São inequações do 2º grau ou quadráticas, as inequações constituídas por uma lei matemática com a forma de ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0, acompanhada do sinal de desigualdade. Assim é uma inequação do segundo grau, por exemplo, 3x² +2x –5 > 0 onde a = 3, b = 2 e c = -5.
Exemplos de Inequações do 2º Grau
 ax² + bx + c > 0 
ax² + bx + c ≥ 0 
ax² + bx + c < 0
 ax² + bx + c ≤ 0
 ax² + bx + c ≠ 0 Sendo a ≠ 0.
Para solucionar inequações do 2º grau deve-se: 1 – Determinar as raízes das funções; 2 – Representar graficamente a função a partir dos pontos determinados com o cálculo das raízes e com a análise do coeficiente a; 3 – Aplicar os conceitos de estudo do sinal; 4 – Analisar os resultados e obter a resposta da inequação.
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Inequação Produto  de 1º grau
Resolver uma inequação produto consiste em encontrar os valores de x que satisfazem a condição estabelecida pela inequação. Para isso utilizamos o estudo do sinal de uma função. Observe a resolução da seguinte equação produto: (2x + 6)*( – 3x + 12) > 0. 
Vamos estabelecer as seguintes funções: y1 = 2x + 6 e y2 = – 3x + 12. 
Determinando a raiz da função (y = 0) e a posição da reta (a > 0 crescente e a < 0 decrescente). 
y1 = 2x + 6 
2x + 6 = 0 
2x = – 6 
x = –3 
y2 = – 3x + 12 
–3x + 12 = 0 
–3x = –12 
x = 4 
Verificando o sinal da inequação produto (2x + 6)*(– 3x + 12) > 0. Observe que a inequação produto exige a seguinte condição: os possíveis valores devem ser maiores que zero, isto é, positivo.
Através do esquema que demonstra os sinais da inequação produto y1*y2, podemos chegar à seguinte conclusão quanto aos valores de x: 
x Є R / –3 < x < 4 2
Inequação quociente  de 1º grau
Na resolução da inequação quociente utilizamos os mesmos recursos da inequação produto, o que difere é que, ao calcularmos a função do denominador, precisamos adotar valores maiores ou menores que zero e nunca igual a zero. Observe a resolução da seguinte inequação quociente:
 
Resolver as funções y1 = x + 1 e y2 = 2x – 1, determinando a raiz da função (y = 0) e a posição da reta (a > 0 crescente e a < 0 decrescente). 
y1 = x + 1 
x + 1 = 0 
x = –1 
y2 = 2x – 1 
2x – 1 = 0 
2x = 1 
x = 1/2 
Com base no jogo de sinal concluímos que x assume os seguintes valores na inequação quociente: x Є R / –1 ≤ x < 1/2 
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Sistemas de Inequações do 1° Grau e Inequações Simultâneas
Um conjunto de inequações do 1° grau com uma variável cujo objetivo é a solução comum é denominado de sistema de inequações do 1° grau. Exemplo:
A resolução deste tipo de sistema é feita resolvendo cada inequação do 1° grau individualmente e depois determinado a intersecção das retas que representam a solução individual.Atenção: Continue usando a resolução pelo método do estudo do sinal!!!
Veja:
* 3 – 2x 1 * 3x – 1 5
 3 – 2x – 1 0
 -2x + 2 0
 -2x + 2 = 0
 -2x = - 2 .(-1)
 2x = 2 
 x = 1
 + -
 x
 1 Dizemos que uma inequação do 1° grau é simultânea quando aparecer duas desigualdades numa só sentença. 
Exemplo: 2 < 3x + 1 < 7
Temos duas desigualdades:
1ª) 2 < 3x + 1
2ª) 3x + 1 < 7
A resolução é feita como em um sistema de equações do 1° grau, ou seja, resolvendo cada desigualdade separadamente e depois fazendo a intersecção das soluções 
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Inequação de 2º grau
São inequações do 2º grau ou quadráticas, as inequações constituídas por uma lei matemática com a forma de ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0, acompanhada do sinal de desigualdade. Assim é uma inequação do segundo grau.
 Inequação Produto  de 2º grau
Considerando f(x) e g(x) funções da variável x, chamamos de inequação-produto desigualdades como:
f(x).g(x) > 0, f(x).g(x) ≥ 0, f(x).g(x) < 0, f(x).g(x) ≤ 0
A resolução de uma inequação-produto pode ser feita com o estudo dos sinais das funções separadamente, seguido da determinação dos sinais do produto f(x).g(x) e posteriormente, identificando os valores de x que satisfazem a inequação-produto.
