Relações métricas no triângulo retângulo

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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - 
Matemática 
Ensino Médio, 1ª Série 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
1 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
Olá, pessoal ! Eu sou 
o famoso filósofo e 
matemático Pitágoras 
Vamos estudar juntos, 
nesta aula, as Relações 
Métricas no Triângulo 
Retângulo 
São estas Relações que 
nos levam ao mais 
famoso Teorema da 
história da matemática... 
O incrível Teorema de 
Pitágoras que, claro, leva 
meu nome porque fui eu 
quem o descobriu... 
Mas antes, deem uma 
olhadinha na história de 
como tudo isso 
começou... 
Vamos fazer um viagem 
ao passado em que as 
descobertas levavam 
séculos para acontecer... 
Apertem os 
cintos ... 
2 
Imagem: Vatican Museum / Public Domain. 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
É quase uma unanimidade entre os historiadores que Pitágoras viveu no 
séc. VI a.C., na Grécia, entre os anos 583 e 507. Acredita-se que ele nasceu 
numa ilha chamada Samos, daí ele se chamar Pitágoras de Samos. 
Fixou residência numa cidade no sul da Itália chamada Crotona. Lá fundou 
a chamada Escola Pitagórica, onde se estudava Filosofia, Matemática, 
Música dentre outras Ciências. 
Grandes descobertas são atribuídas aos pitagóricos, entre elas o sistema 
de numeração decimal e o mais conhecido e aplicado teorema que leva o 
seu nome, o Teorema de Pitágoras. 
Os pitagóricos tinham várias superstições. Uma delas 
relacionada à Matemática, cujo símbolo, o pentagrama, 
segundo eles, os protegia do mal. 
Existem inúmeras demonstrações para o Teorema de Pitágoras. Um 
matemático americano chamado Elisha Scott Loomis conseguiu organizar 
um total de 367 demonstrações diferentes, todas reunidas em um livro 
chamado The Pythagorean Proposition. 
3 
MATEMÁTICA- 1º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
Chegou a hora de 
estudar todas as 
relações métricas das 
quais falamos... 
Vocês vão ver que todas estão 
interligadas e que, com elas, 
conseguimos encontrar todas as 
medidas de qualquer segmento 
em um triângulo retângulo. 
Começa aqui, então, 
outra viagem. Agora 
vamos aos triângulos 
retângulos... 
Boa viagem 
e bom estudo! 
4 
Imagem: Vatican Museum / Public Domain. 
Imagem: Vatican Museum / Public Domain. 
ˆ 
Ângulo de 90º 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
Conforme vocês já sabem, 
a soma dos ângulos 
internos de qualquer 
triângulo é 180º. Logo, se 
 = 90º, a soma dos 
outros dois ângulos (B e 
C) é igual a 90º. 
Observe o triângulo ABC ao lado: 
Note que ele é retângulo em Â, 
isto é, a medida de  é 90º. 
Logo, os ângulos B e C são ditos complementares. 
5 
h 
A 
B C 
b 
n m 
H 
c 
a 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
ˆ 
Observe que, entre os triângulos ABH e ABC, existem 
em comum o ângulo reto e o ângulo no vértice B 
(amarelo), além do lado AB = c. Entre ACH e ABC, 
existem em comum o ângulo reto e o ângulo no vértice 
C (vermelho), além do lado AC = b. Por semelhança do 
tipo A.L.A. nos dois casos, podemos concluir que 
Se dividirmos o triângulo 
ABC pela altura relativa a 
sua hipotenusa a, surgem 
dois triângulos ABH e 
ACH, retângulos em Ĥ. 
Sendo assim, dividimos o 
ângulo  nos dois ângulos 
já conhecidos do triângulo 
ABC, que são C e B. 
 ABH ~  ACH ~  ABC 
6 
h 
A 
B C 
b 
n m 
c 
h 
A 
H H 
Triângulo ABH Triângulo ACH 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
Semelhança entre ∆ABH e ∆ACH 
Vamos destacar a semelhança da tela anterior: 
7 
C 
h 
A 
B 
b 
n m 
c 
h 
A 
H H 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
Semelhança entre ∆ABH e ∆ACH 
Vamos destacar a semelhança da tela anterior: 
8 
h 
A C 
b 
n 
A 
H 
B 
m 
c 
h H 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
Vamos fazer algumas observações sobre os lados do  ABC: 
O lado AB vai do ângulo de 90º 
