MAT12 A - Caderno de Exercícios

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INCLUI:
 Sínteses com exemplos 
 Mais de 400 exercícios propostos 
 Respostas 
 
Caderno
de exercícios
M
A
T MATEMÁTICA A.º ANO ANTÓNIO PAMPULIMCRISTINA VIEGASSÉRGIO VALENTE
EDIÇÃO DO
PROFESSOR
Te
m
a
Te
m
a
Te
m
a
Cálculo
Combinatório
Funções Reais 
de Variável Real
Probabilidades
Índice
1 3
2
1. Propriedades das operações sobre conjuntos 4
Propriedades que envolvem a relação de inclusão 4
Propriedades das operações de interseção e união 4
Leis de De Morgan 4
Relação da diferença de conjuntos com a interseção e o 
complementar 4
Propriedades que envolvem o produto cartesiano 4
2. Introdução ao cálculo combinatório 7
Cardinal de um conjunto. Conjuntos equipotentes 7
Princípio geral da multiplicação 8
Princípio geral da adição 8
Arranjos com repetição de n elementos, 
p a p (nA’p) 8
Extrações com reposição 9
Permutações. Conceito de fatorial 10
Arranjos de n elementos, p a p (nAp) 12
Extrações sem reposição 12
Combinações de n elementos, p a p (nCp) 14
Conjunto das partes de um conjunto 14
3. Triângulo de Pascal e binómio de Newton 18
Triângulo de Pascal 18
Propriedades das combinações 18
Binómio de Newton 18
1. Limites e continuidade 36
Limites de sucessões 36
Limite da soma, produto, quociente e potência de 
sucessões convergentes 36
Propriedades envolvendo limites infinitos 
(escrita abreviada) 37
Indeterminações 37
Teoremas de comparação para sucessões 38 
Teorema das sucessões enquadradas 39
Limites de funções (revisão) 40
Teoremas de comparação para funções 41
Teorema das funções enquadradas 42
Teorema de Bolzano-Cauchy ou teorema dos valores 
intermédios 43
Teorema de Weierstrass 45
2. Derivadas de funções reais de variável real 
e aplicações 46
Derivadas de funções reais de variável real (revisão) 46
Função derivada 47
Teoremas 48
Derivada de segunda ordem de uma função 48
Sinal da derivada de segunda ordem num ponto 
crítico 49
Pontos de inflexão e concavidades de funções duas 
vezes diferenciáveis 50
Interpretação cinemática da derivada de segunda 
ordem 51
Traçado de gráficos 52
Resolução de problemas 53
1. Definir espaços de probabilidade 22
Experiência aleatória 22
Espaço amostral ou universo dos resultados 22
Acontecimento 22
Espaço dos acontecimentos 23
Axiomática de Kolmogorov. Espaço de probabilidade.
Propriedades 23
Acontecimentos equiprováveis 24
Regra de Laplace 24
2. Definir probabilidade condicionada 27
Probabilidade condicionada 27
Probabilidade da interseção de dois acontecimentos 29
Teorema da probabilidade total 30
Acontecimentos independentes. Propriedades 32
Te
m
a
Funções 
Exponenciais 
e Funções 
Logarítmicas4
1. Juros compostos e número de Neper 56
Resolução de problemas envolvendo juros 
compostos 56
Sucessão de termo geral un = a1 + 1n b
n 
 e número 
de Neper 57
2. Funções exponenciais 59
Função exponencial de base a : monotonia, limites 
e propriedades algébricas 59
Te
m
a
Te
m
a
Te
m
a
Trigonometria 
e Funções 
Trigonométricas
Primitivas 
e Cálculo Integral
Números 
Complexos
5
6
7
Resolução de equações e inequações envolvendo 
exponenciais 60
Limite da sucessão de termo geral un = a1 + kn b
n 
 61
Limite notável 62 
Derivada da função exponencial (ex) 62
3. Funções logarítmicas 63
Função logarítmica de base a : monotonia, limites 
e propriedades algébricas 63
Resolução de equações e inequações envolvendo 
logaritmos 65
Derivadas das funções exponenciais e das funções 
logarítmicas 66
Limites notáveis 66
4. Resolução de problemas e modelos 
exponenciais 67
Resolução de problemas 67
Modelos exponenciais 73
1. Fórmulas trigonométricas 77
Fórmulas trigonométricas 77
Equações e inequações trigonométricas. Resolução 
de problemas 79
2. Limites e derivadas de funções 
trigonométricas 81
Limites de funções trigonométricas 81
Derivadas de funções trigonométricas 82
3. Osciladores harmónicos e a segunda lei 
de Newton 88
Modelos periódicos 88
Oscilador harmónico 91
Sistema formado por uma mola e por um ponto 
material colocado na respetiva extremidade 94
1. Noção de primitiva 98
Conceito de primitiva 98
Propriedades fundamentais 99
Regras de primitivação 100
1. Introdução aos números complexos. Operar com 
números complexos 110
Números complexos na forma a + bi , a, b å R 110
Igualdade de números complexos 110
Adição e multiplicação de números complexos 112 
Potência de um número complexo 112
Representação de um número complexo num 
referencial ortonormado 113
Módulo de um número complexo 114
Conjugado de um número complexo 115 
Divisão de números complexos. Inverso de um número 
complexo não nulo 115 
2. Forma trigonométrica de um número complexo 118
Argumento de um número complexo 118
Exponencial complexa 120
Forma trigonométrica de um número complexo 120
Operações com números complexos na forma 
trigonométrica 122
3. Raízes de um número complexo 123
Raízes de um número complexo 123
Equações do segundo grau 125
4. Operar com números complexos e transformações 
geométricas. Condições em C e sua representação 
no plano complexo 126
Operações com números complexos e transformações 
geométricas 126
Condições em C e sua representação no plano 
complexo 127
2. Noção de integral 102
Conceito de integral 102 
Monotonia do integral 102
Teorema fundamental do cálculo integral 103
Fórmula de Barrow 104
Propriedades dos integrais 105
Integral de uma função não positiva 107
Integral de uma função onde pode ocorrer um número 
finito de mudanças de sinal 108
Respostas 129
Te
m
a Cálculo 
Combinatório1
1. Propriedades das operações 
sobre conjuntos
Propriedades que envolvem a relação de inclusão
Sejam A , B e C conjuntos contidos num universo U .
Têm-se as seguintes propriedades:
1. A ƒ B § A © B = A 2. A ƒ B § A ∂ B = B
3. Oƒ A 4. A ƒ B § B ƒ A
5. A ƒ B ± A © C ƒ B © C 6. A ƒ B ± A ∂ C ƒ B ∂ C
Propriedades das operações de interseção e união
Sejam A , B e C conjuntos contidos num universo U .
Têm-se as seguintes propriedades:
Propriedades Interseção União
Comutativa A © B = B © A A ∂ B = B ∂ A
Associativa (A © B ) © C = A © (B © C ) (A ∂ B ) ∂ C = A ∂ (B ∂ C )
Idempotência A © A = A A ∂ A = A
Elemento neutro A © U = A A ∂O = A
Elemento absorvente A © O =O A ∂ U = U
Distributivas
A © (B ∂ C ) = (A © B ) ∂ (A © C )
A ∂ (B © C ) = (A ∂ B ) © (A ∂ C )
Leis de De Morgan
Sejam A e B conjuntos contidos num universo U . 
Têm-se as seguintes propriedades:
1. A © B = A ∂ B 2. A ∂ B = A © B 
Relação da diferença de conjuntos com a interseção 
e o complementar
Tem-se A \B = A © B .
Propriedades que envolvem o produto cartesiano
Sejam A e B conjuntos contidos num universo U e seja C um conjunto contido num 
universo V . Têm-se as seguintes propriedades:
1. 1A ∂ B2 * C = 1A * C2 ∂ 1B * C2 2. C * 1A ∂ B2 = 1C * A2 ∂ 1C * B2
4
1. Considera, no universo U = f- 6, 9g , os conjuntos:
A = 5x å U : 3x2 - 5x - 28 ≥ 06 B = ex å U : ` x
2
- 1 ` < 3f
Determina cada um dos seguintes conjuntos. 
Apresenta as tuas respostas utilizando a notação de intervalos de números reais.
a) A c- 6, - 7
3
d ∂ f4, 9g b) B g- 4, 8f c) A © B d- 4, - 7
3
d ∂ f4, 8f
d) A ∂ B f- 6, 9g e) B f- 6, - 4g ∂ f8, 9g f) B \ A d - 7
3
 , 4c
2. Considera:
o polinómio p1x2 tal que p1x2 = 3x3 + x2 - 19x + 5 ;
a sucessão 1un2 de termo geral un = 3n - 1n + 1 .
Sejam, no universo R , os conjuntos:
A = 5a åR : o resto da divisão de p1x2 por x - a é igual a - 106
B = 5u1, u2, u36
a) Representa em extensão os conjuntos A e B . A = e - 3, 1, 5
3
f ; B = e1, 5
3
, 2f 
b) Para cada número real c , seja C = ec, 1, 5
3
, 3f .
Indica o valor de c , tal que:
b1) A © C = A c = - 3
b2) B ∂ C = C c = 2
3. Sejam A e B conjuntos contidos num universo U .
Justifica queA © B = A se e só se A ∂ B = A .
4. Sejam A , B e C conjuntos contidos num universo U . Sabe-se que A ∂ B ƒ C .
a) Completa:
a1) A © C = A
a2) B ∂ C = C
b) Justifica que:
b1) A \ B ƒ C
b2) A ∂ B ƒ C§C = U
5. Sejam A , B e C conjuntos contidos num universo U . 
Sabe-se que A ∂ B ƒ C e A © B = O .
Justifica que:
a) C ƒ A
b) B ƒ A
c) C \ A ƒ B
5
Tema 1 | Cálculo Combinatório
6. Sejam A e B conjuntos contidos num universo U . Simplifica as seguintes expressões.
a) B ∂ 1 B ∂ A2 U
b) A © 1B © A2 A © B
c) A © 1B © A 2 O
d) f1A © B2 © B g ∂ A A
e) A ∂ 1B © A 2 A ∂ B
f) f1A © B2 ∂ Bg © B O
g) 1B © A2 ∂ 1B © A 2 B
h) fA © 1B © A 2g ∂ A U
7. Indica se cada uma das igualdades seguintes é verdadeira, para quaisquer conjuntos A , B 
e C , subconjuntos de um dado universo U . Caso contrário, apresenta um contraexemplo.
a) A ∂ 1B \ A2 = B Falsa
b) A © B © C = A ∂ B ∂ C Verdadeira
8. Considera os conjuntos A = 5- 3, 0, 16 e B = 5- 2, 26 .
a) Representa em extensão o conjunto A * B . 
A * B = 51 - 3, - 22, 1 - 3, 22, 10, - 22, 10, 22, 11, - 22, 11, 226
b) Existirá alguma função de A em B cujo gráfico seja A * B ? Justifica a tua resposta.
9. Considera os conjuntos A = 52, 3, 56 e B = 51, 4, 66 .
a) Seja C = 51x, y2å A * B : x < y6 . Representa em extensão o conjunto C . 512, 42, 12, 62, 13, 42, 13, 62, 15, 626
b) Seja D = 51x, y2å A * B : y = x2 - 36 . Representa em extensão o conjunto D . 512, 12, 13, 626
c) Seja E = 51x, y2å A * B : 0x - y 0 = 16 . Considera, em referencial o.n. xOy , o quadri-
látero cujos vértices são os pontos associados aos elementos de E . Determina a área 
desse quadrilátero. 5
10. Sejam A , B e C conjuntos contidos num universo U . Justifica que:
a) A \ B * C = 1 A * C2 ∂ 1B * C2
b) 1A * B2 ∂ 1 A * B2 = U * B
c) A * C = B * C§A = B
d) 1 A * C2 ∂ 1 B * C2 = A * C§A ƒ B
11. Sejam A e B conjuntos contidos num universo U . 
Prova que A * B = O§A = O› B = O .
Não. Por exemplo, o objeto - 3 teria duas imagens: - 2 e 2. 
6
2. Introdução ao cálculo combinatório
Cardinal de um conjunto. Conjuntos equipotentes
Dado um conjunto A , finito, dá-se o nome de cardinal de A ao número de elementos 
de A . O cardinal de A representa-se por #A . Tem-se #O = 0 .
Dados conjuntos A e B , tem-se que #A = #B se e somente se existe uma bijeção de 
A em B . Diz-se, então, que A e B são equipotentes.
Propriedades
Sejam A e B conjuntos finitos não vazios. 
Tem-se:
1. #1A * B2 = #A * #B
2. A © B =O±#1A ∂ B2 = #A + #B
12. Considera o conjunto:
U = 5- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 46
Seja A = Ux å U : "|x| åN0V .
a) Determina #A . 5
b) Seja B um subconjunto de U tal que A © B = O e #1A ∂ B2 = 8 . 
Indica o valor de:
b1) #B 3
b2) #1 A © B 2 1
c) Seja C um subconjunto de U tal que #1A * C2 = 20 . 
Indica o valor de #C . 4
13. Sejam A e B subconjuntos de um dado universo U .
a) Mostra que:
a1) #A = #1A © B2 + #1A © B 2
a2) B ƒ A±#1A \ B2 = #A - #B
b) Sabe-se que #U = 16 , #1A * A 2 = 48 e #A > #A .
Determina quantos elementos tem o conjunto A . 12
7
Tema 1 | Cálculo Combinatório
Princípio geral da multiplicação 
(generalização da propriedade 1) 
Se, para realizar uma tarefa, forem necessárias k etapas, se existirem n1 maneiras de 
realizar a primeira etapa, se, para cada uma delas, existirem n2 maneiras de realizar 
a segunda etapa, e assim sucessivamente, até à k-ésima etapa, então a tarefa pode ser 
realizada de n1 * n2 * … * nk maneiras diferentes.
Exemplo: 
Numa certa pastelaria estão à venda quatro tipos de bolos: bolas 
de Berlim, pastéis de nata, queques e queijadas. Três amigos, a 
Ana, a Bárbara e o Carlos, vão lanchar a essa pastelaria e decidem 
comer um bolo cada um. A Ana não gosta de queques. O Carlos 
só gosta de bolas de Berlim e de pastéis de nata. 
De quantas maneiras diferentes podem ser escolhidos os bolos?
Resposta: 3 * 4 * 2 = 24
Princípio geral da adição 
(generalização da propriedade 2) 
Se, para realizar uma tarefa, existirem k opções que se excluem duas a duas, e se 
existirem n1 maneiras de realizar a primeira opção, n2 maneiras de realizar a segunda 
opção, …, nk maneiras de realizar a k-ésima opção, então a tarefa pode ser realizada de 
n1 + n2 + … + nk maneiras diferentes.
Exemplo: 
A Lurdes vai a uma festa. Ela pode levar um vestido ou pode levar uma blusa e uma saia. 
A Lurdes tem quatro vestidos, seis blusas e cinco saias. 
De quantas maneiras diferentes pode a Lurdes ir vestida para a festa?
Resposta: 4 + 6 * 5 = 34
Arranjos com repetição de n elementos, p a p 1nA'p2
Ao número de sequências de p elementos, não necessariamente distintos, escolhidos 
num conjunto de cardinal n , dá-se o nome de arranjos com repetição de n elemen-
tos, p a p . Tem-se nA'p = n
p .
Exemplo: 
Quantos códigos de cartão multibanco é possível 
formar?
Resposta: 10A'4 = 10
4 = 10 000
continua
8
Extrações com reposição 
Dados n objetos, existem exatamente nA'p formas distintas de efetuar p extrações 
sucessivas de um desses objetos, repondo o objeto escolhido após cada uma das ex-
trações.
Exemplo: 
Uma caixa contém nove bolas, numeradas de 1 a 9. Com o objetivo de construir um 
número com cinco algarismos, efetuam-se cinco extrações sucessivas de uma bola, 
repondo-a na caixa após cada extração. A primeira bola extraída fornece o algarismo 
das unidades, a segunda bola fornece o algarismo das dezenas, e assim sucessivamente. 
Quantos números diferentes é possível construir?
Resposta: 9A'5 = 9
5 = 59 049
14. Lançou-se um dado cúbico, com as faces numeradas de 1 a 6, e um dado octaédrico, com 
as faces numeradas de 1 a 8, e registaram-se os números das faces que ficaram voltadas 
para cima.
Quantos são os resultados possíveis para esta experiência? 48
15. Considera os conjuntos A = {2, 3, 5, 7} , B = {1, 3, 5, 7, 9} e C = {2, 4, 8} .
Em referencial o.n. Oxyz , considera os pontos tais que as abcissas pertencem ao 
conjunto A , as ordenadas pertencem ao conjunto B e as cotas pertencem ao conjunto C .
Quantos são esses pontos? 60
16. Seja D o conjunto dos números naturais maiores do que 10 e menores do que 99.
Determina quantos são os elementos de D em que o produto dos dois algarismos é um 
número natural par. 56
17. Determina o número de sequências diferentes que se podem formar inserindo quatro mis-
sangas num fio, sabendo que estão disponíveis missangas vermelhas, verdes e azuis (para 
cada uma destas cores, há mais de quatro missangas disponíveis). 81
18. Um saco contém sete cartões, numerados de 1 a 7. Extrai-se um cartão do saco, regista-se o 
algarismo nele inscrito e repõe-se o cartão no saco. Efetua-se este procedimento três vezes. 
Os três algarismos registados formam um número. A primeira extração corresponde ao 
algarismo das centenas, a segunda ao das dezenas e a terceira ao das unidades.
a) Quantos números é possível formar? 343
b) Dos números que é possível formar, determina quantos:
b1) têm exatamente dois algarismos pares; 108
b2) são ímpares. 196
continuação
9
Tema 1 | Cálculo Combinatório
Permutações. Conceito de fatorial 
Dado um conjunto de cardinal n , a cada maneira de ordenar os seus n elementos dá-se 
o nome de permutação desses n elementos.
O número de permutações de n objetos é n * 1n - 12 * … * 2 * 1 = n! (lê-se n fato-
rial).
Tem-se a seguinte convenção: 0! = 1 .
Exemplo: 
De quantas maneiras diferentes se podem sentar cinco pessoas num banco corrido com 
cinco lugares?
Resposta: 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
19. Quantos arco-íris se poderiam formar se as suas sete 
cores pudessem permutar entre si? 5040
20. Seis jovens, a Ana, a Beatriz, o Carlos, a Dália, o Eduardo e a Filipa vão concorrer a 
um sorteio de seis viagens, a saber, a Barcelona, Berlim, Londres, Madrid, Paris e Roma. 
Supondo que cada jovem vai ganhar uma viagem, de quantas maneiras diferentes pode 
resultareste sorteio? 720
21. A Sandra quer arrumar doze livros de aventuras numa prateleira de uma estante, que tem 
o tamanho exato para o efeito. Desses doze livros, cinco são da coleção Uma Aventura, de 
Ana Maria Magalhães e Isabel Alçada, quatro são da coleção Os Cinco, de Enid Blyton, 
e os restantes três são de uma coleção de Júlio Verne. Determina de quantas maneiras di-
ferentes podem os doze livros ficar dispostos na prateleira, se:
a) não houver restrições; 479 001 600
b) na extremidade esquerda ficar um livro de Júlio Verne; 119 750 400
c) na extremidade esquerda ficar um livro de Júlio Verne e na extremidade direita ficar um 
livro de Enid Blyton; 43 545 600
d) os dois livros do meio forem ambos da coleção Uma Aventura; 72 576 000
e) os quatro livros do meio forem os da coleção Os Cinco; 967 680
f) os livros de cada coleção ficarem juntos; 103 680
g) os livros de Júlio Verne ficarem juntos; 21 772 800
h) o livro Os Cinco na Ilha do Tesouro não ficar ao lado do livro Uma Aventura em Lisboa; 
399 168 000
i) os dois livros do meio forem de coleções diferentes. 341 107 000
10
22. Uma seleção de hóquei em patins é constituída por dez jogadores.
Admite que, na seleção de hóquei em patins de um certo país, estão quatro jogadores do 
clube A, três jogadores do clube B e os restantes três jogadores pertencem a outros tantos 
clubes.
Os dez jogadores vão posar para uma fotografia, colocando-se uns ao lado dos outros.
Indica quantas fotografias diferentes se podem tirar, se:
a) os quatro jogadores do clube A ficarem no meio; 17 280
b) os quatro jogadores do clube A ficarem juntos, bem como os três jogadores do clube B;
c) os sete jogadores dos clubes A e B ficarem juntos, ficando cada jogador do clube B entre 
dois do clube A. 3456
23. Num debate participam oito convidados, havendo dois representantes por cada uma de qua-
tro organizações. O debate vai ser moderado por uma pessoa que já se encontra sentada num 
dos lados de uma mesa retangular. Os oito participantes no debate vão sentar-se nessa mesa, 
quatro à esquerda do moderador e quatro à sua direita. De quantas maneiras se podem dis-
por esses oito participantes, de modo que os elementos da mesma organização fiquem juntos?
24. Completa cada uma das seguintes igualdades:
a) 15! = 15 * 14! 
b) 16! * 17 = 17! 
c) 
5!
5
= 4! 
d) 
9!
8!
= 9 
e) 
7!
5!
= 42 
25. Resolve, em N , as seguintes equações:
a) 
n2
5!
= 1 + n
2
6!
 12
b) 
1n + 12! - n!
1n + 12! + n! = 0,9 18
26. Utilizando o método de indução matemática, prova que, para qualquer número natural n , 
se tem:
a) a
n
k = 1
 k - 1
k!
= 1 - 1
n!
b) 1n + 12! ≥ 2n
17 280
384
11
Tema 1 | Cálculo Combinatório
Arranjos de n elementos, p a p (nAp)
Ao número de sequências de p elementos distintos, escolhidos num conjunto de cardi-
nal n 1n ≥ p2, dá-se o nome de arranjos de n elementos, p a p . 
Tem-se:
nAp = n * 1n - 12 * … * 1n - p + 12 = n!1n - p2! twwwwuwwwwv
 p fatores
Exemplo: 
Quantos códigos de cartão multibanco, que tenham todos os algarismos diferentes, 
é possível formar?
Resposta: 10A4 = 10 * 9 * 8 * 7 = 5040
Extrações sem reposição
Dados n objetos diferentes, existem exatamente nAp formas distintas de efetuar p 
extrações sucessivas de um desses objetos, não repondo o objeto escolhido após cada 
uma das extrações.
Exemplo: 
Uma caixa contém nove bolas, numeradas de 1 a 9. Com o objetivo de construir um 
número com cinco algarismos diferentes, efetuam-se cinco extrações sucessivas de uma 
bola, sem a repor na caixa após cada extração. A primeira bola extraída fornece o alga-
rismo das unidades, a segunda bola fornece o algarismo das dezenas, e assim sucessiva-
mente. 
Quantos números diferentes é possível construir?
Resposta: 9A5 = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 = 15 120
27. Oito atletas vão fazer uma corrida. 
De quantas maneiras diferentes se poderão colocar três 
deles no pódio? 336
28. Uma empresa fabrica dois tipos de pratos para colocar aperitivos. Num dos tipos, os pra-
tos estão divididos em três setores diferentes e, no outro tipo, em quatro setores diferentes.
Em ambos os tipos, cada setor é pintado de uma cor, não se repetindo cores num mesmo 
prato.
As cores utilizadas para os pratos do primeiro tipo são o azul, o branco, o castanho, 
o preto e o verde e para os pratos do segundo tipo são o amarelo, o branco, o preto, 
o roxo, o verde e o vermelho.
Determina o número de pratos diferentes que esta empresa pode fabricar. 420
12
29. Seja P = {2, 3, 5, 7} . Considera o conjunto A dos números naturais compreendidos entre 
10 e 1000 cujos algarismos pertencem ao conjunto P .
a) Determina o cardinal de A . 80
b) Determina quantos elementos de A têm os algarismos todos diferentes. 36
c) De entre os elementos de A considerados na alínea anterior, determina quantos são 
múltiplos de 2 ou de 5. 18
d) Determina quantos elementos do conjunto A têm dois ou três algarismos iguais. 44
30. Um saco contém sete cartões, numerados de 1 a 7. Extraem-se, sem reposição, três cartões 
e dispõem-se da esquerda para a direita pela ordem de saída, formando um número.
a) Quantos números é possível formar? 210
b) Dos números que é possível formar, determina quantos:
b1) têm exatamente dois algarismos pares; 72
b2) são ímpares. 120
31. O código de acesso a um determinado serviço de internet é constituído por cinco letras 
e dois algarismos. Admite que os dois algarismos estão sempre situados nas duas últimas 
posições.
Admite, ainda, que podem ser usadas as 26 letras do alfabeto e os 10 algarismos.
Determina quantos códigos diferentes se podem formar:
a) se não houver restrições; 1 188 137 600
b) não repetindo letras e não repetindo algarismos; 710 424 000
c) que não contenham vogais e em que os dois algarismos sejam iguais; 40 841 010
d) em que as três primeiras letras sejam vogais e apenas possam ser utilizados os algaris-
mos 3, 5 e 7; 760 500
e) que não contenham consoantes e em que as letras sejam todas diferentes; 12 000
f) em que a soma dos dois algarismos seja um número ímpar maior do que 12. 142 576 512
32. Seja A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} . Considera o conjunto B dos números naturais compreendi-
dos entre 5000 e 10 000 cujos algarismos pertencem ao conjunto A .
a) Determina o cardinal de B . 1715
b) Dos elementos de B , quantos têm os algarismos todos diferentes? 600
c) Dos elementos de B , quantos têm pelo menos dois algarismos iguais? 1115
33. Seja M o conjunto dos números naturais maiores do que 1000 e menores do que 5666.
a) Quantos elementos de M têm os algarismos todos diferentes? 2331
b) Quantos elementos de M não têm dois algarismos consecutivos iguais? 3375
c) Quantos elementos de M são capicuas? 47
34. Com os algarismos 2, 3, 5 e 7, quantos números naturais se podem escrever que tenham no 
máximo quatro algarismos, nunca repetindo algarismos em cada número? 64
13
Tema 1 | Cálculo Combinatório
35. Numa paragem de um autocarro estão 12 pessoas: seis homens e seis mulheres. Dois dos 
homens são idosos.
Para um autocarro que apenas tem dez lugares sentados disponíveis.
Os dois idosos são as primeiras pessoas a entrar e vão sentar-se. Seguidamente, sentam-se 
as seis mulheres. Finalmente, sentam-se mais dois homens.
De quantas maneiras diferentes podem ficar ocupados os dez lugares sentados, respeitan-
do estas condições? 21 772 800
36. Sejam A e B os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {4, 5, 6, 7} .
a) Quantas funções têm o conjunto A por domínio e o conjunto B por conjunto de 
chegada? 64
b) Quantas funções, de entre as da alínea anterior, são injetivas? 24
Combinações de n elementos, p a p (nCp) 
Ao número de subconjuntos com p elementos de um conjunto de cardinal n 1n ≥ p2 
dá-se o nome de combinações de n elementos, p a p . Tem-se nCp =
nAp
p!
=
n!
p! 1n - p2! .
Exemplos: 
1. De um baralho completo de 52 cartas, extrai-se um conjunto de quatro cartas, que se 
entrega a umjogador. Quantos conjuntos diferentes pode esse jogador receber?
Resposta: 52C4 =
52A4
4!
= 52 * 51 * 50 * 49
4 * 3 * 2 * 1
= 270 725
2. Na figura está representado um tabuleiro com 15 casas, 
dispostas em cinco filas verticais (A, B, C, D e E) e em três 
filas horizontais (1, 2 e 3). Pretende-se dispor seis fichas 
iguais no tabuleiro, de modo que cada ficha ocupe uma 
única casa e que cada casa não seja ocupada por mais do 
que uma ficha. De quantas maneiras diferentes é possível 
dispor as seis fichas no tabuleiro?
Resposta: 15C6 =
15A6
6!
= 15 * 14 * 13 * 12 * 11 * 10
6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
= 5005
Conjunto das partes de um conjunto
Dado um conjunto A , ao conjunto de todos os subconjuntos de A dá-se o nome de 
conjunto das partes de A . O conjunto das partes de A representa-se por P 1A2 . Se um 
conjunto A tem cardinal n 1n åN02, então o conjunto das partes de A tem cardinal 2n .
Exemplo: 
Seja V = 5a, e, i, o, u6 . Quantos são os subconjuntos de V que têm pelos menos dois 
elementos?
Resposta: 25 - 11 + 52 = 26 (à totalidade dos subconjuntos de V , retira-se o conjunto 
vazio e os cinco conjuntos que contêm um único elemento).
A B C D E
1
2
3
14
37. Cada equipa de voleibol é constituída por doze jogadores: seis efetivos e seis suplentes. 
O treinador de uma certa equipa vai escolher os seis efetivos para iniciar um jogo. 
Quantas escolhas diferentes pode fazer? 924
38. Considera cinco pontos pertencentes a uma circunferência.
a) Quantas cordas existem com extremos nestes pontos? 10
b) Quantos triângulos existem com vértices nestes pontos? 10
39. A Maria vai organizar um lanche. Para isso, vai a uma pastelaria onde se vendem 14 tipos 
diferentes de bolos.
a) Se a Maria comprar seis bolos diferentes, quantas escolhas pode fazer? 3003
b) A Maria optou por comprar seis bolos iguais. Vai dispô-los num prato dividido em dez 
setores, cada um com a sua cor. De quantas maneiras diferentes pode a Maria dispor 
os seis bolos no prato? 210
40. A direção de uma coletividade tem de se fazer representar por três dos seus sete membros, 
numa cerimónia oficial. Os sete membros da direção são a Ana, a Sofia, a Lurdes, o Mário, 
o Agostinho, o Paulo e o Artur.
a) Quantas comissões diferentes poderão ser constituídas? 35
b) Quantas comissões diferentes poderão ser constituídas em que a Ana esteja incluída? 15
c) Quantas comissões diferentes poderão ser constituídas em que a Sofia e o Artur não 
estejam simultaneamente? 30
d) Quantas comissões diferentes poderão ser constituídas, de tal modo que os dois sexos 
estejam representados? 30
41. O João tem uma caixa para guardar lápis e canetas. A caixa está dividida em dez compar-
timentos diferentes. Cada compartimento só pode ser ocupado por um único lápis ou por 
uma única caneta.
O João vai lá guardar cinco lápis, todos iguais, e cinco canetas, todas diferentes.
Quantas disposições diferentes poderão ocorrer? 30 240
42. Cada chave do euromilhões é constituída por cinco números (de entre os números naturais 
de 1 a 50) e por mais dois números, as estrelas (de entre os números naturais de 1 a 12). 
Quantas chaves diferentes podem ocorrer no euromilhões? 50C5 *
12C2 = 139 838 160
15
Tema 1 | Cálculo Combinatório
43. Dez amigos, cinco raparigas e cinco rapazes, decidiram organizar-se para disputar um 
torneio de ténis.
Para esse efeito, vão criar cinco equipas mistas, A, B, C, D e E, de dois jogadores cada uma. 
a) De quantas maneiras diferentes se podem distribuir os dez amigos pelas cinco equipas? 
14 400
b) Admite agora que as equipas já estão formadas. Supondo que cada equipa vai jogar 
um único jogo com cada uma das outras, determina o número de jogos que comporá 
o torneio. 10
44. Cinco irmãs possuem, em conjunto, nove pares de brincos. Três desses pares são iguais 
e os restantes seis são diferentes entre si e diferentes dos três primeiros. 
As cinco irmãs vão sair para uma festa e cada uma delas leva um par de brincos. 
Quantas escolhas diferentes podem fazer, se decidirem que três delas levam os três pares 
iguais? 300
45. Doze crianças vão-se mascarar para uma festa de Carnaval. 
Dispõem de cinco máscaras de palhaço (todas iguais), de quatro 
máscaras de arlequim (também todas iguais) e de três máscaras 
de príncipe medieval (todas diferentes). 
De quantas maneiras diferentes se podem distribuir as doze 
máscaras pelas doze crianças? 166 320
46. Quantos são os números naturais de sete algarismos em que exatamente três deles são 
iguais a 5 e os restantes quatro são todos diferentes? 99 120
47. Uma turma do 12.º ano tem 20 alunos.
a) Os 20 alunos da turma vão distribuir-se por quatro equipas (A, B, C e D) para dispu-
tarem um torneio de futsal. Cada equipa é constituída por cinco jogadores. Determi-
na o número de maneiras diferentes de distribuir os 20 jovens pelas quatro equipas. 
Apresenta a tua resposta na forma a * 10n , com a arrendondado às centésimas e n 
natural. 1,17 * 1010
b) Uma livraria decidiu oferecer um livro, entre dois títulos disponíveis, a cada aluno desta 
turma.
b1) Quantas escolhas diferentes podem os 20 alunos fazer? 1 048 576
b2) Pertencem a esta turma dois irmãos. Se eles não escolherem o mesmo livro, quantas 
escolhas diferentes podem os alunos fazer? 524 288
48. De quantas maneiras se podem colocar seis bolas distintas em nove caixas distintas, po-
dendo haver mais do que uma bola por caixa, mas não mais de quatro em cada caixa? 
531 000
16
49. Determina de quantas maneiras é possível 
selecionar cinco cartas de um baralho com-
pleto (52 cartas), de forma que:
a) quatro sejam figuras e a outra seja um ás; 
1980
b) no conjunto das cinco cartas, existam 
exatamente duas figuras e existam exa-
tamente três cartas de espadas, podendo 
também existir cartas que não sejam fi-
guras, nem sejam de espadas (exemplo: 
{dama de espadas, 10 de espadas, 6 de 
espadas, valete de copas, 5 de ouros}). 
53 820
50. Considera um prisma hexagonal reto.
a) Quantas retas distintas passam por dois vértices do prisma e não contêm qualquer 
aresta do prisma? 48
b) Das retas identificadas na alínea anterior, quantas são paralelas às bases? 18
c) Um vértice de uma base e dois vértices da outra base são vértices de um mesmo triân-
gulo. Quantos desses triângulos existem? 180
d) Pretende-se pintar as faces do prisma de modo que duas faces com arestas comuns não 
tenham a mesma cor, mas faces paralelas tenham a mesma cor. Sabendo que existem 
seis cores disponíveis, de quantas maneiras diferentes é possível pintar o prisma? 360
51. Determina o perímetro de um polígono regular, sabendo que tem 20 diagonais e que o 
comprimento de cada lado é 3. 24
52. Seja d 1n2 o número de diagonais de um polígono com n lados 1n ≥ 42.
Mostra que d 1n + 12 - d 1n2 = n - 1 .
53. Um conjunto tem 4096 subconjuntos. 
Quantos desses subconjuntos têm exatamente seis elementos? 924
17
3. Triângulo de Pascal e binómio de Newton
Triângulo de Pascal 
Dá-se o nome de triângulo de Pascal à seguinte disposição dos valores de nCk :
0C0
1C0 
1C1
2C0
2C1
2C2
3C0
3C1
3C2
3C3
4C0
4C1
4C2
4C3
4C4
… … … … … … 
ou seja,
 