Exemplo: 
Determine o conjunto solução da inequaçãoproduto: (x² - 7x + 10).(6x + 12) ≥ 0 Solução: Determinando os zeros das funções f(x) = x² - 7x + 10 e g(x) = 6x +12
x² - 7x + 10 = 0
 Δ = (-7)² - 4.1.10 = 9
 x1 = (7+3)/2 = 5
 x2 = (7-3)/2 = 2
 6x + 12 = 0
 6x = -12
 x = -2
Identificando os valores de x que satisfazem a inequação, temos: S = {x ε IR/ -2 ≤ x ≤ 2 ou x ≥ 5}
Inequação quociente  de 2º grau
Considerando f(x) e g(x) funções de variável x, chamamos de inequação-quociente desigualdades como: Na resolução de uma inequação-quociente devemos lembrar que o denominador deve ser diferente de zero e a regra de
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sinais é a mesma, tanto para multiplicação como para divisão, no conjunto dos reais.
 Exemplo:
 Determine o conjunto solução da inequação-quociente:
-x² + 4x–3/ -x+2>=0
Determinando o zero das funções f(x) = -x² + 4x–3 e g(x) = -x+2
 -x² + 4x–3 = 0
 Δ = 4² - 4.(-1).(-3) = 4
 x1 = (-4+2)/(-2) = 1
 x2 = (-4-2)/(-2) = 3
 -x + 2 = 0 
-x = -2 x = 2 
Identificando os valores de x que satisfazem a inequação, temos: S = {x ε IR/ 1 ≤ x < 2 ou x ≥ 3}
Sistemas de Inequações do 2° Grau e Inequações Simultâneas
Resolver um sistema de inequações do 2º grau ou um sistema de inequações simultâneas do 2º grau é semelhante àquele envolvendo apenas inequações do primeiro grau. Devemos lembrar que a solução de um sistema é a INTERSECÇÃO das soluções de cada uma das inequações que o formam. Para resolver um sistema de inequações podemos resolver cada uma das inequações separadamente e, em seguida, fazer a intersecção dos conjuntos só devemos resolver cada inequação separadamente e, em seguida, fazer a intersecção entre as soluções
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1. Resolva o sistema: 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 ≥ 0 3𝑥 − 6 > 0
2. Determinando os zeros das funções f(x) = x² - 6x + 9 e g(x) = 3x – 6 
3. Em f(x) = x² - 6x + 9
4. Δ = (-6)² - 4.1.9 
5. Δ = 0 x’ = x’’ = 3
6. Queremos que f(x) ≥ 0 e g(x) > 0. 
7. Em g(x) = 3x – 6 3x – 6 = 0 3x = 6 X = 2
8. Indicando os valores de x que satisfazem as inequações: V1 = R V2 = {x ∈ IR/ x > 2}
9. V = {x ε IR/ x > 2}
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Funções de 1º grau
1. O dobro da quantia que Marcos possui e mais R$ 15,00 dá para comprar exatamente um objeto que custa R$ 60,00. Quanto Marcos possui?
R: 2q + 15 = 60 => 2q = 60 – 15 => 2q = 45 => q = 45/2 => q = 22,50 reais.
2. Um número somado com sua metade é igual a 45. Qual é esse número?
R: um número (n) somado (+) com sua metade (n/2) é igual (=) a 45.
n + n/2 = 45.
2n + n = 90 <=> 3n = 90 <=> n = 90/3 <=> n = 30.
3.(CESGRANRIO) José viaja 350 quilômetros para ir de carro de sua casa à cidade onde moram seus pais. Numa dessas viagens, após alguns quilômetros, ele parou para um cafezinho. A seguir, percorreu o triplo da quantidade de quilômetros que havia percorrido antes de parar. Quantos quilômetros ele percorreu após o café?
R:d + 3d = 350 => 4d = 350 => d = 350/4 => d = 87,5 km,Josépercorreu o triplo de d, ou seja,3 x 87,5 = 262,5 km.