até o ângulo amarelo. 
O lado AC vai do ângulo de 90º até o ângulo pintado de vermelho. 
O lado BC vai do ângulo pintado 
de amarelo até o ângulo pintado 
de vermelho. 
Lado AB 
Lado BC 
Lado AC 
9 
c 
B C 
b 
a 
A 
H 
Ângulo de 90º 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
B 
H A 
m 
h 
c 
A 
B 
C 
b 
a 
c 
 ABH ~  ACH ~  ABC Como já vimos, é verdade que 
Vamos analisar a semelhança entre ABC e ABH. 
Essa semelhança garante também a proporcionalidade entre seus lados. 
Sendo assim, observem as relações que podemos estabelecer entre eles. 
10 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
B 
H A 
m 
h 
c 
A 
B 
C 
b 
a 
c 
Lados do Δ ABC 
Lados do Δ ABH 
11 
a = b = c 
 c h m 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
Da proporção que obtivemos, e 
trabalhando com as razões duas a 
duas, temos: 
12 
a = b = c 
c h m 
 a = b 
 c h 
 b = c 
 h m 
 a = c 
 c m 
 a . h = b. c 
 b . m = c. h 
 c² = a . m 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
Vamos analisar a semelhança entre ABC e ACH. 
Também pela semelhança, a proporcionalidade entre os lados desses dois 
triângulos determinam as seguintes relações: 
13 
B 
H A 
m 
c 
A 
B 
C 
b 
a 
c 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
A 
B 
C b 
a 
c 
Lados do Δ ABC 
Lados do Δ ACH 
14 
a = b = c 
 b n h 
A 
H C 
h 
b 
n 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
Dessa nova proporção, a partir das 
razões duas a duas, teremos: 
15 
a = b = c 
b n h 
 a = b 
 b n 
 b = c 
 n h 
 a = c 
 c m 
 b² = a . n 
 b . h = c. n 
 a . h = b . c 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
Por último, vamos analisar a semelhança entre ABH e ACH. 
A semelhança está mantida e dela vêm as seguintes relações: 
B 
H A 
m 
h 
c 
16 
n 
H 
A 
b 
h 
C 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
Lados do Δ ABH 
Lados do Δ ACH 
B 
H A 
m 
h 
c 
17 
A 
H C 
h 
n 
b 
c = h = m 
b n h 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
Dessa última proporção e comparação 
das razões duas a duas, vem: 
18 
c = h = m 
b n h 
 c = h 
 b n 
 h = m 
 n h 
 c = m 
 b h 
 c . n = b . h 
 h² = m. n 
 c . h = b . m 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
Agora, um relação muito importante é a da hipotenusa com as projeções do 
catetos sobre ela. Observe o  ABC inicial que trabalhamos: 
Veja que, sobre a hipotenusa a, estão 
determinados dois segmentos: 
CH = n BH = m 
Esses segmentos recebem 
o nome de projeções. 
Seria como se o sol 
surgisse sobre os 
catetos... 
... e produzisse “sombra” 
sobre a hipotenusa. Essas 
sombras são então as 
projeções. 
19 
h 
A 
B C 
b 
n m 
c 
Imagem: Vatican Museum / Public Domain. 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
Teorema de Pitágoras 
Chegou a hora 
dele... o meu 
teorema... 
Vamos começar com sua 
definição e, em seguida, 
demonstraremos o mais 
famoso Teorema da 
história da Matemática 
20 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
21 
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. São eles: 
O lado oposto ao ângulo 
reto é denominado de 
hipotenusa. 
Os outros dois, opostos aos 
ângulos agudos do triângulo, 
são chamados de catetos. 
Aqui vale a pena destacar uma 
propriedade: a hipotenusa sempre 
será o lado de maior medida de um 
triângulo retângulo. 
A 
B 
C b 
a 
c 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
22 
O quadrado da medida da 
hipotenusa é igual a soma dos 
quadrados da medida dos catetos. 
O enunciado do Teorema de 
Pitágoras é o seguinte: 
a2 = b2 + c2 
Nesse caso, com asdenominações 
de a, b e c, respectivamente para a 
hipotenusa e os catetos, teremos: 
A 
B 
C b 
a 
c 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
23 
Apenas para verificar essa relação, observem os seguinte triângulos 
retângulos: 
. 
6 
8 
x 
Quanto deve medir a hipotenusa 
designada por x? 
É bem simples: basta lançar os valores na 
expressão do Teorema. Ou seja: 
 