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
… … … … … …
Propriedades das combinações 
(ao lado de cada propriedade destaca-se a sua interpretação, em termos do 
triângulo de Pascal)
Sejam n e k pertencentes a N0 , com n ≥ k . 
Tem-se:
1. nC0 =
nCn = 1 (o primeiro e o último elemento de cada linha são ambos iguais a 1)
2. nCk =
nCn - k (em cada linha, elementos a igual distância dos extremos são iguais)
3. nCk +
nCk + 1 =
n + 1Ck + 1 (cada elemento, que não esteja num dos extremos de uma linha, 
é igual à soma dos dois elementos colocados imediatamente 
acima, um à esquerda e o outro à direita)
4. nC0 +
nC1 +
nC2 + … +
nCn = 2
n (na linha que contém os elementos da forma nCk , a soma 
desses elementos é igual a 2n)
Binómio de Newton
Tem-se que 1a + b2n = nC0 a n b0 + nC1 a n - 1 b1 + nC2 a n -2 b2 + … + nCna0 bn = a
n
k = 0
 nCk a
n - k bk .
Neste desenvolvimento, o termo de ordem p + 1 é dado por nCp a
n -p bp . Dá-se-lhe o 
nome de termo geral do desenvolvimento.
Exemplo: 
12x + 323 = 3C0 12x23 * 30 + 3C1 12x22 * 31 + 3C2 12x21 * 32 + 3C3 12x20 * 33 =
 = 8x3 + 36x2 + 54x + 27
18
54. A soma de todos os elementos de uma certa linha do triângulo de Pascal é igual a 1024.
Relativamente a essa linha, indica:
a) os dois primeiros elementos; 1 e 10
b) o número de elementos; 11
c) o maior elemento. 252
55. Considera duas linhas consecutivas do triângulo de Pascal, das quais se reproduzem al-
guns elementos:
… 33 649 100 947 245 157 …
… 42 504 134 596 346 104 …
Determina o valor de a e o valor de b .
56. Dos dois primeiros e dos dois últimos elementos de uma certa linha do triângulo de Pascal, 
sabe-se que a soma desses quatro elementos é igual a 26. 
Determina o terceiro elemento dessa linha. 66
57. Determina n e p tais que nCp =
2017C81 -
2016C80 . n = 2016 ; p = 81
58. Considera a linha do triângulo de Pascal que contém os elementos da forma 18Cp .
Determina o número de elementos dessa linha que são maiores do que 4000. 9
59. Seja k o quarto elemento de uma certa linha do triângulo de Pascal e seja s a soma dos 
quatro primeiros elementos desta linha. 
Mostra que a soma dos quatro primeiros elementos da linha seguinte é 2s - k .
60. O sexagésimo elemento de uma certa linha do triângulo de Pascal é igual ao trigésimo 
nono elemento dessa linha. 
Determina o valor do antepenúltimo elemento da linha seguinte. 4950
61. Seja n um número natural. 
Mostra que a soma dos n primeiros elementos da linha do triângulo de Pascal que contém 
os elementos da forma nCp é igual à soma de todos os elementos das linhas anteriores.
62. Desenvolve cada uma das seguintes potências:
a) 15x + 223 125x3 + 150x2 + 60x + 8
b) 13x + 124 81x4 + 108x3 + 54x2 + 12x + 1
c) 1x - 425 x5 - 20x4 + 160x3 - 640x2 + 1280x - 1024
d) a2x - 1
3
b
6
 64x6 - 64x5 + 80
3
 x4 - 160
27
 x3 + 20
27
 x2 - 4
81
 x + 1
729
19
Tema 1 | Cálculo Combinatório
63. Determina os números naturais a e b tais que a + b"3 = Q2 +"3 R5 . a = 362 ; b = 209
64. Determina as soluções da equação 12x + 124 = 16x4 + 30x3 + 19x2 + 5x + 1 . - 3
2
 , - 1 , 0
65. Determina o quinto termo do desenvolvimento de a3a4 - 1ab
9
. 30 618 a16
66. No desenvolvimento de a2x2 + 3
x3
b
8
 existe um monómio cuja parte literal é x .
Determina o seu coeficiente. 48 384
67. Determina o coeficiente do monómio de grau 6 da forma reduzida de 1x2 + 6x + 925 . 
17 010
68. Determina, para cada alínea, o número natural n que verifica a respetiva equação.
a) a
10
k = 0
 
10
Ck * 5
10 - k
* 3
k
= 2
n
 30
b) a
12
k = 0
 
12
Ck * 6
12 - k
= Q"7 Rn 24
c) a
14
k = 0
 
14
Ck * 3
28 - 2k
= n
14
 10
d) a
n
k = 0
 
n
Ck * 4
k
2 ="5 940 16
69. Seja n um número natural. 
Justifica que a
2n
p = 0
 
2n
Cp 1- 22p = 1 .
20
Probabilidades2Tema
1. Definir espaços de probabilidade
Experiência aleatória
Experiência cujo resultado não é possível prever, antes de a realizarmos, na medida em 
que este depende do acaso.
Espaço amostral ou universo dos resultados
Conjunto de resultados que é possível obter quando se realiza uma experiência alea-
tória. O espaço amostral é habitualmente designado pela letra E ou pela letra W 
(do alfabeto grego).
Exemplo: 
Se a experiência aleatória for lançar um dado com as faces numeradas de 1 a 6, o espaço 
amostral E é 51, 2, 3, 4, 5, 66 .
Acontecimento
Qualquer subconjunto do espaço amostral.
 (E): acontecimento que se realiza de certeza, quando se efe-
tua a experiência aleatória.
 (O): acontecimento que de certeza não se realiza, quan-
do se efetua a experiência aleatória.
 acontecimento formado por um único elemento do 
espaço amostral.
acontecimento formado por mais do que um elemento 
do espaço amostral.
 acontecimentos cuja interseção é vazia, ou seja, 
acontecimentos cuja realização simultânea é impossível.
 acontecimentos cuja interseção é vazia e cuja união é 
o espaço amostral; a realização de um equivale à não realização do outro.
Exemplo:
Relativamente à experiência aleatória do lançamento de um dado com as faces numera-
das de 1 a 6, têm-se os seguintes exemplos de acontecimentos:
Acontecimento certo (E): sair número maior do que 0.
Acontecimento impossível (O): sair número negativo.
Acontecimento elementar: sair o número 4 – {4}
Acontecimento composto: sair número múltiplo de 3 – {3, 6}
 Acontecimentos incompatíveis: sair o número 1 e sair número primo – 
516 © 52, 3, 56 = O 
Acontecimentos contrários: sair número par e sair número ímpar – 
52, 4, 66 © 51, 3, 56 = O e 52, 4, 66∂ 51, 3, 56 = E
continua
22
Espaço dos acontecimentos
Conjunto cujos elementos são os acontecimentos associados à experiência aleatória.
Quando o espaço amostral E é finito, considera-se habitualmente que o espaço dos 
acontecimentos é P (E) , conjunto de todos os subconjuntos de E .
Axiomática de Kolmogorov. Espaço de probabilidade
Seja E o espaço amostral associado a uma experiência aleatória. 
 é uma função P que a cada acontecimento A associa um número real, 
P (A) , tal que:
Axioma 1: P 1A2 ≥ 0 (qualquer que seja o acontecimento A)
Axioma 2: P 1E2 = 1
Axioma 3: A © B = O ± P 1A ∂ B2 = P 1A2 + P 1B2 (quaisquer que sejam os acontecimen-
tos A e B)
No caso em que o espaço amostral E é finito, é habitual considerar que qualquer sub-
conjunto de E pertence ao espaço dos acontecimentos.
Neste caso, P é uma função cujo domínio é P (E) , conjunto dos subconjuntos de E .
Dizemos, então, que o terno (E, P (E), P) é um .
Propriedades
Seja (E, P (E), P) um espaço de probabilidade.
Tem-se, para quaisquer acontecimentos A e B 1A ƒ E e B ƒ E2:
P 1A2å f0, 1g
P 1O2 = 0
P 1 A 2 = 1 - P 1A2
B ƒ A ± P 1A \ B2 = P 1A2 - P 1B2
B ƒ A ± P 1B2 ≤ P 1A2 (monotonia da probabilidade)
P 1A2 = P 1A © B2 + P 1A © B 2
P 1A ∂ B2 = P 1A2 + P 1B2 - P 1A © B2
continuação
Considera a experiência aleatória que consiste em escolher, ao acaso, um dos quatro reis 
de um baralho de cartas. Sejam e , c , o e p os quatro resultados possíveis desta expe-
riência (e – sair o rei de espadas; c – sair o rei de copas; o – sair o rei de ouros; p – sair o 
rei de paus).
a) Indica o espaço amostral E . E = 5e, c, o, p6
b) Indica o espaço de acontecimentos, P (E) . P 1E2 = 5O, 5e6, 5c6, 5o6, 5p6, 5e, c6, 
5e, o6, 5e, p6, 5c, o6, 5c, p6, 5o, p6, 5e, c, o6, 5e, c, p6, 5e, o, p6, 5c, o, p6, 5e, c, o, p66
c) Define em extensão o acontecimento «sair um rei de naipe preto». 5e, p6
23
Tema 2 | Probabilidades
Um saco contém três bolas, numeradas de 1 a 3. Extraem-se, ao acaso e sucessivamente, 
duas bolas do saco, repondo a primeira bola antes de retirar a segunda, e registam-se os 
respetivos números.
a) Indica o espaço amostral E . E = 511, 12, 11, 22, 11, 32, 12, 12, 12, 22, 12, 32, 13, 12, 13, 22, 13, 326
b) Define em extensão os seguintes acontecimentos:
b1) sair o mesmo número nas duas extrações; 511, 12, 12, 22, 13, 326
b2) saírem os números 1 e 2; 511, 22, 12, 126
b3) sair o número 3 uma única vez; 511, 32, 12, 32, 13, 12, 13, 226
b4) sair o número 3 pelo menos uma vez. 511, 32, 12, 32, 13, 12, 13, 22, 13, 326
c) Determina o número de acontecimentos compostos. 29 - 11 + 92 = 502
Seja (E, P (E), P) um espaço de probabilidade. Sejam A e B dois acontecimentos per-
tencentes a P (E) . 
Sabe-se que P 1 A 2 = 0,4 , P 1B2 = 0,5 e P 1A ∂ B2 = 0,8 .
Determina:
a) P 1A2 0,6 b) P 1 B 2 0,5 c) P 1A © B2 0,3
d) P 1 A ∂ B 2 0,7 e) P 1A © B 2 0,3 f) P fA ∂ 1A © B2g 0,7
Seja (E, P (E), P) um espaço de probabilidade. Sejam A e B dois acontecimentos 
1A ƒ E e B ƒ E2.
Prova que:
a) P 1A ∂ B2 + P 1 A © B 2 = 1
b) P 1 A ∂ B 2 - P 1A ∂ B2 = P 1 A 2 - P 1B2
c) P 1A \ B2 + P 1B \ A2 = Pf1A ∂ B2 \ 1A © B2g
d) P 1A2 + P 1B2 ≥ P 1A ∂ B2
Acontecimentos equiprováveis
Seja (E, P (E), P) umespaço de probabilidade.
Sejam A e B dois acontecimentos 1A ƒ E e B ƒ E2.
Diz-se que A e B são se P 1A2 = P 1B2 .
Regra de Laplace
Dada uma experiência aleatória, cujos casos possíveis sejam em número finito e equi-
prováveis, a probabilidade de um acontecimento é dada pelo quociente entre o número 
de casos favoráveis a esse acontecimento e o número de casos possíveis.
Exemplo: 
Relativamente à experiência aleatória do lançamento de um dado cúbico equilibrado 
com as faces numeradas de 1 a 6, tem-se que a probabilidade de sair um número múlti-
plo de 3 é 2
6
= 1
3
 .
24
O João comprou um caixa com 22 bombons, tendo 12 recheio de menta e 10 recheio de 
avelã.
Os bombons têm todos o mesmo aspeto exterior. O João vai retirar, ao acaso, alguns bom-
bons da caixa.
a) Se o João retirar um único bombom, qual é a probabilidade de ele ter recheio de menta? 
b) Se o João retirar dois bombons, qual é a probabilidade de ambos terem recheio de 
avelã? 15
77
c) Se o João retirar três bombons, qual é a probabilidade de haver pelo menos um de cada 
recheio? 60
77
Seja E o espaço amostral associado a uma certa experiência aleatória. Sabe-se que todos 
os acontecimentos elementares são equiprováveis. Seja A um acontecimento 1A ƒ E2, tal 
que #A = 12 e P 1A2 = 0,6 .
a) Determina #E . 20
b) Seja B um acontecimento 1B ƒ E2 tal que P 1A ∂ B2 = 0,8 e P 1A © B2 = 0,25 .
Determina #B . 9
Numa certa cidade existem duas praças ligadas por quatro ruas paralelas. Duas pessoas 
partem, à mesma hora, uma de cada praça, dirigindo-se para a outra praça. Se cada uma 
destas duas pessoas escolher, ao acaso, a rua por onde vai caminhar, qual é a probabilidade 
de elas se cruzarem? 1
4
A Joana está a aprender a escrever num teclado sem olhar para ele. A professora vai tapar, 
ao acaso, cinco das teclas referentes às 26 letras.
a) Qual é a probabilidade de a professora tapar três consoantes e duas vogais? Apresenta 
a resposta na forma de dízima, arredondada às centésimas. 0,20
b) Qual é a probabilidade de a professora tapar pelo menos uma vogal? Apresenta a res-
posta na forma de dízima, arredondada às centésimas. 0,69
Numa festa onde todos os participantes são jovens, encontram-se mais três raparigas do 
que rapazes. Vai ser escolhido, ao acaso, um dos jovens presentes na festa para receber um 
prémio. Sabe-se que a probabilidade de o prémio sair a uma rapariga é igual a 3
5
 . Os jovens
participantes na festa vão tirar uma fotografia. De quantas maneiras se podem dispor, lado 
a lado, de tal modo que as raparigas fiquem todas juntas? 1 828 915 200
Considera um dado cúbico equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. As faces com 
número par estão pintadas de azul, as faces com os números 3 e 5 estão pintadas de ama-
relo e a face com o número 1 está pintada de branco. Lança-se o dado duas vezes. Em 
cada lançamento, regista-se a cor e o número da face que fica voltada para cima. Calcula 
a probabilidade de, nos dois lançamentos:
a) saírem faces de cores diferentes; 11
18
b) saírem faces de cores diferentes e um dos números ser múltiplo do outro; 1
3
c) saírem faces da mesma cor e os números serem divisores de 30. 1
4
6
11
25
Tema 2 | Probabilidades
Numa corrida de 100 metros vão participar oito atle-
tas. Nesta prova vão estar presentes três corredores da 
equipa Os Gazelas. Os oito participantes na corrida 
vão ser distribuídos ao acaso pelas oito pistas. 
Qual é a probabilidade de:
a) os corredores da equipa Os Gazelas ocuparem três 
das pistas 1, 2, 4, 6 e 8? 5
28
b) dois corredores da equipa Os Gazelas ocuparem as pistas 1 e 2 e o outro não ocupar 
a pista 3? 5
56
c) os corredores da equipa Os Gazelas ficarem em pistas adjacentes? 3
28
Um saco contém 40 bolas, numeradas de 1 a 40. Sete bolas são brancas e as restantes são 
pretas.
Extraem-se, ao acaso, seis bolas, uma a uma, sem reposição.
a) Calcula a probabilidade (apresenta as respostas na forma de dízima, arredondadas às 
centésimas) de:
a1) as bolas extraídas serem todas da mesma cor; 0,29
a2) pelo menos uma das bolas extraídas ser branca; 0,71
a3) o menor número saído ser o 10. 0,04
b) Num concurso, uma aposta consiste em escolher seis números, de entre os números 
naturais de 1 a 40. Cada aposta custa 1 €. Um apostador tem prémio se acertar nos 
seis números saídos. Qual é a quantia mínima que um jogador terá de gastar para que 
a probabilidade de ganhar o prémio seja superior a 1
2
 ? 1 919 191 euros
Qual é a probabilidade de, escolhendo ao acaso três vértices de um paralelepípededo, eles 
definirem um plano que não contenha uma face? 4
7
Nove amigos, três raparigas e seis rapazes, vão dar um passeio de automóvel. Todos po-
dem conduzir. Eles vão distribuir-se por três automóveis diferentes, três amigos em cada 
veículo. Admitindo que os nove amigos se distribuem, ao acaso, pelos três automóveis, 
qual é a probabilidade de, em cada automóvel, os seus ocupantes serem todos do mesmo 
sexo? 1
28
Dez automóveis vão ser colocados no porão de um navio. Seis dos veículos são de um 
modelo e os restantes quatro são de outro modelo. Os dez automóveis vão ser dispostos 
numa única fila. Se a disposição dos automóveis for feita ao acaso, qual é a probabilidade 
de os veículos de cada modelo ficarem juntos? 1
105
Sejam m e n números naturais, com m ≤ n . Considera o conjunto A = 51, 2, 3, …, n6 . 
Seja P (A) o conjunto dos subconjuntos de A . Escolhendo ao acaso um elemento de 
P (A) , qual é a probabilidade de ele conter o número m ? 1
2
 
26
2. Definir probabilidade condicionada 
Probabilidade condicionada
Seja (E, P (E), P) um espaço de probabilidade.
Sejam A e B dois acontecimentos 1A ƒ E e B ƒ E2, com P 1B2 0 0 .
A probabilidade de ocorrer A sabendo que ocorreu B representa-se por P 1A | B2 .
Tem-se P 1A | B2 = P 1A © B2
P 1B2 .
Exemplo 1:
De um saco contendo as 13 cartas do naipe de copas de um baralho, extraem-se ao aca-
so, sucessivamente e sem reposição, duas cartas. 
Sejam A e B os acontecimentos:
A: a primeira carta é o ás
B: a segunda carta é uma figura (rei, dama ou valete)
P 1B | A2 designa a probabilidade de a segunda carta ser uma figura, sabendo que a pri-
meira é o ás. 
Ora, depois de se ter extraído o ás, ficaram 12 cartas no saco, das quais três são figuras. 
Temos, assim, 12 casos possíveis e três casos favoráveis, pelo que P 1B | A2 = 3
12
= 1
4
 .
Exemplo 2:
Lança-se um dado cúbico equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6.
Sejam A e B os acontecimentos:
A: sai número maior do que 3
B: sai número par
P 1A | B2 designa a probabilidade de o número saído ser maior do que 3, sabendo que é par.
Ora, se o número saído é par, temos três casos possíveis (2, 4 e 6), dos quais dois são 
maiores do que 3 (4 e 6). 
Temos, assim, três casos possíveis e dois casos favoráveis, pelo que P 1A | B2 = 2
3
 .
Uma caixa contém quatro bolas brancas e quatro bolas pretas, indistinguíveis ao tato.
Tiram-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas bolas da caixa.
Considera os seguintes acontecimentos:
B1: a bola retirada em primeiro lugar é branca
B2: a bola retirada em segundo lugar é branca
Qual é o valor de P 1B2 | B12 ? 37
27
Tema 2 | Probabilidades
Extrai-se, ao acaso, uma bola de uma caixa que contém 12 bolas, numeradas de 1 a 12.
Considera os acontecimentos:
A: a bola extraída tem número par
B: a bola extraída tem número superior a "50
Qual é o valor da probabilidade condicionada P 1B | A2 ? 1
2
Um saco contém um certo número de fichas brancas.
Lança-se um dado cúbico perfeito e colocam-se, no saco, tantas fichas azuis quantas o 
número saído nesse lançamento.
Em seguida, extrai-se, ao acaso, uma ficha do saco.
Considera os acontecimentos:
A: sai o número 4 no lançamento do dado
B: a ficha retirada do saco tem cor branca
Sabe-se que P 1B | A2 = 2
3
 .
Quantas fichas brancas estavam inicialmente no saco? 8
Seja E o espaço amostral associado a uma certaexperiência aleatória.
Sejam A e B dois acontecimentos 1A ƒ E e B ƒ E2.
Sabe-se que P 1A2 = 0,3 , P 1B2 = 0,4 e P 1A ∂ B2 = 0,6 .
Qual é o valor da probabilidade condicionada P 1B | A2 ? 1
3
A Ana e a Beatriz são duas irmãs que vivem na mesma casa.
A experiência evidencia que, em cada ano:
a probabilidade de a Ana se constipar é 0,55;
a probabilidade de a Beatriz se constipar é 0,45;
a probabilidade de as duas irmãs não se constiparem é 0,4.
Sabe-se que, no ano passado, a Beatriz se constipou.
Qual é a probabilidade de, no ano passado, a Ana também se ter constipado?
Apresenta a tua resposta na forma de uma fração irredutível. 8
9
Numa caixa A existem seis bolas: três brancas, duas azuis e uma verde.
Numa caixa B existem 11 bolas. Algumas destas bolas são brancas, sendo as restantes 
azuis.
a) Realiza-se a seguinte experiência aleatória:
extraem-se, ao acaso, duas bolas da caixa A e colocam-se na caixa B;
em seguida, extrai-se, ao acaso, uma bola da caixa B e observa-se a sua cor.
Admite que, no final da experiência, a probabilidade de sair uma bola azul é dupla da 
probabilidade de sair uma bola branca.
a1) Justifica que uma das bolas que transitaram da caixa A para a caixa B foi a bola 
verde. 8
a2) Quantas bolas azuis ficaram na caixa B depois da transferência das duas bolas (da 
caixa A para a caixa B)? 4
28
b) Admite agora que se colocam as 17 bolas num saco e, em seguida, se extraem ao acaso, 
sucessivamente e sem reposição, duas bolas do saco. 
Sejam os acontecimentos:
X: a primeira bola retirada é branca
Y: a segunda bola retirada é branca
Sabe-se que P 1Y | X2 = 3
8
 .
Determina o número de bolas brancas que estavam inicialmente na caixa B.
Seja E o espaço amostral associado a uma certa experiência aleatória.
Sejam A , B e C três acontecimentos 1A ƒ E , B ƒ E e C ƒ E2, todos com probabilidade 
não nula. 
Sabe-se que A ƒ C e que os acontecimentos B e C são incompatíveis.
Prova que P 1A ∂ B | C2 = P 1A2
P 1C2 .
Seja E o espaço amostral associado a uma certa experiência aleatória.
Sejam A e B dois acontecimentos 1A ƒ E e B ƒ E2.
Sabe-se que P 1A | B2 = 1
2
 e que P 1A ∂ B2 = 3P 1A © B2 .
Mostra que os acontecimentos A e B são equiprováveis.
Probabilidade da interseção de dois acontecimentos
Seja (E, P (E), P) um espaço de probabilidade.
Sejam A e B dois acontecimentos 1A ƒ E e B ƒ E2, ambos com probabilidade não nula.
Tem-se:
P 1A © B2 = P 1A2 * P 1B | A2 e P 1A © B2 = P 1B2 * P 1A | B2
ou seja, a probabilidade da interseção de dois acontecimentos é igual ao produto da 
probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, sabendo que o primeiro acon-
teceu.
Exemplo:
De um saco que contém as 13 cartas do naipe de copas de um baralho, extraem-se ao 
acaso, sucessivamente e sem reposição, duas cartas. 
Sejam A e B os acontecimentos:
A: a primeira carta é o ás
B: a segunda carta é uma figura (rei, dama ou valete)
P 1A © B2 designa a probabilidade de a primeira carta ser o ás e a segunda ser uma figura.
Tem-se P 1A © B2 = P 1A2 * P 1B | A2 = 1
13
* 1
4
= 1
52
 .
29
Tema 2 | Probabilidades
Uma caixa A tem três bolas brancas e sete bolas pretas.
Uma caixa B tem seis bolas amarelas e três bolas verdes.
Lança-se um dado cúbico equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6.
Se sair um número superior a 4, extrai-se ao acaso uma bola da caixa A; caso contrário, 
extrai-se ao acaso uma bola da caixa B.
Qual é a probabilidade de, no final da experiência, sair uma bola branca? Apresenta a tua 
resposta na forma de dízima. 0,1
Numa empresa, metade dos trabalhadores são do sexo feminino.
a) A terça parte das trabalhadoras dessa empresa são licenciadas. Escolhendo, ao acaso, 
um funcionário da empresa, qual é a probabilidade de esse funcionário ser uma mulher 
licenciada? 1
6
b) Um quarto dos trabalhadores da empresa são homens licenciados. Escolhendo, ao acaso, 
um homem que trabalhe nessa empresa, qual é a probabilidade de ele ser licenciado? 1
2
Uma escola tem vinte turmas, sendo uma delas o 12.º A. Esta turma tem 24 alunos, a terça 
parte dos quais são do sexo feminino. Escolhe-se, ao acaso, uma turma da escola e, em 
seguida, selecionam-se, também ao acaso, três alunos dessa turma. Qual é a probabilidade 
de serem escolhidos dois rapazes e uma rapariga do 12.º A? Apresenta a resposta na forma 
de fração irredutível. 6
253
Teorema da probabilidade total
Seja (E, P (E), P) um espaço de probabilidade.
Sejam A e B dois acontecimentos 1A ƒ E e B ƒ E2, 
com P 1B2 0 0 e P 1 B 2 0 0 .
Então, P 1A2 = P 1B2 * P 1A | B2 + P 1 B 2 * P 1A | B 2 .
Mais geralmente:
Sejam B1 , B2 , … , Bn acontecimentos que formam 
uma partição de E (isto é, acontecimentos disjuntos 
dois a dois, cuja união é o espaço amostral E).
Suponhamos que P 1Bi2 0 0 , para 1 ≤ i ≤ n .
Então, para qualquer acontecimento A 1A ƒ E2, tem-se:
P 1A2 = P 1B12 * P 1A | B12 + P 1B22 * P 1A | B22 + … + P 1Bn2 * P 1A | Bn2
Exemplo:
Um minimercado recebe garrafas de azeite de dois fornecedores, X e Y. Em cada garrafa, 
o azeite pode ter, ou não, uma acidez inferior a 1%. Num certo dia, estão expostas numa 
prateleira desse minimercado apenas garrafas de azeite, das quais a terça parte provém 
do fornecedor X.
A
B B
A
B1 B2 B3 Bn…
continua
30
Das garrafas expostas:
em 36% das provenientes do fornecedor X, o azeite tem uma acidez inferior a 1%;
em 45% das provenientes do fornecedor Y, o azeite tem uma acidez inferior a 1%.
Escolhendo, ao acaso, uma garrafa dessa prateleira, a probabilidade de, nessa garrafa, 
o azeite ter uma acidez inferior a 1% é dada por: 
P 1A2 = P 1B2 * P 1A | B2 + P 1 B 2 * P 1A | B2 
em que:
A designa o acontecimento «o azeite da garrafa escolhida tem uma acidez inferior 
a 1%»;
B designa o acontecimento «a garrafa escolhida provém do fornecedor X».
Portanto, P 1A2 = 1
3
* 0,36 + 2
3
* 0,45 = 0,42 .
continuação
Num saco estão três dados cúbicos, cada um deles com as faces numeradas de 1 a 6. Esses 
três dados têm igual aspeto exterior, mas um deles é viciado.
Sabe-se que a probabilidade de se obter a face 6 no dado viciado é 1
3
 e que as outras cinco 
faces têm igual probabilidade de sair. 
Retira-se, ao acaso, um dado do saco e lança-se esse dado.
Qual é a probabilidade de sair o número 4? Apresenta a resposta na forma de fração 
irredutível. 7
45
Uma caixa A tem três bolas verdes e cinco bolas roxas. Uma caixa B tem seis bolas verdes e 
três bolas roxas. Uma caixa C tem duas bolas verdes e oito bolas roxas. Lança-se um dado 
cúbico equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Se sair a face 1, extrai-se ao acaso 
uma bola da caixa A; se sairem as faces 2 ou 3, extrai-se ao acaso uma bola da caixa B; se 
sair face com número superior a 3, extrai-se ao acaso uma bola da caixa C.
a) Qual é a probabilidade de, no final da experiência, sair uma bola verde? Apresenta a 
tua resposta na forma de dízima, arredondada às milésimas. 0,385
b) No final da experiência, saiu uma bola verde. Qual é a probabilidade de ter saído 2, 
no lançamento do dado? Apresenta a tua resposta na forma de dízima, arredondada às 
milésimas. 0,289
Foi realizado um teste de matemática numa turma de uma escola secundária.
Sabe-se que:
60% dos alunos da turma são raparigas;
80% dos alunos da turma tiveram nota positiva no teste;
dos alunos que tiveram nota negativa no teste, 75% são raparigas.
Escolhe-se, ao acaso, um aluno desta turma.
Qual é a probabilidade de esse aluno ter tido nota positiva nesse teste, sabendo que é do 
sexo feminino? Apresenta a resposta na forma de fração irredutível. 3
4
31
Tema 2 | Probabilidades
Numa equipa portuguesa de futebol, 40% dos jogadores são estrangeiros.
Da totalidade de jogadores da equipa, 56% têm mais de 25 anos.
Considerando apenas os jogadores portugueses desta equipa, dois em cada cinco têm, no 
máximo, 25 anos.
Escolhe-se, ao acaso, um jogador desta equipa.
Qual é a probabilidade de esse jogador serestrangeiro e ter mais de 25 anos? Apresenta a 
resposta na forma de fração irredutível. 1
5
Acontecimentos independentes
Seja (E, P (E), P) um espaço de probabilidade e sejam A e B dois acontecimentos 
1A ƒ E e B ƒ E2. 
A e B dizem-se se P 1A © B2 = P 1A2 * P 1B2 .
Propriedades
Seja (E, P (E), P) um espaço de probabilidade.
1. Sejam A e B dois acontecimentos. Se pelo menos um deles tiver probabilidade 
igual a zero, então A e B são independentes.
2. Sejam A e B dois acontecimentos com probabilidade diferente de zero. 
 Tem-se:
A e B são independentes se e só se P 1B | A2 = P 1B2 .
A e B são independentes se e só se P 1A | B2 = P 1A2 .
 Portanto, dois acontecimentos com probabilidade não nula são independentes se e 
só se o conhecimento de que um deles se realizou não tem influência na probabilida-
de de realização do outro.
3. Se dois acontecimentos A e B são independentes, então também são independen-
tes os seguintes pares de acontecimentos: A e B ; A e B ; A e B .
Exemplo:
Lança-se um dado cúbico equilibrado com as faces numeradas de 1 a 6 e retira-se, ao 
acaso, uma bola de uma caixa contendo oito bolas, numeradas de 1 a 8.
A probabilidade de saírem dois números superiores a 4 é P 1A © B2 , em que:
A designa o acontecimento «o número saído no lançamento do dado é superior a 4»;
B designa o acontecimento «o número da bola extraída da caixa é superior a 4».
Como os acontecimentos A e B são independentes, tem-se:
P 1A © B2 = P 1A2 * P 1B2 = 2
6
* 4
8
= 1
6
32
Seja E o espaço amostral associado a uma experiência aleatória.
Sejam A e B acontecimentos 1A ƒ E e B ƒ E2.
Sabe-se que A e B são independentes, que P 1A © B2 = 3
8
 e que P 1 A 2 = 1
4
 .
Determina a probabilidade do acontecimento B . 1
2
Seja E o espaço amostral associado a uma experiência aleatória.
Sejam A e B acontecimentos 1A ƒ E e B ƒ E2.
Sabe-se que P 1A ∂ B2 = 5
8
 , que P 1A | B2 = 1
2
 e que P 1A2 = 2P1B2 .
Justifica que os acontecimentos A e B são independentes.
Uma urna U contém quatro bolas azuis e oito bolas brancas. Uma urna V contém seis bo-
las azuis e dez bolas brancas. Considera a experiência que consiste na extração, ao acaso, 
de uma bola de cada urna.
a) Qual é a probabilidade de a bola extraída da urna V ter cor branca, sabendo que a bola 
extraída da urna U tem cor azul? 5
8
b) Qual é a probabilidade de a bola extraída da urna U ter cor azul e a bola extraída da 
urna V ter cor branca? 5
24
c) Qual é a probabilidade de as duas bolas extraídas terem cores diferentes? 11
24
Uma caixa A contém doze bolas, das quais três são verdes.
Uma caixa B contém nove bolas, das quais algumas são verdes.
Ao extrair, ao acaso, uma bola de cada caixa, a probabilidade de sair pelo menos uma bola 
verde é 2
3
 .
Qual é o número de bolas verdes que existem na caixa B? 5
As peças fabricadas por uma fábrica são submetidas a um controle de qualidade, o qual se 
compõe de dois testes independentes, A e B. Se uma peça não cumprir os requisitos em pelo 
menos um dos testes, é rejeitada. Escolhendo uma peça ao acaso, a probabilidade de ela 
passar no teste A é 3
4
 e a probabilidade de ela passar no teste B é 4
5
 . Qual é a probabili-
dade de a peça ser rejeitada? 2
5
A Ana e a Bárbara são atletas lançadoras de dardo. Elas vão participar numa competição. 
Para atingirem a final, terão de ultrapassar a marca de 55 metros.
A probabilidade de a Ana ultrapassar a marca de 55 metros é 0,8 e a probabilidade de a 
Bárbara ultrapassar esta marca é 0,85.
a) Qual é a probabilidade de pelo menos uma das atletas se apurar para a final? 0,97
b) Qual é a probabilidade de apenas uma das atletas se apurar para a final? 0,29
Lança-se um dado cúbico equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6.
Sejam A e B os acontecimentos:
A: sai número ímpar 
B: sai número menor do que 3
Averigua se A e B são, ou não, independentes. A e B são acontecimentos independentes.
33
Tema 2 | Probabilidades
Seja E o espaço amostral associado a uma experiência aleatória.
Sejam A e B acontecimentos 1A ƒ E e B ƒ E2. 
Sabe-se que P 1A ∂ B2 = P 1A2 + P 1 A 2 * P 1B2 .
Justifica que os acontecimentos A e B são independentes.
Seja E o espaço amostral associado a uma experiência aleatória.
Sejam A e B dois acontecimentos independentes 1A ƒ E e B ƒ E2.
Mostra que P 1A ∂ B2 - P 1A ∂ B 2 = 2P 1 A © B2 - P 1 A 2 .
Seja E o espaço amostral associado a uma experiência aleatória.
Seja A um acontecimento 1A ƒ E2.
Justifica que os acontecimentos A e E são independentes.
Seja E o espaço amostral associado a uma experiência aleatória.
Sejam A e B acontecimentos 1A ƒ E e B ƒ E2.
Sabe-se que P 1A2 0 0 , que P 1B2 0 1
2
 e que P 1A ∂ B2 = P 1A2 * P 1B2 + P 1B2 .
Mostra que os acontecimentos A e B não são independentes.
34
Funções Reais 
de Variável Real3Tema
1. Limites e continuidade
Limites de sucessões
Diz-se que um número real a é limite da sucessão 1un2 quando, para todo o número 
real positivo d , existe uma ordem p åN tal que An åN, n ≥ p ± 0un - a 0 < d .
Diz-se que a sucessão 1un2 tem limite + quando, para todo o número real positivo 
L , existe uma ordem p åN tal que An åN, n ≥ p ± un > L .
Diz-se que a sucessão 1un2 tem limite - quando, para todo o número real positivo 
L , existe uma ordem p åN tal que An åN, n ≥ p ± un < - L .
Considera a sucessão 1un2 definida por un = 1 - 2n3n + 1 .
a) Mostra, recorrendo à definição, que lim un = -
2
3
 .
b) Determina a menor ordem a partir da qual os termos da sucessão pertencem à vizi-
nhança de raio 0,001 de - 2
3
 . A partir de 555, exclusive.
Considera a sucessão 1vn2 definida por vn = 0,1n2 - 200 .
a) Mostra, recorrendo à definição, que a sucessão 1vn2 tende para + .
b) Determina a menor ordem a partir da qual os termos da sucessão 1vn2 são maiores do 
que 1000. A partir de 109, exclusive. 
Considera a sucessão 1wn2 definida por wn = 50 - 2n3 .
a) Mostra, recorrendo à definição, que a sucessão 1wn2 tende para - .
b) Determina a menor ordem a partir da qual os termos da sucessão 1wn2 são menores 
do que - 1500. Nove.
Considera a sucessão 1un2 definida por un = 2n + 1- 12n n . 
Mostra que a sucessão 1un2 tende para + e determina quantos termos da sucessão são 
inferiores a 1000. 666
Limite da soma, produto, quociente e potência de 
sucessões convergentes
Dadas duas sucessões convergentes, 1un2 e 1vn2 , a sucessão:
– 1un + vn2 também é convergente e lim 1un + vn2 = lim un + lim vn ;
– 1un * vn2 também é convergente e lim 1un * vn2 = lim un * lim vn .
continua
36
Propriedades envolvendo limites infinitos 
(escrita abreviada)
+ + l = + , l åR + + 1+ 2 = + 1+ 2 r = + , r åQ+
- + l = - , l åR - + 1- 2 = - 1- 2p = + , p é par
¿ * l = ¿ , l åR+ + * 1¿ 2 = ¿ 1- 2p = - , p é ímpar
¿ * l = ◊ , l åR- - * 1¿ 2 = ◊ l
¿
= 0, l åR
l
0 ¿
= ¿ , l åR+ ou l = + l
0 ¿
= ◊ , l åR- ou l = -
Sejam 1un2 e 1vn2 duas sucessões tais que lim un = 2 e lim vn = - 4 . Determina:
a) lim 
un + vn
u2n
 - 1
2
b) lim 1un * vn2 
1
3 - 2
Dada uma sucessão convergente 1un2 de termos não nulos e limite não nulo e uma 
sucessão 1vn2 , a sucessão avnunb é convergente e lim a
vn
un
b = lim vn
lim un
 .
Dada uma sucessão convergente 1un2 e um número racional r , a sucessão de termo 
geral 1un2 r é convergente e lim 1un2 r = 1lim un2 r (desde que 1un2 r e 1lim un2 r tenham 
significado).
Seja 1un2 a sucessão de termo geral un = n2 + 2n e seja 1vn2 a sucessão de termo geral 
vn = 3 +
2
n + 1
 . Determina:
a) lim un + b) lim vn 3 c) lim 11 - 2n - un2 d) lim fun * 11 - vn2g
e) lim 
un
vn
 + f) lim 
vn - 3
1 - un
 0 g) lim 1
3 - vn
 - h) lim 
vn
1 - un
 0
 - -
continuação
Indeterminações
Numa situação de cálculo do limite da soma, produto ou quociente de duas sucessões, 
1un2 e 1vn2 , se o conhecimentodos limites de 1un2 e 1vn2 não é suficiente para obter o
limite de 1un + vn2 , de 1un * vn2 ou de aunvnb , diz-se que existe uma situação de -.
1+ 2 + 1- 2 * 0 0
0
37
Tema 3 | Funções Reais de Variável Real
Determina, caso existam, os limites seguintes.
a) lim 110n2 - 0,01n3 + 102 b) lim Q"n -"n + 2 R 0 c) lim Q"n2 + 2 - n R 0
d) lim 2n - 1
3n + 2
 2
3
e) lim 
n2 - 1n - 122
3n + 2
 2
3
f) lim 2n - 1
3n2 + 2
 0 
g) lim 
"2n2 + 1
3n + 2
 "2
3
h) lim 
"n2 + 1 - 2n
n + 3
 - 1 i) lim a 2n
n2 + 1
* n + 1
2
b 1
j) lim 
n + 1
2n - 1
- 1
2
3 - 3n
n + 2
 1
8
k) lim 
"n +"3 n2
1 +"n + l) lim ca
1
2
b
n
+ a3
2
b
- n
+"n 2d
m) lim 2
2n + 3n
2n + 1 + 4n + 1
 1
4
n) lim a
n
k = 0
2
1 - k
 4 o) lim a
n
k = 1
 1 + 2k
n2 + 1
 1
 -
 1
Teoremas de comparação para sucessões
1. Dadas sucessões convergentes 1un2 e 1vn2 , se un ≤ vn a partir de certa ordem, então
lim un ≤ lim vn .
2. Dadas sucessões 1un2 e 1vn2 , se un ≤ vn a partir de certa ordem e lim un = + , então
lim vn = + .
3. Dadas sucessões 1un2 e 1vn2 , se un ≤ vn a partir de certa ordem e lim vn = - , então
lim un = - .
Exemplo:
Determinar lim a3n + 1
2n - 7
b
n
 .
Tem-se: An åN4, 
3n + 1
2n - 7
≥ 3n + 1 - 1
2n - 7 + 7
 , ou seja, An åN4, 
3n + 1
2n - 7
≥ 3
2
 .
Então, An åN4, a3n + 12n - 7b
n
≥ a3
2
b
n
 e, dado que lim a3
2
b
n
= + , concluiu-se que
lim a3n + 1
2n - 7
b
n
= + (teorema 2) .
Determina, recorrendo a teoremas de comparação, os limites seguintes.
a) lim 1n + tg2 n2 + b) lim 2 - n
3 - cos n
 - c) lim a5n + 1
n + 3
b
n
 +
38
Seja 1un2 a sucessão de termo geral un = 2n + 3n + 1 e seja 1vn2 uma sucessão convergente tal 
An åN, vn ≤ un . Justifica que a sucessão 1vn2 não pode ter limite igual a 3.
Seja 1un2 a sucessão de termo geral un = n + cos n e seja 1vn2 a sucessão de termo geral 
vn = sen n - n .
Mostra, recorrendo aos teoremas de comparação, que lim un = + e lim vn = - .
Seja 1un2 a sucessão de termo geral un = 2n2 + 1n + 2 e seja 1vn2 uma sucessão tal que 
An åN, un + vn ≤ 0 . Determina lim vn . Justifica. -
Seja 1un2 uma sucessão de termos negativos que tende para - . Sabe-se que a sucessão 1vn2 é tal que An åN, vnun ≥ 1 . Determina lim vn . Justifica. -
Seja un = a
n
k = 1
 2k
2
+ n
n . Determina lim un . +
Teorema das sucessões enquadradas
Se 1un2 e 1vn2 são duas sucessões convergentes com o mesmo limite, a , e se uma su-
cessão 1wn2 é tal que, a partir de certa ordem, un ≤ wn ≤ vn , então 1wn2 é convergente 
e lim wn = a .
Exemplos:
1. Determinar lim n + cos n
2n
 .
 An åN, n - 1
2n
≤ n + cos n
2n
≤ n + 1
2n
 . Como lim n - 1
2n
= lim n + 1
2n
= 1
2
 , o teorema das
 sucessões enquadradas permite concluir que lim n + cos n
2n
= 1
2
 .
2. Determinar lim a
n
k = 1
 2n + 1
n2 + k
 .
 a
n
k = 1
 2n + 1
n2 + k
= 2n + 1
n2 + 1
+ 2n + 1
n2 + 2
+ … + 2n + 1
n2 + n
 
