Exercícios de derivadas parciais com respostas

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Universidade Nove de Julho 
Cálculo Diferencial e Integral II – Professor: Nelson Dias Leme 
 
DERIVADAS PARCIAIS - EXERCÍCIOS – Lista 2 
 
 
Exemplo 1. Encontrar as derivadas parciais de 1ª ordem 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 e 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 da seguinte função: 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 − 4𝑥 
 
Resolução: Para calcular a derivada parcial de 𝑓 em relação à variável 𝑥 , mantemos 𝑦 constante e podemos 
usar as regras de derivação para funções de uma variável em relação à variável 𝑥. Temos, 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 4𝑥𝑦 + 3𝑦2 − 4 
Analogamente, para calcular a derivada parcial de 𝑓 em relação à variável 𝑦 , mantemos 𝑥 constante e 
derivamos em relação à variável 𝑦 . Assim, 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 2𝑥2 + 6𝑥𝑦 
 
 
Exercício 1. Encontrar as derivadas parciais de 1ª ordem das seguintes funções: 
 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = −2𝑥4𝑦3 + 5𝑥2𝑦4 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦3 + 3𝑥3𝑦2 − 2𝑥2 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2𝑦 − 5𝑦4 + 3𝑦3 
d) 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 𝑦) 
e) 𝑔(𝑥, 𝑦) = √𝑥2 + 𝑦2 − 2 
f) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥
2.𝑦 
g) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥. cos(𝑦 − 𝑥) 
h) 𝑧 = ln(𝑥 + 𝑦) − 5𝑥 
i) 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2. 𝑦 + 𝑥. 𝑦. 𝑧2 + 𝑥2. 𝑧 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 2. Dada a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3𝑦 + 𝑥2𝑦4 , determinar suas derivadas parciais de 2ª ordem. 
Resolução: As derivadas parciais de 1ª ordem de 𝑓 são: 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 3𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦4 e 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑥3 + 4𝑥2𝑦3 
 
A partir de 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 , obtemos 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
=
𝜕
𝜕𝑥
(
𝜕𝑓
𝜕𝑥
) =
𝜕
𝜕𝑥
(3𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦4) = 6𝑥𝑦 + 2𝑦4 
 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
=
𝜕
𝜕𝑦
(
𝜕𝑓
𝜕𝑥
) =
𝜕
𝜕𝑦
(3𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦4) = 3𝑥2 + 8𝑥𝑦3 
 
 
A partir de 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 , obtemos 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
=
𝜕
𝜕𝑦
(
𝜕𝑓
𝜕𝑦
) =
𝜕
𝜕𝑦
(𝑥3 + 4𝑥2𝑦3) = 12𝑥2𝑦2 
 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑥
(
𝜕𝑓
𝜕𝑦
) =
𝜕
𝜕𝑥
(𝑥3 + 4𝑥2𝑦3) = 3𝑥2 + 8𝑥𝑦3 
 
 
 
Exercícios 2. Determinar todas as derivadas parciais de 2ª ordem das funções: 
 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = −2𝑥4𝑦3 + 5𝑥2𝑦4 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦3 + 3𝑥3𝑦2 − 2𝑥2 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2𝑦 − 5𝑦4 + 3𝑦3 
d) 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 𝑦) 
 
 
 
 
 
 
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RESPOSTAS: Exercício 1. 
a) 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= −8𝑥3𝑦3 + 10𝑥𝑦4 , 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= −6𝑥4𝑦2 + 20𝑥2𝑦3 
b) 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 2𝑥𝑦3 + 9𝑥2𝑦2 − 4𝑥 , 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 3𝑥2𝑦2 + 6𝑥3𝑦 
c) 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 6𝑥𝑦 , 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 3𝑥2 − 20𝑦3 + 9𝑦2 
d) 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 2. 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥 + 𝑦) , 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥 + 𝑦) 
 e) 
𝜕𝑔
𝜕𝑥
= 
𝑥
√𝑥2+𝑦2−2
 , 
𝜕𝑔
𝜕𝑦
= 
𝑦
√𝑥2+𝑦2−2
 
 f) 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 2𝑥𝑦. 𝑒𝑥
2.𝑦 , 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑥2. 𝑒𝑥
2.𝑦 
 g) 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑐𝑜𝑠(𝑦 − 𝑥) + 𝑥. 𝑠𝑒𝑛(𝑦 − 𝑥) , 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= −𝑥. 𝑠𝑒𝑛(𝑦 − 𝑥) 
 h) 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
=
1
𝑥+𝑦
 − 5 , 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
=
1
𝑥+𝑦
 
 i) 
𝜕𝑤
𝜕𝑥
= 2𝑥𝑦 + 𝑦𝑧2 + 2𝑥𝑧 , 
𝜕𝑤
𝜕𝑦
= 𝑥2 + 𝑥𝑧2 , 
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 2𝑥𝑦𝑧 + 𝑥2 
 
Exercício 2. 
a) 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
= −24𝑥2𝑦3 + 10𝑦4 , 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
= −12𝑥4𝑦 + 60𝑥2𝑦2 , 
 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
= −24𝑥3𝑦2 + 40𝑥𝑦3 , 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
= −24𝑥3𝑦2 + 40𝑥𝑦3 
 
b) 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
= 2𝑦3 + 4𝑥𝑦2 − 4 , 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
= 6𝑥2𝑦 + 6𝑥3 , 
 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
= 6𝑥𝑦2 + 18𝑥2𝑦 , 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
= 6𝑥𝑦2 + 18𝑥2𝑦 
 
c) 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
= 6𝑦 , 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
= −60𝑦2 + 18𝑦 , 
 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
= 6𝑥 , 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
= 6𝑥 
 
d) 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
= −4. 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 𝑦) , 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
= −𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 𝑦) , 
 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
= −𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 𝑦) , 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
= −𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 𝑦)