AULA 9_Critério de estabilidade de Routh

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CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE
ROUTH
AULA 09
LUGAR DAS RAÍZES (ROOT LOCUS)
HÁ DUAS QUESTÕES IMPORTANTES SOBRE A ESTABILIDADE DE SISTEMAS DE CONTROLE:
1) EM QUE CONDIÇÕES UM SISTEMA SE TORNARÁ INSTÁVEL? 
2) SE FOR INSTÁVEL , COMO PODERÍAMOS ESTABILIZA-LO?
CRÍTERIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
CONSIDERE O SISTEMA DADO PELA FTMF:
ONDE aO  0 e nm.
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
OBS: O CRITÉRIO DE ROUTH POSSBILITA DETERMINAR O NÚMERO DE POLOS DA FTMF NO SEMIPLANO DIREITO (SPE).
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
ESCREVA O POLINÔMIO EM s COMPLETO DO DENOMINADOR.
ONDE ai É REAL E an  0 (NÃO HÁ RAIZ NULA)
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
2. SE ALGUM COEFICIENTE FOR ZERO OU NEGATIVO, NA PRESENÇA DE PELO MENOS UM COEFICIENTE POSITIVO, ENTÃO HAVERÁ UMA OU MAIS RAÍZES NO SPD E O SISTEMA NÃO SERÁ ESTÁVEL.
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
3. SE TODOS OS COEFICIENTES FOREM POSITIVOS, ORGANIZE OS COEFICIENTES DO POLINÔMIO EM LINHAS E COLUNAS, ACORDO COM O PADRÃO ABAIXO.
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
4) O CRITÉRIO DE ESTABILIDADEDE ROUTH AFIRMA QUE O NÚMERO DE RAÍZES NO SPD É IGUAL AO NÚMERO DE MUDANÇAS DE SINAL DOS COEFICIENTES DA 1ª COLUNA DA MATRIZ 
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
EXEMPLO 1: VERIFIQUE SE A EQUAÇÃO ABAIXO TEM RAIZ NO SPD. 
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
SOLUÇÃO:
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
SOLUÇÃO:
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
COMO HÁ DUAS TROCAS DE SINAL NA PRIMEIRA COLUNA DA TABELA, HÁ DUAS RAÍZES NO SPD.
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
EXEMPLO 2: VERIFIQUE SE A EQUAÇÃO ABAIXO TEM RAIZ NO SPD. 
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
SOLUÇÃO:
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
SOLUÇÃO:
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
COMO NÃO HÁ TROCAS DE SINAL NA PRIMEIRA COLUNA DA TABELA, NÃO HÁ RAÍZES NO SPD.
OBS: AS RAÍZES SÃO: -1, -2, -3, -5.
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CASOS ESPECIAIS:
1º CASO: SE UM TERMO NA PRIMEIRA COLUNA DE QUALQUER LINHA FOR NULO, MAS OS TERMOS RESTANTES NÃO O FOR OU NÃO EXISTIREM, ENTÃO, DEVE-SE SUBSTITUIRO TERMO NULOPOR UM NÚMERO POSITIVO MUITO PEQUENO E CALCULAR 
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CASOS ESPECIAIS:
 A) SE OS SINAIS DOS COEFICIENTES ACIMA E ABAIXO DO ZERO FOREM IGUAIS, HÁ UM PAR DE RAÍZES IMAGINÁRIAS (j).
B) SE OS SINAIS DOS COEFICIENTES, ACIMA E ABAIXO DO ZERO FOREM DIFERENTES, ENTÃO HAVERÁ DUAS MUDANÇAS DE SINAL, O QUE INDICA QUE HÁ DUAS RAÍZES NO SPD.
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CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
EXEMPLO 3: VERIFIQUE SE A EQUAÇÃO ABAIXO TEM RAIZ NO SPD. 
 
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CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
SOLUÇÃO: 
 
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CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
OBS: 
 
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CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
SOLUÇÃO: 
 
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CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
SOLUÇÃO: 
 
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CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
OBS: COMO 2 E 8 TEM MESMO SINAL, HÁ UM PAR DE RAÍZES SOBRE O EIXO IMAGINÁRIO:
	P1 = j2
	P2 = - J2
 
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EXEMPLO 4: VERIFIQUE SE A EQUAÇÃO ABAIXO TEM RAIZ NO SPD. 
 