 Então, a
n
k = 1
 2n + 1
n2 + n
≤ a
n
k = 1
 2n + 1
n2 + k
≤ a
n
k = 1
 2n + 1
n2 + 1
 . Dado que: 
a
n
k = 1
 2n + 1
n2 + n
= 2n + 1
n2 + n
* n = 2n
2 + n
n2 + n
 e lim 2n
2 + n
n2 + n
= lim 2n
2
n2
= 2
a
n
k = 1
 2n + 1
n2 + 1
= 2n + 1
n2 + 1
* n = 2n
2 + n
n2 + 1
 e lim 2n
2 + n
n2 + 1
= lim 2n
2
n2
= 2
 o teorema das sucessões enquadradas permite concluir que lim a
n
k = 1
 2n + 1
n2 + k
= 2 .
39
Tema 3 | Funções Reais de Variável Real
Determina, recorrendo ao teorema das sucessões enquadradas, os limites de cada uma das 
sucessões cujo termo geral se indica.
a) un =
2n + cos 12n2
n + 1
 2 b) vn =
n
2n - sen n
 1
2
c) wn = a2n - 53n + 1b
n
 0
Seja 1un2 a sucessão de termo geral un = 1 - 2nn + 1 e seja 1vn2 uma sucessão tal que 
An åN, vn + 2 ≤ 0 ‹ vn ≥ un .
Justifica que a sucessão 1vn2 é convergente e indica o valor do seu limite. - 2
Seja 1un2 uma sucessão de termos negativos e tal que An åN, n * un + 1 > 0 .
Justifica que a sucessão 1un2 é convergente e indica o valor do seu limite. 0
Seja un = a
n
k = 0
 2n + 1
k + n2
 . 
Determina lim un . 2
Seja un = a
2n
k = n
 n
2 + k
2k + n3
 . 
Determina lim un . 1
Mostra que An åN, n!
nn
≤ 1n e determina lim 
n!
nn
 . 0
Limites de funções (revisão)
Dada uma função real de variável real f e um número real a que seja ponto aderente 
ao domínio de f , diz-se que b é limite de f 1x2 quando x tende para a quando, para 
toda a sucessão 1xn2 de elementos do domínio de f que tende para a , a correspondente 
sucessão 1f 1xn22 tende para b .
No caso de o domínio de f não ser majorado (respetivamente, minorado), na definição 
anterior, admite-se que a seja + (respetivamente, - ).
Dada uma função real de variável real f de domínio não majorado (respetivamente, não 
minorado), diz-se que b é limite de f 1x2 quando x tende para + (respetivamente, 
- ) quando, para toda a sucessão 1xn2 de elementos do domínio de f que tende para + 
(respetivamente, para - ) , a correspondente sucessão 1f 1xn22 tende para b .
Seja f a função definida por f 1x2 = x2 - 4x . Determina, recorrendo à definição de limite 
segundo Heine, lim
x " 2
 f 1x2 e lim
x " +
 f 1x2 . lim
x " 2
 f 1x2 = 0 ; lim
x " +
 f 1x2 = +
40
Seja f a função, de domínio R , representada graficamente 
ao lado.
Define duas sucessões 1un2 e 1vn2 tais que a definição de limite 
segundo Heine permita provar que não existe lim
x " - 1
 f 1x2 . 
un = - 1 -
1
n e vn = - 1 +
1
n
Calcula, caso existam, os limites seguintes.
a) lim
x " +
 2x
2 + x - 1
12x + 122 
1
2
b) lim
x " - 1
 2x
2 + x - 1
x3 + 1
 - 1
c) lim
x " 2
 
"2x + 5 - 3
x2 - 2x
 1
6
d) lim
x " +
 
"x2 + 1 - 3x
x +"x - 2
e) lim
x " 1
 x
2 - 1
1x - 122 Não existe f) limx " 0 
x - 1 +"x + 1
x2 + x
 3
2
g) lim
x " +
 
01 - 3x 0 + 4x
0x - 3 0 7 h) limx " - 
01 - 3x 0 + 4x
0x - 3 0 - 1
i) lim
x " 3
 x
2 - 3x06 - 2x 0 Não existe
x
f
y
1
1O
Teoremas de comparação para funções
1. Dadas funções reais de variável real f e g de domínio D e sendo a åR um ponto 
aderente a D :
se Ax å D, f 1x2 ≥ g 1x2 e se lim
x " a
 g 1x2 = + , então lim
x " a
 f 1x2 = + .
se Ax å D, f 1x2 ≥ g 1x2 e se lim
x " a
 f 1x2 = - , então lim
x " a
 g 1x2 = - .
2. Dadas funções reais de variável real f e g de domínio D , não majorado:
se Ax å D, f 1x2 ≥ g 1x2 e se lim
x " +
 g 1x2 = + , então lim
x " +
 f 1x2 = + .
se Ax å D, f 1x2 ≥ g 1x2 e se lim
x " +
 f 1x2 = - , então lim
x " +
 g 1x2 = - .
3. Dadas funções reais de variável real f e g de domínio D , não minorado:
se Ax å D, f 1x2 ≥ g 1x2 e se lim
x " -
 g 1x2 = + , então lim
x " -
 f 1x2 = + .
se Ax å D, f 1x2 ≥ g 1x2 e se lim
x " -
 f 1x2 = - , então lim
x " -
 g 1x2 = - .
41
Tema 3 | Funções Reais de Variável Real
Acerca de uma função f , de domínio R , sabe-se que Ax åR \ 516, f 1x2 ≤ x - 311 - x22 .
Determina lim
x " 1
 f 1x2 . Justifica. -
Acerca de uma função f , de domínio R , sabe-se que Ax < 2, f 1x2 ≥ 1 - 2x2
x - 2
 .
Determina lim
x " -
 f 1x2 . Justifica. +
Seja f a função, de domínio R , definida por f 1x2 = x3 1cos x - 32 .
Determina lim
x " -
 f 1x2 e lim
x " +
 f 1x2 . Justifica. lim
x " -
 f 1x2 = + ; lim
x " +
 f 1x2 = -
Seja f a função, de domínio R \ 506 e contradomí-
nio g- , 1g , representada graficamente ao lado.
As retas de equações x = 0 e y = 0 são as assíntotas 
ao gráfico da função.
Seja g uma função tal que: 
Ax åR \ 506, g 1x2 ≤ f 1x2 
Determina lim
x " 0
 g 1x2 . Justifica. -
Sejam f e g duas funções de domínio R- . Sabe-se que:
a reta de equação y = - 2x + 1 é assíntota ao gráfico da função g ;
Ax åR- , f 1x2 ≥ g 1x2 .
Determina lim
x " -
 f 1x2 . Justifica. +
x
f
y
O
Teorema das funções enquadradas
Dadas funções reais de variável real f , g e h de domínio D e sendo a åR um ponto 
aderente a D , se Axå D, g 1x2 ≤ f 1x2 ≤ h 1x2 e se lim
x " a
 g 1x2 = lim
x " a
 h 1x2 = b , com b åR , 
então lim
x " a
 f 1x2 = b .
Exemplo:
Se a função f , de domínio R , é tal que Ax åR, x + 1 ≤ f 1x2 ≤ x2 + x + 1 , então:
lim
x " +
 f 1x2 = + , porque lim
x " +
 1x + 12 = + (teorema 2)
lim
x " 0
 f 1x2 = 1 , porque lim
x " 0
 1x + 12 = lim
x " 0
 1x2 + x + 12 = 1 
(teorema das funções enquadradas)
Nota
Todos os teoremas enunciados são válidos considerando os limites laterais em a e também se 
aplicam se as hipóteses forem verificadas na restrição das funções a uma vizinhança de a no caso 
de a ser um número real, ou em intervalos não majorados (respetivamente, não minorados) no 
caso dos limites quando x " + (respetivamente, x " - ).
42
Determina os limites seguintes, recorrendo ao teorema das funções enquadradas.
a) lim
x " 3
 c1x - 32 sen 1
x - 3
d 0 b) lim
x " +
 
"x + sen x
2"x + 1 
1
2
c) lim
x " -
 2x
3x + cos x
 2
3
d) lim
x " +
 
"sen x + 5 + x
2x + 1
 1
2
Sejam f , g e h três funções de domínio R \ 5- 36 . Sabe-se que:
f 1x2 = x2 - 9
x + 3
 ; g 1x2 = x2 + 7x + 6 ;
Ax å Dh, f 1x2 ≤ h 1x2 ≤ g 1x2 .
Determina lim
x " - 3
 h1x2 . Justifica. - 6
Sejam f , g e h três funções de domínio R+ . Sabe-se que:
a reta de equação y = - 1 é assíntota ao gráfico da função g ;
a reta de equação y = - x + 2 é assíntota ao gráfico de h ;
Ax åR+ , f 1x2 ≤ g 1x2 ; Ax åR+ , xf 1x2 ≥ h 1x2 .
Determina lim
x " +
 f 1x2 . Justifica. - 1
Teorema de Bolzano-Cauchy ou teorema dos valores 
intermédios
Dada uma função real de variável real f , contínua num intervalo I = fa, bg , com a < b , 
se k pertence ao intervalo fechado de extremos f 1a2 e f 1b2 , então existe c å I tal que 
f 1c2 = k .
Em particular, se k pertence ao intervalo aberto de extremos f 1a2 e f 1b2 , então existe 
c å ga, bf tal que f 1c2 = k .
Esquematicamente, tem-se:
f contínua em fa, bg
f 1a2 < k < f 1b2 ou f 1b2 < k < f 1a2 ¶±Ec å ga, bf : f 1c2 = k
Tem-se também que, se f 1a2 * f 1b2 < 0 , então f tem pelo menos um zero em ga, bf .
Exemplos:
1. Provar que a equação 0,5x - x3 = 1 tem solução no intervalo g- 2, - 1f .
 Seja f a função definida por f 1x2 = 0,5x - x3 . A função é contínua em f- 2, - 1g e 
tem-se: 
 f 1- 22 = 0,5 * 1- 22 - 1- 223 = - 1 + 8 = 7 e f 1- 12 = 0,5 * 1- 12 - 1- 123 = - 0,5 + 1 = 0,5
 Então, 1 å gf 1- 12, f 1- 22f e, portanto, o teorema de Bolzano-Cauchy permite con-
cluir que Ec å g- 2, - 1f : f 1c2 = 1 , ou seja, a equação 0,5x - x3 = 1 tem solução no 
intervalo g- 2, - 1f .
continua
43
Tema 3 | Funções Reais de Variável Real
2. Provar que os gráficos das funções f e g definidas por f 1x2 = x3 e g 1x2 = x + 1
x + 2
 se 
intersetam num ponto cuja abcissa pertence ao intervalo g0, 1f .
 Vamos mostrar que a equação f 1x2 = g 1x2 tem solução em g0, 1f .
 Seja h a função definida por h 1x2 = f 1x2 - g 1x2 . 
 A função h é contínua em f0, 1g e tem-se:
h 102 = f 102 - g 102 = 0 - 1
2
= - 1
2
 e h 112 = f 112 - g 112 = 1 - 2
3
= 1
3
 
 Dado que - 1
2
≤ 0 ≤ 1
3
 , ou seja, h 102 ≤ 0 ≤ h 112 , o teorema de Bolzano-Cauchy 
 permite concluir que Ex å g0, 1f : h 1x2 = 0 e, portanto, Ex å g0, 1f : f 1x2 = g 1x2 .
continuação
Estuda quanto à continuidade as funções f e g definidas por:
f 1x2 =
x - 3
"9 - x2 se - 3 < x < 3
0 se x = 3
x2 - 6x + 9
2x2 - 5x - 3
 se x > 3
 g 1x2 = μ
"x - 1 se x ≥ 2
x - 2
x - 2 -"2 - x se x < 2
Seja k um número real e seja f a função definida por f 1x2 =
"x2 + 3 - 2
1 - x
 se x 0 1
k se x = 1
.
Determina k sabendo que a função f é contínua. k = - 1
2
Seja h a função definida por h 1x2 = x4 + 2x3 - 1 . Resolve os dois itens seguintes sem re-
correres a uma calculadora, a não ser para efetuares cálculos numéricos.
a) Prova que a função tem pelo menos um zero no intervalo g0, 1f .
b) Prova que o zero cuja existência garantiste em a) é o único zero que pertence a esse 
intervalo.
c) Determina h a1
2
b e indica um intervalo de amplitude 1
2
 a que pertença o zero da fun-
ção referido na alínea b). h a1
2
b = - 11
16
 ; intervalo d 1
2
, 1c .
Seja f uma função, de domínio R , contínua no intervalo f- 1, 4g . Tem-se f 1- 12 = 3 e 
f 142 = 9 . Seja g a função definida por g 1x2 = x2 - f 1x2 .
Prova que a equação g 1x2 = 2 tem solução no intervalo g- 1, 4f .
Seja a um número real diferente de 0 e seja f a função definida por f 1x2 = x3 - x2 + x + a2 .
Mostra que a função f tem pelo menos um zero no intervalo de extremos a e - a .
Seja f uma função contínua, de domínio f- 2, 5g e contradomínio f- 1, 3g . Seja g a 
função definida por g 1x2 = f 1x2 - x .
Prova que a função g tem pelo menos um zero.
44
Seja f uma função contínua, de domínio f- 2, 5g , tal que f 1- 22 = 6 e f 152 = 2 . Prova que 
a afirmação «A função f não tem zeros no intervalo g- 2, 5f .» não é necessariamente 
verdadeira.
Sejam a e b números reais tais que a < b e seja h uma função contínua, de domínio 
fa, bg , tal que Ax å Dh , h 1x2å ga, bf .
Mostra que Ec å ga, bf : h 1c2 = c .
Seja k um número real e seja f a função definida por f 1x2 = kx2 - k . Mostra que o grá-
fico da função f interseta a reta que contém as bissetrizes dos quadrantes ímpares num 
ponto cuja abcissa pertence ao intervalo g- 1, 1f .
Seja g uma função contínua, de domínio fa, bg . Sabe-se que g 1a2 * g 1b2 < 0 .
Considera a função f = 1g .
 Justifica que a afirmação «O domínio da função f não pode ser fa, bg .» é verdadeira.
Seja f uma função contínua em R , tal que:
Ax åR, 1f + f 2 1x2 = x ;
para um determinado número real a , tem-se f 1a2 < a - 1 .
Mostra que a equação f 1x2 = x - 1 é possível em gf 1a2, af .
Teorema de Weierstrass
Qualquer função real de variável real contínua num intervalo fa, bg , sendo a < b , admite 
mínimo e máximo absolutos.
Seja f uma função contínua cujo domínio é um intervalo fa, bg , não vazio. Justifica que 
o contradomínio da função f não pode ser R+ .
Sejam a e b dois números reais positivos tais que a < b e sejam f e g duas funções 
contínuas de domínio fa, bg e contradomínio R+ .
Justifica que a função h , definida por h 1x2 = f 1x2
g 1x2 , tem mínimo e máximo absolutos.
Seja g uma função contínua em fa, bg , sendo a < b . Justifica que existe k åR tal que 
a equação g 1x2 = k é impossível.
Considera a função f definida por f 1x2 = μ
x3 + 3
x2 + 1
 se - 6 ≤ x ≤ 1
x - 1
2"x + 3 - 4 se 1 < x ≤ 6
 . Justifica que o 
teorema de Weierstrass permite concluir que a função tem máximo e mínimo absolutos.
45
2. Derivadas de funções reais de variável 
real e aplicações
Derivadas de funções reais de variável real (revisão)
Dada uma função real de variável real f e um ponto x0 do seu domínio, considera-se
lim
x " x0
 
f 1x2 - f 1x02
x - x0
 , se existir e for finito, como sendo a 
f x0 , designa-se por f x0 e representa-se por f '1x02 . 
f ' 1x02 = lim
x " x0
f 1x2 - f 1x02
x - x0
Quando existe derivada de f em x0 , diz-se que f é x0 ou que f é 
 x0 . 
Se f é diferenciável em todos os pontos de um conjunto A , diz-se que f é 
A .
Diz-se que uma função é se for .
Esta definição de derivada de f no ponto x0 é equivalente a f '1x02 = lim
h " 0
 
f 1x0 + h2 - f 1x02
h
 .
Seja f a função definida por f 1x2 = x4 - 3x + 1 . Determina f '112 , recorrendo à definição 
de derivada de uma função num ponto. f '112 = 1
Acerca de uma função g , sabe-se que g 122 = - 3 e que g'122 = 4 .
Determina lim
h " 0
 
g 12 + h2 + 3
h2 + 2h
 . 2
Acerca de uma função f , de domínio R , sabe-se que é diferenciável em a e que f 1a2 = 1 .
Indica, justificando, o valor de lim
x " a
 f 1x2 . 1
Geometricamente, o declive da reta tangente ao gráfico deuma função diferenciável 
num ponto é o valor da derivada da função na abcissa desse ponto, como se apresenta 
em seguida.
Dada uma função real de variável real f , diferenciável num ponto x0 , e dado um refe-
rencial o.n., a reta que passa no ponto P0 1x0, f 1x022 e tem declive igual a f '1x02 diz-se 
 f P0 .
Uma equação desta reta é y = f ' 1x02 1x - x02 + f 1x02 .
46
Determina f '1x2 , sendo f a função definida por:
a) f 1x2 = 2x3 + x2
2
+ x -"2 6x2 + x + 1 b) f 1x2 = x3 - 2x
2x - 3
 4x
3 - 9x2 + 6
12x - 322
c) f 1x2 = 1x2 + 3x25 110x + 152 1x2 + 3x24 d) f 1x2 ="x * 1x2 + 12 5x2 + 1
2"x
Seja f a função definida por f 1x2 = x3
3
- 7
2
 x2 + 7x - 1 . Mostra que há duas retas tangentes
ao gráfico de f que são paralelas à bissetriz do primeiro quadrante e escreve a equação 
reduzida de uma dessas retas.
Seja g a função definida por g 1x2 = 2x
3 - x
 e seja f a função representada graficamente. 
A reta r é tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 1. 
x
f r
y
O
2
1 3
Determina:
a) g 112 , g'1x2 e f '112 b) 1f * g2'112 2 c) a1
f
b' 112 1
4
d) 1g + f 2' 112 - 6 e) 1f 32' 112 - 12 f) Q"g R' 112 34
 g'1x2 = 613 - x22 e f '112 = - 1
g 112 = 1
Função derivada
Dada uma função real de variável real f , designa-se por de f a função de 
domínio D = 5x å Df : f é diferenciável em x6 que a cada x å D faz corresponder f '1x2 .
Derivadas de referência e regras de derivação (nos pontos em que as funções estão 
definidas e existe derivada):
k' = 0 x' = 1 1xa2' = a xa - 1, a å Q
Q"n x R' = 1
n "n xn - 1 , n åN 1k f 2' = kf ', k åR 1f + g2' = f ' + g'
1f * g2' = f ' * g + f * g' a1
f
b' = - f '
f 2
a f
g
b' = f ' * g - f * g'
g2
1f +g2' = g' * f '1g2
Escreve a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 2 
sabendo que f '122 = - 3 e que f 122 = 1 . y = - 3x + 7
A reta de equação 2x + 3y = 4 é tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 1. 
Determina, justificando, f 112 e f '112 . f 112 = 2
3
 ; f '112 = - 2
3
47
Tema 3 | Funções Reais de Variável Real
Estuda quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos as funções defi-
nidas por:
a) f 1x2 = 2x3 - 4x2 + 5
b) g 1x2 = x2
x2 - 1
c) h 1x2 = 1x - 123 1x - 32
No referencial da figura ao lado está representada graficamen-
te parte de uma função polinomial de grau 3 que é a função 
derivada de uma função f . Pela observação do gráfico de f ' , 
indica, justificando, os intervalos de monotonia da função f e 
os valores de x para os quais a função atinge extremos, indi-
cando o seu tipo.
x
y
1
1O
f'
Derivada de segunda ordem de uma função
Dada uma função real de variável real f , diferenciável num intervalo I tal que a função 
derivada f ' é diferenciável em a å I , designa-se a derivada 1f '2' 1a2 por
f a e representa-se por f ''1a2 .
Uma função real de variável real f diz-se num intervalo I se 
f ''1a2 existir para todo a å I . Nesse caso, designa-se por f '' a função que a cada x å I 
faz corresponder f ''1x2 .
A derivada de segunda ordem também pode ser designada por .
Teoremas
Seja f uma função real de variável real cujo domínio contém um intervalo não vazio 
I = ga, bf . Se f atinge um extremo relativo em x0 å I e se f é diferenciável em x0 
então f '1x02 = 0 .
Seja f uma função real de variável real f , contínua num intervalo I de extremo es-
querdo a e extremo direito b e diferenciável em ga, bf .
– se Ax å ga, bf, f '1x2 > 0 1respetivamente, Ax å ga, bf, f '1x2 < 02 , então f é crescente 
(respetivamente, decrescente) em I* .
– se Ax å ga, bf, f '1x2 ≥ 0 1respetivamente, Ax å ga, bf, f '1x2 ≤ 02, então f é crescente 
em sentido lato (respetivamente, decrescente em sentido lato) em I* .
– se Ax å ga, bf, f '1x2 = 0 , então f é constante em I .
* Os resultados são válidos se a derivada anular num número finito de pontos.
48
Determina f ''1x2 , sendo f a função definida por:
a) f 1x2 = 2x -"2x3 + 3p - 6"2xp b) f 1x2 = 13 - 2x23 72 - 48x
c) f 1x2 = 1
x2 + 1
 6x
2 - 2
1x2 + 123 d) f 1x2 ="x
2 + 1 11x2 + 12"x2 + 1
No referencial seguinte está representada graficamente parte da função f '' , função deri-
vada de ordem 2 da função f . 
x
y
cba d eO
f ''
Da observação do gráfico, indica, justificando, os intervalos de monotonia da função f ' .
Sinal da derivada de segunda ordem num ponto crítico
Dados uma função real de variável real f , duas vezes diferenciável num intervalo 
I = ga, bf , a < b , e um ponto c å ga, bf tal que f '1c2 = 0 , se f ''1c2 > 0 1respetivamente, 
 f ''1c2 < 02 então f atinge um mínimo (respetivamente, máximo) relativo em c .
Seja f uma função duas vezes diferenciável em R tal que f '112 = 0 e f ''112 > 0 . 
O que podes dizer acerca de f 112 ? A função f atinge um mínimo relativo em 1.
Sejam a e b números reais. 
Considera uma família de funções f , tais que f '1x2 = ax3 + bx2 - 4 . 
Mostra que todas as funções desta família para as quais 2a + b - 1 = 0 , com a < - 1 , 
atingem um extremo em 2 e indica se o extremo é máximo ou é mínimo.
Seja f uma função polinomial de grau 4. No referencial seguinte estão representadas par-
tes das funções f ' e f '' . 
x
y
1O
f 'f ''
1
Identifica os valores de x para os quais a função f atinge um extremo e indica se o 
extremo atingido é máximo ou é mínimo. Justifica. A função atinge mínimos em - 2 e em 3.
49
Tema 3 | Funções Reais de Variável Real
No referencial seguinte está representada parte da função f ' , função derivada da 
função f . 
x
y
cba d eO
f '
Da observação do gráfico, indica, justificando, o sentido das concavidades do gráfico da 
função f e as abcissas dos pontos de inflexão.
Seja f uma função duas vezes diferenciável. Sabe-se que o gráfico da função f tem a 
concavidade voltada para cima em R- e tem a concavidade voltada para baixo em R+ .
Indica, justificando, o valor lógico da afirmação: «f '112 < f '152». A afirmação é falsa.
Pontos de inflexão e concavidades de funções duas vezes 
diferenciáveis 
Seja f uma função diferenciável num intervalo I .
O gráfico de f tem a em I se e só se a -
, f ' , em I .
O gráfico de f tem a em I se e só se a -
, f ' , em I .
Se a função f é duas vezes diferenciável num intervalo I de extremo esquerdo a e 
extremo direito b , e se, para todo x å ga, bf , f ''1x2 > 0 1respetivamente, f ''1x2 < 02 , en-
tão o gráfico da função f tem a (respetivamente, para 
baixo) no intervalo I .
Estes resultados são válidos se a segunda derivada se anular num número finito de 
pontos.
Se a função f é duas vezes diferenciável num intervalo I e se o gráfico da função f tem 
a (respetivamente, para baixo) no intervalo I , então, 
para todo x å I , f ''1x2 ≥ 0 1respetivamente, f ''1x2 ≤ 02.
Dados uma função f de domínio D e c å D , diz-se que o ponto 1c , f 1c22 é -
do gráfico de f se existirem números reais a e b , a < c e b > c , tais que fa, bg ƒ D
e a concavidade do gráfico de f no intervalo fa, cg tem sentido contrário à concavi-
dade do gráfico de f no intervalo fc, bg . Também se diz, neste caso, que o gráfico da 
função f tem ponto de inflexão em c .
Dada uma função f duas vezes diferenciável num intervalo I , se o gráfico de f tem 
ponto de inflexão em c , então f ''1c2 = 0 .
50
No referencial seguinte está representada parte da função f e a reta r que é tangente ao 
gráfico de f no ponto de abcissa 0. 
x
y
cba dO
f 
r
Da observação do gráfico, indica, justificando, os intervalos de monotonia da função f ' .
No referencial seguinte está representada graficamente parte de uma função f .
x
y
O
f
Justifica que o gráfico seguinte não pode ser o gráfico da função f ' .
x
y
O
Seja f uma função duas vezes diferenciável em R e seja f ''1x2 = 1x2 - 2x2 1x2 + 12 1x - 322 .
Indica, justificando,as abcissas dos pontos de inflexão do gráfico da função f .
Estuda quanto ao sentido das concavidades e existência de pontos de inflexão o gráfico de 
cada uma das funções f definidas por:
a) f 1x2 = x4 - 3x2 + 1 b) f 1x2 = x3
x - 1
Interpretação cinemática da derivada de segunda ordem
Sejam fixados um instante para origem das medidas de tempo, uma unidade de tempo 
(o segundo, por exemplo), uma reta numérica r com unidade de comprimento (que 
pode ser, por exemplo, o metro) e um intervalo I (não vazio nem reduzido a um ponto).
continua
51
Tema 3 | Funções Reais de Variável Real
A ficha técnica de um certo automóvel indica que este automóvel pode ir de 0 a 100 km/h 
em 2,8 segundos. Qual é a aceleração média nesta situação?
Apresenta o resultado em m/s2, com os metros arredondados às décimas. 9,9 m/s2
Com a resistência do ar da atmosfera e a gravidade terrestre, a velocidade terminal de um 
paraquedista que cai na vertical com braços abertos (maior resistência) em queda livre é 
de cerca de 195 km/h (54,2 m/s). Demora 3 s para chegar a metade dessa velocidade, 8 s 
para chegar a 90% e 15 s para alcançar 99% da referida velocidade.
Determina, em relação à situação descrita, a aceleração média nos 3 primeiros segundos, 
entre os 3 e os 8 segundos e entre os 8 e os 15 segundos.
Apresenta o resultado em m/s2, com os metros arredondados às décimas. 
9,0 m/s2, 4,3 m/s2 e 0,7 m/s2.
Uma partícula desloca-se sobre uma reta numérica, cuja unidade é o metro. A abcissa 
(nessa reta) da posição da partícula no instante t , em segundos, é dada, em metros, por 
p 1t2 = 2t3 - 6t2 + 9 .
a) Determina a aceleração da partícula no instante t = 2 . 12 m/s2
b) Determina a aceleração da partícula no instante em que a velocidade é 48 m/s. 36 m/s2
c) Determina a posição da partícula quando a aceleração é igual a 24 m/s2. 
Está na posição inicial (abcissa igual a 9).
Traçado de gráficos
O estudo de uma função no que diz respeito ao domínio, intervalos de monotonia e exis-
tência de extremos, e o estudo analítico do seu gráfico relativamente ao sentido das 
concavidades, à existência de pontos de inflexão, pontos de interseção com os eixos 
coordenados e assíntotas, permite fazer um esboço do gráfico da função.
Faz um estudo que permita esboçar o gráfico de cada uma das funções definidas por:
a) f 1x2 = - x4
2
- x3 + x + 2 b) g 1x2 = 3x
2x2 + 1
c) h 1x2 = x - 2
x2 - 5
d) j 1x2 = x2 - 1
x + 2
Nestas condições, dada uma função posição, p , de um ponto P que se desloca sobre 
a reta r durante o intervalo de tempo I e dados dois instantes t1 e t2 do intervalo I , 
com t1 < t2 , a de P no intervalo de tempo ft1, t2g é a taxa média de
variação de p' entre t1 e t2 , ou seja, é 
p'1t22 - p'1t12
t2 - t1
 na unidade m/s2 (m s-2) e, dado 
 t å I , a de P no instante t na unidade m/s2 (m s-2) é a derivada 
de segunda ordem de p em t , ou seja, é p''1t2 , caso exista.
continuação
52
Resolução de problemas
Seja 1un2 a sucessão de termo geral un = a
n
k = 1
 n"2n2 + k .
a) Determina u3 e, sem recorreres à calculadora, justifica que 
9
"21 é inferior a u3 .
b) Mostra, recorrendo a teoremas de comparação, que lim un = + .
c) Acerca de uma função f , de domínio R+ , sabe-se que lim f 1un2 = 1 .
Justifica que o gráfico de f não pode ter uma assíntota oblíqua.
Seja k um número real e seja f a função definida por f 1x2 = μ
7 - 2x
2
 se x ≤ 3
kx2 - 3kx + x - 3
x2 - 9
 se x > 3
 