4.(CESPE/UnB-Adaptada) Um motorista, após ter enchido o tanque de seu veículo, gastou 1/5 da capacidade do tanque para chegar à cidade A; gastou mais 28 L para ir da cidade A até a cidade B; sobrou, no tanque, uma quantidade de combustível que corresponde a 1/3 de sua capacidade. Quando o veículo chegou à cidade B, havia, no tanque menos de:
R: c – (c/5 + 28) = c/3 =>c – c/5 – 28 = c/3 =>15c – 3c – 420 = 5c => 15c – 5c – 3c = 420 => 7c = 420 => c = 60 L.
Agora já sabemos a capacidade do tanque que é de 60 litros.De acordo com o problema, sobrou no tanque um terço da capacidade (c/3), então 60/3 = 20 L. Sobrou no tanque 20 L e 20 é menor do que 21. Logo, quando o veículo chegou à cidade B, havia, no tanque menos de 21 L.
5.(OMSP-Adaptada) Eduardo tem R$ 1.325,00 e Alberto, R$ 932,00. Eduardo economiza R$ 32,90 por mês e Alberto, R$ 111,50. Depois de quanto tempo terão quantias iguais?
R: Eduardo: tem R$ 1.325,00 e economiza R$ 32,90,por mêsTotal em 1 mês: 1325 + 32,90 = R$ 1357,90.Total em 2 meses: 1325 + (32,90 x 2) = 1325 + 65,80 = R$ 1390,80.
Equação da quantia para Alberto: 932 + 111,50t.Quantia de Eduardo = Quantia de Alberto.
1325 + 32,90t = 932 + 111,50t => 1325 – 932 = 111,50t – 32,90 => 393 = 78,60t => 393/78,60 = t =>  t = 5 meses.Logo, Alberto e Eduardo terão quantias iguais depois de 5 meses.
Funções de 2º grau
1. 04. (FUVEST) A soma dos valores de m para os quais x=1 é raiz da equação: 
x² + (1 + 5m - 3m²)x + (m² + 1) = 0 ; é igual a
R:- 2m² + 5m + 3 = 0
2.Sabe-se que a equação 5x2- 4x + 2m = 0  tem duas raízes reais e diferente. Nessas condições, determine o valor de ‘m’.
R:condição: que delta seja maior que zero: a= 5; b= - 4; c = 2m
 (
ao multiplicar por (-1) trocar todos os sinais, inclusive da desigualdade
)
m < 2/5.
3.Determine o valor de ‘p’ na equação x2 – px + 9 = 0  para que essa equação tenha um única raiz real.
condição: que delta seja igual a zero:
a= 1; b= p; c = 9
4. Encontre o valor de f(x) = x² + 3x – 10 para que f(x) = 0
Δ = b² – 4.a.c
Δ = 3² – 4.1.(– 10)
Δ = 9 + 40
Δ = 49
x = – b ± √Δ
        2.a
x = – 3 ± √49
           2.1
x = – 3 ± 7
      2
x1 = – 3 + 7
        2
x1 = 4
        2
x1 = 2
x2 = – 3 – 7
         2
x2 = – 10
        2
x2 = – 5
Os dois valores de x para que f(x) = 0 são x1 = 2 e x2 = – 5.
5.(UfSCar–SP) Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = – 2t² + 8t (t ≥ 0) , onde t é o tempo medido em segundo e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, apos o chute:
a) o instante em que a bola retornará ao solo.
R: Houve dois momentos em que a bola tocou o chão: o primeiro foi antes de ela ser chutada e o segundo foi quando ela terminou sua trajetória e retornou para o chão. Em ambos os momentos a altura h(t) era igual a zero, sendo assim:
h(t) = – 2t² + 8t
0 = – 2t² + 8t
2t² – 8t = 0
2t.(t – 4) = 0
t' = 0
t'' – 4 = 0
t'' = 4
Portanto, o segundo momento em que a bola tocou no chão foi no instante de quatro segundos.
Bibliografia
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/inequacao-produto-e-quociente.htm
Iezzi, Gelson; Murakami, Carlos (2004). Fundamentos da Matemática Elementar 1 8 ed. (São Paulo: Atual).ISBN 85-357-0455-8.
http://www.campusdosertao.ufal.br/pet/petengenharias/cime/files/aulas/Inequacao_2grau.pdf
http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/
http://www.calculobasico.com.br
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í
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5
1
x
3
1
x
2
3
2
2
1
2
12
554(2).3
4525245151
22.(2)444
514
1
44
5163
442
:
3235
1
2222
bbac
x
a
x
x
soma
xx
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164.5.20
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2
0
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p
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