x2 = 62 + 82 
x2 = 36 + 64 
x2 = 100 
x = 10 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
24 
y 
12 
15 
E agora? Quanto deve medir o cateto y? 
É tão simples quanto o anterior: lançando 
também os valores na expressão do 
teorema. Ou seja: 
152 = y2 + 122 
225 = y2 + 144 
y2 = 225 – 144 
y = 9 
y2 = 81 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
25 
Chegou a hora de reunir todas as relações que descobrimos juntos para 
analisá-las a partir da observação do triângulo. 
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
(6) 
A relação (1) pode ser definida como: 
“A hipotenusa multiplicada pela altura 
relativa a ela é igual ao produto dos 
catetos”. 
As relações (2) e (3) podem ser definidas como: 
“Cada cateto multiplicado pela altura 
relativa à hipotenusa é igual ao produto do 
outro cateto pela projeção do primeiro”. 
h 
A 
B 
b 
n m 
c 
H 
 a . h = b. c 
 c² = a . m 
 b . h = c . n 
 h² = m. n 
 c . h = b . m 
 b² = a . n 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
26 
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
(6) 
As relações (4) e (5) podem ser definidas como: 
“Cada cateto é a média geométrica entre a 
hipotenusa e a sua projeção sobre ela”. 
A relação (6) pode ser definida como: 
“A altura relativa à hipotenusa é a média 
geométrica entre as projeções dos 
catetos”. 
Chegou a hora de reunir todas as relações que descobrimos juntos para 
analisá-las a partir da observação do triângulo. 
h 
A 
B 
b 
n m 
c 
H 
 a . h = b. c 
 c² = a . m 
 b . h = c . n 
 h² = m. n 
 c . h = b . m 
 b² = a . n 
Im
a
g
e
m
: 
V
a
ti
c
a
n
 M
u
s
e
u
m
 /
 P
u
b
lic
 D
o
m
a
in
. 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
27 
Como vocês podem ver, as relações simplesmente permitem que sejam 
encontradas todas as medidas de um triângulo retângulo. 
Todas são importantes, como já dissemos, mas o Teorema de Pitágoras é 
o mais aplicado deles, pois há muito mais relação com situações práticas, 
como poderemos observar daqui a pouco. 
Vamos fazer uma demonstração que vocês 
poderão fazer em sala de aula, junto com o 
professor. Peguem o material e mãos à obra ! 
Vocês vão ver como será divertido provar que 
Pitágoras e seus seguidores estavam certos. 
A sugestão dada é que este triângulo a ser 
usado seja o de medidas 3, 4 e 5. É mais 
simples e fácil de construir. 
Sigam os passos um 
a um e vocês verão 
como é legal a 
demonstração !! 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
28 
• Construam 4 triângulos retângulos de hipotenusa a e catetos b e c. 
• Construam também 1 quadrado cujo lado tenha medida b + c. 
a 
b 
c 
a 
b 
c 
a 
b 
c 
a 
b 
c 
b + c 
b + c 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
29 
• No quadrado e a partir de cada um de seus vértices, coloquem cada 
um dos 4 triângulos iniciais que vocês construíram. 
Como os 4 triângulos são idênticos e sua hipotenusa mede a, temos 
então um quadrado menor de área a2 dentro do quadrado maior de área 
(b + c)2. 
a a 
a a 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
30 
Desenvolvendo a expressão da área do quadrado maior, que é um produto 
notável, temos: 
(b + c)2 = b2 + 2 . b . c + c2 
Mas a área do quadrado maior pode ser vista também como a soma das 
áreas dos 4 triângulos iniciais que construímos somada com a área do 
quadrado menor. Podemos então definir essa mesma área da seguinte 
forma: 
Área do quadrado menor + 4 . Área do triângulo 
a2 + 4 . 
 2
b.c
Simplificando 4 com 2, temos: 
a2 + 2 . b . c 
(1) 
(2) 
Como as expressões são iguais, pois representam a mesma figura, 
teremos: 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
31 
(1) = (2) 
b2 + 2 . b . c + c2 = a2 + 2 . b . c 
Ao simplificar 2 . b . c dos dois lados, a expressão restante é: 
b2 + c2 = a2 
As medidas a, b e c que aparecem nessa expressão final são exatamente a 
medida dos lados do triângulo inicial, exatamente como queríamos 
mostrar. 
Logo, a relação descoberta pelos pitagóricos vale, então, para qualquer 
triângulo retângulo. 
Que tal, agora, nós vermos uma outra demonstração desse Teorema ??? 
Vamos assistir a um vídeo bem legal que traz esta outra demonstração. É 
só visitar o link abaixo... 
http://www.youtube.com/watch?v=GMy5z3nhVeQ 
http://www.youtube.com/watch?v=GMy5z3nhVeQ
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
32 
Agora que vocês são 
especialistas em 
Relações Métricas, 
especialmente no meu 
Teorema ... 
... vamos meter bronca nos 
exercícios, inclusive 
aplicações do Teorema na 
Geometria. Vamos lá ?!? 
...depois é com vocês. Se 
houver alguma dificuldade, 
o professor vai dar uma 
ajudinha. Sucesso !! 
Pitágoras está certo... Agora 
é exercitar. Primeiro, vamos 
resolver alguns para vocês 
observarem como é... 
Imagem: Vatican Museum / Public Domain. 
Imagem: Clip-art do Power Point. 
Resolução: 
Seja um quadrado de lado 5 cm. 
A diagonal de um quadrado nada mais é do que a hipotenusa 
de um triângulo retângulo, em que seus catetos são dois dos 
lados do quadrado. Isso faz os catetos serem medidas iguais. 
Observe: 
Chamando a diagonal (hipotenusa) de x, e usando o Teorema 
de Pitágoras, teremos: 
x2 = 52 + 52  x2= 25 + 25  x2 = 50  x = 5 
Logo, fica clara a generalização para o cálculo da diagonal de 
qualquer quadrado: 
 
