AULA 6_Sistemas de ordem maior que 2

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SISTEMA DE ORDEM SUPERIOR A DOIS.
AULA 6
 
SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR A DOIS
Sem perda de generalidade, vamos considerar o sistema de quarta ordem cuja FTMF é dada abaixo. 
 
SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR A DOIS
Com grau{N(s)}<4 e polos:
 
SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR A DOIS
A resposta do sistema a uma entrada r(t) é dada por.
 
SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR A DOIS
A transformada de Fourier da entrada r(t), em geral é uma função racional. Por exemplo:
 
SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR A DOIS
Portanto, C(s) é uma função racional. Assim, expandindo em frações parciais, resulta.
 
SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR A DOIS
Tomando a transformada inversa de Laplace, C(s) é uma função racional. Assim, expandindo em frações parciais, resulta.
 
SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR A DOIS
Como p1 = - s1, p2 = - s2, p3 = -s3 e p4 = -s4, então:
 
SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR A DOIS
Observe que os polos do sistema determinam a estabilidade ou não do sistema. Se todos polos estiverem no semiplano esquerdo (SPE) do plano complexos, o sistema será estável. Se qualquer um dos polos estiver no semiplano direito (SPD), o sistema será instável.
 
SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR A DOIS
 
SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR A DOIS
OBS:
1) O sistema será estável quando todos os polos da FTMF estiverem no SPE.
2) O tipo de resposta transitória é determinada pelos polos da FTMF, enquanto a forma dessa mesma resposta é determinada pelos zeros de malha fechada.
 
SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR A DOIS
3) A estabilidade ou instabilidade é uma característica do sistema linear e independe da entrada ou da função de excitação do sistema.
4) Os polos de R(s) determinam os termos da resposta permanente.
 
POLOS DOMINANTES
 O domínio relativo dos polos de malha fechada é determinado pela relação de suas partes reais e dos seus resíduos, cuja magnitude depende dos polos e dos zeros da FTMF.
 Se as relações das partes reais forem maiores que 5 e não houver zeros nas proximidades, então o polo dominante será o que estiver mais próximo ao eixo jw. 
 
POLOS DOMINANTES
 O ganho de um sistema de controle de ordem superior é, frequentemente ajustado para ter um par de polos complexos conjugados dominantes de malha fechada, pois sua presença reduz o efeito de certas não linearidades, tais como zona morta, folga e atrito de Coulomb.
 
EXERCÍCIO 1:
Determine a resposta ao degrau unitário do sistema cuja FTMF é dada por: 
 
SOLUÇÃO:
Temos que: 
 
SOLUÇÃO:
Expandindo em frações parciais: 
 
SOLUÇÃO:
 
 
SOLUÇÃO:
 
 
EXERCÍCIO 2:
Determine a resposta ao degrau unitário do sistema cuja FTMF é dada por: 
 
SOLUÇÃO:
Temos que: 
 
Expandindo em frações parciais
 
 
SOLUÇÃO:
 
Logo:
 
SOLUÇÃO:
 Tomando a transformada inversa: