SOLUCAO_EXERCICIOS_ALGA_retas

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Solução dos Exercícios de ALGA – 2ª Avaliação 
 
 EXEMPLO 8.4, pág. 61- Uma reta L passa pelos pontos P0 (3, -2, 1) e P1 (5, 1, 0). Determine as 
equações paramétricas, vetorial e simétrica dessa reta. Determine também os pontos em que a 
reta intercepta os planos coordenados. 
Solução: Vetor diretor 
 v = P1 – P0 = (5,1,0) – (3,-2,1) = (2, 3, - 1) 
Equação Paramétrica: 
{
𝑥 = 2𝑡 + 3
𝑦 = 3𝑡 − 2
𝑧 = −𝑡 + 1
 
Equação Vetorial: 
(x,y,z) = (3,-2,1) + t(2,3,-1) 
Equação Simétrica: 
𝑥−3
2
 = 
𝑦+2
3
 = 
−1+𝑧
−1
 
Pontos em que a reta intercepta os planos coordenados: 
Fazendo x=0, na equação paramétrica encontraremos t = -3/2. Substituindo este t em y e z, 
obtemos y = -13/2 e z= -1/2. Então a reta intercepta o plano y0z em (0, -13/2, -1/2). 
Fazendo y=0, na equação paramétrica encontraremos t = 2/3. Substituindo este t em x e z, 
obtemos x = 13/3 e z= 1/3. Então a reta intercepta o plano x0z em (13/3, 0, 1/). 
Fazendo z=0, na equação paramétrica encontraremos t = 1. Substituindo este t em x e y, obtemos 
x = 5 e y = 1. Então a reta intercepta o plano x0y em (5, 1, 0). 
 
Resolução do exemplo 8.6a - pág 61 Apresente, analítica e geometricamente, a solução dos 
seguintes sistemas lineares. 
{
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = −1
5𝑦 − 2𝑧 + 4𝑥 = −1
 
Solução: Encontraremos a solução do sistema escrevendo a matriz ampliada desse sistema e 
encontrando sua forma escada: 
(
𝟏 𝟐 𝟏
𝟒 𝟓 −𝟐
 
−𝟏
−𝟏
) L2 -> L2 – 4L1 (
1 2 1
0 −3 −6
 
−1
3
) L2 -> L2/-3 (
1 2 1
0 1 2
 
−1
−1
) 
L1 -> L1 - 2L2 (
1 0 −3
0 1 2
 
1
−1
) 
Como pa=pc=2 e nul=3-2=1, o sistema é possível e indeterminado. Ficando uma variável livre, 
digamos x, da última matriz obtemos a solução do sistema: 
{
𝑥 − 3𝑧 = 1
𝑦 + 2𝑧 = −1
 => {
𝑥 = 1 + 3𝑧
𝑦 = −1 − 2𝑧
 
Essas são as equações reduzidas de uma reta. Para representar esta reta, calculamos e marcamos 
dois pontos: 
Se x=4 => 4=1+3z => z= 1 e y = - 1 – 2 .2 = - 1 – 4 = - 5 . 
Então um ponto da reta é (4, -5, 1). 
Se x= 1 => 1=1+3z => z=0 e y = - 1 – 2.0= -1. 
Então outro ponto da reta será (1, - 1, 0). 
Marcando esses pontos obtemos a representação gráfica de todos os pontos que são solução do 
sistema: os pontos que estão sobre a reta. 
 
 
Resolução do exemplo 8.6b - pág 61. Apresente, analítica e geometricamente, a solução dos 
seguintes sistemas lineares. 
{
2𝑥 + 𝑦 + 11𝑤 = 2
𝑥 + 3𝑤 = 1
2𝑥 + 𝑧 + 4𝑤 = −2
 
Partindo da matriz ampliada do sistema, vamos encontrar sua forma escada: 
 
(
2 1 0
1 0 0
2 0 1
 
11
3
4
 
2
1
−2
) L1 <-> L2 (
1 0 0
2 1 0
2 0 1
 
3
11
4
 
1
2
−2
) L2 -> L2 – 2L1 (
1 0 0
0 1 0
2 0 1
 
3
5
4
 
1
0
−2
) 
 