 
 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
33 
EXERCÍCIOS 
Qual é a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 5 cm? 
1ª Questão 
5 cm 
5 cm 
x 
d = l 2 
Resolução: 
Seja um triângulo equilátero de lado 10cm. 
A altura desse triângulo é um dos catetos do triângulo em 
destaque. Observe: 
Chamando a altura (que é um dos catetos do triângulo 
destacado) de x e usando o Teorema de Pitágoras, teremos: 
102 = x2 + 52 
O outro cateto mede 5cm, pois a altura divide a base ao meio 
e um destes novos segmentos será o outro cateto. Logo: 
 
 100 = x2 + 25  x2 = 100 – 25  x = 75  x = 5 
 
Logo, fica clara a generalização para o cálculo da altura de 
qualquer triângulo equilátero: 
 
 
 
 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
34 
Determine a altura de um triângulo equilátero cujo lado mede 10cm. 
2ª Questão 
10cm 
10cm 10cm 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
35 
Resolução: 
Observando a figura, notamos que a fixação faz a torre estar perpendicular ao chão. 
Isso quer dizer que os pontos A da fixação de um dos cabos e B e C da torre formam 
entre si um triângulo retângulo. 
A distância entre o ponto A de fixação do cabo e B da fixação da torre ao chão, 
formam o cateto menor, que mede 15m, conforme mostra a figura. 
A distância entre B e C na torre mede 20m, sendo este o outro cateto. 
O comprimento do cabo AC, portanto, é a hipotenusa (que chamaremos de x). 
Por essas informações e usando o Teorema de Pitágoras, temos: 
x2 = 152 + 202 
x2 = 225 + 400 
x2 = 625 
x = 25 
(UFRS) Uma torre vertical é presa por cabos de aço 
fixos no chão, em um terreno plano horizontal, 
conforme mostra a figura. Se A está a 15m da base B 
da torre e C está a 20m de altura, determine o 
comprimento do cabo AC. 
3ª Questão 
C 
B A 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
36 
Resolução: 
A hipotenusa na figura é o lado BC, que chamaremos de a. 
Como vimos nas relações, cada um dos catetos será a média geométricaentre sua 
projeção e a hipotenusa. Logo, vamos determinar inicialmente a hipotenusa. 
Por Pitágoras, vem : 
a2 = 82 + 62  a2 = 64 + 36  a2 = 100  a = 10 
Agora que temos a hipotenusa, podemos usar a relação acima para cada cateto e sua 
projeção. Assim, teremos: 
 