a) Mostra que f é contínua se e só se k = 2
3
 .
b) Seja k = 2
3
 e seja g a restrição da função f ao intervalo f2, 4g .
 b1)�Justifica que a função g tem mínimo e máximo absolutos.
 b2) � Sem recorreres à calculadora, esboça o gráfico da função g e determina o míni-
mo e o máximo absolutos cuja existência se afirma na alínea anterior. 
O máximo é g 122 = 3
2
 e o mínimo é g 132 = 1
2
 .
Acerca de uma função real de variável real g , de domínio R , sabe-se que:
g 1- 22 * g 102 < 0 ;
a reta de equação x = - 1 é assíntota ao gráfico de g .
Tendo em consideração esta informação, um aluno concluiu: 
«Então, a função g tem pelo menos um zero no intervalo g- 2, 0f porque g 1- 22 e g 102 
têm sinais contrários.» 
Ao ouvir esta afirmação, um outro aluno contrapôs: 
«Não concordo. Penso que da informação do enunciado o que se conclui é que a função 
não tem zeros no intervalo g- 2, 0f porque a função não é contínua em f- 2, 0g.»
Será que algum destes alunos está a pensar corretamente? 
Seja k um número real e seja f a função, de domínio R , definida por f 1x2 = x4 + kx - 3 .
Justifica que, se k å g- , 4f ∂ d 11
2
, + c , a equação f 1x2 = 2 tem pelo menos uma solu-
ção no intervalo g- 2, 1f .
Seja f uma função diferenciável cuja derivada tem pelo menos um zero. 
Mostra que não pode existir mais do que um zero de f maior do que o maior zero de f ' .
Seja a åR e seja f uma função duas vezes diferenciável em a . 
Mostra que f ''1a2 = 0 não é condição suficiente para que o gráfico de f tenha um ponto 
de inflexão em a .
g
O 1
1
x
y
 u3 = 9"21
53
Tema 3 | Funções Reais de Variável Real
Seja k um número real e seja f a função, de domínio R , definida por:
f 1x2 = k2 x3
6
- kx
2
3
+ x
6
- 1 
Determina k de modo que:
a) a função f atinja um máximo em 1; 1
3
b) o gráfico da função f tenha um ponto de inflexão em 1. 2
3
Uma partícula desloca-se sobre uma reta numérica, cuja unidade é o metro. A ab-
cissa, nessa reta, da respetiva posição da partícula no instante t 1t ≥ 02 é dada por 
p 1t2 = 2t3 - 15t2 + 24t + 4 .
a) Determina a aceleração da partícula no instante em que a velocidade é 60 m/s. 42 m/s2
b) Determina a posição da partícula e o número de metros que já percorreu quando a 
aceleração é nula. A partícula está 1,5 m à direita da origem do eixo, ou seja, 2,5 m à 
esquerda da posição inicial; percorreu 24,5 m.
Faz o estudo necessário para esboçares o gráfico da função f definida por:
a) f 1x2 ="x2 - 1x
b) f 1x2 = 2x20x + 2 0
Seja f a função definida por f 1x2 = 1
x2
 . Considera o gráfico da função f num referencial
o.n. e seja P 1x, y2 , com x > 0 , um ponto do gráfico de f e seja Q a imagem do ponto P 
pela reflexão de eixo Oy .
Considera os retângulos que têm um lado contido no eixo Ox e de que P e Q são 
vértices.
Determina, de todos esses retângulos, as dimensões do que tem menor perímetro. 1 e 2
De todos os triângulos isósceles fABCg , sendo AB = BC = 4 , determina o comprimento do 
lado fACg do que tem maior área e classifica esse triângulo quanto aos ângulos. 
AC = 4"2 ; é um triângulo retângulo.
Sejam f e g as funções definidas por f 1x2 = x3 - 3x2 - 1 e g 1x2 = x2 - 5 .
a) Mostra que, no intervalo f0, 2g , a função f é decrescente e a função g é crescente. 
O que podes concluir acerca da monotonia da função f - g nesse intervalo?
b) Justifica que os gráficos das funções f e g se intersetam num único ponto de abcissa 
pertencente ao intervalo g1,1; 1,3f e, utilizando uma calculadora gráfica, determina 
um valor aproximado às décimas das coordenadas desse ponto. 
54
Te
m
a4
Funções 
Exponenciais 
e Funções 
Logarítmicas
1. Juros compostos e número de Neper
1. O António vai depositar 60 000 euros à taxa anual de 4% durante os próximos cinco anos. 
a) Qual é o lucro obtido no primeiro ano de depósito? 2400 euros
b) O António contou à Beatriz que o depósito lhe ia dar um ganho de 2400 eu-
ros no final do ano. A Beatriz concluiu então que, ao fim dos cinco anos, o An-
tónio ia ter 72 000 euros na sua conta. Concordas com a Beatriz? 
Não exatamente. O António vai ter 72 999,17 euros.
c) Quanto mais receberia o António se prolongasse o depósito por mais um ano? 
d) Qual teria de ser a taxa anual para o lucro obtido no primeiro ano ser igual ao montan-
te que obtiveste na alínea anterior? Apresenta a taxa em percentagem, com três casas 
decimais.4,865%
2. Determina o capital acumulado por 10 000 euros depositados durante 20 anos à taxa de 
1,8% ao ano, com a garantia de que esta taxa não se altera. 14 287,48 euros
3. Determina o capital acumulado por 100 000 euros durante 20 anos, sabendo que nos 
primeiros 10 anos a taxa anual é 1,5%, nos cinco anos seguintes a taxa anual é 2% e nos 
últimos cinco anos a taxa anual é 2,4% . 
Apresenta o resultado em euros, arredondado às unidades.
Se, em cálculos intermédios, fizeres arredondamentos, conserva três casas decimais. 
4. Determina o capital acumulado por 2500 euros depositados à taxa semestral de 0,8% 
durante 5 anos. 2707,36 euros
5. Determina a taxa anual aplicada a um depósito de 12 500 euros que aumentou 24% em 
doze anos. Apresenta a taxa em percentagem, arredondada às décimas. 1,8%
6. Uma propriedade rural está a desvalorizar 5% ao ano. O seu valor atual é 500 000 euros.
a) Determina o valor da propriedade daqui a um ano e daqui a dois anos. 
475 000 euros, 451 250 euros
b) Escreve uma expressão que permita obter o valor da propriedade decorridos n anos, 
admitindo que a taxa de desvalorização se mantém. 500 000 * 0,95n
2919,97 euros
144 625 euros
Resolução de problemas envolvendo juros compostos
Aplicando a um capital inicial, C0 , juros compostos à taxa de r% por um período de 
tempo T , o capital disponível ao fim de n períodos de tempo T , com n åN , é dado por:
Cn = C0 a1 + r100b
n
Exemplo:
Aplicando a 1500 euros juros compostos à taxa anual de 2,1%, o capital disponível ao 
fim de n anos é dado por Cn = 1500 a1 + 2,1100b
n
= 1500 * 1,021n .
56
7. O António dispõe de 50 000 euros que vai depositar numa instituição bancária. Determina 
o capital que obtém ao fim de um ano à taxa nominal de 2,4% se o juro for aplicado de 
forma proporcional:
a) semestralmente; 
51 207,20 euros
b) a cada mês; 
51 213,29 euros
c) minuto a minuto. 
51 241,52 euros
8. O Bernardo fez um depósito há muitos anos. Sabe que os juros são capitalizados trimes-
tralmente (em março, junho, setembro e dezembro) mas não se recorda da taxa nominal 
(anual) que negociou com a instituição bancária. Consultou os dois últimos extratos ban-
cários, pelo que sabe que em setembro o depósito valia 20 225,23 euros e em dezembro 
ascendia a 20 376,92 euros. Ajuda o Bernardo a determinar a taxa nominal contratada 
com a instituição bancária. 
Apresenta o resultado em percentagem, arredondado às unidades.
Se, em cálculos intermédios, fizeres arredondamentos, conserva quatro casas decimais. 3%
Dado um número real r , um número natural n e um capital C0 , disponível no início 
de um determinado período de um ano, dividindo esse ano em n períodos iguais de 
medida temporal T e aplicando ao capital inicial C0 juros compostos à taxa 
de r
n
 % durante esses n períodos, o capital disponível no fim do ano é dado por:
Cn = C0 a1 + r100nb
n
 
Exemplo:
Aplicando a 2000 euros juros compostos à taxa nominal de 1,8%, sendo o juro capita-
lizado mensalmente, o capital disponível decorrido um ano é dado por: 
C12 = 2000 a1 + 1,8100 * 12b
12
 
Sucessão de termo geral un = a1 + 1nb
n
 e número de Neper
O número representado pela letra e designa-se por número de Neper e é o limite da 
sucessão de termo geral un = a1 + 1nb
n
 , ou seja, lim a1 + 1
n
b
n
= e .
O número e é um número irracional cujo valor arredondado às milésimas é 2,718.
Exemplos:
1. lim a1 + 1nb
3n - 2
= clim a1 + 1nb
nd 3 * lim a1 + 1nb
- 2
= e
3
* 1
- 2
= e
3
continua
57
Tema 4 | Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
9. Determina o limite de cada uma das sucessões cujo termo geral se indica.
a) a1 + 1nb
3n
 e3 b) a1 + 1nb
2n + 3
 e2 c) a1 + 1nb
- n
 e- 1
d) a1 + 1nb
3 - 2n
 e- 2 e) an + 1n b
n
 e f) a 2n
n + 1
b
n
 + �
g) a4n + 4
3n
b
1 - 2n
 0 h) a 2n
3n + 3
b
n
 0 i) a 2n
5n + 2
b
2 - n
 + �
2. lim a 3n
5n + 5
b
n - 2
= lim a 3n
5n + 5
b
n
* lim a 3n
5n + 5
b
- 2
= lim a3n
5n
b
n
* lim 1
a1 + 1nb
n * a35b
- 2
=
 = lim a3
5
b
n
* 1e *
25
9
= 0 * 25
9e
= 0
continuação
58
2. Funções exponenciais
Função exponencial de base a : monotonia, limites 
e propriedades algébricas
Seja a um número real positivo, diferente de 1. A função, de domínio R , definida por 
f 1x2 = ax é designada por função exponencial de base a . 
Tem contradomínio R+ . É contínua.
É decrescente se 0 < a < 1 e é crescente se a > 1 .
Se 0 < a < 1 , então lim
x " +
 ax = 0 e lim
x " - 
ax = + .
Se a > 1 , então lim
x " +
 ax = + e lim
x " -
 ax = 0 .
 0 < a < 1 a > 1
x
y
1
a
y = ax
1Ox
y
1
a
y = ax
1O
 
Tem-se também, para quaisquer números reais x e y e sendo a e b números reais 
positivos, as propriedades algébricas seguintes:
ax * ay = ax + y 1ax2y = axy 1
ax
= a- x
ax
ay
= ax - y axbx = 1ab2x ax
bx
= aa
b
b
x
No contexto do nosso estudo, a função, de domínio R , definida por f 1x2 = ex , ou seja, a 
função exponencial de base e será designada apenas por função exponencial e pode 
ser representada por exp : exp 1x2 = ex .
10. Escreve os números seguintes na forma de potência de expoente natural.
a) 2 - 4 a1
2
b
4
b) a1
4
b
- 2
 42 c) a- 3
4
b
- 1
 a- 4
3
b
1
11. Escreve os números seguintes na forma de raiz.
a) 4
1
3 "3 4 b) a1
3
b
- 1
2
 "3 c) 423 "3 42
12. Escreve os números seguintes na forma de potência de base natural.
a) a1
4
b
- 3
 43 b) Å
1
3
 3
- 1
2 c) "3 a4 , a åN a43
59
Tema 4 | Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
13. Sejam c e k números reais não nulos e seja f a função, de domínio R , definida por 
f 1x2 = c * 3kx . Apresenta valores para c e k , de modo que a função f :
a) seja crescente e o ponto de coordenadas (0, 2) pertença ao gráfico da função;
b) seja decrescente e o ponto de coordenadas (0, 1) pertença ao gráfico da função;
c) seja crescente e o ponto de coordenadas (0, – 2) pertença ao gráfico da função.
14. Seja a um número real tal que 3 - a é um número positivo e seja f a função definida 
por f 1x2 = 13 - a2x . Determina o conjunto dos valores de a para os quais a função f é 
crescente. g- , 2f
15. Seja k um número real tal que k
2 - 2
k
 é um número positivo. Determina o conjunto dos 
valores de k para os quais a função g definida por g 1x2 = ak2 - 2
k
b
x
 é decrescente.
16. Determina os seguintes limites.
a) lim
x " + �
 13x + 2- x2 + b) lim
x " - �
 ca1
5
b
x
+ 4 - xd +
c) lim
x " + �
 2
x
"3 x + 1 + d) limx " + � 13
- x * 2x2 0
17. Escreve os números seguintes na forma de uma potência.
a) 
2p * 4"3
"2 2
p + 2"3 - 1
2 b) 
Q3"2 R
"3
* 2"24
"6 2"6
 2"6
18. Sejam k e s números reais. Sabendo que 2k = 5 , 2s = 3 e 3s = 4 , determina:
a) 2k + s 15 b) 2- s 1
3
c) 2k + 1 10 d) 22k 25 e) 2
s
3 "3 3
f) 6s 12 g) a2
9
b
s
 3
16
h) 3- sk 1
25
i) 2s
2
 4 j) 3
sk
2 5
c = 2 e k > 0
c = 1 e k < 0
c = - 2 e k < 0
g-"2, - 1f ∂ g"2, 2 f
Resolução de equações e inequações envolvendo exponenciais
Exemplos:
1. 4x + 1 ="8 x § 1222x + 1 = 1232 x2 § 22x + 2 = 23x2 § 2x + 2 = 3x
2
§ x = - 4
2. 3x - 31 - x = 2 § 3x - 3
3x
= 2 §
3x = y
y - 3y = 2 § y
2 - 2y - 3 = 0 §
 § y = - 1 › y = 3 § 3x = - 1 › 3x = 3 § x = 1
 tuv
 equação impossível
3. 53x - 2 ≥ 25x § 53x - 2 ≥ 52x § 3x - 2 ≥ 2x § x ≥ 2
4. a1
9
b
x
≥ a1
3
b
x + 1
§ a1
3
b
2x
≥ a1
3
b
x + 1
§ 2x ≤ x + 1 § x ≤ 1
60
19. Resolve as equações seguintes e apresenta o conjunto-solução.
a) 9x ="3 e1
4
f b) 1000x = 0,01 e- 2
3
f c) 5x - 1 + 5x + 1 = 130 526
d) x * 21 - x = 4x 5- 1, 06 e) 9x - 1 = 108 - 3x 536 f) 4x = 3 * 2x + 1 - 8 51, 26
g) 22 - x + 3 = 2x 526
20. Resolve as inequações seguintes e apresenta o conjunto-solução usando a notação de in-
tervalos.
a) 4x + 1 >"2 3x g- 4, + f b) 0,25x ≤ 8x + 1 c- 3
5
, + c c) a1
2
bx < 1
2
 g1, + f
d) 4x
2
> 2x e) 81x ≥ 27x
2 - 5 c- 5
3
, 3d f) 2x - 1
3 - x
≥ 0 f0, 3f
g) 3x + 31 - x ≥ 4h) 3x + 1 - x2 * 3x ≥ 0 i) 3x ≥ 4x g- , 0g
j) 14x - 22 a 1
3x
- 3b ≥ 0 k) x a1
2
b
x
≤ 4x
g- , 0f ∂ d 1
2
, + c
g- , 0g ∂ f1, + f f-"3 , "3 g
c- 1, 1
2
d g- , - 2g ∂ f0, + f
Limite da sucessão de termo geral un = a1 + knb
n
Sendo k um número real, tem-se lim a1 + k
n
b
n
= ek e, em geral, se 1un2 é uma sucessão 
que tende para + ou para - , então:
lim a1 + k
un
b
un = ek
Dos resultados anteriores, conclui-se que:
lim
x " +
a1 + k
x
b
x
= lim
x " -
 a1 + k
x
b
x
= ek
21. Determina, caso exista, o limite de cada uma das sucessões que a seguir se definem pelo 
termo geral.
a) a1 + 2nb
n
b) a1 - 2nb
n + 1
c) a1 + 2
n + 3
b
2n + 1
d) an + 2
n + 5
b
n
e) a2n + 1
2n - 3
b
1 - 3n
f) an2 - 9
n2
b
n
g) a2 + 5
n + 1
b
2n
h) a2 - n
n + 3
b
n
i) a 2 - n
3n + 1
b
n
22. Determina cada um dos seguintes limites.
a) lim
x " + �
 a1 - 3
x + 2
b
2x - 1
b) lim
x " - �
a2x - 1
2x + 3
b
x - 3
 e- 2 c) lim
x " + �
 a1 + x - 1
x2 - 1
b
x
 e
d) lim
x " 0 +
 11 + x2 1x e e) lim
x " - 1 -
12 + x2 1x + 1 e
e2 e
- 2
e4 e- 3 e- 6
1 + Não 
existe 
limite.
0
e- 6
61
Tema 4 | Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
23. Determina os seguintes limites.
a) lim
x " 0
 e
2x - 1
5x
 2
5
b) lim
x " 0
 1 - e
2x
x2 + 3x
 - 2
3
c) lim
x " 0
 e
x - e2x
x - 1
d) lim
x " 1
 e
2x - e2
x - 1
 2e2 e) lim
x " + �
 cx Qe2x - 1Rd 2 f) lim
x " 1
 e
x - e
1 - ex - 1
 - e
g) lim
x " 1
 xe
2x - e2
1 - x
 - 3e2 h) lim
x " 0 +
 
"ex - 1
x + i) limx " 4
 e
"x - 2 - 1
x - 4
 1
4
Limite notável
lim
x " 0
 e
x - 1
x
= 1
Exemplos:
1. lim
x " 0
 e
3x - 1
2x
= 3
2
* lim
3x " 0
 e
3x - 1
3x
= 3
2
* 1 = 3
2
2. lim
x " - 3
 x
2 + 3x
ex + 3 - 1
 =
0
0
 lim
x " - 3
 x * lim
x " - 3
 x + 3
ex + 3 - 1
= - 3 * 1
lim
x " - 3
 e
x + 3 - 1
x + 3
 =
y = x + 3
 = - 3 * 1
lim
y " 0
 e
y - 1
y
= - 3 * 1
1
= - 3
Derivada da função exponencial 1ex2
A função exponencial é diferenciável em R e exp'1x2 = exp 1x2 , ou seja, 1ex2 ' = ex .
Se u designa uma função, a aplicação da regra da derivada da função composta permi-
te concluir que 1eu2' = u' eu .
Exemplo: 1ex + e- 3x2' = ex + 1- 3x2' e- 3x = ex - 3e- 3x
24. Determina f '1x2 , sendo f a função definida por:
a) f 1x2 = x3 e- x + ex
2
b) f 1x2 = e0,1x
x2 + 1
c) f 1x2 = x2 e2x
25. Escreve a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função f definida por f 1x2 = xex 
no ponto de abcissa 1. y = 2ex - e
26. Estuda, quanto à monotonia, existência de extremos, sentido das concavidades do gráfico 
e existência de pontos de inflexão, as funções f definidas por:
a) f 1x2 = 11 - x2 ex b) f 1x2 = e- x2 c) f 1x2 = xe - 1x
f '1x2 = 3x2e- x - x3e- x + ex
2 f '1x2 = e
0,1x
 10,1x2 - 2x + 0,12
1x2 + 122
f '1x2 = e2x 12x - 22
62
3. Funções logarítmicas
Função logarítmica de base a : monotonia, limites 
e propriedades algébricas
Seja a um número real positivo, diferente de 1. A função f : R " R+ definida por 
f 1x2 = ax (função exponencial de base a) é uma função bijetiva. A sua inversa é a função 
bijetiva f - 1 : R+ " R , definida por f 1x2 = loga 1x2 e designada por logaritmo de base a .
ax = y § x = loga 1y2
Portanto, Ax åR, loga 1ax2 = x e Ax åR+ , aloga 1x2 = x .
 0 < a < 1 a > 1
x
y
1
a
y = loga(x)
1Ox
y
1
a
y = loga(x)
1O
A função loga :
– é contínua e é injetiva; tem um único zero 1loga 1x2 = 0 § x = 12 ; 
– é decrescente se 0 < a < 1 e é crescente se a > 1 .
Se 0 < a < 1 , então lim
x " +
 loga 1x2 = - e lim
x " 0
 loga 1x2 = + .
Se a > 1 , então lim
x " +
 loga 1x2 = + e lim
x " 0
 loga 1x2 = - .
Em particular, o logaritmo de base 10 designa-se por logaritmo decimal e representa- 
-se por log e o logaritmo de base e designa-se por logaritmo neperiano e representa- 
-se por ln . 
Para quaisquer números reais positivos x e y e qualquer número real z , sendo a e 
b números reais positivos diferentes de 1, são válidas as propriedades algébricas se-
guintes:
loga 1x2 + loga 1y2 = loga 1xy2 loga 1x2 - loga 1y2 = loga axyb
loga a1yb = - loga 1y2 loga 1xz2 = z loga 1x2 loga 1x2 =
logb 1x2
logb 1a2
27. Determina o domínio de cada uma das funções reais de variável real f definidas por:
a) f 1x2 = 1 + log2 11 - 3x2 d - , 13 c b) f 1x2 = log 125 - x22 g - 5, 5f
c) f 1x2 = ln 1x + 122 + ln 1x2 + 12 R \ 5 - 16 d) f 1x2 = log 1 01 - x 0 - 32
e) f 1x2 = log3 13 - x2 + log3 11 - x2 g - , 1f f) f 1x2 = log3 a3 - x1 - xb g - , 1f ∂ g3, + f
g - , - 2f ∂ g4, + f
63
Tema 4 | Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
28. Sejam f e g as funções definidas por f 1x2 = 2 - 3x - 1
4
 e g 1x2 = 1 - 3ln 1x - 22 .
Tomando para conjuntos de chegada de f e g os respetivos contradomínios, caracteriza 
a função inversa de f e a função inversa de g .
29. Seja a um número real tal que a - 2 é um número positivo e diferente de 1 e seja f a 
função definida por f 1x2 = loga - 2 1x2 . Determina o conjunto dos valores de a para os quais 
a função f é decrescente. g2, 3f
30. Seja f uma função contínua, de domínio R e contradomínio g0, 1f . Determina o domí-
nio e o contradomínio da função g definida por g 1x2 = ln 1f 1x22 . Dg = R e D'g = g - , 0f
31. Determina, caso existam, os limites seguintes.
a) lim
x " 0
 log2 1x2 - b) lim
x " + �
 log1
e
 1x2 -
c) lim
x " 1
 
log0,1 1x - 122
x + d) limx " + �
 
2 - log 1x22
3log 1x2 + 1 -
2
3
32. Escreve o número 7 na forma de:
a) logaritmo de base 3; log3 1372 b) potência de base 2; 2log2 172
c) logaritmo de base e ; ln 1e72 d) potência de base 10. 10log 172
33. Determina, sem recorrer à calculadora.
a) 32 + log3 122 18 b) e2ln 152 25 c) log5 a 125b - 2 d) log 124 * 4 - 22 0
34. Simplifica as expressões seguintes.
a) log3 19 * 3- x2 2 - x b) ln a ex"3 e2b x -
2
3
c) 91 - log3 
Q"x2 + 1 R 9
x2 + 1
35. Determina, recorrendo a propriedades dos logaritmos, o valor exato de:
a) log3 162 - log3 122 8 b) log4 1322 + 13 log4 182 3
36. Escreve na forma de um logaritmo.
a) log 142 + 2 log 14002 b) 2log3 142 - 1 log3 a163 b c) 
ln 192
2
+ loge2 142 ln 162
37. Seja a um número real positivo, diferente de 1, e sejam u e v números reais tais que 
loga 1u2 = 5 e loga 1v2 = 3 . Determina:
a) loga 1uv2 15 b) loga 1u42 20 c) loga a1vb - 3
d) logv 1u2 53 e) log"a 1v2 6 f) loga a
"3 v
au b - 5
38. Admite que ln 122 = a e ln 162 = b . Exprime, em função de a e/ou b :
a) ln 1122 a + b b) ln 1362 2b c) ln 132 b - a d) ln 1242 2a + b
39. Sejam c um número real e k um número real positivo, diferente de 1, e seja f a função 
bijetiva, de domínio R+ , definida por f 1x2 = c + logk 1x2 . Determina c e k , sabendo que 
o ponto de coordenadas 11, - 12 pertence ao gráfico de f e que o ponto de coordenadas 
1- 2, 42 pertence ao gráfico de f - 1 . c = - 1 e k = 1
4
Df - 1 = d - , 12 c, D'f - 1 = R e f - 11x2 = 1 + log3 12 - 4x2
Dg- 1 = R , D'g- 1 = g2, + f e g
- 11x2 = e1 - x3 + 2
64
40. Determina, caso existam, os seguintes limites.
a) lim
x " + �
 flog4 12x + 12 - log4 1x2g 12 b) limx " 2 + flog2 1x - 22 - log2 1x2 - 42g - 2
c) lim
x " 0
 
ln 1x2
x + 1
 - d) lim
x " + �
 fln 1ex + 22 - xg 0
e) lim
x " 1 +
 S log1
2
 1log2 1x22 T + f) lim
x " + �
 
log 12x + 12
log 1x2 1
(subtrai e soma log 1x2 ao numerador)
Resolução de equações e inequações envolvendo 
logaritmos
Exemplos:
1. 2x = 6 § x = log2 162
2. log 1x - 32 = log 13x + 12 § x - 3 = 3x + 1 ‹ x - 3 > 0 ‹ 3x + 1 > 0 §
 § x = - 2 ‹ x > 3 ‹ x > - 1
3
§ x = - 2 ‹ x > 3
 Portanto, a equação log 1x - 32 = log 13x + 12 é impossível.
3. log2 1x2 - log2 14 - 2x2 ≤ 1 § log2 1x2 ≤ log2 14 - 2x2 + log2 122 §
 § log2 1x2 ≤ log2 18 - 4x2 § x ≤ 8 - 4x ‹ x > 0 ‹ 8 - 4x > 0 §
 § x ≤ 8
5
‹ x å g0, 2f § x å d0, 8
5
 d
41. Resolve as equações seguintes e apresenta o conjunto-solução.
a) 3x = 8 5log3 1826 b) ln 1x2 = - 1 5e- 16
c) log8 1x2 = 13 526 d) log 1x2 - 22 = log 11 - 2x2 5-36
e) log2 1x + 12 + log2 1x - 12 = log2 132 526 f) log6 1x2 + log6 1x - 52 = 2 596
g) log 12x - 12 = 2log 13x2 - log 15x + 22 526 h) log3 1x2 + log9 1x - 82 = 2 596
i) log6 1x + 42 - log6 1x - 12 = 1 526 j) 2ln 1x2 = ln 152 + ln 1x + 1,22 566
k) 32x = 5x + 1 e log 9
5
 152 f l) x2x = x3 e1, 3
2
f
42. Resolve as inequações seguintes e apresenta o conjunto-solução usando a notação de in-
tervalos.
a) log2 12x - 32 ≤ log2 1x2 d 32, 3d b) log 13 1x - 12 ≤ log 13 14 - x2 c
5
2
, 4c
 
c) 2log4 1x2 - 12 - 1 ≤ 0 d) log 17x - 122 - 2log 1x2 ≤ 0 w
e) 
1 - ln 1x2
ex - 1
≥ 0 g0, eg f) log 1
2
 1x - 222 > log 1
2
 1x2 + 32
g) log2 12 - x2 - 1 ≤ log4 15 - x2 f- 4, 2f h) xlog 1
2
 13 + x2 + 3x ≤ 0 
f -"3, - 1f ∂ g1, "3 g d 127 , 3d ∂ f4, + f
d 1
4
, 2c ∂ g2, + f
g - 3, 0g ∂ f5, + f
65
Tema 4 | Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
43. Determina uma expressão da função derivada da função f , sendo:
a) f 1x2 = 2x + log2 1x2 b) f 1x2 = 32x + 1ln 132 2 * 32x + 1 c) f 1x2 = 3log2 
1x2 
44. Seja f a função definida por f 1x2 = xlog3 1x2 . Determina a equação reduzida da reta tan-
gente ao gráfico da função f :
a) no ponto de abcissa 1; b) que é paralela ao eixo das abcissas.
45. Determina uma expressão para a função derivada de cada uma das funções f que a seguir 
se definem, começando por aplicar propriedades algébricas dos logaritmos.
a) f 1x2 = ln fx 1x + 224g 1x + 4x + 2 b) f 1x2 = ln Q"
5
5x - 2 R 1
5x - 2
46. Estuda, quanto à monotonia, existência de extremos, sentido das concavidades do gráfico 
e existência de pontos de inflexão, as funções f definidas por:
a) f 1x2 = x2 ln 1x2 b) f 1x2 = x
ln 1x2
2x ln 122 + 1
xln 122
3log2 1x2 log2 132
x
Derivadas das funções exponenciais e das funções 
logarítmicas
1ax2' = ax ln 1a2 ln' 1x2 = 1
x
, x > 0 log'a 1x2 = 1
x ln 1a2
Limites notáveis
lim
x " +
 e
x
xk
= + e lim
x " +
 
ln 1x2
x
= 0
Exemplos:
1. lim
x " + �
 e
0,1x
x3
=
�
�
lim
x " + �
 e
0,1x
10,1x23 * limx " + � 
10,1x23
x3
=
y = 0,1x
 lim
y " + �
 e
y
y3
* 0,001 = + � * 0,001 = + �
2. lim
x " + �
 x
log2 1x2 =
�
�
lim
x " + �
 x
ln 1x2
ln 122
= ln 122 * 1
lim
x " + �
 
ln 1x2
x
= ln 122 * 1
0 +
= + �
3. lim
x " - �
 1xex2 =� * 0 lim
x " - �
 x
e- x
 =
�
�
 lim
y " + �
 
- y
ey
= - 1
lim
y " + �
 e
y
y
= - 1+ � = 0
 y = - x
47. Calcula, casos existam, os limites seguintes.
a) lim
x " + �
 e
2x
3x2
 + b) lim
x " + �
 
ln 1x2
x + e 0 c) limx " 0 +
 Qxe1xR +
d) lim
x " + �
 e
2x + 2ex
2e2x + x
 1
2
e) lim
x " + �
 fln 1x2 - xg - f) lim
x " + �
 
log3 1x2
log5 1x2 log3 152
y = log3 1e2 x - log3 1e2 y = - log3 1e2e
66
4. Resolução de problemas e modelos 
exponenciais
Resolução de problemas
48. Seja g a função real de variável real definida por:
 g 1x2 = ln 1x22x 
a) Determina, recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto, a derivada 
da função g no ponto 1. 2
b) Estuda a função g quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico e escreve equações 
das assíntotas que identificares. x = 0 e y = 0
c) Estuda a função g quanto à monotonia, existência de extremos, sentido das concavi-
dades do gráfico e existência de pontos de inflexão.
49. Seja f a função definida por: 
 f 1x2 = ln 1ex + 22
Resolve os itens seguintes por processos analíticos.
a) Estuda a função f quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico e escreve equações 
das assíntotas que identificares. y = x (em + ) e y = ln 122 1em - 2
b) Seja A o ponto pertencente ao gráfico de f cuja ordenada é igual ao dobro da abcissa.
Determina as coordenadas do ponto A . 1ln 122, ln 1422
c) Seja t a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa ln(2) .
c1) Determina a equação reduzida da reta t . y =
1
2
 x + 3
2
 ln 122
c2) Seja O a origem do referencial e sejam B e C , respetivamente, os pontos de inter-
seção da reta t com o eixo das ordenadas e com o eixo das abcissas.
Determina a área do triângulo fOBCg . 9
4
 1ln 12222 (u.a.)
d) Considera a circunferência de centro no ponto O e que passa pelo ponto A . Consi-
dera que as coordenadas de A são 1ln(2), ln(4)2 .
Seja D o ponto de interseção da circunferência com o semieixo positivo Ox .
Determina, com aproximação às centésimas, a área do setor circular DOA .
Em cálculos intermédios, conserva, no mínimo, três casas decimais. 1,33 (u.a.)
50. Seja c um número real diferente de zero e seja a um número real positivo, diferente de um.
Seja f a função definida por f 1x2 = c loga 1x2 e seja t a reta tangente ao gráfico de f que 
passa na origem do referencial. Determina a abcissa do ponto de tangência. e
51. Seja f a função definida por: 
 f 1x2 ="ln2 1x2 - 1 
Resolve os itens seguintes sem recorrer à calculadora.
a) Determina o domínio da função f . d0, 1e d ∂ fe, + f
b) Estuda a função f quanto à monotonia e existência de extremos.
c) Seja k um número real positivo. Mostra que existem dois pontos no gráfico de f que 
têm ordenada k e que o produto das abcissas desses pontos é igual a 1.
67
Tema 4 | Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
52. Sejam f e g as funções definidas por f 1x2 = 2x - 4 e g 1x2 = 2- x + 5 .
a) Os gráficos das funções f e g intersetam-se no ponto P .
Determina as coordenadas do ponto P . (3, 4)
b) Considera a função h definida por h =
g
f
 .
b1) Determina o domínio da função h . R \ 526
b2) Estuda a função h quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico.
b3) Estuda a função h quanto à monotonia e existência de extremos. Na tua resposta, 
deves indicar o(s) intervalo(s) em que a função é crescente, o(s) intervalo(s) em que 
a função é decrescente e os extremos relativos que existam.
53. Seja f a função, de domínio g1, + �f , definida por:
 f 1x2 =
3 + ln 1x - 12 se 1 < x ≤ 2
e2 - x - x2 + 3
x - 2
 se x > 2
a) Mostra que a função f não é contínua em x = 2 .
b) Estuda a função f quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico.
c) Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 3
2
 e sejam P , Q e R três 
pontos tais que:
o ponto P é o ponto em que a reta t interseta o eixo das abcissas;
o ponto Q é o ponto em que a reta t interseta o eixo das ordenadas;
o ponto R pertence ao terceiro quadrante;
o quadrilátero fOPQRg , sendo O a origem do referencial, é um paralelogramo.
Determina as coordenadas do ponto R . Q- ln Q"2 R , - ln 122 R
54. Seja f a função, de domínio R \ 506 , definida por:
 f 1x2 =
x
1 + e
1
x
 se x < 0
x ln 12x2 se x > 0
Resolve os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.
a) Mostra que o gráfico da função f tem uma única assíntota e define-a por uma equação.
b) Há uma reta tangente ao gráfico de f num ponto de abcissa positiva que tem declive 
igual a 2. Escreve a equação reduzida dessa reta. y = 2x - e
2
c) Considera, num referencial o.n. xOy , uma representação gráfica da função f . Exis-
tem dois pontos no gráfico da função f tais que a diferença entre a sua ordenada e a 
respetiva abcissa é igual a 1.
Recorrendo a uma calculadora, determina a distância entre esses dois pontos.
Apresenta o resultado arredondado às décimas. Em cálculos intermédios, conserva 
duas casas decimais. 6,6 (u.c.)
x = 2 e y = 0 (em + )
x = 1 e y = - x - 2 (em + )
y = 1
2
 x - 1
4
 (em - )
68
55. Seja f a função, de domínio R , definida por f 1x2 =
xex + 2x - e se x ≤ 1
"x - x
x - 1
 se x > 1
 No referencial abaixo está parte do gráfico da função f .
Responde aos itens seguintes utilizando exclusivamente processos analíticos.
a) O gráfico da função f interseta a reta de equação 
y = 5
2
 x - e em dois pontos de abcissa menor do que 1.
Determina a abcissa de cada um desses pontos.
b) Mostra que, tal como o gráfico sugere, a função f não tem 
limite quando x tende para 1. f 112 = 2 e lim
x " 1 +
 f 1x2 = - 1
2
c) O gráfico dafunção f tem duas assíntotas não verticais. 
Uma é a reta de equação y = - 1 .
Escreve a equação reduzida da outra assíntota não vertical ao gráfico da função.
56. Seja h a função, de domínio R , definida por h 1x2 = e
1 + x + ex - 1 se x ≤ 0
ln 1x + 122
x se x > 0
Resolve os itens seguintes sem recorrer à calculadora.
a) Mostra que h 1- 12 * h 1e - 12 < 1 .
b) Comenta a afirmação seguinte: «Como h 1- 12 * h 1e - 12 < 0 , o teorema de Bolzano- 
-Cauchy permite concluir que h tem pelo menos um zero no intervalo g- 1, e - 1f .»
 No teu comentário deves indicar se a argumentação apresentada está correta e deves 
«defender» a tua opinião.
c) Estuda a função h quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico e escreve equações 
das assíntotas que identificares. y = ex - 1 (em - ) e y = 0 (em + ).
57. Seja g a função definida por g 1x2 = e3 + ln 13 - x2 se x < 2
ex - 2 + 2 se x ≥ 2
a) Mostra que a função é contínua no ponto 2 e averigua se é diferenciável nesse ponto.
b) Estuda a função quanto à monotonia e existência de extremos relativos.
c) Determina o conjunto-solução da condição ln 12 - x2 + 4 ≤ g 1x2 . c2e - 3
e - 1
, 2c
d) Seja B o contradomínio da restrição da função g ao intervalo f2, + �f e seja 
h : f2, + �f " B a função definida por h 1x2 = ex - 2 + 2 .
Caracteriza a função h - 1 (função inversa de h). 
58. Seja f a função definida por f 1x2 = ln 1x2
x - 1
 .
a) Determina o domínio da função f . g0, 1f ∂ g1, + f
b) Estuda a função f quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico e escreve equações 
das assíntotas que identificares. x = 0 e y = 0
c) Resolve a condição f 1x2 ≥ 1
x - 1
 e apresenta o conjunto-solução usando a notação de 
intervalos. g0, 1f ∂ fe, + f
d) Seja 1un2 a sucessão de termo geral un = an + 1n + 2b
n
 . Determina lim f 1un2 . ee - 1
e) Seja a å Df . Mostra que ff 1a2 - f 122g * 1a - 12 = ln a2a2a b .
x
y
O
0 e - ln 122
y = 2x - e
h - 1 : f3, + f " f2, + f , h - 1 1x2 = 2 + ln 1x - 22
69
Tema 4 | Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
59. Seja f uma função duas vezes diferenciável em R . No referencial seguinte está represen-
tada parte da função f ' .
x
y
O
f '
1
2
A
1+ln(4)
Tendo em consideração a informação que a representação gráfica de f ' apresenta ou sugere, 
responde aos itens seguintes.
a) Estuda a função f quanto à monotonia e sentido das concavidades do gráfico. Justifica.
b) Determina lim
x " 2
 
f '1x2 - 1
x - 2
 . ln a1
2
b
60. Considera, num referencial o.n. xOy , a representação gráfica da função f , de domínio
f- 1, 2g , definida por f 1x2 = 1x + 12 ln a4 - x
x + 2
b - 2 , o ponto A 12, 02 e um ponto P que se
desloca ao longo do gráfico de f .
Existe uma posição do ponto P para a qual a área do triângulo fAOPg é mínima.
Determina a área desse triângulo recorrendo a uma calculadora gráfica.
Na tua resposta, deves:
apresentar uma expressão da área do triângulo fAOPg em função da abcissa do 
ponto P ;
reproduzir o gráfico da(s) função(funções) que tiveres necessidade de visualizar na cal-
culadora;
indicar o valor pedido arredondado às décimas. 1,3 (u.a.)
61. Considera a função f definida em R por f 1x2 = e2x - x2 .
a) Determina o declive da reta secante ao gráfico de f nos pontos A e B de abcissas, 
respetivamente, - 1 e 0. 2 - e - 2
b) Justifica a existência de um ponto C do gráfico de f em que a reta tangente tem 
declive igual ao da reta AB .
c) Determina, utilizando a calculadora gráfica, um valor, aproximado às centésimas, da 
abcissa de um ponto C nas condições da alínea anterior. - 0,67 ou - 0,08
d) Estuda o gráfico da função f quanto ao sentido das concavidades do gráfico e existên-
cia de pontos de inflexão.
70
62. Um fio encontra-se suspenso entre dois postes.
Admite que f 1x2 é a distância ao solo, em metros, do pon-
to do fio situado x metros à direita do poste da esquerda, 
sendo f a função definida por:
f 1x2 = e1 - 0,5x + e0,5x - 1
Resolve os itens seguintes por processos analíticos, recor-
rendo à calculadora para cálculos numéricos, se for neces-
sário.
a) Determina a altura do poste da esquerda. Apresenta o resultado em metros, arredon-
dado às décimas. 3,1 metros
b) Qual é, em metros, a diferença das alturas dos dois postes se a distância entre eles for 
igual a 4 metros? 0 metros
c) Determina a distância entre os dois postes, sabendo que a diferença das suas alturas é 
1,5 metros. 5 metros
Apresenta o resultado em metros, arredondados à unidade. Sempre que em cálculos 
intemédios fizeres arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. 
d) Determina o conjunto dos valores de k para os quais a equação f 1x2 = k tem duas 
soluções não negativas. g2, e + e - 1g
63. O volume de vendas de um produto depende, en-
tre vários fatores, do seu preço de venda.
Admite que o número de milhares de litros de um 
determinado sumo vendidos mensalmente pela 
empresa Sossumo é dado por Q 1x2 = 1,4 + e4 - x , 
para x > 0 , sendo x o preço de venda de cada 
litro, em euros.
a) O que representa Q 11,52 no contexto da si-
tuação descrita? Representa, em milhares, o número de litros que a empresa vende num 
mês, ao preço de 1,5 euros por litro.
b) Seja a a solução da equação Q 1x2 = 10 . Indica o significado de a no contexto da 
situação descrita. É o preço de venda de cada litro de sumo que proporciona a venda 
mensal de 10 000 litros.
c) O custo de produção de cada litro de sumo é 50 cêntimos.
Escreve uma expressão que defina, em função de x , o lucro mensal proporcionado 
pela venda deste sumo. L 1x2 = 1000 11,4 + e4 - x2 * 1x - 0,52
d) Para uma outra qualidade de sumo, o número de milhares de litros vendidos mensal-
mente é dado por N 1x2 = 1 + e4,2 - x , para x > 0 , sendo x o preço de venda de cada 
litro, em euros. 3,4 euros
É possível, praticando o mesmo preço de venda de cada litro de sumo, vender igual 
número de litros das duas qualidades.
Por processos analíticos, determina o preço de venda do litro de sumo para o qual se 
vendem tantos litros de uma qualidade de sumo como da outra. Apresenta o preço em 
euros, arrendondado às décimas.
x
f (x)
71
Tema 4 | Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
64. A pressão atmosférica P , numa certa unidade, é dada em função da altitude h , em qui-
lómetros, por P 1h2 = 30 * 10 - 0,056 * h .
a) Calcula a pressão atmosférica a 1800 metros de altitude, na unidade considerada, com 
aproximação às décimas. 23,8
b) Segundo este modelo, a que altitude se encontra um avião, sabendo que a pressão no 
seu exterior é de 8 unidades? 10,251 km
Apresenta o resultado em quilómetros, arredondado ao metro.
c) Se foi feito um registo de pressão inferior a 5 unidades, qual é a altitude mínima a que 
esse registo pode ter sido feito?
Apresenta a resposta em metros, arredondada às unidades.
d) Mostra que existe k åR tal que P 1h + 12 = kP 1h2 , qualquer que seja o valor de h .
Determina o valor de k com aproximação às centésimas e interpreta-o no contexto da 
situação. k ) 0,88 ; a pressão atmosférica diminui 12% por cada quilómetro de aumento 
de altitude.
65. A Esperança dispõe de 20 000 euros e quer comprar um automóvel. 
Em novo, o automóvel que pretende custa 24 800 euros. 
A Esperança vai investir os 20 000 euros num negócio que garante a taxa mensal de 0,6% 
e, de acordo com um vendedor, o modelo que a Esperança pretende comprar desvaloriza 
0,8% ao mês. 
Daqui a quantos meses poderá a Esperança comprar esse automóvel? 16 meses
66. Um fabricante de automóveis vai lançar no mercado um novo modelo. 
As vendas começaram a decorrer um mês antes de os automóveis estarem disponíveis para 
entrega nos concessionários e, de acordo com um estudo realizado, o número de veículos 
deste modelo que terão sido vendidos, x meses depois de o modelo estar disponível para 
entrega, é dado, aproximadamente, por:
v 1x2 =4000
1 + 4e - 0,2x
 , 0 ≤ x ≤ 12
Admite que este modelo ficou disponível para entrega no dia 1 de janeiro.
Resolve os itens seguintes por processos analíticos.
a) Determina quantos veículos estavam vendidos quando o modelo ficou disponível para 
entrega. 800
b) Em que mês é que as vendas atingiram o milhar e meio? No decorrer de maio.
c) Por processos analíticos, determina o valor de x para o qual o ritmo de vendas come-
çou a diminuir. 
Apresenta o valor arredondado às unidades. 7
 No mínimo, a 13 896 metros.
72
Modelos exponenciais
Se uma função f representar a evolução de uma grandeza (que pode ser, por exemplo, 
a massa de uma substância radioativa, a dimensão de uma população ou a temperatura 
de um sistema) em função do tempo, a equação f ' = k f traduz que a taxa de variação 
num dado instante é diretamente proporcional à quantidade de grandeza presente nes-
se instante.
Prova-se que toda a solução da equação f ' = k f é uma função definida por uma expres-
são da forma f 1x2 = cekx .
Decaimento da massa m de uma substância radioativa:
m 1t2 = m0e - kt , k åR+ , m0 é a massa no instante t = 0 ; designa-se por semivida de 
uma substância radioativa o tempo necessário para que uma massa se reduza a me-
tade.
Evolução de uma população P :
P 1t2 = P0e1N -M2 t , P0 é a população no instante t = 0 , N e M são, respetivamente, as 
taxas médias de natalidade e de mortalidade, por habitante.
Temperatura , T , de um sistema:
T 1t2 = Ta + 1T0 - Ta2 e - kt , k åR+ , T0 é a temperatura no instante t = 0 e Ta é a tempe-
ratura ambiente.
67. O momento sísmico, M0 , é uma medida da quantidade total de energia que se transforma 
durante um sismo. Só uma pequena fração do momento sísmico é convertida em energia 
sísmica irradiada, E , que é a que os sismógrafos registam. 
A energia sísmica irradiada é estimada, em joules, por E = M0 * 1,6 * 10
5 .
A magnitude, M , de um sismo é estimada por M = 2
3
 log 1E2 - 2,9 .
a) O sismo sentido em abril de 2017 na ilha de S. Miguel, nos Açores, teve magnitude 4,3.
Determina o momento sísmico, M0 , para este sismo.
Apresenta a resposta na forma a * 10n , com n inteiro relativo e com a entre 1 e 10,
arredondado às unidades. 4 * 105
b) Mostra que dados dois sismos tais que a diferença das respetivas magnitudes é igual a 
4
3
 , a energia sísmica irradiada por um é 100 vezes superior à energia sísmica irradiada
pelo outro.
73
Tema 4 | Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
68. Mostra que a função f definida por f 1t2 = 20e - 0,01t é solução da equação diferencial 
f ' = - 0,01f .
69. Uma massa de 50 gramas de rádio-226 existente numa amostra num instante t0 = 0 desin-
tegra-se ao longo do tempo. Em cada instante t , a taxa de variação instantânea da massa, 
m'1t2 , é diretamente proporcional à massa, m(t) , existente nesse instante. Sabendo que, 
ao fim de um ano, a massa de rádio-226 na amostra é m(1) = 49,975 gramas, determina:
a) a massa de rádio-226 existente na amostra decorridos 2 anos.
Apresenta o valor em gramas, arredondado às centésimas. 49,95 g
b) o número de anos necessários para que a massa de rádio-226 existente na amostra se 
reduza a 1
4
 da massa inicial. Apresenta o resultado em anos, arredondado às unidades. 
2772 anos
70. O rádio-223 sofre desintegração radioativa. A semivida deste isótopo é, aproximadamen-
te, 11,3 dias.
a) Mostra que a massa de rádio-223 existente numa amostra, decorridos t dias depois de 
um instante inicial t0 = 0 , é dada, aproximadamente, por m 1t2 = m0e - 0,06t , sendo m0 
a massa no instante inicial. 
b) Determina o valor de 
m 1t + 12
m 1t2 arredondado às centésimas e interpreta esse valor no 
contexto descrito. 0,94; a cada dia, a massa de rádio-223 reduz-se a 94%.
71. Seja m 1t2 a massa de rádio-228 existente numa amostra, decorridos t anos depois de um 
instante inicial t0 = 0 . Sabe-se que 
m 1t + 5,752
m 1t2 = 0,5 .
a) Interpreta o valor 5,75 no contexto descrito. A semivida do rádio-228 é 5,75 anos.
b) Determina a quantidade de rádio-228 existente inicialmente numa amostra, sabendo 
que, decorridos 23 anos, a massa de rádio-228 na amostra era igual a 12 gramas.
Apresenta o resultado em gramas, arredondado às unidades. 192 gramas
72. Uma substância desintegra-se de tal forma que uma massa inicial de 12 mg se reduz a 
4 mg em meia hora. Sabe-se também que a taxa de variação instantânea da massa em cada 
instante t , M'1t2 , é proporcional à massa M 1t2 existente nesse instante.
a) Mostra que, considerando a massa inicial indicada, a massa M , em mg, desta substân-
cia, ao fim de t horas, é dada por M 1t2 = 4 * 3 - 2t + 1 .
b) Designando a taxa de desintegração média num dado intervalo I = ft1, t2g por 
vft1, t2g =
M 1t22 - M 1t12
t2 - t1
 , compara a taxa de desintegração média na primeira e na segunda
hora. vf1, 2g =
1
9
* vf0, 1g
c) Determina a taxa de desintegração ao fim de uma hora e meia e ao fim de três horas. 
M'11,52 = - 8
9
 ln 132 1mg>h2 e M'132 = - 8
243
 ln 132 1mg>h2
d) Determina uma expressão de M''1t2 , estuda o respetivo sinal, descreve como varia a 
taxa de desintegração desta substância e explica o significado deste resultado no con-
texto descrito. M''1t2 = 16 1ln 13222 * 3 - 2t + 1
in Caderno de Apoio, 12.° ano
74
73. A população da cidade de Torres Vedras era de 
41 790 habitantes em 1920 e de 47 917 habitan-
tes em 1930. Admite que a taxa de crescimento 
populacional num dado instante t é diretamen-
te proporcional à dimensão da população nesse 
instante (lei de Malthus).
a) De acordo com este modelo, qual terá sido a 
população em 1925? 44 749
b) Em 1940, a população era de 52 143 habitantes. 
Qual é a percentagem de erro do modelo em relação ao valor real em 1940? Apresenta 
a percentagem arredondada às unidades. 5%
74. Durante um certo período, a população de um dado país é dada, em milhões de habitan-
tes, por P 1t2 , onde t é o tempo, em anos, decorrido desde o dia 1 de janeiro de 1960. 
A taxa de mortalidade anual é, aproximadamente, de 1,5 para cada 100 habitantes e a taxa 
de natalidade de 2 para cada 100 habitantes. Todos os anos chegam ainda ao país cerca de 
100 000 novos imigrantes.
a) Calcula P 1t + 12 em função de P 1t2 . P 1t + 12 = 1,005P 1t2 + 0,1
b) Supondo que as mortes e nascimentos se distribuem uniformemente ao longo do tem-
po, ou seja, que as taxas de mortalidade e natalidade por habitante em determinado 
período de tempo Dt > 0 (medido em anos) são diretamente proporcionais a Dt , cal-
cula P 1t + Dt2 em função de P 1t2 . P 1t + Dt2 = P 1t2 + 0,005DtP 1t2 + 0,1Dt
c) Fazendo a aproximação P'1t2 = P 1t + Dt2 - P 1t2Dt , para Dt suficientemente pequeno, 
mostra que a função P satisfaz a equação diferencial P'1t2 = 1
200
 P 1t2 + 1
10
 .
d) Determina uma expressão para a função Q definida por Q 1t2 = P 1t2 + 20 depois de 
estabelecer uma equação diferencial satisfeita por esta função, sabendo que em 1960 a 
população do país é de 35 milhões de habitantes. Q 1t2 = 55e 1200 t
e) Determina uma expressão para a função P . Neste regime, ao fim de quanto tempo 
duplicará a população? P 1t2 = 55e t200 - 20 ; aproximadamente 99 anos.
in Caderno de Apoio, 12.º ano
75. A temperatura, em graus Celsius, de um líquido t minutos depois de ser colocado a 
arrefecer, numa sala em que a temperatura é constante, é dada por T 1t2 = 20 + 55e - 0,155t . 
Determina:
a) a temperatura do líquido no instante em que foi colocado a arrefecer; 75 °C
b) quanto tempo tem de esperar quem quiser beber este líquido a uma temperatura não 
superior a 55 ºC. Apresenta o resultado em minutos, arredondado às unidades. 
Pelo menos 3 minutos.
c) a temperatura ambiente. 20 ºC
76. Um copo com água acabada de ferver (portanto, à temperatura de 100 ºC) é deixado a 
arrefecer numa sala à temperatura ambiente de 25 ºC. Sabendo que ao fim de três minutos 
a temperatura da água atinge 72 ºC, ao fim de quanto tempo atingirá a temperatura de 
55 ºC?
Apresenta o resultado em minutos, arredondado às unidades. 6 minutos
75
76
Trigonometria 
e Funções 
Trigonométricas5Tema
1. Fórmulas trigonométricas
Fórmulas trigonométricas
Tem-se, para quaisquer amplitudes x e y :
sen 1x + y2 = sen x cos y + sen y cos x
sen 1x - y2 = sen x cos y - sen y cos x
cos 1x + y2 = cos x cos y - sen x sen y
cos 1x - y2 = cos x cos y + sen x sen y
sen 12x2 = 2 sen x cos x
cos 12x2 = cos2 x - sen2 x
Exemplos:
1. sen 5p
12
= sen a3p
12
+ 2p
12
b = sen ap
4
+ p
6
b = sen p
4
 cos p
6
+ sen p
6
 cos p
4
=
 =
"2
2
*
"3
2
+ 1
2
*
"2
2
=
"6
4
+
"2
4
=
"6 +"2
4
2. Pretende-se determinar cos ap
3
- ab , sabendo que aå cp
2
, pd e que sen a = 3
5
 .
 Tem-se sen2 a + cos2 a = 1 , pelo que cos2 a = 1 - a3
5
b2 = 1 - 9
25
= 16
25
 .
 Como aå cp
2
, pd , vem cos a = - 4
5
 .
 Tem-se, então:
 cos ap
3
- ab = cos p
3
 cos a + sen p
3
 sen a =
 = 1
2
* a- 4
5
b +"3
2
* 3
5
= - 4
10
+ 3
"3
10
= 3
"3 - 4
10
3. Pretende-se determinar cos 12b2 , sabendo que sen b = 1
3
 .
 Tem-se cos 12b2 = cos2 b - sen2 b = 1 - sen2 b - sen2 b = 1 - 2 sen2 b =
 = 1 - 2 * a1
3
b
2
= 1 - 2 * 1
9
= 7
9
77
Tema 5 | Trigonometria e Funções Trigonométricas
Tendo em conta que 7p
12
 é igual a p
3
+ p
4
 , determina o valor de sen 7p
12
 . "6 +"2
4
Determina o valor de sen 5p
12
 sen p
12
 . 1
4
Seja aå c0, p
2
d tal que cos a = 3"3
14
 .
Calcula o valor de cos ap
6
+ ab . - 1
7
Seja aå cp
2
, pd tal que tg a = -"21
2
 e seja bå c0, p
2
d tal que sen b ="21
11
 .
Calcula o valor de cos 1a - b2 . 1
55
Seja aå cp
2
, pd tal que sen a ="3
3
 . Calcula o valor de sen 12a2 + cos 12a2 . 1 - 2"2
3
Determina o valor de sen aarcsen 5
7
+ arccos 1
5
b . 29
35
Prova as seguintes igualdades (para todos os números reais para os quais elas têm signi-
ficado).
a) 
sen 1a + b2 - sen 1a - b2
cos 1a + b2 + cos 1a - b2 = tg b
b) 
sen a
sen b +
cos a
cos b =
2 sen 1a + b2
sen 12b2
c) sen 12q2 1 + tg2 q
2
= tg q
d) 1cos a - sen a22 = 1 - sen 12a2
e) 1 +
1 - sen 12a2
cos 12a2 =
2 cos a
cos a + sen a
f) 
sen3 x - cos3 x
sen x - cos x = 1 +
1
2
 sen 12x2
g) 
sen x
sen x
2
= 2 cos x
2
h) cos 13x2 = 4 cos3 x - 3 cos x
a) Prova que, para qualquer número real x , se tem 
1 + cos 12x2
2
= cos2 x .
b) Utiliza a igualdade da alínea anterior para mostrar que cos 3p
8
=
#2 -"2
2
 .
78
Equações e inequações trigonométricas. 
Resolução de problemas
Recorda que:
sen x = sen a§ x = a + 2kp› x = p - a + 2kp, k åZ
cos x = cos a§ x = a + 2kp› x = - a + 2kp, k åZ
tg x = tg a§ x = a + kp, k åZ
Exemplo:
sen x cos x = 1
4
§ 2 sen x cos x = 2 * 1
4
§ sen 12x2 = 1
2
§ sen 12x2 = sen p
6
§
 § 2x = p
6
+ 2kp› 2x = 5p
6
+ 2kp, k åZ §
 § x = p
12
+ kp› x = 5p
12
+ kp, k åZ
Resolve, em R , as seguintes equações.
a) cos x cos p
8
- sen x sen p
8
=
"2
2
 x = p
8
+ 2kp› x = - 3p
8
+ 2kp, k åZ
b) sen x +"3 cos x = 1 x = - p
6
+ 2kp› x = p
2
+ 2kp, k åZ
c) 3 sen x -"3 cos x ="12 x = 2p
3
+ 2kp, k åZ
d) sen x + cos x +"2 = 0 x = 5p
4
+ 2kp, k åZ
e) 2 sen x - 2 cos x -"6 = 0 x = 7p
12
+ 2kp› x = 11p
12
+ 2kp, k åZ
f) 1 - sen 15x2 = asen 3x
2
- cos 3x
2
b
2
 x = kp› x = p
8
+ kp
4
, k åZ
g) 
1
sen2 x
+ 1
cos2 x
= 4 x = ¿ p
4
+ kp, k åZ
h) cos 12x2 + 3 cos x + 2 fcos 12x2 + 2 sen2 xg = 0 x = p + 2kp› x = ¿ 2p
3
+ 2kp, k åZ
Para cada uma das equações seguintes, determina as soluções que pertencem ao intervalo 
f- 2p, 2pg .
a) 2 sen ap
6
- xb - cos x = 3
2
 - 2p
3
, - p
3
, 4p
3
 e 5p
3
b) sen x cos x =
"3
4
 - 11p
6
, - 5p
3
, - 5p
6
, - 2p
3
, p
6
, p
3
, 7p
6
 e 4p
3
c) cos 12x2 + 3 sen x = 2 - 11p
6
, - 3p
2
, - 7p
6
, p
6
, p
2
 e 5p
6
79
Tema 5 | Trigonometria e Funções Trigonométricas
a) Mostra que, para qualquer a pertencente a R , se tem cos 12a2 = 2 cos2 1a2 - 1 .
b) Tendo em conta a alínea anterior, resolve, em R , a equação 2 cos2 1x2 - 1 = sen ax - p
8
b . 
x = 5p
24
+ 2kp
3
› x = - 5p
8
+ 2kp, k åZ
Resolve, em g0, pf , a condição 0sen x cos x 0 < 1
4
 .
Apresenta o conjunto-solução na forma de união de intervalos. d 0, p
12
 c ∂ d 5p
12
, 7p
12
 c ∂ d 11p
12
, pc
Sejam A , B e C os três ângulos de um triângulo.
Mostra que cos 1A2 cos 1B2 + cos 1C2 = sen 1A2 sen 1B2 .
Seja a a amplitude comum aos dois ângulos iguais de um triângulo isósceles.
Sabendo que o comprimento de cada um dos dois lados iguais é "2, mostra que a área do 
triângulo é igual a sen 12a2 .
De um triângulo retângulo, sabe-se que a hipotenusa mede 4 e que um dos ângulos agudos
tem 5p
12
 radianos de amplitude. Determina a área do triângulo. 2
De um triângulo isósceles, sabe-se que a amplitude de um dos seus ângulos é 5p
6
 radianos.
Determina o perímetro do triângulo, sabendo que a sua área é igual a 9. 12 + 6 #2 +"3
De um triângulo fABCg , sabe-se que ABWC = 165° , AB = 2 e AC =#18 -"3 .
Determina BC .
Sugestão: designa BC por x e, aplicando a lei dos cossenos, obtém uma equação do 
segundo grau, tendo também em conta que 165° = 180° - 15° . 8 -"6 -"2
2
Considera, num referencial o.n. xOy , a circunferência trigonométrica.
Seja a a amplitude, em radianos, de um ângulo orientado cujo lado origem coincide com 
o semieixo positivo Ox a0 < a < p
4
b .
Seja P o ponto de interseção da circunferência trigonométrica com o lado extremidade 
desse ângulo.
Seja Q o ponto do eixo Ox que tem a mesma abcissa do ponto P e seja R o ponto do 
eixo Oy que tem a mesma ordenada do ponto P .
Considera as circunferências de centro na origem do referencial e que passam por Q e 
por R .
Justifica que a área da coroa circular limitada por estas duas circunferências é igual a 
p cos 12a2 .
80
2. Limites e derivadas de funções 
trigonométricas
Limites de funções trigonométricas
As funções seno e cosseno são contínuas em R e a função tangente é contínua em 
todo o seu domínio.
Tem-se o seguinte limite notável: lim
x " 0
 sen x
x
= 1
Exemplos:
Como as funções seno e cosseno são contínuas em R , tem-se:
lim
x " p
3
 Q"12 sen x + 4 cos x R ="12 sen p3 + 4 cos p3 ="12 *"32 + 4 * 12 = 3 + 2 = 5
Como a função tangente é contínua em todo o seu domínio, tem-se:
lim
x " p
4
 12 + 5 tg x2 = 2 + 5 tg p4 = 2 + 5 * 1 = 2 + 5 = 7 
Tem-se lim
x " p
 sen xx - p = limy " 0 
sen 1p + y2
y = limy " 0
- sen y
y = - limy " 0
sen y
y = - 1
 
y = x - p
Calcula os seguintes limites:
a) lim
x " p
4
 
p 1sen x + cos x 2
4x
 b) lim
x " 0
 
cos 1x + p2
x + p -
1
p c) limx " p -
 xsen x +
d) lim
x " p
 x - p
1 - cos x
 0 e) lim
x " p
 x
1 + cos x
 + f) lim
x " p
2
 
x
tg x 0
Calcula os seguintes limites:
a) lim
x " 0
 3x + sen xx 4 b) limx " 0
 6x - 3 sen xx 3 c) limx " 0
 8x + 2 sen x
5x
 2
d) lim
x " 0
 x
2 + 3x
sen x 3 e) limx " 0
 
1 - cos 12x2
x2
 2 f) lim
x " 0
 
sen 16x2
x 6
g) lim
x " 0
 
sen 18x2
4x
 2 h) lim
x " 0
 6x
2 sen 13x2 1 i) limx " 0 
sen 16x2
sen 13x2 2
j) lim
x " 3
 
sen 1x - 32
2x - 6
 1
2
k) lim
x " 3p
 
cos x
2
3p - x -
1
2
l) lim
x " p
3
 
3x - p
sen 16x2 
1
2
"2
81
Tema 5 | Trigonometria e Funções Trigonométricas
Em cada uma das alíneas seguintes está definida uma sucessão pelo seu termo geral. 
Para cada sucessão, calcula o respetivo limite.
a) an =
sen 4n
2
n
 2 b) bn =
sen 3
2n
6
5n
 5
4
c) cn = n sen 
2
n 2 d) cn = a43b
n + 1
sen ca3
4
b
n 
d
Seja f a função definida em g0, pf por f 1x2 = x sen x
1 - cos 12x2 .
a) Estuda a função f quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico. x = p
b) Justifica que, no intervalo cp
6
, 5p
6
d , a equação f 1x2 = 1 tem pelo menos uma solução.
Seja g a função definida em d - 2p, p
2
 c por μ
x2
1 - cos x
 se x < 0
a se x = 0 1a, b åR2
bx + tg x
x se x > 0
a) Determina a e b , sabendo que a função g é contínua.a = 2 e b = 1
b) Determina uma equação para cada uma das assíntotas ao gráfico de g . x = - 2p e x = p
2
c) Justifica que, no intervalo c- 2p
3
, 0d , a equação g 1x2 = g ap
4
b tem pelo menos uma solução.
Seja f a função, de domínio R , definida por f 1x2 = 2 cos2 ax
2
b - x .
a) Mostra que Ax åR, f 1x + 4p2 = f 1x2 - 4p .
b) O gráfico da restrição da função f ao intervalo f- 2p, 2pg interseta a bissetriz dos 
quadrantes pares em dois pontos. Designemos esses pontos por P e Q . Seja R o 
ponto do primeiro quadrante tal que o triângulo fPQRg é equilátero. Determina as 
coordenadas do ponto R . Q"3 p, "3 p R
c) Justifica que a função f tem, no intervalo cp
3
, p
2
d , pelo menos um zero.
d) Seja g a função, de domínio R+ , definida por g 1x2 = f 1x22x . Determina uma equação 
para cada uma das assíntotas ao gráfico da função g . x = 0 e y = - x
4
3
Derivadas de funções trigonométricas
Tem-se que as funções seno e cosseno são diferenciáveis em R e que a função tangen-
te é diferenciável em todo o seu domínio. 
Têm-se também as seguintes regras de derivação:
1sen x2' = cos x 1cos x2' = - sen x 1tg x2' = 1
cos2 x
1sen u2' = u' cos u 1cos u2' = - u' sen u 1tg u2' = u'
cos2 u 
 