L3 -> L3 – 2L1 (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
3
5
−2
 
1
0
−4
) 
Como pa=pc=3 e nul=4-3=1, o sistema é possível e indeterminado. Ficando uma variável livre, 
digamos w, que será o parâmetro, da última matriz obtemos a solução do sistema: 
{
𝑥 = 1 − 3𝑤
𝑦 = −5𝑤
𝑧 = 2𝑤 − 4
 
que representa uma reta no espaço passando pelo ponto (1, 0, -4) e com vetor diretor (-3, -5, 2). 
Podemos marcar dois pontos dessa reta e ligá-los para fazer a representação geométrica. Assim 
tomando w=1, obteremos um novo ponto da reta (-2, -5, -2). 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução do exemplo 8.9 - pág 63 
Temos na reta r o ponto A (1,0,1) e o vetor v1= (1,0,-1) e na reta s, o ponto B(0,0,2) e o vetor v2: 
(3,2,1). 
Assim vamos primeiramente escrever as equações simétricas e depois reduzidas de cada uma das 
retas 
Equação simétrica das retas. 
r: y=0; x-1=(z-1)/(-1) 
s: x/3 = y/2 = z-2 
Equação reduzida 
r: (x-1)= (z-1)/(-1) => x-1= -z+1 => x -1 - 1= -z => x-2= -z => z = 2 –x 
 y=0 
s: 2x=3y => y= 2x/3 
 x/3= z – 2 => z = x/3 +2 
O ponto de intersecção de r e s é o ponto I, cujas coordenadas satisfazem as equações reduzidas 
das duas retas: 
y = 0 
z = 2 - x 
y = 2x/3 
z=x/3 +2 
Resolvendo esse sistema, já sabemos que y=0. Substituindo na outra equação, obtemos x=0. Da 
última equação, substituindo x, obtemos z=2. Então o ponto de interseção das duas retas é o 
ponto I(0, 0, 2). 
 
Exercício 1.a Dados P= (3, 0, -2) e v = (1, 4, -2) determinar as equações da reta. 
Equação Vetorial: 
(x, y, z)= (3, 0, -2) + t(1, 4, -2) 
Equação Paramétrica: 
{
𝑥 = 3 + 𝑡
𝑦 = 4𝑡
𝑧 = −2 − 2𝑡
 
Equação Simétrica: 
x-3 = y-0 = z+2 
1 4 -2 
Equação Reduzida: 
4(x-3)=y => y = 4x – 12 
 e 
(z+ 2)= -2(x-3) => z +2 = -2x +6 => z = -2x + 6 – 2 => z = - 2x +4 
 
 
Exercício 1.b: Escreva as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas para a reta que 
passa pelo ponto (3,0,-2) e é paralela a reta x/3 = (y+7)/-1 = (z-3)/6. 
Solução: Como a reta que iremos construir é paralela a reta dada, elas tem a mesma direção, 
então podemos usar o mesmo vetor diretor v = (3, -1, 6). Assim 
a) (x, y, z) = (a1, a2, a3) + t (v1, v2, v3) t:parâmetro 
(x, y, z) = (3, 0, -2) + t (3, -1, 6) 
(x, y, z) = (3, 0, -2) + (3t, -t, 6t) equação da reta vetorial 
b) x = 3+3t 
y = -t equação paramétrica 
z = -2-6t 
c) 
𝑥−3
3
=
𝑦
−1
=
𝑧+2
6
 equação simétrica 
d) Igualamos a fração que contém x com a de y: 
 (x-3)/3 = y/-1 => (-x + 3)/3 = y => y = (-x+3) / 3 
 Igualamos a fração que contém x com a de z: 
 ( x-3)/3 = (z+2)/6 => 6x – 18 = 3z +6 => 6x – 18 – 6 = 3z => (6x – 24)/3 = z => z = 2x-8 
 