c2 = a . m  62 = 10 . m  36 = 10 . m  m = 36/10  m = 3,6cm 
 
b2 = a . n  82 = 10 . n  64 = 10 . n  n = 64/10  m = 6,4cm 
 
Os catetos do triângulo retângulo ao lado 
medem: AB = c = 6cm e AC = b = 8cm. 
Determine a medida da projeção dos catetos 
sobre a hipotenusa e a altura (h) relativa a 
ela. 
4ª Questão 
h 
A 
B C 
b 
n m 
c 
H 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
37 
(UFPE) Em um triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a 
hipotenusa medem 16cm e 9cm. Calcule o perímetro desse triângulo. 
5ª Questão 
Resolução: 
Com a medida das projeções, imediatamente 
determinamos a medida da hipotenusa, pois 
sua medida é a soma das medidas das 
projeções. Logo: 
a = m + n  a = 9 + 16  a = 25cm 
Para o perímetro, nos falta a medida dos 
catetos. 
Usando a relação da questão anterior, teremos: 
 
 
b2 = a . n  b2 = 25 . 16  b2 = 400  b = 20 cm 
 
c2 = a . m  c2 = 25 . 9  c2 = 225  c = 15 cm 
 
Agora, basta somarmos a medida dos lados que acabamos de encontrar. 
 
a + b + c = 25 + 20 + 15 = 60cm 
A 
B C 
h 
H 
9 cm 16 cm 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
38 
Chegou a hora de vocês 
assimilarem de vez as 
relações. Não deixem 
nenhum exercício para trás, 
ok?!? 
EXERCÍCIOS 
1. Determine a medida x em cada um dos triângulos retângulos a seguir: 
a) b) c) 
4 
x 
8 
2 x 
6 
12 
x 
Imagem: Clip-art do Power Point. 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
39 
2. (MOJI-SP) Uma escada mede 4m e tem uma 
de suas extremidades apoiada no topo de 
um muro, e a outra extremidade dista 2,4m 
da base do muro, conforme figura a seguir. 
Determine a altura do muro. 
3. (Fuvest – SP) Qual a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles cujo 
perímetro é igual a 2? 
4. Na figura ao lado, determine as medidas a, h, m e n . 
h 
A 
B C 
4 
n m 
3 
H 
4m 
2,4m 
MATEMÁTICA, 1 º Ano 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
40 
1. Um marceneiro cortou uma tábua retangular de 75cm de 
comprimento por 20cm de largura, separando-a em dois 
trapézios congruentes. Sabendo que o comprimento do corte 
foi de 25cm, calcule a medida da base menor de um dos 
trapézios. 
2. O lampião representado na figura ao lado está suspenso por 
duas cordas perpendiculares entre si presas ao teto. Sabendo 
que essas cordas medem 1/6 e 2/5, determine a distância do 
lampião ao teto. 
3. Em um terreno plano e horizontal, um topógrafo marcou 
um ponto M a 9m do centro H da base de uma torre 
vertical. A seguir, marcou um ponto N na semirreta oposta 
de HM, a 16m de H, observando que os pontos M, N e o 
pico da torre determinavam um triângulo retângulo. Qual 
a altura da torre? 
20cm 25cm 
75cm 
M 9m H 16m N 
41 
Slide Autoria / Licença Link da Fonte Data do 
Acesso 
 
2, 3 e 
20 
Vatican Museum / Public Domain. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pythag
oras_Bust_Vatican_Museum_(cropped).jpg 
18/04/2012 
27 Vatican Museum / Public Domain. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pythag
oras_Bust_Vatican_Museum_(cropped).jpg 
18/04/2012 
32b e 
38 
Clip-art do Power Point 18/04/2012 
32a Vatican Museum / Public Domain. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pythag
oras_Bust_Vatican_Museum_(cropped).jpg 
18/04/2012 
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