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CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
SOLUÇÃO: 
 
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CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
 
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CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
SOLUÇÃO: 
 
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CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
SOLUÇÃO: 
 
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CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
OBS: COMO 2 E 2 TEM MESMO SINAL, HÁ UM PAR DE RAÍZES SOBRE O EIXO IMAGINÁRIO:
	P1 = j1
	P2 = - J1
 
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EXEMPLO 5: VERIFIQUE SE A EQUAÇÃO ABAIXO TEM RAIZ NO SPD. 
 
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CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
SOLUÇÃO: 
 COMPLETANDO A EQUAÇÃO:
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CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
SOLUÇÃO: 
 
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CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
 
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CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
SOLUÇÃO: 
 
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CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
OBS: COMO 1 E -203 TEM SINAIS OPOSTOS, HÁ UM PAR DE RAÍZES NO SPD.
AS RAÍZES SÃO.
	P1 = 1
	P2 = 1
	 P3= -2
 
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2º CASO: TODOS OS COEFICIENTES DE UMA LINHA SÃO NULOS.
NESSE CASO, FORMA-SE O POLINÔMIO AUXILIAR COM OS COEFICIENTES DA LINHA ANTERIOR. ESSE POLINÔMIO É DERIVADO E OS COEFICIENTES DA DERI-VADA SÃO USADOS PARA SUBSTITUIR OS DA LINHA ZERADA. 
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EXEMPLO 6: VERIFIQUE SE A EQUAÇÃO ABAIXO TEM RAIZ NO SPD. 
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
Solução:
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Solução:
O POLINÔMIO AUXILIAR É:
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Solução:
DERIVANDO:
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CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
OBS: COMO HÁ UMA ÚNICA TROCA DE SINAL DOS COEFICIENTES, ENTÃO HÁ UMA RAIZ NO SPD.
APLICAÇÃO DO CRITÉRIO DE ROUTH À ANÁLISE DE SISTEMAS DE CONTROLE
EXEMPLO: CONSIDERE O SISTEMA DE CONTROLE ABAIXO E ESTUDE SUA ESTABILIDADE.
APLICAÇÃO DO CRITÉRIO DE ROUTH À ANÁLISE DE SISTEMAS DE CONTROLE
SOLUÇÃO: A FTMA É:
APLICAÇÃO DO CRITÉRIO DE ROUTH À ANÁLISE DE SISTEMAS DE CONTROLE
SOLUÇÃO: VAMOS ESTUDAR OS ZEROS DA EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA, USANDO O CRITÉRIO DE ROUTH:
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
 
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
PARA QUE O SISTEMA SEJA ESTÁVEL, TODOS OS COEFICIENTES DA PRIMEIRA COLUNA DEVERÃO TER O MESMO SINAL. PORTANTO, K DEVERÁ SATISFAZER ÀS DUAS CONDIÇÕES:
							2 - 1,286K > 0
					 K > 0
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ASSIM, K DEVERÁ SATISFAZER ÀS DUAS CONDIÇÕES:
				 K > 0							
							 K< 1,555
					
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
LOGO, PAQUE O SISTEMA SEJA ESTÁVEL K DEVERÁ SATISFAZER A:
APLICAÇÃO DO CRITÉRIO DE ROUTH À ANÁLISE DE SISTEMAS DE CONTROLE
EXEMPLO: CONSIDERE O SISTEMA DE CONTROLE CUJA EQUAÇÃO CARACTERÍS-TICA É DADA ABAIXO E ESTUDE SUA ESTABILIDADE. :
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
 
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
PARA QUE O SISTEMA SEJA ESTÁVEL, TODOS OS COEFICIENTES DA PRIMEIRA COLUNA DEVERÃO TER O MESMO SINAL. PORTANTO, K DEVERÁ SATISFAZER ÀS DUAS CONDIÇÕES:
							9K – 54,5 > 0
					 K – 0,5 > 0
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
ASSIM, K DEVERÁ SATISFAZER ÀS DUAS CONDIÇÕES:
				 K > 0,5							
							 K> 6,055
					
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH
LOGO, PAQUE O SISTEMA SEJA ESTÁVEL K DEVERÁ SATISFAZER A: