AULA 10_Lugar das Raízes

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CONTROLE DE PROCESSOS
LUGAR DAS RAÍZES
AULA 02
LUGAR DAS RAÍZES (ROOT LOCUS)
CONSIDERE O SISTEMA
LUGAR DAS RAÍZES (ROOT LOCUS)
A FTMF É
LUGAR DAS RAÍZES (ROOT LOCUS)
A EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA É
ONDE G(s)H(s) É UM FUNÇÃO RACIONAL COMPLEXA.
LUGAR DAS RAÍZES (ROOT LOCUS)
OBSERVE QUE:
PORTANTO, 
LUGAR DAS RAÍZES (ROOT LOCUS)
G(s)H(s) DEVE SATISFAZER A DUAS CONDIÇÕES: 
1) CONDIÇÃO ANGULAR:
2) CONDIÇÃO DE MÓDULO:
LUGAR DAS RAÍZES (ROOT LOCUS)
DEF.: CHAMAMOS DE LUGAR DAS RAÍZES (LR) É O CONJUNTO DE PONTOS QUE SATISFAZEM A CONDIÇÃO ANGULAR:
 
LUGAR DAS RAÍZES (ROOT LOCUS)
SEJA:
ENTÃO:
 
LUGAR DAS RAÍZES (ROOT LOCUS)
ENTÃO:
 
LUGAR DAS RAÍZES (ROOT LOCUS)
CONSIDERANDO G(s)H(s) DADO POR:
 
LUGAR DAS RAÍZES (ROOT LOCUS)
ENTÃO:
CONSIDERANDO:
 
LUGAR DAS RAÍZES (ROOT LOCUS)
RESULTA:
 
LUGAR DAS RAÍZES (ROOT LOCUS)
ASSIM, OS PONTOS QUE PERTENCEM AO LUGAR DAS RAÍZES (LR), SATISFAZEM À CONDIÇÃO:
ONDE:
 
LUGAR DAS RAÍZES (ROOT LOCUS)
A CONDIÇÃO DE MÓDULO:
ONDE:
 
LUGAR DAS RAÍZES (ROOT LOCUS)
CONSIDERE
ONDE: 
LUGAR DAS RAÍZES (ROOT LOCUS)
ENTÃO, A FTMF SERÁ:
A EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA SERÁ:
 
LUGAR DAS RAÍZES (ROOT LOCUS)
A EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA SERÁ:
TOMANDO O LIMITE QUANDO K  0, RESULTA:
OU SEJA; QUANDO K  0, OS ZEROS DA EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA TENDEM PARA OS POLOS DA FTMA.
LUGAR DAS RAÍZES (ROOT LOCUS)
TAMBÉM:
TOMANDO O LIMITE QUANDO K  , RESULTA:
OU SEJA; QUANDO K  , OS ZEROS DA EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA TENDEM PARA OS ZEROS DA FTMA.
LUGAR DAS RAÍZES (ROOT LOCUS)
REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES
REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES
LOCALIZAR OS POLOS DE G(s)H(s) NO PLANO s.
Os ramos do LR se iniciam nos polos da FTMA e terminam nos zeros (finitos ou no infinito), a medida que K varia de zero a infinito.
Os LR são simétricos em relação ao eixo real, pois os polos e zeros complexos aparecem aos pares conjugados.
ONDE:
 
REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES
2. DETERMINAR OS TRECHOS DO LR NO EIXO REAL.
Os trechos do LR no eixo real são determinado pelos polos e zeros reais da FTMA. Os polos e zeros complexos não tem influência.
Um ponto s no eixo real pertence ao LR quando o número total de polos e zeros reais à sua direita for ímpar.
 
REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES
 Se os polos e zeros da FTMA forem simples, então o LR e seus complementos formarão segmentos alternados ao longo do eixo real.
 
REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LR.
3. DETERMINAR AS ASSÍNTOTAS DO LR.
ÂNGULOS DAS ASSÍNTOTAS:
	
PONTO DE EQUILÍBRIO.
 
REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LR
4. DETERMINAR OS PONTOS DE ENTRADA E SAÍDA SOBRE O EIXO REAL.
EM VIRTUDE DA SIMETRIA CONJUGADA DO LR, OS PONTOS DE SAÍDA OU ENTRADA NO EIXO REAL ESTÃO LOCALIZADOS SOBRE O EIXO REAL OU OCORREM EM PARES COMPLEXOS CONJUGADOS.
 
REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LR
CONSIDERANDO , ENTÃO, A EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA PODE SER ESCRITA COMO:
	A(s) + KB(s) = 0
OU
	
	
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REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LR
NOS PONTOS DE ENTRADA E SAÍDA DO EIXO REAL HÁ UM POLO DUPLO E PORTANTO:
LOGO, OS PONTOS DE ENTRADA E SAÍDA DO EIXO REAL SÃO AS RAÍZES DA EQUAÇÃO:
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REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LR
OBS: NEM TODAS AS RAÍZES DA EQUAÇÃO SÃO PONTOS DE ENTRADA OU SAÍDA.
5. ENCONTRAR OS PONTOS ONDE O LR CRUZA O EIXO IMAGINÁRIO.
ESSES PONTOS PODEM SER DETERMINADOS:
ATRAVÉS DO CRITÉRIO DE ROUTH.
FAZENDO s= jw NA EQUAÇÃO CARACTERISTICA E IGUALANDO A ZERO A PARTE REAL E S IMGINÁRIA. 
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REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES
EXERCÍCIOS 1: Considere o sistema com realimentação unitário, mostrado abaixo, e esboce o LR.
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REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES
SOLUÇÃO: Determinação do LR sobre o eixo real
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REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES
SOLUÇÃO: 
(2) Assíntotas
O centro de gravidade
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REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES
SOLUÇÃO:
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REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LR
SOLUÇÃO: Ponto de entrada ou saída no eixo real.
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REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LR
SOLUÇÃO: Ponto de cruzamento com eixo imaginário.
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REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LR
SOLUÇÃO: Ponto de cruzamento com eixo imaginário.
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REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LR
SOLUÇÃO: Ponto de cruzamento com eixo imaginário.
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REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LR
SOLUÇÃO:
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REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES
EXERCÍCIOS 2: Considere o sistema com realimentação negativa, mostrado abaixo, e esboce o LR.
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REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES
Os polos da FTMA são: 
		p1 = - 1
		p2 = - 3
Portanto, a FTMA pode ser escrita como:
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REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES
SOLUÇÃO: Determinação do LR sobre o eixo real
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REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES
SOLUÇÃO: 
(2) Assíntotas
O centro de gravidade
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REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES
SOLUÇÃO:
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REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LR
SOLUÇÃO: Não há pontos de entrada ou saída no eixo real, nem o LR cruza o eixo imaginário.
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REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LR
SOLUÇÃO:
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REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES
EXERCÍCIOS 3: Considere o sistema com realimentação negativa, mostrado abaixo, e esboce o LR.
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REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES
SOLUÇÃO: Os polos e zeros são:
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REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES
SOLUÇÃO: Determinação do LR sobre o eixo real
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REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LR 
SOLUÇÃO: 
(2) Assíntotas
O centro de gravidade
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REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES
SOLUÇÃO:
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REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LR
SOLUÇÃO: Ponto de entrada ou saída no eixo real.
Essa equação possui duas raízes reais que representam um ponto de entrada e um de saída.
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REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LR
SOLUÇÃO: Ponto de cruzamento com eixo imaginário.
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REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LR
SOLUÇÃO: Ponto de cruzamento com eixo imaginário.
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REGRAS PARA CONSTRUÇÃO DO LR
SOLUÇÃO:
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