(u designa uma função)
continua
82
Exemplos:
Se f 1x2 = sen 13x2 , então f '1x2 = 3 cos 13x2 .
Se f 1x2 = sen x - x cos x , então f '1x2 = cos x - fcos x + x 1- sen x2g = x sen x .
continuação
Determina, utilizando a definição de derivada de uma função num ponto, o valor de:
a) f ' 12p2 , sendo f 1x2 = sen x ; 1
b) g' ap
4
b , sendo g 1x2 = cos x . -"2
2
Seja f a função, de domínio R , definida por f 1x2 = sen 13x2 .
a) Utilizando a definição de derivada de uma função num ponto, determina f ' ap
3
b . - 3
b) Determina a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de 
abcissa p
3
 . y = - 3x + p
Em cada uma das alíneas seguintes está uma expressão que define uma função.
Para cada uma delas, determina uma expressão, o mais simplificada possível, que defina 
a respetiva derivada.
a) 2 + x + sen x 1 + cos x b) 4 - 3x + 5x2 - 6 cos x c) x cos x cos x - x sen x
d) sen x cos x cos 12x2 e) 2 sen x + 3 cos x
5
f) tg x - x tg2 x
g) 
x6
3
- x
4
2
+ 2x - 4 + x tg x h) x + cos x
2
i) 
x2 + 4 sen x
2
j) sen2 x sen 12x2 k) 3 sen x - sen3 x 3 cos3 x l) sen4 x + cos4 x
m) 
sen x
x 
x cos x - sen x
x2
n) 
x
cos x 
cos x + x sen x
cos2 x
o) 
x + cos x
1 + sen x
 - x cos x11 + sen x22
p) 
1
1 + cos x
 sen x11 + cos x22 q) 2"cos x -
sen x
"cos x r) sen 13x - 12 
s) cos ax6 - 3x2
6
b t) tg ax3
3
b x2
cos2 ax3
3
b
u) cos2 a1xb 1x2 sen a
2
xb
v) 
x cos 12x2
2
 
cos 12x2 - 2x sen 12x2
2
Seja f a função, de domínio g- 2p, + f , definida por:
f 1x2 = x +
1
2
 sen 12x2 se - 2p < x < 0
sen 13x2 - sen x se x ≥ 0
a) Mostra que f '102 = 2 .
- 3 + 10x + 6 sen x
2 cos x - 3 sen x
5
2x5 - 2x3 + 2 + tg x + x
cos2 x
1 - sen x
2
x + 2 cos x
- sen 14x2
3 cos 13x - 12
1x - x52 sen ax6 - 3x2
6
b
83
Tema 5 | Trigonometria e Funções Trigonométricas
b) Seja r a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 2p .
b1) Determina a equação reduzida da reta r . y = 2x - 4p
b2) Seja P o ponto do gráfico de f , de abcissa menor do que zero, tal que a reta tangen-
te ao gráfico da função nesse ponto é paralela à reta r . Determina as coordenadas 
do ponto P . 1- p, - p2
Seja f a função, de domínio g- p, pf , definida por f 1x2 = x - sen x
1 + cos x
 .
a) Averigua se f é uma função par, se é uma função ímpar ou se não é par nem ímpar.
b) Estuda a função f quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico. x = - p e x = p
c) Estuda a função f quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos.
Sejam f e g as funções, de domínio d - p
2
, p c , definidas por:
f 1x2 ="3 + 3x - 2 cos x g 1x2 = 2"3 + 4x - 4 cos x
Os gráficos das funções f ' e g' intersetam-se num ponto. Seja a a abcissa desse ponto.
Seja r a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a .
Seja s a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa a .
Os pontos de interseção das retas r e s com os eixos coordenados são vértices de um 
quadrilátero.
Calcula a sua área. p
2
48
Sugestão: a área pretendida é a diferença entre as áreas de dois triângulos.
Sejam a e b números reais positivos.
Seja h a função, de domínio cp
2
, pd , definida por h 1x2 = a sen x + b cos x .
a) Estuda a função h quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos.
b) Recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy e à alínea anterior, justifica que a função h 
tem um único zero.
c) Seja C o ponto do gráfico de h cuja ordenada é 0.
Sejam P e Q os pontos do gráfico de h de abcissas p
2
 e p , respetivamente.
Prova que se a = b , então o ponto C pertence à reta PQ .
Seja f:d0, p
2
d " R a função definida por f 1x2 = sen2 x .
Seja r a reta que passa na origem do referencial e é tangente ao gráfico de f .
Seja A o ponto de tangência e seja a a abcissa do ponto A .
a) Mostra que a é solução da equação tg x = 2x .
b) Seja B o ponto pertencente ao eixo Ox cuja abcissa é a .
Prova que a área do triângulo fOABg é dada por sen
3
 a
4 cos a
 .
f é uma função ímpar.
f é crescente em g- p, pf .
84
Seja f a função, de domínio c- p
2
, pd , definida por f 1x2 = μ
x
2
+ cos x se x ≤ 0
2 sen ap
6
- xb se x > 0
a) Estuda a função f quanto à continuidade. f é contínua.
b) Estuda a função f quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos.
c) Justifica que, no intervalo c- p
2
, 0d , a função f tem um e um só zero.
d) Seja a o zero da função f considerada na alínea anterior.
Seja r a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa a .
Mostra que a ordenada do ponto de interseção da reta r com o eixo Oy é cos a - sen 12a2 .
Seja f a função, de domínio g1, 8g , definida por f 1x2 = e3 + ln 1x - 12 se 1 < x < 2
x + cos 1x - 22 se 2 ≤ x ≤ 8
a) Estuda a função f quanto à continuidade. f é contínua.
b) Estuda a função f quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico. x = 1
c) Estuda a função f quanto à monotonia no intervalo f2, 8g . f é crescente em [2, 8] 
d) Seja 1un2 a sucessão de termo geral un = 2 - n sen a1nb . Determina o valor de lim f 1un2 .
e) Seja t a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 3
2
 . Sejam P e Q 
os pontos de interseção da reta t com o eixo das abcissas e com o eixo das ordenadas, 
respetivamente. Seja R o ponto pertencente ao terceiro quadrante tal que o quadrilá-
tero fOPQRg é um paralelogramo. 
Determina as coordenadas do ponto R . Q- ln Q"2 R, - ln 122 R
Seja g a função, de domínio d - , 3p
2
d , definida por g 1x2 = e
x - x - a se x ≤ 0
2x - sen 12x2 se 0 < x ≤ 3p
2
 
em que a é um número real.
a) Determina o valor de a , sabendo que a função g é contínua. 1
b) Utiliza o teorema de Bolzano-Cauchy para justificar que, no intervalo cp
6
, p
2
d , a equa-
ção g 1x2 = g 1- 12 tem pelo menos uma solução.
c) Estuda a função g quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico. y = - x - 1
d) Seja P o ponto do gráfico de g cuja abcissa é ln a2
3
b . Seja r a reta tangente ao gráfico
de g no ponto P . Existe, no gráfico de g , um ponto A cuja abcissa pertence ao 
intervalo c0, p
2
d e tal que a reta tangente ao gráfico de g nesse ponto é perpendicular à
reta r . Determina a abcissa do ponto A . p
3
Seja f a função, de domínio g0, pf , definida por f 1x2 = x2 - 4 cos x .
Estuda a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existên-
cia de pontos de inflexão.
-
85
Tema 5 | Trigonometria e Funções Trigonométricas
Seja g a função, de domínio d - p
2
, p
2
 c , definida por g 1x2 = tg x - x .
Estuda a função g quanto ao sentidodas concavidades do seu gráfico e quanto à existên-
cia de pontos de inflexão.
Considera, em referencial o.n. xOy , a circunferên-
cia trigonométrica.
Considera que um ponto P se desloca sobre a cir-
cunferência, no segundo quadrante, sem coincidir 
com os pontos de coordenadas 10, 12 e 1- 1, 02 .
Para cada posição do ponto P , seja:
a a amplitude, em radianos, do ângulo orientado 
cujo lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo 
lado extemidade é a semirreta O
.
P aaå d p
2
, p cb ;
Q o ponto da circunferência trigonométrica, situado no primeiro quadrante, que tem a 
mesma ordenada do ponto P ;
R o ponto pertencente ao eixo das abcissas tal que as retas OP e QR são paralelas.
a) Seja f a função que a cada valor de a faz corresponder a área do paralelogramo
fOPQRg .
a1) Mostra que f 1a2 = - sen 12a2 .
a2) Determina o valor de a para o qual a área do paralelogramo é igual a 1. 
3p
4
a3) Existe um valor de a inferior a 
3p
4
 tal que f 1a2 ="3
2
 .
Determina, para esse valor de a , o perímetro do paralelogramo. 4
b) Seja S o ponto de coordenadas 1- 4, 02 . Seja g a função que a cada valor de a faz 
corresponder a área do trapézio fPQRSg .
QP
ROS
y
x
�
1
1
b1) Mostra que g 1x2 = 2 sen a - sen 12a2 .
b2) Determina o perímetro do trapézio de área máxima. 7 +"13
Q
1
1
P
RO
y
x
�
86
Considera, em referencial o.n. xOy , a circunferência 
trigonométrica.
Considera que um ponto P se desloca sobre a circun-
ferência, no primeiro quadrante, sem coincidir com os 
pontos de coordenadas 11, 02 e 10, 12 .
Para cada posição do ponto P , seja:
a a amplitude, em radianos, do ângulo orientado 
cujo lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo 
lado extemidade é a semirreta O
.
P aaå d0, p
2
 c b ;
t a reta tangente à circunferência trigonométrica no ponto P ;
A o ponto de interseção da reta t com o eixo das abcissas;
B o ponto de interseção da reta t com o eixo das ordenadas. 
Seja f a função que a cada valor de a faz corresponder a área do triângulo fOABg .
a) Mostra que f 1a2 = 1
sen 12a2 .
b) Determina o valor de a para o qual é mínima a área do triângulo fOABg , bem como 
o valor dessa área. a = p
4
 ; área = 1
O tabuleiro de uma ponte suspensa tem pequenas oscilações. Num certo dia, mediu-se a 
oscilação desse tabuleiro durante dois minutos. Admite que, durante esses dois minutos, a 
distância de um ponto A do tabuleiro a um ponto B , situado no topo de um dos pilares 
da ponte, é dada, em metros, por:
d 1t2 = 10 + 1p cos 1pt2 + t sen 1pt2 1t é medido em minutos e pertence a f0, 2g2
As questões que se seguem dizem respeito ao intervalo de tempo durante o qual se mediu 
a oscilação do tabuleiro da ponte.
a) No instante em que foi iniciada a medição, qual era a distância entre A e B ? 
Apresenta o resultado em metros, arredondado às décimas. 10,3 m
b) Estuda a função d quanto à monotonia e responde às seguintes questões:
Em que instante foi atingida a distância máxima entre A e B ? Qual foi essa distância?
Em que instante foi atingida a distância mínima entre A e B ? Qual foi essa distância? 
A distância máxima foi atingida no instante 0,5 e foi de 10,5 m. A distância mínima foi 
atingida no instante 1,5 e foi de 8,5 m.
c) Recorrendo à calculadora gráfica, determina durante quanto tempo é que a distância 
entre A e B foi inferior a 9,5 m. Apresenta a resposta em segundos, arredondada às 
unidades. 48 segundos
Uma mola está fixada por uma extremidade ao teto de uma sala e tem uma esfera na 
outra extremidade. A esfera oscila verticalmente. Admite que a distância, em me-
tros, da esfera ao chão da sala, t segundos após um certo instante inicial, é dada por 
d 1t2 = 1 + 0,4 e - 0,02t sen t 1t ≥ 02.
a) Indica, justificando, o valor de lim
t " + 
d 1t2 e interpreta esse valor no contexto da situa-
ção descrita. lim
t " +
 d 1t2 = 1
b) Durante os primeiros dez segundos, quantas vezes é que a distância da esfera ao chão 
da sala foi igual a 1 metro? 4
c) Mostra que d'1t2 = 0 § tg t = 50 .
d) No intervalo g0, 3f , a função d tem um máximo relativo. Utiliza a equivalência da 
alínea anterior para determinares, com aproximação às centésimas, o valor de t para 
o qual esse máximo é atingido. 1,55
P
B
A
t
O
y
x
�
1
1
87
3. Osciladores harmónicos e a segunda lei 
de Newton
Modelos periódicos
Têm-se as seguintes propriedades:
1. Qualquer função, de domínio R , definida por uma expressão do tipo a sen 1bx + c2 + d , 
ou do tipo a cos 1bx + c2 + d , com a 0 0 e b 0 0 , tem contradomínio fd - 0a 0, d + 0a 0 g e 
é periódica, com período positivo mínimo igual a 2p0b 0 .
2. Qualquer função definida por uma expressão do tipo a tg 1bx + c2 + d , com a 0 0 e 
 b 0 0 , e cujo domínio é ex åR : bx + c 0 p
2
+ kp, k åZf , tem contradomínio R e é 
 periódica, com período positivo mínimo igual a p0b 0 .
Exemplos:
A função f , de domínio R , definida por f 1x2 = 4 sen ap
6
 x + p
3
b + 2 tem contradomínio 
f- 2, 6g e é periódica, de período positivo mínimo igual a 12.
A função g , de domínio ex åR : x 0 1
4
+ k, k åZf , definida por g 1x2 = 2 tg apx + p
4
b - 1
tem contradomínio R e é periódica, de período positivo mínimo igual a 1.
Seja f a função, de domínio R , definida por f 1x2 = 6 sen apx - 5p
6
b - 3 .
a) Determina o contradomínio da função f . f- 9, 3g
b) Determina o período positivo mínimo da função f . 2
c) Determina os zeros da função f que pertencem ao intervalo f0, 4g . 1, 5
3
, 3, 11
3
d) Determina as coordenadas do ponto de interseção do gráfico da função f com a reta
de equação x = 2
3
 . a2
3
, - 6b
e) Esboça o gráfico da função f no intervalo f0, 4g .
f) Seja T o período positivo mínimo da função f . Considera o quadrilátero fPQRSg 
tal que:
os pontos P e Q pertencem ao gráfico da função f ;
a abcissa x do ponto P pertence ao intervalo f0, 1g ;
a abcissa do ponto Q é x + T ;
R e S são, respetivamente, as projeções ortogonais dos pontos Q e P no eixo 
das abcissas;
o quadrilátero fPQRSg tem área 6.
Determina o valor de x . 5
6
xO
y
1 4
-6
88
Considera a função g , de domínio R , definida por g 1x2 = 10 cos 12x + c2 + 5 , onde c 
designa um número real, pertencente ao intervalo cp
2
, 3p
2
d .
a) Determina o contradomínio da função g . f- 5, 15g
b) Determina o período positivo mínimo da função g . p
c) Determina o valor da constante c , sabendo que g' ap
2
b = - 10 . 7p
6
d) Determina os zeros da função g que pertencem ao intervalo f0, 2pg .
e) Seja T o período positivo mínimo da função g .
Sejam A e B dois pontos de ordenada positiva, tais que:
A e B pertencem ao gráfico da função g ;
as suas abcissas pertencem ao intervalo f0, 2pg , sendo A o ponto com menor 
abcissa; 
AB = T ; 
a área do triângulo fAOBg é igual a 15p
2
 .
Determina a abcissa do ponto A . 5p
12
Considera a função h definida por h 1x2 = a tg ax
3
+ 5p
12
b + b , onde a e b designam núme-
ros reais, com a 0 0 .
a) Determina o domínio e o contradomínio da função h . 
b) Determina o período positivo mínimo da função h . 3p
c) Determina os valores das constantes a e b , sabendo que a reta de equação 
y = 2x + 1 - 2p é tangente ao gráfico da função h no ponto de abcissa p .
d) Seja T o período positivo mínimo da função h . 
Mostra que T também é período da função h' .
Quando o João está em repouso, inspira e expira de forma regular. 
Considera que, nessas circunstâncias, o volume de ar nos pulmões do João, t segundos 
após o início de uma inspiração, é dado, em dm3, aproximadamente por: 
v 1t2 = 0,45 - 0,37 cos pt
2
Em todas as respostas, apresenta o volume de ar em dm3 e o tempo em segundos.
a) Que volume de ar existe nos pulmões do João, no instante inicial? 
E um segundo depois? No instante inicial: 0,08 dm3 ; um segundo depois: 0,45 dm3.
b) Qual é o períododa função v ? 
Qual é o seu significado, no contexto da situação descrita? O período é 4.
c) Quanto tempo demora uma inspiração? 2 segundos
d) Qual é o volume de ar inspirado, em cada inspiração? 0,74 dm3
e) Nos primeiros 4 segundos, durante quanto tempo é que o volume de ar nos pulmões do 
João é superior a 0,265 dm3? 2,7 segundos
Apresenta a resposta arredondada às décimas.
p
12
, 3p
4
, 13p
12
, 7p
4
Dh = ex åR : x 0 p4 + 3kp, k åZf ; D'h = R
a = 3 ; b = 4
89
Tema 5 | Trigonometria e Funções Trigonométricas
A profundidade da água do mar à entrada de um porto de pesca varia com a maré. 
Admite que, num certo dia, a profundidade da água do mar à entrada desse porto é dada, 
em metros, por:
h 1t2 = 6 + 2 cos ap
6
 t + p
3
b
onde a variável t designa o tempo, medido em horas, decorrido desde as 0 horas desse dia.
a) Qual é a profundidade da água do mar, nesse dia e nesse local, quando ocorre uma 
maré alta? 8 m
b) Ao longo desse dia ocorreram duas marés altas. A que horas ocorreu a primeira maré 
alta? 10 h
c) Ao longo desse dia ocorreram duas marés baixas. A que horas ocorreu a segunda maré 
baixa? 16 h
d) São 15 h 30 min desse dia e um barco já está preparado para ir à pesca. Porém, para 
poder sair do porto, esse barco precisa que a profundidade da água, à entrada do porto, 
seja, no mínimo, de 5 metros. A que horas poderá esse barco sair do porto? 18 h
No Funchal, o tempo que decorre do nascer ao pôr-do-sol, no dia de ordem n de cada 
ano, é dado, em horas, aproximadamente por f 1n2 = 12,16 + 2,16 sen 10,017n + 4,8932 .
Por exemplo, no dia 3 de fevereiro, trigésimo quarto dia do ano, o tempo que decorre do 
nascer ao pôr-do-sol é f 1342 ) 10,59 horas , ou seja, 10 horas e 35 minutos (aproximada-
mente).
a) No dia 26 de maio de um certo ano, o ocaso do Sol ocorreu às 21 h 8 min. A que horas 
ocorreu o nascer do Sol? Apresenta o resultado em horas e minutos (minutos arredon-
dados às unidades).
Admite que, nesse ano, o mês de fevereiro teve 28 dias. 7 h 3 min
b) Em alguns dias do ano, o tempo que decorre do nascer ao pôr-do-sol é inferior a 
10 h 30 min. Em quantos dias é que tal acontece? 77 dias
Nota: recorre às capacidades gráficas da calculadora para resolveres este problema.
A Terra descreve uma órbita elítica em torno do 
Sol. O Sol está num dos focos da elipse.
Na figura está representado um esquema dessa ór-
bita (o periélio é o ponto da órbita mais próximo 
do Sol). 
O ângulo orientado, de amplitude x (medida em 
radianos), representado na figura, tem o seu vértice 
no Sol, o seu lado origem passa no periélio e o seu 
lado extremidade passa na Terra.
Seja t o tempo, medido em anos, que a Terra demora a descrever o arco correspondente a 
esse ângulo e seja d a distância da Terra ao Sol, em milhões de quilómetros.
Tem-se: t = 1
2p 
1x - 0,0167 sen x2 d = 149,6 - 2,4983 cos x
a) Determina o valor de t , quando x = p . Interpreta o resultado obtido, no contexto da 
situação descrita. t = 1
2
b) Determina a distância máxima e a distância mínima da Terra ao Sol. Apresenta os va-
lores pedidos em milhões de quilómetros, arredondados às décimas. Distância máxima: 
152,1 milhões de quilómetros; distância mínima: 147,1 milhões de quilómetros.
Sol
x
d
t
Periélio
Terra
90
c) Utiliza os valores obtidos na alínea anterior para determinares o eixo maior e a distân-
cia entre os focos desta elipse. Eixo maior: 299 ; distância entre os focos: 5.
Apresenta os resultados em milhões de quilómetros, arredondados às unidades.
d) No dia 4 de janeiro de 2017, pelas 14 horas, a Terra passou no periélio.
Determina a distância a que a Terra se encontrava do Sol às 20 horas do dia 25 de 
fevereiro desse ano. Apresenta o resultado em milhões de quilómetros, arredondado às 
décimas. 148,1 milhões de quilómetros.
Notas:
sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no 
mínimo, quatro casas decimais;
considera 1 ano = 365,24 dias;
recorre às capacidades gráficas da calculadora para resolveres este problema.
Oscilador harmónico
Dá-se o nome de a um sistema constituído por um ponto que se 
desloca numa reta numérica, num determinado intervalo de tempo I , de tal forma que a 
respetiva abcissa, como função de t å I , é dada por uma expressão da forma:
x 1t2 = A cos 1wt + f2 , onde A > 0 , w > 0 e få f0, 2pf
À constante A dá-se o nome de .
À constante w dá-se o nome de .
À constante f dá-se o nome de .
Tem-se que a função x é periódica de T = 2pw .
Ao inverso do período dá-se o nome de .
A frequência é designada por f . Tem-se, portanto, f = 1
T
 .
Exemplo:
Considera que um ponto P se desloca numa reta numérica no intervalo de tempo 
I = f0, 10g (tempo medido em segundos), de tal forma que a respetiva abcissa, como 
função de t å I , é dada por: 
x 1t2 = 2 cos ap
4
 t + p
3
b
Relativamente a este oscilador harmónico, tem-se: a amplitude é 2; a pulsação é p
4
 ; 
a fase é p
3
 ; o período é 2pp
4
 , ou seja, 8; a frequência é 1
8
 .
91
Tema 5 | Trigonometria e Funções Trigonométricas
Um ponto P desloca-se numa reta numérica no intervalo de tempo I = f0, 10g (considera 
que o tempo é medido em segundos).
A abcissa do ponto P , no instante t , é dada por x 1t2 = 6 cos ap
8
 t + 5p
4
b .
a) Indica a amplitude, a pulsação e a fase deste oscilador harmónico.
b) Determina o período e a frequência deste oscilador harmónico.
Um ponto P desloca-se numa reta numérica no intervalo de tempo I = f0, 20g (considera 
que o tempo é medido em segundos).
A abcissa do ponto P , no instante t , é dada por x 1t2 = 8 cos ap
6
 t + p
3
b .
a) Indica a amplitude, a pulsação e a fase deste oscilador harmónico.
b) Determina o período e a frequência deste oscilador harmónico.
c) Determina a abcissa do ponto P no instante zero. 4
d) Determina os instantes em que a abcissa do ponto P é igual a - 4.
e) Determina o número de vezes que o ponto P passa pela origem. 4 vezes
f) Determina os instantes em que a distância do ponto P à origem é máxima.
g) Determina os intervalos de tempo em que o ponto P tem abcissa negativa.
h) Determina, utilizando a definição de derivada de uma função num ponto, o valor de x'112 .
i) Determina os intervalos de tempo em que a velocidade do ponto P é positiva.
Um ponto P desloca-se numa reta numérica no intervalo de tempo I = f0, 8g (con-
sidera que o tempo é medido em segundos), constituindo um oscilador harmónico de 
amplitude A e frequência igual a 1
4
 .
Seja x 1t2 a abcissa do ponto P no instante t . Sabe-se que x 102 = - A e x 122 = 6 .
a) Determina o período, a pulsação, a fase e a amplitude deste oscilador harmónico.
b) Mostra que A t å f0, 6g, x 1t + 22 = - x 1t2 .
c) Determina os instantes t tais que x'1t2 ="3 p
2
 x 1t2 . 4
3
, 10
3
, 16
3
 e 22
3
Um ponto P desloca-se numa reta numérica no intervalo de tempo I = f0, 18g (tempo medi-
do em segundos). A expressão analítica da função f que dá a abcissa do ponto P , como fun-
ção de t å I , é do tipo A cos 1wt + f2 , com A > 0 , w > 0 e få f0, 2pf . O gráfico de f é:
t
y
1
5 15
10
O
Amplitude: 6 ; pulsação: p
8
 ; fase: 5p
4
 .
Período: 16 ; frequência: 1
16
 .
Amplitude: 8; pulsação: p
6
 ; fase: p
3
 .
Período: 12; frequência: 1
12
 .
2, 6, 14 e 18 (segundos)
4, 10 e 16 (segundos)
Nos intervalos g1, 7f e g13, 19f .
- 4p
3
Nos intervalos g4, 10f e g16, 20g .
Período: 4 ; pulsação: p
2
 ; fase: p ; amplitude: 6 .
92
Tal como a figura sugere, a função f tem máximo igual a 5
2
 para t = 5 e para t = 12 .
a) Determina a expressão analítica da função f . f 1t2 = 5
2
 cos a2p
7
 t + 4p
7
b
b) Indica a amplitude, a pulsação, a fase, o período e a frequência deste oscilador harmónico.
Um ponto P desloca-se numa reta numérica no intervalo de tempo I = f0, 30g (considera 
que o tempo é medido em segundos).
A abcissa do ponto P , no instante t , é dada por x 1t2= 12 sen ap
5
 t + p
6
b .
a) Mostra que se trata de um oscilador harmónico.
b) Indica a amplitude, a pulsação, a fase, o período e a frequência deste oscilador har-
mónico. Amplitude: 12 ; pulsação: p
5
 ; fase: 5p
3
 ; período: 10 ; frequência: 1
10
 .
a) Prova que M cos 1wt2 +N sen 1wt2 ="M2 +N2 cos 1wt - y2 ,
onde y é tal que cos y = M"M2 +N2 e sen y =
N
"M2 +N2 .
b) Escreve cada uma das expressões seguintes na forma A cos 1wt + f2 , com A > 0 e
få f0, 2pf .
b1) "2 cos 1wt2 +"2 sen 1wt2 2 cos awt + 7p4 b
b2) cos 1wt2 - sen 1wt2 "2 cos awt + p4b
b3) - cos 1wt2 -"3 sen 1wt2 2 cos awt + 2p3 b
b4) - cos 1wt2 + sen 1wt2 "2 cos awt + 5p4 b
c) Escreve cada uma das expressões seguintes na forma A cos 1wt + f2 , com A > 0 e 
få f0, 2pf , apresentando o valor de f arredondado às milésimas.
c1) 12 cos 13t2 + 5 sen 13t2 13 cos 13t + 5,8882
c2) 3 cos 1pt2 - 4 sen 1pt2 5 cos 1pt + 0,9272
Um ponto P desloca-se numa reta numérica no intervalo de tempo I = f0, 12g (considera 
que o tempo é medido em segundos).
A abcissa do ponto P , no instante t , é dada por x 1t2 ="2 cos ap
8
 tb -"2 sen ap
8
 tb .
a) Prova que se trata de um oscilador harmónico.
b) Indica a amplitude, a pulsação, a fase, o período e a frequência deste oscilador har-
mónico. Amplitude: 2 ; pulsação: p
8
 ; fase: p
4
 ; período: 16 ; frequência: 1
16
 .
c) Determina o instante em que a velocidade do ponto P atinge o seu valor máximo.
Um ponto P desloca-se numa reta numérica no intervalo de tempo I = f0, 20g (considera 
que o tempo é medido em segundos).
A abcissa do ponto P , no instante t , é dada por x 1t2 = 2 cos 13,2 t2 + sen 13,2 t2 .
a) Prova que se trata de um oscilador harmónico, escrevendo x 1t2 na forma 
A cos 13,2 t + f2 , com A > 0 e få f0, 2pf (apresenta o valor de f arredondado às 
centésimas). x 1t2 ="5 cos 13,2 t + 5,822
b) Determina a frequência deste oscilador harmónico (apresenta a tua resposta arredon-
dada às centésimas). 0,51
Amplitude: 5
2
 ; pulsação: 2p
7
 ; fase: 4p
7
 ; período: 7 ; frequência: 1
7
 .
10 segundos.
93
Tema 5 | Trigonometria e Funções Trigonométricas
Sistema formado por uma mola e por um ponto material 
colocado na respetiva extremidade
Seja P um ponto material de massa m colocado na extremidade de uma mola (cuja 
outra extremidade se encontra fixa).
Vamos considerar que, em resultado da força exercida pela mola, o ponto P se des-
loca sobre uma reta numérica, na qual vamos tomar para origem o ponto de equilíbrio 
(ponto que corresponde à posição do ponto P quando a mola não está comprimida nem 
estendida).
De acordo com a lei de Hooke, a força exercida pela mola sobre P é proporcional à 
distância a que P se encontra do ponto de equilíbrio. Designando por k a constan-
te de proporcionalidade, a abcissa x 1t2 do ponto P satisfaz a equação diferencial 
m x''1t2 = - k x 1t2 .
Esta equação é equivalente a x''1t2 = - a x 1t2 , onde a = k
m
 .
Qualquer solução da equação diferencial x''1t2 = - a x 1t2 pode ser escrita na forma 
x 1t2 = A cos Q"a t + f R , com A > 0 e få f0, 2pf .
Exemplo:
Consideremos que um ponto material P de mas-
sa 10 g, colocado na extremidade de uma mola, se 
desloca numa reta numérica, orientada da esquer-
da para a direita, onde uma unidade corresponde a 
1 cm e a origem coincide com o ponto de equilíbrio.
A força exercida pela mola é proporcional à distância d a que o ponto P se encontra 
do ponto de equilíbrio.
Admitamos que a constante de proporcionalidade é igual a 40 (na unidade física corres-
pondente às unidades de massa, comprimento e tempo consideradas).
Num certo instante, inicia-se a contagem do tempo (considera que o tempo é medido 
em segundos).
Seja x 1t2 a abcissa do ponto P no instante t .
Tem-se, então x''1t2 = - a x 1t2 , com a = km = 4010 = 4 .
Vem: x 1t2 =A cos Q"4 t + f R =A cos 12 t + f2 , com A > 0 e få f0, 2pf .
Admitamos agora que x 102 = 3 e que x'102 = 2 (isto é, admitamos que, no instante 0, 
o ponto P se encontra 3 centímetros à direita do ponto de equilíbrio e que a sua velo-
cidade, nesse instante, é de 2 cm/s).
Vem:
x 102 = 3 § A cos f = 3
como x'1t2 = - 2A sen 12 t + f2 , tem-se x'102 = 2 § - 2A sen f = 2 § A sen f = - 1 
De A cos f = 3 e A sen f = - 1 , resulta que A2 cos2 f = 9 e A2 sen2 f = 1 .
Vem, então: 
A2 cos2 f +A2 sen2 f = 9 + 1 ± A2 fcos2 f + sen2 fg = 10 ± A2 = 10 ± A ="10
P O
x(t)
d
continua
94
Determinemos agora o valor de f .
Como cos f > 0 e sen f < 0 , vem få d 3p
2
, 2p c .
De "10 cos f = 3 , vem cos f = 3"10 .
Como få d3p
2
, 2p c e cos f = 3"10 , vem f ) 5,96 .
Portanto, x 1t2 ="10 cos 12t + 5,962 .
Neste oscilador hamónico, tem-se: amplitude ="10 ; pulsação = 2 ; fase ) 5,96 .
continuação
Um ponto material P de massa 2 g, colocado na extremidade de uma mola, desloca-se 
numa reta numérica, orientada da esquerda para a direita e onde uma unidade correspon-
de a 1 cm. Admite que a origem desta reta numérica coincide com o ponto de equilíbrio.
P O
x(t)
d
A força exercida pela mola é proporcional à distância d a que o ponto P se encontra 
do ponto de equilíbrio, sendo, neste caso, a constante de proporcionalidade igual a 72 (na 
unidade física correspondente às unidades de massa, comprimento e tempo consideradas).
Num certo instante, inicia-se a contagem do tempo (o tempo é medido em segundos).
Seja x 1t2 a abcissa do ponto P no instante t .
a) Traduz esta situação por uma equação diferencial, da forma x''1t2 = - a x1t2 . 
x'' 1t2 = - 36x 1t2
b) Tem-se x 1t2 = A cos 1wt + f2 , com A > 0 , w > 0 e få f0, 2pf . Indica o valor de w . 
w ="36 = 6
c) Admite que, no instante 0, o ponto P se encontra 4 centímetros à esquerda do ponto 
de equilíbrio. Traduz simbolicamente este facto. x 102 = - 4
d) Tendo em conta a alínea anterior, mostra que se tem A cos f = - 4 .
e) Determina x'1t2 . x' 1t2 = - 6A sen 16t + f2
f) Admite que, no instante 0, a mola está a contrair-se e que o módulo da velocidade do 
ponto P , nesse instante, é de 18 cm/s. Traduz simbolicamente este facto. x' 102 = - 18
g) Tendo em conta as duas alíneas anteriores, mostra que se tem A sen f = 3 .
h) Tendo em conta que A cos f = - 4 e que A sen f = 3 , determina o valor de A . A = 5
i) Determina x 1t2 . Apresenta o valor de f arredondado às décimas. x 1t2 = 5 cos 16t + 2,52
j) Indica a amplitude, a pulsação e a fase deste oscilador harmónico. 
Amplitude: 5 ; pulsação 6 ; fase: 2,5 .
k) Determina o período e a frequência deste oscilador harmónico. Apresenta os valores 
arredondados às milésimas. Período: 1,047 ; frequência: 0,955 .
95
Tema 5 | Trigonometria e Funções Trigonométricas
Uma mola está fixada a uma parede por uma extremidade, tendo uma esfera na outra 
extremidade.
Tal como a figura ilustra, o ponto P representa o centro da esfera e o ponto Q representa 
a extremidade da mola que está fixada na parede.
Q
P r
d (t)
Após ser alongada na horizontal, a mola inicia um movimento oscilatório, em consequên-
cia do qual o ponto P se desloca ao longo da reta r .
Num certo instante, inicia-se a contagem do tempo (medido em segundos).
A distância, em centímetros, do ponto P ao ponto Q é dada por d 1t2 = 10 + 8 sen ap
6
 t + p
3
b .
A variável t designa o tempo que decorre desde o instante em que se inicia a contagem 
do tempo.
Considera que tå f0, 20g .
a) Qual é a distância do ponto P ao ponto Q , no instante em que se inicia a contagem 
do tempo?
Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. 16,9 cm
b) Determina os instantes em que o ponto P está à distância de 6 cm do ponto Q . 
5, 9 e 17
c) Recorendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, mostra que, entre o sétimo e o oitavo se-
gundos, após o início da contagem do tempo, há pelo menos um instante em que a 
distância do ponto P ao ponto Q é igual a 2,5 centímetros.
d) Determina a distância mínima e a distância máxima doponto P ao ponto Q . 
Distância mínima: 2 cm; distância máxima: 18 cm.
e) O ponto de equilíbrio é o ponto da reta r cuja distância ao ponto Q é a média das 
distâncias referidas na alínea anterior.
 Considera a reta r como um eixo orientado da esquerda para a direita, com origem 
no ponto de equilíbrio e onde uma unidade corresponde a 1 cm.
Seja x 1t2 a abcissa do ponto P no instante t .
 Escreve x 1t2 na forma A cos 1wt + f2 , com A > 0 , w > 0 e få f0, 2pf , e indica a 
amplitude, a pulsação, a fase, o período e a frequência deste oscilador harmónico.
x 1t2 = 8 cos ap
6
 t + 11p
6
b ; amplitude: 8 ; pulsação: p
6
 ; fase: 11p
6
 ; período: 12 ;
frequência: 1
12
 .
96
Primitivas 
e Cálculo Integral6Tema
1. Noção de primitiva
Conceito de primitiva
Seja f uma função real cujo domínio é um intervalo I .
Diz-se que uma função F é uma primitiva de f em I se F é diferenciável em I e, para 
qualquer x å I , F '1x2 = f 1x2 .
Diz-se que f é primitivável em I quando f admite uma primitiva nesse intervalo.
Exemplos:
A função F , de domínio R , definida por F 1x2 = x2 é uma primitiva da 
função f , de domínio R , definida por f 1x2 = 2x , pois, para qualquer número 
real x , F'1x2 = 1x22' = 2x = f 1x2 .
A função G , de domínio R , definida por G 1x2 = sen x é uma primitiva da 
função g , de domínio R , definida por g 1x2 = cos x , pois, para qualquer número 
real x , G' 1x2 = 1sen x2' = cos x = g 1x2 .
Sejam F e f as funções, de domínio R , definidas por F 1x2 = 1x - 12 ex e f 1x2 = x ex.
a) Verifica que Ax åR, F'1x2 = f 1x2 .
b) Completa a seguinte frase, de forma a obteres uma proposição verdadeira:
Como Ax åR, F'1x2 = f 1x2 , diz-se que F é uma primitiva de f , em R .
Indica uma função F , de domínio R , que seja uma primitiva da função f , de domínio R , 
definida por f 1x2 = 3x2 . F 1x2 = x3 (por exemplo)
Seja g a função, de domínio R+ , definida por g 1x2 = x ln 1x2 . Seja G uma primitiva da 
função g .
Determina lim
x " e
 
