Polinômios de Maclaurin e de Taylor

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Seção 9.7 (Anton) 
Polinômios de 
 Maclaurin e de Taylor 
 Centro de Ciências Exatas e da Tecnologia 
MAT0359 – Cálculo Diferencial e Integral II 
 Para calcular valores numéricos de uma função polinomial, 
empregamos apenas adições e multiplicações de números 
reais. 
 Porém para calcular valores de funções logarítmicas, 
exponenciais, trigonométricas e outras funções 
transcendentes, necessitamos de operações mais 
complexas. 
 Nesta unidade estudaremos um método a fim de obter 
aproximações de valores de funções destes tipos. 
 Isso nos levará ao problema de encontrar séries infinitas que 
convergem para funções específicas. 
Definição: Polinômio de Taylor 
• Seja uma função f que possui derivadas f (n) de ordem n > 1 
num intervalo aberto I e seja a um número fixo em I, então o 
Polinômio de Taylor do n-ésimo grau da função f em a é a 
função polinomial Pn definida por: 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 n
n
n ax
n
af
ax
af
ax
af
ax
af
afxP 
!
...
!3
'''
!2
''
!1
' )(32
Exemplo 1 
 Determine o quarto termo P4 do 
Polinômio de Taylor para a função definida por 
f(x) = sen(x) para a = /4. 
 
 Temos que determinar o 
polinômio P4 do Polinômio 
de Taylor para a função 
f(x) = sen(x) para a = /4. 
 
 Para isso, determinamos, 
primeiramente, as quatro 
primeiras derivadas de 
sen(x) em x = /4: 
 
 
 
 
 
 
    
2
2
4
 sin
2
2
4
''' cos'''
2
2
4
'' sin''
2
2
4
' cos'
2
2
4
 sin
44 







































fxxf
fxxf
fxxf
fxxf
fxxf
 Usamos os valores obtidos para substituir na 
definição do Polinômio de Taylor e, assim, obter: 
 
 
 
 
 





















































































































432
4
432
4
4
4
32
4
412
1
46
1
42
1
4
1
2
2
4!4
2
2
4!3
2
2
4!2
2
2
4!1
2
2
2
2
4!4
4
4!3
4
'''
4!2
4
''
4!1
4
'
4











xxxxxP
xxxxxP
x
f
x
f
x
f
x
f
fxP
Gráfico de f(x)=sen(x) e do Polinômio de Taylor de grau 4. 
Exemplo 2 
 Determine a aproximação polinomial de 
Taylor de grau 3 para a função definida por 
f(x)=1/1-x , em torno de x = 0. 
 
Observação: polinômios de Maclaurin são casos 
especiais dos polinômios de Taylor. 
O n-ésimo polinômio de Maclaurin é o n-ésimo 
polinômio de Taylor em torno de x = 0. 
 Temos que determinar, 
então, o polinômio P3 de 
Maclaurin para a função 
f(x)= 1/1-x ; 
 
 Para isso, 
determinamos, 
primeiramente, as três 
primeiras derivadas de 
1/1-x em x = 0: 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
  60''' 
1
6
'''
20'' 
1
2
''
10' 
1
1
'
10 
1
1
4
3
2












f
x
xf
f
x
xf
f
x
xf
f
x
xf
 Usamos os valores obtidos para substituir na 
definição do Polinômio de Maclaurin e, assim, obter: 
 
   
 
 
 
 
 
 
       
  323
32
3
32
3
1
0
!3
6
0
!2
2
0
!1
1
1
0
!3
0'''
0
!2
0''
0
!1
0'
0
xxxxP
xxxxP
x
f
x
f
x
f
fxP



 
   
 
 
 
 
 
 
 
  ...
!
... 
!3
'''
!2
''
!1
'
!
)(
32
0




k
k
k
k
k
ax
k
af
ax
af
ax
af
ax
af
afax
k
af
Se f tiver derivadas de todas as ordens em a, então chamamos a série 
de série de Taylor para f em torno de x = a. 
No caso especial em que a = 0, chamaremos de série de Maclaurin 
para f. 
Definição: Séries de Taylor e Maclaurin 
Seção 9.8 e 9.9 (Anton) 
 Qual é a Série de Maclaurin para 
f(x) = ex? 
Exemplo 3 
 Temos, então, que 
determinar a série de 
Maclaurin para a função 
f(x) = ex. 
 
 Para isso, determinamos 
tantas derivadas de ex em 
x = 0 até que consigamos 
perceber um padrão. 
 Observe! 
 
 
   
   
   
   
     
...
10 
...
10''' '''
10'' ''
10' '
10 





nxn
x
x
x
x
fexf
fexf
fexf
fexf
fexf
 Então: 
    
 
 
 
 






0
2
)(
2
!
...
!
1
...
!2
1
11
...0
!
0
...0
!2
0''
00'0
n
n
x
nx
n
n
x
n
x
e
x
n
xxe
x
n
f
x
f
xffe
 A série determinada no exemplo anterior 
permanece como uma identidade, válida para 
todos os valores de x. 
 
 Consequentemente, podem-se deduzir novas 
séries a partir desta, por substituição. 
 
 Por exemplo: 
 Substituindo x por x2/2 na série do ex, obtemos a série 
para a função ex
2/ 2. Veja o exemplo 4, a seguir. 
 
Exemplo 4 
 
Temos, então, que: 
 Determine a série de Taylor, em zero, da função ex
2/2: 
 Substituindo x por x2/2 na série do ex, obtemos a série para a função 
ex
2/ 2. Veja: 
...
!32!222
1
!2!
2
!
2
3
6
2
42
2
0 0 0
2
2
2
2
2
2








  






xxx
e
n
x
n
x
n
x
e
x
n n n
n
nn
n
n
x




0 !n
n
x
n
x
e
 A partir de uma série conhecida, obtenha a série de 
Maclaurin para . 
 
xsen
Exemplo 5 
Fonte: Anton, Cálculo, Vol. 2, 8ª edição, p.675-703 
Para uma prática, como atividade de aprendizagem 
Livro do Anton 
• Seção 9.7 – p. 624 a 658 
• Estudar os exemplos de 1 a 5 
• Seção 9.8 – p. 659 a 666 
• Estudar os exemplos de 1 e 2 
 Seção 9.7 - p. 658 
 Resolver 7, 17, 19, 23 e 29 
 Seção 9.8 – p. 667 
 Resolver 1, 3, 11, 13 e 15 
 Seção 9.9 - p. 668 a 675 
 Estudar aproximação de valores de: exponenciais, funções 
trigonométricas, logaritmos e de pi. 
 P. 667: exercícios 3, 5, 7 e 9. 
 Seguir >>> 
Para uma prática, como atividade de aprendizagem 
Livro do Anton 
• Seção 9.9 – p. 668 
Veja a tabela 9.9.1, p. 
675, a qual apresenta 
algumas series de 
Maclaurin importantes 
para resolver 
exercícios. 
 
Livro do Anton 
 Seção 9.9 
 Use a serie de Maclaurin para sen(x) para aproximar o valor de 
sen(4˚) com n = 3 (na fórmula, use o ângulo correspondente 
em radianos). Depois, compare a sua resposta com aquela 
produzida diretamente por uma calculadora. 
 Use a serie de Maclaurin a para aproximar o valor de 
 com n = 5. Depois, compare a sua resposta com aquela 
produzida diretamente por uma calculadora. 
 
 
xe
03,0e
xe