Exercício 1.c: Escreva as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas para a reta que 
passa pelo ponto (3, 0, -2) e é paralela a reta x = 2t – 3, y = 3 – 2t, z = 5t – 4. 
Solução: como a reta a ser construída deve ter a mesma direção da reta dada, usamos o mesmo 
vetor diretor que é v =(2, -2, 5) (que são os coeficientes de t). Assim as equações da reta são: 
Vetorial: (x, y, z)=(3, 0, -2) + t(2, -2, 5). 
Paramétricas: 
x = 2t + 3 
y = – 2t 
z = 5t – 2 
 Simétricas: 
 
𝑥−3
2
=
𝑦
−2
=
𝑧+2
5
 
 Reduzidas: 
 y = -x +3 
 z = 5x/2 -19/2 
 
Exercício 2a. Escreva as equações simétricas da reta que passa pelos pontos (2,-1, 3) e (5, 2, -2) 
RESPOSTA: 
Como temos os pontos P0 (2, -1, 3) e P1 (5, 2, -2), escrevemos o vetor diretor 
v = Po P1 = P1 - P0 = (3, 3, -5) 
E assim a equação vetorial fica na forma: (x, y, z) = (2, -1, 3) + t(3, 3, -5) 
Equação paramétrica: 
x = 2 + 3t 
y = -1 + 3t 
z = 3 – 5t 
Equação simétrica: 
𝑥−2
3
 = 
𝑦+1
3
 = 
𝑧−3
−5
 
 
Exercício 2b. Escreva as equações simétricas da reta que passam pelos pontos (7, 3, -1) e (3, -1, 3). 
Solução: Construímos primeiramente o vetor diretor da reta: 
 �⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = B - A = (3, -1, 3) – (7, 3, -1) = (-4, -4, 4). 
Assim a equação vetorial é 
(x, y, z) = (7, 3, -1) + t(-4,-4, 4) 
e a equação simétrica: 
𝑥−7
−4
=
𝑦−3
−4
=
𝑧+1
4
 . 
 
Exercício 4. Mostre que as retas se interceptam e descubra seu ponto de interseção. 
 
 𝑟: {
𝑥 = 1 + 𝑡
𝑦 = 2𝑡
𝑧 = 1 + 3𝑡
 𝑠: {
𝑥 = 3𝑠
𝑦 = 2𝑠
𝑧 = 2 + 𝑠
 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 ∶ 
Da reta r temos 𝐴 = (1,0,1), �⃗⃗� =(1,2,3) e da reta s, B= (0,0,2), �⃗� = (3,2,1). Calculando 
�⃗⃗⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (−1,0,1), podemos verificar se as retas são coplanares: 
(
𝑢
→, 
𝑣
→,
𝑤
→) =|
1 2 3
3 2 1
−1 0 1
|= 2+(-2)+0-(-6)-0-6=0, logo a𝑠 𝑟𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑠ã𝑜 𝑐𝑜𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎𝑟𝑒𝑠. 
𝑢
→.
𝑣
→ =( 3+4+3)=10, não são perpendiculares. 
As retas também não são paralelas, pois a razão entre as coordenadas de seus vetores diretores não é 
igual: 
1
3
≠
2
2
≠
3
1
. 
Então elas se interceptam. Para calcular o ponto de interseção, escrevemos as equações reduzidas de cada 
uma das retas: 
𝑟: 
𝑥−1
1
=
𝑦
2
 => 2𝑥 − 2 = 𝑦 e 𝑥 − 1 =
𝑧−1
3
 => 𝑧 − 1 = 3𝑥 − 3 => 𝑧 = 3𝑥− 2 
𝑠: 
𝑥
3
=
𝑦
2
 => 3𝑦 = 2𝑥 => 𝑦 =
2𝑥
3
 e 
𝑥
3
=
𝑧−2
1
 => 𝑧 =
𝑥
3
+ 2 
Juntando todas as equações ficamos então com o sistema 
{
 
 
 
 
𝑦 = 2𝑥 − 2
𝑧 = 3𝑥 − 2
𝑦 =
2𝑥
3
 𝑧 =
𝑥
3
+ 2
 
Cuja solução é (3/2 , 1, 5/2).