G 1x2 - G 1e2
x - e . e
Seja f a função, de domínio R , definida por f 1x2 = 2x + 4
x2 + 1
 . Seja F uma primitiva da 
função f .
Sabe-se que o ponto A 11, 52 pertence ao gráfico da função F .
Seja r a reta tangente ao gráfico de F no ponto A .
Determina a equação reduzida da reta r . y = 3x + 2
Seja f uma função ímpar primitivável em R .
Seja F uma primitiva de f . Mostra que F é uma função par.
Sugestão: começa por mostrar que Ax åR, fF 1x2 - F 1- x2g' = 0 .
98
Propriedades fundamentais
Seja f uma função primitivável num intervalo I .
Seja F uma primitiva de f nesse intervalo.
Então, as primitivas de f , nesse intervalo, são as funções definidas por F 1x2 + c, c åR .
A expressão F 1x2 + c, c åR pode ser representada por Pf ou por ef 1x2 dx .
Exemplos:
P 12x2 = e2x dx = x2 + c, c åR
P 1cos x2 = ecos x dx = sen x + c, c åR
Seja f uma função primitivável num intervalo I .
Seja a å I e seja b åR .
Então, existe uma única primitiva F , de f , em I , tal que F 1a2 = b .
Exemplo:
Seja I = d - p
2
, p
2
 c . Seja f a função, de domínio I , definida por f 1x2 = 1
cos2 x
 .
Tem-se:
f é primitivável em I ;
qualquer primitiva de f , em I , é definida por uma expressão do tipo tg 1x2 + c , com 
c åR .
Seja F a primitiva de f , em I , tal que F ap
4
b = 5 .
Tem-se F ap
4
b = 5 § tg ap
4
b + c = 5 § 1 + c = 5 § c = 4 .
Portanto, a primitiva de f , em I , tal que F ap
4
b = 5 é a função definida por 
F 1x2 = tg 1x2 + 4 .
P 1f + g2 = P 1f 2 + P 1g2 ou e ff 1x2 + g 1x2g dx = ef 1x2 dx + eg 1x2 dx
P 1kf 2 = k P 1f 2, k åR ou ek f 1x2 dx = kef 1x2 dx, k åR
Exemplos:
P 12x + cos x2 = P 12x2 + P cos x = x2 + sen x + c, c åR
e3 cos x dx = 3 ecos x dx = 3 sen x + c, c åR
e 14ex + 5 cos x2 dx = e4ex dx + e5 cos x dx = 4eexdx + 5ecos x dx = 4ex + 5 sen x + c,
c åR
99
Tema 6 | Primitivas e Cálculo Integral
Considera a função f : R " R definida por f 1x2 = e - x 11 - x2 .
a) Verifica que, para cada número real c , a função F definida por F 1x2 = x e - x + c é uma 
primitiva da função f .
b) Determina c de modo que F 112 = 0 . - 1e
Sejam F e G as funções, de domínio R , definidas, respetivamente, por F 1x2 ="x2 + 3 
e G 1x2 = ln 1x2 + 32 .
a) Mostra que F é uma primitiva da função f , de domínio R , definida por 
f 1x2 = x "x2 + 3
x2 + 3
 .
b) Mostra que G é uma primitiva da função g , de domínio R , definida por 
g 1x2 = 2x
x2 + 3
 .
c) Seja h a função, de domínio R , definida por h 1x2 = 5x "x2 + 3 + 4x
x2 + 3
 .
Determina eh 1x2 dx . 5 "x2 + 3 + 2 ln 1x2 + 32 + c, c åR
Regras de primitivação
No que se segue, c designa um número real.
P 1k2 = kx + c 1k åR2
P 1 xa2 = xa + 1
a + 1
+ c P 1 u' . ua2 = ua + 1
a + 1
+ c 1aåR \ 5- 1, 062
P 1ex2 = ex + c P 1u' . eu2 = eu + c
P a1
x
b = ln 0x 0 + c P au'
u
b = ln 0u 0 + c
P 1sen x2 = - cos x + c P 1u' . sen u2 = - cos u + c
P 1cos x2 = sen x + c P 1u' . cos u2 = sen u + c
Determina as seguintes primitivas:
a) P 152 b) P 1 4x + 32 c) P 16x2 - 8x + 12
d) P a 1
x5
b e) P ax4 + 1
x2
b f) P a"x - 3
2
b
g) P Q5 "3 x2 + 9 "5 x4 R h) P ax2 + 1"x b i) P s 1x - 12 
x -"x
x +"x t
Determina as seguintes primitivas:
a) P f5 15x + 329g b) P f2x 1x2 - 525g
c) P f13x2 + 4x - 12 1x3 + 2x2 - x - 326g d) P f6x 1x2 - 8213g
e) P f5x9 1x10 + 3214g f) P f1x + 322 1x3 + 9x2 + 27x + 30217g
100
g) P £ Q"x + 2 R
11
"x §
h) P Q2"2x + 1 R i) P f3x "5 1x2 + 1027g
j) P Qx"x2 + 1 + 6x2 "3 x3 + 2 R k) P ° 1 +"x"x Ç
3 "x + x
2
¢ l) P fex 15ex - 427g
m) P f1ex + 3x22 1ex + x329g n) P f12 1ex + x62 "7 17 ex + x725g o) P aln 1x2x b
p) P 1cos x sen5 x2 q) P 1cos x sen x2 r) P a cos x"sen xb
s) P a 1
4 sen2 x
- 1
4 cos2 x
b
Determina as seguintes primitivas:
a) P 14ex - 8x3 + 12x22 b) P 13 e3x - 22 c) P 1x3ex4 + 12
d) P 12 e - x2 e) P a4x2 +"xx ex2 +"xb f) P 1esen x cos x2
g) P f11 + tg2 x2 etg xg h) P 12 e1 - cos x sen x2 i) P fesen x cos x cos 12x2g
j) P fesen
3 x sen 12x2 sen xg
Determina as seguintes primitivas:
a) P a3x - 2b b) P a 43x - 32xb c) P a 53x -
3x
5
b
d) P a2x + 3x2b e) P c
1x - 522
x d f) P a 6x3x2 + 5b
g) P a x2 - 2
x3 - 6x - 5
b h) P ae2x - 2e- 4x
e2x + e- 4x
b i) P a 1
x ln 1x2b
j) P a x - sen x
x2 + 2 cos x
b k) P 11 + 2 tg x2 l) P c 1 + 2 tg x
cos2 x 11 + tg x + tg2 x2 d
m) P ftg 13x2g n) P c cos 12x2
1 + sen 12x2 d o) P c
sen x + sen 12x2 + 2 sen 12x2 cos2 x
cos x + cos2 x + cos4 x
d
Determina as seguintes primitivas:
a) P a1 - sen x
2
b b) P a2 cos x + sen x
3
b c) P f4x3 - 6 sen 13x2g
d) P ° 1 + cos 
x
2
4
¢ e) P 1cos4 x - sen4 x2 f) P 1cos3 x2
101
2. Noção de integral
Conceito de integral
Dado um referencial cartesiano ortonormado e uma fun -
ção f contínua e não negativa num intervalo fa, bg , dá-se 
o nome de f a e b à área, na unidade 
quadrada associada à unidade de comprimento desse refe-
rencial, da região do plano delimitada pelas retas de equa-
ções x = a e x = b , pelo eixo Ox e pelo gráfico da função.
O integral de f entre a e b representa-se por eb
a
 f 1x2 dx .
Exemplos:
e51 2 dx é a área da região do plano delimitada pelas retas 
de equações x = 1 e x = 5 , pelo eixo Ox e pelo gráfico 
da função f , definida por f 1x2 = 2 .
Portanto, e51 2 dx é a área do retângulo representado na 
figura ao lado.
Assim, e51 2 dx = 4 * 2 = 8 .
3
4
2
 a1
2
 x + 1b dx é a área da região do plano delimitada
pelas retas de equações x = 2 e x = 4 , pelo eixo Ox e 
pelo gráfico da função f , definida por f 1x2 = 1
2
 x + 1 .
Portanto, 3
4
2
 a1
2
 x + 1b dx é a área do trapézio representa-
do na figura ao lado.
Assim, 3
4
2
 a1
2
 x + 1b dx = 2 + 3
2
* 2 = 5 .
Monotonia do integral
Sejam f e g funções contínuas e não negativas num intervalo fa, bg .
Se, para todo o x pertencente a fa, bg , se tem g 1x2 ≤ f 1x2 , eb
a
 g 1x2 dx ≤ eb
a
 f 1x2 dx .
Exemplo:
Na figura ao lado estãorepresentadas graficamente duas 
funções, f e g .
Tem-se, para todo o x pertencente a fa, bg , g 1x2 ≤ f 1x2 .
Portanto, tem-se eb
a
 g 1x2 dx ≤ eb
a
 f 1x2 dx .
O
y
xb
f
a
∫a
b
f (x)dx
y
O x1
2
5
f
y f
O x2
1
4
y
f
g
O xa b
102
Seja f a função, de domínio R , definida por f 1x2 = 3 .
a) Representa, em referencial o.n. xOy , o gráfico da função f , bem como as retas de 
equações x = - 1 e x = 5 .
b) Assinala a região cuja área é e5
- 1
 f 1x2 dx .
c) Determina e5
- 1
 f 1x2 dx 
Seja g a função, de domínio R , definida por g 1x2 = x - 1 .
a) Representa, em referencial o.n. xOy , o gráfico da função g , bem como as retas de 
equações x = 2 e x = 4 .
b) Assinala a região cuja área é e42 g 1x2 dx .
c) Determina e42 g 1x2 dx .
Determina e1
- 2
 12x + 42 dx . 9
Seja f a função, de domínio R , definida por f 1x2 = mx + 8 , onde m designa um número 
real negativo.
Sabe-se que e82 f 1x2 dx = 33 . Determina o valor de m . - 12
Determina e3
- 3
 "9 - x2 dx .
Sugestão: tem em conta que x2 + y2 = 9 § y = ¿"9 - x2 , ou seja, a circunferência cuja 
equação é x2 + y2 = 9 é a união de duas semicircunferências, sendo uma o gráfico da função 
definida por y ="9 - x2 e sendo a outra o gráfico da função definida por y = -"9 - x2 .
Considera, em referencial o.n. xOy , a semicircunferência definida pela condição:
1x - 522 + 1y - 522 = 4 ‹ y ≤ 5
Seja g a função, de domínio f3, 7g , cujo gráfico é essa semicircunferência.
Determina e73 g 1x2 dx . 20 - 2p
Seja f a função, de domínio R , definida por f 1x2 = x2 .
a) Mostra que Ax å f2,1; 2,9g, 5x - 25
4
≤ f 1x2 ≤ 5x - 6 .
b) Utilizando a alínea anterior, determina o valor de e2,92,1 f 1x2 dx , arredondado às unidades.
9p
2
Teorema fundamental do cálculo integral
Seja f uma função contínua e não negativa num intervalo fa, bg , com a < b .
Seja Fa a função definida em fa, bg por Fa 1x2 = exa f 1t2 dt .
Então, Fa é a primitiva de f que se anula para x = a .
Portanto, 1ex
a
 f 1t2 dt2' = f 1x2 .
De acordo com a regra de derivação de uma função composta, tem-se:
 1eg 1x2
a
 f 1t2 dt2' = f 1g 1x22 * g'1x2 
continua
5
103
Tema 6 | Primitivas e Cálculo Integral
continuação
Exemplo 1:
Seja f 1t2 = 2t + 1 e seja F 1x2 = ex2 f 1t2 dt .
De acordo com a figura ao lado, tem-se:
F 1x2 = ex2 f 1t2 dt = f 1x2 + f 1222 * 1x - 22 =
2x + 1 + 5
2
* 1x - 22 =
 = 2x + 6
2
* 1x - 22 = 1x + 32 1x - 22 = x2 + x - 6
Como 1x2 + x - 62' = 2x + 1 , vem que F é uma primitiva 
de f .
Como F 122 = 22 + 2 - 6 = 0 , vem que F se anula para x = 2 .
Exemplo 2:
Tem-se, para qualquer número real x maior ou igual a 1: 
1ex1 ln 1t2 + 32 dt2' = ln 1x2 + 32
Exemplo 3:
Tem-se, para qualquer número real x maior ou igual a 2:
1ex38 et sen2 t dt2' = ex3sen2 1x32 1x32' = ex3sen2 1x32 3x2
Fórmula de Barrow
Sendo F uma primitiva de f , tem-se eb
a
 f 1x2 dx = fF 1x2gba = F 1b2 - F 1a2 .
Exemplo:
e63 x
2 dx = cx3
3
d
6
3
= 6
3
3
- 3
3
3
= 216
3
- 27
3
= 72 - 9 = 63
f
y
f(x)
5
2 xO t
∫2
x
f (t)dt
Sejam f e g as funções, de domínio f1, + f , definidas por:
f 1x2 = ex1 ln 1t2 dt g 1x2 = x ln 1x2 - x
Mostra que Ax å f1, + f, ff 1x2 - g 1x2g' = 0 .
Seja f a função, de domínio R , definida por: e1 + sen x0 ln 1e + t2 - 12 dt .
Determina o declive da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa p . - 1
Calcula o valor de cada um dos seguintes integrais:
a) e31 2x 1x2 + 123 dx 2496 b) e20 9x2 "9 - x3 dx 52 c) 3
2
1
 1
x2
 e
1
x
 dx e -"e
d) 3
e
1
 x + 1x dx e e) 3
ee
e
 
1 + ln 1x2
x ln 1x2 dx e f) e
p
2
0
 sen 12x2 cos x dx 2
3
g) 3
p
3
0
 sen x
cos2 x
 dx 1 h) e
p
4
0
 cos 12x2 sen x dx "2 - 1
3
104
Em cada uma das alíneas seguintes está definida uma função f .
Considera, em referencial o.n. xOy , o gráfico dessa função e determina a área da região 
limitada por esse gráfico, pelo eixo Ox e pelas retas cujas equações são dadas.
a) f 1x2 = x2 - 2x + 2 ; x = 0 ; x = 6 48 b) f 1x2 = cos 12x2 ; x = p
12
 ; x = p
8
c) f 1x2 = 1x ; x = 1 ; x = e 1 d) f 1x2 = ex ; x = 0 ; x = ln 142 3
e) f 1x2 = tg x ; x = p
4
 ; x = p
3
 ln Q"2 R f) f 1x2 = sen2 x ; x = p
6
 ; x = p
4
 p + 3"3 - 6
24
Para cada uma das alíneas seguintes, desenha, em referencial o.n. xOy , a região limitada 
pelas linhas definidas pelas equações dadas e determina a área dessa região.
a) y = x2 , y ="x b) y = 5 - x2 , y = x + 3
Sejam f e g as funções, de domínio f2, 4g , definidas por:
f 1x2 = 3
x - 1
 g 1x2 = 5"2 a"5x - 2 (a designa um número real)
Sabe-se que Ax å f2, 4g, g 1x2 ≥ f 1x2 .
Considera, em referencial o.n. xOy , os gráficos das funções f e g .
Sabe-se que a área da região do plano limitada por esses gráficos e pelas retas de equações 
x = 2 e x = 4 é igual a 5 ln 132 .
Determina o valor de a . ln 192
Seja f a função, de domínio c- p
4
, p
4
d , definida por f 1x2 = cos x .
Considera, em referencial o.n. xOy , o gráfico da função f .
Sejam A e B pontos com a mesma ordenada, pertencentes ao gráfico da função f e 
tais que a área do triângulo fOABg é igual a 0,4. O ponto A tem abcissa positiva e o 
ponto B tem abcissa negativa.
a) Determina, com aproximação às milésimas, a abcissa do ponto A .
Nota: equaciona o problema e, recorrendo à calculadora gráfica, determina a solução 
da equação, com a aproximação pedida. 0,443
b) Utiliza o resultado da alínea anterior para determinares a área da região do plano 
limitada pela reta AB e pelo gráfico da função f . Apresenta a resposta arredondada 
às centésimas. 0,06
"2 - 1
4
Propriedades dos integrais
Sejam f e g funções contínuas e não negativas em fa, bg . Têm-se as seguintes pro-
priedades:
eb
a
 ff 1x2 + g 1x2g dx = eb
a
 f 1x2 dx + eb
a
 g 1x2 dx eb
a
 k f 1x2 dx = keb
a
 f 1x2 dx 1k åR2
continua
105
Tema 6 | Primitivas e Cálculo Integral
Exemplo:
e41 3x
2 dx + 3e41 11 + 2x - x22 dx = e41 3x2 dx + e41 3 11 + 2x - x22 dx =
= e41 13x2 + 3 + 6x - 3x22 dx = e41 16x + 32 dx = 3e41 12x + 12 dx = 3fx2 + xg41 =
= 3 * 120 - 22 = 3 * 18 = 54
Tem-se a seguinte convenção: ea
b
 f 1x2 dx = - eb
a
 f 1x2 dx
Exemplo:
e12 x
2 dx = - e21 x
2 dx = - cx3
3
d
2
1
= - a8
3
- 1
3
b = - 7
3
Seja f uma função contínua e não negativa num intervalo I .
Então, dados quaisquer pontos a , b e c de I , tem-se: 
eb
a
 f 1x2 dx = ec
a
 f 1x2 dx + eb
c
 f 1x2 dx
Exemplo:
e72 ln 1x2 dx = e42 ln 1x2 dx + e74 ln 1x2 dx
y
O x2 4 7
y = ln (x)
Sejam a e b números reais tais que a < b . Sejam f e g funções contínuas e não nega-
tivas em fa, bg . Sabe-se que eb
a
 f 1x2 dx = 8 e que eb
a
 g 1x2 dx = 2 .
Determina o valor de eb
a
 f4 f 1x2 + g 1x2g dx . 34
Sejam a e b números reais tais que a < b . Sejam f e g funções contínuas e não nega-
tivas em fa, bg . 
Sabe-se que Ax å fa, bg, g 1x2 ≤ f 1x2 .
Considera, em referencial o.n. xOy , os gráficos das funções f e g .
Justifica que a área da região do plano limitada por esses gráficos e pelas retas de equações
x = a e x = b é igual a eb
a
 ff 1x2 - g 1x2g dx .
Seja f uma função, de domínio R , não negativa e tal que e41 f 1x2 dx = 10 .
Indica o valor de e14 f 1x2 dx . - 10
Determina 3
1
e
 2x dx . - 2
Seja f uma função, de domínio R , não negativa e tal que e13 f 1x2 dx = - 6 .
Determina o valor de e31 ff 1x2 + xg dx + e31 5 f 1x2 dx . 40
Seja c um número real positivo. Determina o valor de 3
c
0
 1x + e dx + 3
e3-e
c
 1x + e dx . 2
continuação
106
Seja f função, de domínio R , definida por f 1x2 = eex se x < 0
2x + 1 se x ≥ 0
 
Determina e4
- 1
 f 1x2 dx . 21 - 1e
Seja g a função, de domínio c0, p
2
d , definida por g 1x2 =
sen x se 0 ≤ x < p
4
cos x se p
4
≤ x ≤ p
2
 
Determina a área da região delimitada pelo eixo das abcissas e pelo gráfico da função.
Seja h a função,de domínio R , definida por h 1x2 = 3x
2 se x < 1
3 +
ln 1x2
x se x ≥ 1
Determina a área da região delimitada pelo eixo das abcissas, pelo gráfico da função h 
e pela reta de equação x = e2 . 3e2
Determina 3
2p
3
-
p
2
 11 + sen 0x 0 2 dx . 7p + 15
6
2 -"2
Integral de uma função não positiva
Dado um referencial cartesiano e uma função f contínua num intervalo fa, bg , tal que 
Ax å fa, bg, f 1x2 ≤ 0 dá-se o nome de f a b ao simétrico da área 
da região do plano delimitada pelas retas de equações x = a e x = b , pelo eixo Ox e 
pelo gráfico da função. 
A propriedade da monotonia do integral, o teorema fundamental do cálculo integral, a 
fórmula de Barrow, a relação de Chasles e a linearidade do integral mantêm-se válidas 
neste tipo de funções.
Exemplo:
Seja f a função, de domínio R , definida por f 1x2 = x2 - 4 .
Tem-se: e1
- 1
 1x2 - 42 dx = cx3
3
- 4xd
1
- 1
= a- 11
3
- 11
3
b = - 22
3
 .
Assim, - 22
3
 é o simétrico da área da região do plano delimi-
tada pelas retas de equações x = - 1 e x = 1 , pelo eixo Ox 
e pelo gráfico da função f .
Portanto, a área da região colorida na figura é 22
3
 .
y
O x
1-1
f
Seja f a função, de domínio R , definida por f 1x2 = 0x 0 - 3 .
a) Representa graficamente a função f num referencial o.n. xOy .
b) Sejam P e Q os pontos de interseção do gráfico da função f com o eixo das abcissas.
Seja R o ponto de interseção do gráfico da função f com o eixo das ordenadas.
Determina a área do triângulo fPQRg . 9
c) Tendo em conta a alínea anterior, indica o valor de e3
- 3 
 f 1x2 dx . - 9
f
-3
y
O
P Q
R
x3-3
107
Tema 6 | Primitivas e Cálculo Integral
Determina o valor de cada um dos seguintes integrais:
a) 3
36
4
 a1
2
- 3"xb dx b) e51 1e - ex2 dx 5e - e5 c) 3
4
1
 1 - xx dx ln 142 - 3
d) 3
1
1
e
 
ln3 1x2
x dx -
1
4
e) e2pp sen x dx - 2 f) e
p
p
2
 cos x dx - 1
Seja g a função, de domínio R , definida por g 1x2 = x2 - 4x .
Considera, em referencial o.n. xOy , o gráfico da função g .
Determina a área da região do plano limitada pelo eixo Ox e pelo gráfico desta função.
Seja h a função, de domínio R , definida por h 1x2 = x2 - x - 6 .
Considera, em referencial o.n. xOy , o gráfico da função h .
Sejam A e B os pontos de interseção do gráfico desta função com o eixo Ox .
Seja P o ponto pertencente ao semieixo positivo Oy tal que a área da região do plano 
limitada pelo gráfico da função h e pelas retas AP e BP é igual a 25.
Determina a ordenada do ponto P . 5
3
Seja f a função, de domínio f- 3, e - 1g , definida por f 1x2 =
x2 + 2x - 8 se - 3 ≤ x < 0
1
x + 1
- 9 se 0 ≤ x ≤ e - 1
Considera, em referencial o.n. xOy , o gráfico da função f .
Determina a área da região do plano limitada pelo gráfico da função f , pelo eixo Ox e 
pelas retas de equações x = - 3 e x = e - 1 . 9e + 14
- 400
Integral de uma função onde pode ocorrer um número 
finito de mudanças de sinal
Seja uma função f contínua num intervalo fa, bg . Admitamos que existe uma sequência 
de números reais c0 , c1 , … , ck + 1 , com a = c0 < c1 < … < ck < ck + 1 = b , tal que, em cada 
intervalo fcj , cj + 1g , a função f não muda de sinal.
Define-se, então, eb
a
 f 1x2 dx como sendo ec1
a
 f 1x2 dx + ec2
c1
 f 1x2 dx + … + eb
ck
 f 1x2 dx .
A propriedade da monotonia do integral, o teorema fundamental do cálculo integral, a 
fórmula de Barrow, a relação de Chasles e a linearidade do integral ainda se mantêm 
válidas neste tipo de funções.
Determina o valor de cada um dos seguintes integrais:
a) e3
- 3
 1x2 - 12 dx 12 b) 3
p
3
-
p
6
 11 - tg x2 dx p
2
- ln Q"3 R
Determina o valor de ep0 cos x dx e interpreta geometricamente o valor obtido. 0
32
3
108
Te
m
a7 Números Complexos
1. Introdução aos números complexos. 
Operar com números complexos
Números complexos na forma a + bi , a, b åR
Podemos representar um número complexo z na forma a + bi , a, b åR .
A a dá-se o nome de parte real de z e representa-se por Re 1z2 .
A b dá-se o nome de parte imaginária de z e representa-se por Im 1z2 .
Ao número complexo i dá-se o nome de unidade imaginária e tem-se i2 = - 1 .
Tem-se: Números complexos 
a
b
c
Números reais
Números imaginários ab
c
Puros
Não puros
Dado um número complexo z , tem-se:
z é real § Im 1z2 = 0
z é imaginário § Im 1z2 0 0
z é imaginário puro § Im 1z2 0 0 ‹ Re 1z2 = 0
Exemplos:
1. Seja z = 2 + 3i . Tem-se:
Re 1z2 = 2 , ou seja, a parte real de 2 + 3i é 2;
Im 1z2 = 3 , ou seja, a parte imaginária de 2 + 3i é 3.
2. Seja w = - 4i , ou seja, w = 0 - 4i . Tem-se:
Re 1w2 = 0 , ou seja, a parte real de - 4i é 0;
Im 1w2 = - 4 , ou seja, a parte imaginária de - 4i é - 4.
3. Seja x = 5 , ou seja, x = 5 + 0i . Tem-se:
Re 1x2 = 5 , ou seja, a parte real de 5 é 5;
Im 1x2 = 0 , ou seja, a parte imaginária de 5 é 0.
Dos três números anteriores 12 + 3i , - 4i e 52, dois são números imaginários 
12 + 3i e - 4i2 e um é um número real (5). 
Dos dois números imaginários, um deles é imaginário puro 1- 4i2.
Igualdade de números complexos
Tem-se: a + bi = c + di § a = c ‹ b = d 1a, b, c, d åR2
Exemplo:
- 1 + bi = a - 7i § a = - 1 ‹ b = - 7
110
1. Indica a parte real e a parte imaginária de cada um dos seguintes números complexos:
a) 3 + 4i b) "2 - p i c) 1
2
+ i
d) - 2 
"3
5
- 7
8
 i e) 9i f) - i
g) 7 h) - 1
5
2. Para cada um dos seguintes números complexos, indica se ele é real ou se é imaginário.
No caso de considerares que é imaginário, indica se é imaginário puro.
a) 4 + i Imaginário b) 9 - 9i Imaginário c) 8i Imaginário puro
d) 6 Real e) - 4i Imaginário puro f) 6 -"3 Real
g) 
1
2
+ 3"5 Real h) 1
5
 i Imaginário puro
3. Seja z = a + 4
3
 i , em que a designa um número real.
Determina a , sabendo que Re 1z2 + Im 1z2 = 8
15
 . - 4
5
4. Seja w = x + 3 + 1x + 42 i , em que x designa um número real positivo.
Determina o valor de x , sabendo que Re 1w2 * Im 1w2 = 30 . 2
5. Seja z um número complexo tal que:
Re 1z2 < 0 ‹ Im 1z2 < 0 ‹ Re 1z2 = 2 Im 1z2‹ Re 1z2 * Im 1z2 = 50
Determina z . - 10 - 5i
6. Seja A = 5- 2, 1, 36 e seja B = 5z åC : z = 1a - 32 + 1a + 22 i ‹ a å A6 .
a) Define o conjunto B em extensão. B = 5- 5, - 2 + 3i, 5i6
b) Indica quais são os elementos de B que são imaginários e, de entre estes, qual é imagi-
nário puro. - 2 + 3i e 5i são imaginários, sendo 5i imaginário puro.
7. Seja A = 5z åC : z = x + 1x3 - 4x2 i ‹ x åR6 .
a) Determina os valores de x para os quais os elementos do conjunto A são números 
reais. - 2, 0 e 2
b) Justifica que qualquer elemento de A que não é real também não é imaginário puro.
8. Considera o conjunto A = 5- 1, 0, 16 .
Seja f : A " R a função definida pela tabela ao lado.
Seja B = 5z åC : z = x + f 1x2 i ‹ x å A6 .
Indica qual é o elemento de B que é um número:
a) imaginário puro; 3i b) imaginário não puro; c) real. - 1
9. Seja A = 5z åC : fRe 1z2 - 2g fIm 1z2 + 3g = 06 .
a) Indica o elemento do conjunto A que é um número real. 2
b) Indica o elemento do conjunto A que é um número imaginário puro. - 3i
c) Indica três elementos do conjunto A que sejam números imaginários não puros.
x - 1 0 1
f 1x2 0 3 6
1 + 6i
2 + 5i , 2 - 3i , 1 - 3i (por exemplo)
111
Tema 7 | Números Complexos
10. Sejam a e b números reais tais que a +"12 i = 2a - 3 + b"3 i .
Seja z = a + bi . Determina z . 3 + 2i
11. Determina os números reais x e y tais que:
a) 2x + y + 1x - 2y2 i = 1 - 7i x = - 1 e y = 3
b) x + x3 i = - y + 1y3 + 162 i x = 2 e y = - 2
12. Seja z = x
x + 1
+ x + 1x i , em que x designa um número real diferente de 0 e de - 1.
Seja w = 3a - 2bi , em que a e b designam números reais.
Sabe-se que Re 1z2 = Im 1z2 e que w = z .
Seja v = a + bi . Determina v . - 1
3
+ 1
2
 i
Adição e multiplicação de números complexos
Podemos adicionar e multiplicar números complexoscomo se fossem polinómios em i 
e ter em conta que i 2 = - 1 .
Exemplos:
1- 2 + 5i2 + 13 - 6i2 = - 2 + 3 + 5i - 6i = 1 - i
1- 2 + 5i2 * 13 - 6i2 = - 6 + 12i + 15i - 30i2 = - 6 + 27i - 30 * 1- 12 = 24 + 27i
Potência de um número complexo 
(expoente pertencente N0)
Define-se zn , com z åC e n åN , da seguinte forma: z1 = z e, se n > 1 , zn = z * … * z
 tuv
 n vezes
Define-se ainda z0 , com z åC \ 506 , do seguinte modo: z0 = 1 .
As regras das potências mantêm-se válidas em C .
Tem-se:
i 0 = 1 , i 1 = i , i 2 = - 1 , i 3 = - i , i 4 = 1 , …
i 4n +p = i p , com n e p pertencentes a N0
Exemplos:
i 23 = i 4 * 5 + 3 = i 3 = - i i 40 = i 4 * 10 + 0 = i 0 = 1
A fórmula do desenvolvimento de uma potência de um binómio (fórmula do binómio de 
Newton) mantém-se válida em C .
Exemplo:
12 + 3i24 = 24 + 4 * 23 * 13i21 + 6 * 22 * 13i22 + 4 * 21 * 13i23 + 13i24 =
 = 16 + 4 * 8 * 3i + 6 * 4 * 9i2 + 4 * 2 * 27i3 + 81i4 =
 = 16 + 96i - 216 - 216i + 81 = - 119 - 120i
112
13. Efetua as seguintes operações e simplifica o mais possível os resultados.
a) 18 + 9i2 + 1- 3 + i2 5 + 10i b) 1- 6 + 4i2 + 1- 4 - i2 - 2i - 10 + i
c) 14 - 5i2 - 16 - 2i2 - 2 - 3i d) 8 - a1
2
- 1
2
 ib 15
2
+ 1
2
 i
e) a1
4
- 3ib + a3
2
- 1
5
 ib - a5
6
- 8
15
 ib 11
12
- 8
3
 i f) 2 * 1- 3i2 - 6i
g) 8i * 1- 7i2 56 h) - 3 14 + 9i2 - 12 - 27i
i) - 6i 18 - 9i2 - 54 - 48i j) 15 - 2i2 13 + 4i2 23 + 14i
k) 13 + 8i2 13 - 8i2 73 l) a3
4
+"3 ib a5
2
+"12 ib - 33
8
+ 4"3 i
m) 12 - 3i22 13 - i2 - 3i 13 + 10i2 3 - 40i
14. Determina os números reais x e y que verificam cada uma das seguintes igualdades.
a) 2i 1x + yi2 - 12 - 3i2 = - 10 + 9i b) 15 - 4i2 1x - yi2 + 2i 16 - i2 = 5 1- 4 + i2
15. Efetua as seguintes operações e simplifica o mais possível os resultados.
a) 2i3 - 3i4 - 3 - 2i b) i 14i - 32 - i5 - 4 - 4i c) i27 - i3 1i - 2i132 1 - i
d) 3i7 - 5i10 + 7i13 - 9i15 e) 19i17 + 2i422 14i28 + 3i352 f) 11 + 4i23 - 17i90 - 8i372
g) 11 + 2i22 12 - 3i22 h) 11 - 2i24 - 7 + 24i i) 11 + 3i22 11 + 3i23 11 - 3i25
j) f11 + i25g2 11 - i210 1024 k) 12 + i28 13 + i28 * 5 - 611 + i25
x = 3 e y = 4 x = - 2 e y = 3
5 + 13i
19 + 42i
- 40 - 44i
63 + 16i 100 000
- 50 + 50i
Representação de um número complexo num referencial 
ortonormado
Dado um plano munido de um referencial ortonormado 
direto e sendo a e b números reais, ao ponto de coorde-
nadas 1a , b2 dá-se o nome de afixo do número complexo 
z = a + bi .
Neste contexto, esse plano é designado por plano com-
plexo ou plano de Argand.
Ao eixo das abcissas dá-se o nome de eixo real.
Ao eixo das ordenadas dá-se o nome de eixo imaginário.
Exemplo:
Na figura estão representados, no plano de Argand, os 
afixos dos seguintes números complexos:
2 + i (ponto A) 2i (ponto B)
- 3 (ponto C) - 1 - 3i (ponto D)
b
a
Eixo
imaginário
Afixo de
a + bi
Eixo
real
O
Re (z)
Im (z)
1
B
D
C
A
1O
continua
113
Tema 7 | Números Complexos
16. Representa, no plano de Argand, os afixos dos seguintes números com-
plexos (designando--os pelas letras indicadas).
A " 5 + 2i B " 4 - i C " 3i D " - 6 
 
E " - 1 - 4i F " - i G " 2
17. Indica o módulo de cada um dos seguintes números complexos.
a) "6 "6 b) - p p c) 8i 8 d) - 5
3
 i 5
3
18. Calcula o módulo de cada um dos seguintes números complexos.
a) "7 + 3i 4 b) - 8 - 6i 10 c) "15
7
- i 8
7
d) 3i - Q2"2 + 4i R e) 12 - i 22 + 5i 
19. Seja z um número complexo não nulo e seja P o afixo de z .
Seja w um número complexo tal que:
o seu afixo Q pertence à mediatriz do segmento de reta fOPg ;
o perímetro do triângulo fOPQg é igual a 20 (O designa a origem do referencial);
o módulo de w é igual a 7.
Determina o módulo de z . 6
3 "10
continuação
Módulo de um número complexo
Dado um número complexo z = a + bi , dá-se o nome de mó-
dulo de z , e representa-se por 0z 0 , à medida da distância, 
no plano de Argand, entre a origem e o afixo de z .
Tem-se 0z 0 ="a2 + b2 .
Um número complexo diz-se unitário se o seu módulo for igual a 1.
Exemplos:
02 0 = 2 0- 6 0 = 6 08i 0 = 8 0- 7i 0 = 7 03 - 4i 0 ="32 + 1- 422 = 5
Os números complexos 1, i , - 1 e - i são unitários.
O número complexo - 1
2
+
"3
2
 i também é unitário, pois Åa- 12b
2
+ a"3
2
b
2
 = 1 .
Propriedades
Sejam z e w números complexos. Tem-se:
0z w 0 = 0z 0 0w 0 ` z
w
` = 0z 00w 0
0z + w 0 ≤ 0z 0 + 0w 0 0z 0 = 0 § z = 0
(desigualdade triangular)
se Z é o afixo de z e W é o afixo de w , então ZW = 0z - w 0 .
Re (z)
Im (z)
b
a
Z
|z |
O
Re (z)
Im (z) W
Z
|z –
 w |
O
1
B
D
C
A
1O
G
F
E
Re (z)
Im (z)
114
20. Determina os números complexos z tais que 0z2 + 2iz 0 = 0 . 0 e - 2i
21. Seja z um número complexo. Justifica que:
a) 0z3 - 4z 0 = 0z 0 0z + 2 0 0z - 2 0 b) 0z2 0 = 0z 0 2
22. Sejam z e w números complexos. Justifica que 0z - w 0 ≤ 0z 0 + 0w 0 .
Conjugado de um número complexo
Dado um número complexo z = a + bi , dá-se o nome de conjugado de z ao número 
complexo z = a - bi .
Exemplos:
3 + 4i = 3 - 4i - 2 - i = - 2 + i 5i = - 5i 7 = 7
Propriedades
Sejam z e w números complexos. Tem-se:
z + w = z + w z * w = z * w z = z 
Re 1z2 = z + z
2
 e Im 1z2 = z - z
2i
se z 0 0 , então:
z é um número real se e só se z = z ;
z é um número imaginário puro se e só se z = - z .
0z 0 = 0z 0 z z = 0z 0 2
Divisão de números complexos. Inverso de um número 
complexo não nulo
O quociente de z por w 1w 0 02 pode ser obtido multiplicando ambos os termos da fra-
ção z
w
 pelo conjugado do denominador a z
w
= z w
w w
= z w0w 0 2b .
Em particular, tem-se que o inverso de w 1w 0 02 é 1
w
= w
w w
= w0w 0 2 .
Exemplos:
8 + i
1 + 2i
=
18 + i2 11 - 2i2
11 + 2i2 11 - 2i2 =
8 - 16i + i + 2
1 + 4
= 10 - 15i
5
= 2 - 3i
1
3 - i
= 3 + i13 - i2 13 + i2 =
3 + i
9 + 1
= 3 + i
10
= 3
10
+ 1
10
 i
Propriedades
Sejam z e w números complexos, com w 0 0 . Tem-se:
` z
w
` = 0z 00w 0 a zwb = zw
115
Tema 7 | Números Complexos
23. Indica o conjugado de cada um dos seguintes números complexos:
a) 9 + 5i 9 - 5i b) - 10 -"3 i c) - 3
2
 i 3
2
 i
d) p i - p i e) 8 8 f) "5 +"2 "5 +"2
24. Efetua as seguintes operações e simplifica o mais possível os resultados.
a) 
7
2
- 3i + 7
2
- 3i 7 b) 8 + 5i - 1 - 3 + i 2 c) 2 19 + i2 + i 1i - 42
d) 12 + 3i2 a5 + 1
2
 ib e) 14 + 9i2 14 + 9i2 - a"5 - 1
3
 ib a"5 - 1
3
 ib 
f) 11 + 3i22 1- 8 + 6i2 g) a
20
k = 1
 Q"2k - 1 + i R Q"2k - 1 + i R
25. Para cada número real x , considera o número complexo z = x2 - 6 + 4xi - 1x + x3 i2 .
Determina o(s) valor(es) de x para o(s) qual(quais):
a) z é um número real; - 2, 0 e 2
b) z é um número imaginário puro. 3
26. Determina os números reais x e y tais que:
a) 2 + yi + 13x - 4i2 = 8 - 9i x = 2 e y = 5
b) i22 + 2 1x - 3yi2 = 3 i51 Q"3 + 2i R Q"3 + 2i R x = 1
2
 e y = - 7
2
c) x + yi + 1x - yi2 = x2 - 3 + 2 * 12 + 5i2 x = 1 e y = - 5
d) 1x + yi22 + 8y - 12i = 8 + 1x + yi2 1x + yi2 x = - 3 e y = 2
27. Determina, na forma a + bi 1a, b åR2, as soluções das seguintes equações:
a) 3 z + 9 = 6i - 3 - 2i b) z + 2 z + 5i = 12 4 + 5i c) z2 + 4z - 1z22 = 8 1- 1 + 2i2
28. Considera o número complexo w = - 4 + 3i .
Sejam P e Q , respetivamente, os afixos dos números complexos w e w .
Seja z = a + 6i , em que a designa um número real positivo e seja R o afixo de z .
Determina o valor de a , sabendo que a área do triângulo fPQRg é igual a 36. 8
29. Seja z um número complexo. Justifica que 1- z2 = - z .
30. Seja z um número complexo diferente de zero.
Sejam P e Q , respetivamente, os afixos dos números complexos z e z .
Justifica que a origem do referencial pertence à mediatriz do segmento de reta fPQg .
31. Sejam z e w números complexos. Mostra que 0z + w 0 = 0z + w 0 .
32. Seja z um número complexo. Mostra que:
a) 1z + z 22 - 1z - z 22 = 4 0z 0 2
b) 1 0z 0 + 0z 0 22 = 4 z z
c) 0z + i 0 2 = 0z 0 2 + 2 Im 1z2 + 1
- 10 +"3 i
11 +4i 19 - 6i
23
2
+ 14 i 827
9
100 420
- 2 - 4i
116
33. Seja z um número complexo cujo afixo pertence à bissetriz dos quadrantes pares. Justifica 
que o afixo do número complexo zi também pertence à bissetriz dos quadrantes pares.
34. Seja z um número complexo tal que z = zi .
Justifica que o afixo de z pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.
35. Seja z um número complexo tal que Re 1z2 0 Im 1z2 .
Sejam P e Q , respetivamente, os afixos dos números complexos z e zi .
Justifica que a mediatriz do segmento de reta fPQg é a bissetriz dos quadrantes ímpares.
36. Sejam z e w números imaginários, não puros, cujos afixos pertencem a uma circunfe-
rência c centrada no ponto O , origem do referencial. Seja P o afixo de z e seja Q o 
afixo de w . 
Sabe-se que o segmento de reta fPQg é um diâmetro da circunferência c .
Sejam R e S os afixos dos números complexos z e w , respetivamente.
Justifica que:
a) os pontos R e S pertencem à circunferência c ;
b) o segmento de reta fRSg é um diâmetro da circunferência c .
37. Determina, na forma a + bi 1a, b åR2, o inverso de cada um dos seguintes números com-
plexos:
a) 1 - i 
1
2
+ 1
2
 i
b) 2 + 4i 
1
10
- 1
5
 i
c) "2 - 2i 
 
d) 1
4
+ 1
3
 i 
36
25
- 48
25
 i
e) 3i 
- 1
3
 i
f) - 2
5
 i 
5
2
 i
38. Sejam z e w números complexos tais que 0z 0 = 0w 0 = 1
2
 .
Mostra que 1z +
1
w = 4 1 z + w 2 .
39. Seja z um número complexo não nulo.
Mostra que 1z +
1
z
=
2 Re 1z2
0z 0 2 .
40. Efetua as seguintes operações e simplifica o mais possível os resultados.
a) 
6i
2 + 3i
b) 
5 - 4i
3i
c) 
3 + 5i
1 + 3i
d) 
2 + i
- 3 - 4i
e) 
5 - 6i - 7i2 - 8i3
1 + 2i + 3i2 - 4i3
f) 
8i
2 - i
+ 2i g) 5 - i
5 + i
- i
26 + 21 i37
13
41. Considera, para cada número real x , o número complexo z = x + 2i
1 - i
- 11 - 5i2 .
Determina o valor de x para o qual:
a) z é um número imaginário puro; 4
b) z é um número real. - 12
42. Seja z um número complexo não nulo tal que 
z - i
z + i
 é um número real. Mostra que z é 
imaginário puro.
"2
6
+ 1
3
 i
- 2
5
+ 1
5
 i18
13
+ 12
13
 i - 4
3
- 5
3
 i 9
5
- 2
5
 i
- 3
10
- 19
10
 i
- 8
5
+ 26
5
 i 1 - 2i
117
2. Forma trigonométrica de um número 
complexo
Argumento de um número complexo
Argumento de um número complexo não nulo é a medi-
da da amplitude (em radianos) de um ângulo generalizado 
cujo lado origem é o semieixo positivo das abcissas e cujo 
lado extremidade é a semirreta que tem origem no ponto O 
e que passa no afixo de z .
Exemplo:
3p
4
 e - 5p
4
 são argumentos do número complexo z = - 1 + i .
Dados dois argumentos de um mesmo número complexo, eles diferem de 2kp , para um 
certo número inteiro k . Assim, sendo a um argumento de z , tem-se que a expressão 
geral dos argumentos de z é a + 2kp, k åZ .
Exemplo:
A expressão geral dos argumentos de - 1 + i é 3p
4
+ 2kp, k åZ .
Chama-se argumento principal de um número complexo não nulo ao argumento que 
pertence ao intervalo g- p, pg .
Designa-se por Arg 1z2 o argumento principal de z .
Exemplo:
Arg 1- 3i2 = - p
2
Seja z um número complexo unitário 1 0z 0 = 12.
Tem-se, então, que a é um argumento de z se e só se 
z = cos a + i sen a .
A expressão cos a + i sen a é habitualmente abreviada por cis a .
Exemplo:
Seja z = 1
2
-
"3
2
 i .
z é um número complexo unitário, pois 0z 0 =Ça12b
2
+ a-"3
2
b
2
= 1 .
Tem-se: z = cos a- p
3
b + i sen a- p
3
b = cis a- p
3
b
- p
3
 é um argumento de z .
Re (z)
Im (z) Z
�
O
Z
3�
—
4
 5�
– —
 4
O Re (z)
Im (z)
O
–3i
 �– —
 2
Re (z)
Im (z)
Z
O
�
cos � 1
sen �
Re (z)
Im (z)
118
43. Na figura está representado, no plano complexo, um ponto P , 
afixo de um certo número complexo z .
O ângulo orientado representado na figura tem por lado origem 
o semieixo real positivo e por lado extremidade a semirreta O
.
P . 
A sua amplitude é 5p
18
 radianos.
a) Indica o argumento do número complexo z que pertence ao 
intervalo f0, 2pf . 5p
18
b) Escreve a expressão geral dos argumentos de z . 5p
18
+ 2kp, k åZ
c) Indica o argumento do número complexo z que pertence ao intervalo:
c1) f2p, 4pf 
41p
18
c2) f4p, 6pf 
77p
18
c3) f- 2p, 0f -
31p
18
44. Considera, no plano complexo, um ponto X no semiei-
xo real negativo, um ponto Z no segundo quadrante e
um ponto W no primeiro quadrante, tais que XOWZ = p
5
 
e ZOWW = 5p
8
 (ver figura ao lado).
Sejam x , z e w os números complexos cujos afixos são 
os pontos X , Z e W , respetivamente.
a) Indica o argumento principal de x . p
b) Indica o argumento de z que pertence ao intervalo f0, 2pf . 4p
5
c) Indica o argumento de w que pertence ao intervalo f- 2p, 0f . - 73p
40
45. Para cada um dos seguintes números complexos, representa o seu afixo no plano de 
Argand e, tendo apenas em conta essa representação, indica o seu argumento principal.
a) 2 + 2i b) - 2i c) - 2 - 2i d) - 2 
46. Seja z = cos p
7
+ i sen p
7
 .
a) Indica o argumento do número complexo z que pertence ao intervalo f0, 2pf . p
7
b) Escreve a expressão geral dos argumentos de z . p
7
+ 2kp, k åZ
c) Indica o argumento do número complexo z que pertence ao intervalo:
c1) f2p, 4pf 
15p
7
c2) f4p, 6pf 
29p
7
c3) f- 2p, 0f -
13p
7
47. Indica o argumento principal de cada um dos seguintes números complexos.
a) 
1
2
+
"3
2
 i p
3
b) -
"3
2
+ 1
2
 i 5p
6
c) - 1
2
-
"3
2
 i d) 
"3
2
- 1
2
 i
48. Seja z um número complexo unitário e seja q um seu argumento.
Sabe-se que q å gp, 2pf e que tg q = 4
3
 . Escreve z na forma a + bi 1a, b åR2.
49. Será que todos os números complexos não nulos que têm os seus afixos pertencentes à bis-
setriz dos quadrantes ímpares têm o mesmo argumento principal? Justifica a tua resposta.
50. Sejam a e b dois argumentos de um mesmo número complexo, tais que a > b .
Justifica que 
a - b
p designa um número natural par.
O
P
5�
—
18
Re (z)
Im (z)
O
WZ
X
5�
—
8�
—
5
Re (z)
Im (z)
- 2p
3
- p
6
- 3
5
- 4
5
 i
119
Tema 7 | Números Complexos
Exponencial complexa
Seja a um número real.
Define-se eia da seguinte forma: eia = cos a + i sen a = cis a .
A expressão eia designa-se por exponencial complexa de ia .
Exemplos:
e
i
 
p
3 = cis p
3
= cos p
3
+ i sen p
3
= 1
2
+
"3
2
 i eip = cis p = cos p + i sen p = - 1 + 0i = - 1
Propriedades: 
eia * eib = eia + ib e
ia
eib
= eia - ib
Forma trigonométrica de um número complexo
Seja z = a + bi um número complexo não nulo.
Seja a um argumento de z . Tem-se cos a = a0z 0 e 
sen a = b0z 0 , donde vem z = 0z 0 1cos a + i sen a2 = 0z 0 eia .
A esta forma de escrever um número complexo não nulo dá-se o nome de forma trigo-
nométrica.
Se a 0 0 , tem-se tg a = b
a
 .
Exemplos:
2e
i
 
p
6 = 2 acos p
6
+ i sen p
6
b = 2 a"3
2
+ 1
2
 ib ="3 + i
3e
i
 
p
2 = 3i - 5 = 5eip 6 = 6ei0
4 -"48 i = 8e - i p3 . De facto, tem-se:
04 -"48 i 0 =$42 + Q-"48 R2 ="16 + 48 = 8 ;
sendo q um argumento de 4 -"48 i tem-se 
tg q = -"48
4
= -"3 ; 
como o afixo de 4 -"48 i pertence ao quarto quadrante
e tg q = -"3 , vem que um valor possível para q é - p
3
 .
Propriedade (igualdade de números complexos na forma trigonométrica)
Para r1 , r2 åR+ e para q1 , q2 åR , tem-se:
r1 eiq1 = r2 eiq2 § r1 = r2 ‹ q1 = q2 + 2kp, k åZ
O
b
a
Z
|z|
�
Re (z)
Im (z)
O
– √
_
48
4
 �
– —
 3
Re (z)
Im (z)
120
51. Escreve cada um dos seguintes números complexos na forma ei q (apresenta sempre o 
argumento principal).
a) cos p
7
+ i sen p
7
b) 
"2
2
+
"2
2
 i e
i
 
p
4 c) - i e
- i
 
p
2 d) cos p
5
- i sen p
5
52. Escreve cada um dos seguintes números complexos na forma trigonométrica (apresenta 
sempre o argumento principal).
a) 4 4ei0 b) 7i 7e
i
 
p
2 c) - 12 12eip d) - 9i 9e
- i
 
p
2
e) 3 + 3i 3"2ei p4 f) - 2 +"12 i g) -"3 - i 
53. Escreve cada um dos seguintes númeroscomplexos na forma x + yi 1x, y åR2.
a) 6e
i
 
p
2 6i b) 5e
i
 
3p
2 - 5i c) 3eip - 3
d) "8ei p4 2 + 2i e) 2ei p3 1 +"3i f) 3ei 7p6 
54. Para cada um dos seguintes números complexos, determina-o na forma x + yi 1x, y åR2 
e, em seguida, escreve-o na forma trigonométrica (apresenta sempre o argumento princi-
pal).
a) 
1 + i
2i
 "2
2
 e
- i
 
p
4 b) 
- 2i
i + 1
 "2 e - i 3p4 c) 2 + i
3 - i
 "2
2
 e
i
 
p
4 d) 1i - 223 - 9i
55. Considera o número complexo z =#"6 +"3 -#"6 -"3 i .
Determina, na forma a + bi 1a, b åR2 e na forma trigonométrica, o número complexo z2 .
56. De um certo número complexo z , sabe-se que:
0z 0 = 4
Im 1z2 < 0
Im 1z2 = -"3 Re 1z2
Escreve z na forma trigonométrica. 4 e
- i
 
p
3
57. Seja z ="52 eia , em que a é o número real pertencente ao intervalo f- p, 0g tal que 
tg a = 2
3
 . Escreve z na forma x + yi 1x, y åR2. - 6 - 4i
58. Seja z = 1
cos q e
i ap
2
- qb
 , em que q é um número real pertencente ao intervalo d - p
2
, p
2
 c .
Mostra que se tem:
a) z = tg q + i
b) 2 + z2 = 1
cos2 q
 f1 + i sen 12q2g
59. Seja z =
i - tg q
i + tg q , em que q é um número real pertencente ao intervalo d -
p
2
, p
2
 c .
Mostra que z = e2iq .
60. Determina råR+ e q å f0, 2pf tais que r eiq = 5 acos 13p
5
+ i sen 13p
5
b . r = 5 ‹ q = 3p
5
61. Determina råR+ e q å f3p, 5pf tais que r eiq = - 6 +"12 i . r = 4"3 ‹ q = 29p
6
2"2 ei 3p4
2"6 e - i p4
e
i
 
p
7 e
- i
 
p
5
4e
i
 
2p
3 2e
- i
 
5p
6
- 3
"3
2
- 3
2
 i
121
Tema 7 | Números Complexos
62. Considera os números complexos z = 6 e
i
 
3p
5 e w = 3 e
i
 
11p
15 .
Escreve na forma trigonométrica os seguintes números complexos:
a) - z 
6 e
i
 
8p
5
b) z 
6 e
- i
 
3p
5
c) zw 
18 e
i
 
4p
3
d) wz 
1
2
 e
i
 
2p
15
e) 1z 
1
6
 e
- i
 
3p
5
f) w5 
243 e
i
 
11p
3
63. Considera os números complexos z1 ="3 2 ei 
5p
36 e z2 =
12"12 ei 5p18 .
Seja w = 1z126 + 1z226 .
a) Escreve o número complexo w na forma a + bi 1a, b åR2 e na forma trigonométrica.
b) Escreve, na forma trigonométrica e na forma a + bi 1a, b åR2, o número complexo w4.
64. Escreve, na forma trigonométrica e na forma a + bi 1a, b åR2, os seguintes números com-
plexos:
a) a"3 - 2i - 1
i
b5 - 16"3 - 16 i b) a - 2i * ei 
p
6
- 1 -"3 i b
8
 - 1
2
+
"3
2
 i
65. Seja z = 3 - 4i e seja w = 2 eia , aå f0, 2pf .
Determina os valores de a para os quais - 3w 1z - i32 é imaginário puro. 3p
4
 e 7p
4
66. Seja a um argumento de um número complexo z , não nulo. 
Mostra que 
z
z
 -
z
z = 2 sen 12a2 i .
67. Seja z = 1
2
-
"3
2
 i . Mostra que z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6 = 0 .
68. Mostra que An åN, a-"3
2
+ 1
2
 ib
12n + 3
- a-"3
2
- 1
2
 ib
12n + 3
= 2i .
69. Determina råR+ e q å f2p, 4pf tais que r eiq * 8 e
i
 
3p
7 = -"8 -"8 i . r = 1
2
 e q = 79p
28
70. Seja z = r eiq aråR+ e q å cp, 3p
2
db . Determina r e q , sabendo que
Q"2 +"2 i R z3 = 16 ei 7p4 . r = 2 e q = 7p
6
71. Resolve, em C , as seguintes equações. Apresenta as soluções não nulas na forma trigo-
nométrica.
a) 0z 0 z3 = - 16 b) z3 = 9 z c) z5 = - 8 0z 0 z d) z3 = 3i 1 z 22
Operações com números complexos na forma 
trigonométrica
Para r, r1, r2 åR+ e para q, q1, q2 åR , tem-se:
- r eiq = r ei 1p + q2 r eiq = r ei 1- q2 1r1 eiq12 1r2 ei q22 = 1r1 r22 ei 1q1 + q22
r1 eiq1
r2 eiq2
=
r1
r2
 ei 1q1 - q22 1r eiq2n = rn einq , pelo que 0zn 0 = 0z 0n 1n åN2
122
3. Raízes de um número complexo
Raízes de um número complexo
Dado um número natural n ≥ 2 e um número complexo w , diz-se que z é uma raiz de 
índice n de w se zn = w .
Se w = r eiq 1r > 0 e q åR2, existem n raízes de índice n de w 1z0, z1, … , zn - 12, tendo- 
-se zk ="n r ei 
q + 2kp
n , k = 0, 1, …, n - 1 .
Propriedade:
Os afixos das raízes de índice n de r eiq 1r > 0 e q åR2 dispõem-se ao longo de uma 
circunferência de centro na origem e raio igual a "n r .
Se n > 2 , esses afixos são vértices de um polígono regular de n lados. Tal deve-se 
ao facto de os argumentos das raízes de índice n de r eiq 1r > 0 e q åR2 estarem em 
progressão aritmética de razão 2p
n
 .
Exemplo:
As raízes de índice 5 de 32i são os números complexos z tais que z5 = 32i .
Como 32i = 32 e
i
 
p
2 , tem-se que as cinco raízes de índice 5 de 32i são dadas por
"5 32 ei 
p
2
+ 2kp
5 = 2 e
i
 
p + 4kp
10 , k = 0, 1, 2, 3, 4 , ou seja, são:
2 e
i
 
p
10 , 2 e
i
 
p
2 , 2 e
i
 
9p
10 , 2 e
i
 
13p
10 , 2 e
i
 
17p
10 
No plano de Argand, os afixos destas cinco raízes de índi-
ce 5 de 32i dispõem-se ao longo de uma circunferência 
de centro na origem e raio 2, sendo vértices do pentágono 
regular representado na figura ao lado.
O
2
Re (z)
Im (z)
72. Determina as raízes cúbicas de 64 e
i
 
6p
5 , apresentando-as na forma trigonométrica.
73. Determina as raízes quartas de - 81
2
+ 81
"3
2
 i , apresentando-as na forma x + yi 1x, y åR2.
74. Resolve, em C , as seguintes equações. Apresenta as soluções não nulas na forma trigo-
nométrica.
a) z3 = 16z 2 e
i0 , 2 e
i
 
p
2 , 2 eip , 2 e
i
 
3p
2 b) z5 - zi = 0 0 , e
i
 
p
8 , e
i
 
5p
8 , e
i
 
9p
8 , e
i
 
13p
8
c) z3 + 64 e
i
 
3p
5 = 0 e
i
 
8p
15 , e
i
 
6p
5 , e
i
 
28p
15 d) 1z2 + 92 1z3 - 82 = 0
4 e
i
 
2p
5 , 4 e
i
 
16p
15 , 4 e
i
 
26p
15 
3 e
i
 
p
2 , 3 e
i
 
3p
2 , 2 ei0 , 2 e
i
 
2p
3 , 2 e
i
 
4p
3
3"3
2
+ 3
2
 i , - 3
2
+ 3
"3
2
 i ,
- 3
"3
2
- 3
2
 i , 3
2
- 3
"3
2
 i
123
Tema 7 | Números Complexos
75. Determina as raízes quadradas de - 21 + 20i , apresentando-as na forma x + yi 1x, y åR2.
76. De um número complexo w sabe-se que uma raiz sexta é 1
3
 e
i
 
p
5 . Determina, na forma 
trigonométrica, as restantes raízes sextas de w .
77. Considera o número complexo w = 8 e
- i
 
2p
3 . Determina as raízes quadradas do número 
complexo w
- 4w
 , apresentando-as na forma trigonométrica e na forma a + bi 1a, b åR2.
78. Considera os números complexos z = 5 -"6 i e w = -"6 + 5i . Determina as raízes 
cúbicas do número complexo 1"2 *
z + w
5 -"6 , apresentando-as na forma trigonométrica.
79. Considera os números complexos: 
z1 = e
i
 
11p
12 , z2 = e
i
 
p
6 , z3 ="2 +"2i
a) Determina 
z1
z2
 na forma trigonométrica e na forma a + bi 1a, b åR2.
b) Determina z2 na forma a + bi 1a, b åR2. "32 + 12 i
c) Determina 
z3
z2
 na forma a + bi 1a, b åR2. "6 +"2
2
+
"6 -"2
2
 i
d) Seja z =
z1
z2
+
z3
z2
 . Determina z na forma a + bi 1a, b åR2. "6
2
+
"6
2
 i
e) z é uma raiz quarta de w . Determina w na forma trigonométrica e na forma 
a + bi 1a, b åR2. 9 ei p = - 9
f) Sejam P e Q , respetivamente, os afixos de z e de w . Determina a área do triângulo
fOPQg . 9"6
4
80. Seja w = r eiq um número complexo não nulo. Seja n um número natural maior do que 1.
Sejam z0, z1, …, zn - 1 as raízes índice n de w . 
Mostra que:
a) as raízes índice n de w estão em progressão geométrica de razão e
i
 
2p
n ;
b) z0 + z1 + … + zn - 1 = 0
c) z0 * z1 * … * zn - 1 = 1- 12n - 1w
81. Seja w um número complexo não nulo. Sabe-se que "3 + i é uma raiz de índice 5 de w .
a) Determina, na forma trigonométrica, as raízes quintas de w .
b) Determina o perímetro do pentágono regular cujos vértices são os afixos das raízes 
quintas de w .
Apresenta o resultado na forma a sen p
5
 . 20 sen p
5
2 + 5i , - 2 - 5i
1
3
 e
i
 
8p
15 , 1
3
 e
i
 
13p
15 , 1
3
 e
i
 
6p
5 , 1
3
 e
i
 
23p
15 , 1
3
 e
i
 
28p
15
e
i
 
p
12 , e
i
 
3p
4 , e
i
 
17p
12 
2 e
i
 
p
6 , 2 e
i
 
17p
30 , 2 e
i
 
29p
30 , 2 e
i
 
41p
30 , 2 e
i
 
53p
30
1
2
 e
i
 
p
6 =
"3
4
+ 1
4
 i , 1
2
 e
i
 
7p
6 = -
"3
4
- 1
4
 i
e
i
 
3p
4 = -
"2
2
+
"2
2
 i
124
84. Determina, em C , as soluções das seguintes equações:
a) z2 - 6z + 18 = 03 + 3i e 3 - 3i
b) 5z2 + 2z + 2 = 0 - 1
5
+ 3
5
 i e - 1
5
- 3
5
 i
c) z2 +"3z + 7 = 0 -"3
2
+ 5
2
 i e -
"3
2
- 5
2
 i
85. Considera o polinómio x3 + 6x + 20 .
Verifica que - 2 é uma raiz do polinómio e determina, em C , as restantes as raízes do 
polinónio.
Equações do segundo grau
Dada uma equação do segundo grau, ax2 + bx + c = 0 1a, b, c åR2, se o binómio discri-
minante b2 - 4ac for negativo, a equação tem duas soluções em C , que são dadas por:
z1 =
- b - i " 0b2 - 4ac 0
2a
 e z2 =
- b + i " 0b2 - 4ac 0
2a
Note-se que z1 e z2 são conjugados um do outro.
82. Seja a um número real maior do que 1. Sabe-se que:
os afixos de a e de - a são os extremos do eixo maior de uma elipse;
os afixos das raízes quartas de a são os focos e os restantes vértices dessa elipse.
Determina a . "3 4
83. Os afixos das raízes de índice 6 de um número complexo z são vértices de um polígono 
de área 6"3 .
Um dos vértices desse polígono pertence à bissetriz do segundo quadrante.
Determina z na forma a + bi 1a, b åR2. 64i
125
4. Operar com números complexos e transformações geométricas. 
Condições em C e sua representação no plano complexo
Operações com números complexos e transformações 
geométricas
Sejam z e w números complexos.
Adição
Sendo Z o afixo de z e W o afixo de w , adicionar os 
números complexos z e w corresponde a aplicar a Z a 
translação associada ao vetor OW
22"
 .
Conjugado
O afixo de z pode ser obtido aplicando ao afixo de z uma 
reflexão em relação ao eixo real.
Simétrico
O afixo de - z pode ser obtido aplicando ao afixo de z uma 
reflexão em relação à origem.
Produto por um número real positivo
Sendo r um número real positivo, o afixo de rz pode ser 
obtido aplicando ao afixo de z uma homotetia de centro na 
origem e razão r .
Produto por eiq
O afixo de eiqz pode ser obtido aplicando ao afixo de z uma 
rotação de centro na origem e amplitude q .
Em particular, o afixo de iz pode ser obtido aplicando ao 
afixo de z uma rotação de centro na origem e amplitude p
2
 .
O
Z
–
Z
Re (z)
Im (z)
O
Z
–Z
Re (z)
Im (z)
O Re (z)
Im (z) 3Z
Z
O
iZ
Z
Re (z)
Im (z)
O
W
Z + W
Z
Re (z)
Im (z)
86. Na figura está representado, no plano de Argand, o afixo de um 
número complexo z . Determina, por meio de transformações geo-
métricas, o afixo de cada um dos seguintes números complexos:
a) z + 2 b) z - i c) z + 1 - 3i d) z e) - z f) iz
g) e
i
 
p
4z h) - iz i) - z - i j) 
z
i
+ 2 k) - 2z l) 11 - 2i2 z
87. Considera os seguintes números complexos: z = 7 + i e w = 2 + 6i .
Sejam P e Q os afixos dos números complexos z e w , respetivamente. Seja O a origem 
do referencial. Seja R o ponto pertencente ao primeiro quadrante tal que o quadrilátero 
fOPRQg é um paralelogramo. Escreve, na forma a + bi 1a, b åR2, o número complexo 
que tem por afixo o ponto R . 9 + 7i
1O
Z
Re (z)
Im (z)
126
88. Considera os seguintes números complexos: z = 4 + 3i e w = zi . Sejam P e Q os afixos 
dos números complexos z e w , respetivamente. Seja O a origem do referencial.
a) Indica a amplitude, em graus, do ângulo formado pelos vetores OP
2"
 e OQ
22"
 . 90°
b) Seja R o ponto do plano que é igual a P + OQ
22"
 .
Escreve, na forma x + yi , o número complexo que tem por afixo o ponto R . 1 + 7i
c) Determina a área do quadrilátero fOPQRg . 25
89. Seja z um número complexo diferente de zero. Considera, no plano complexo, o ponto P , 
afixo de z . Seja Q o afixo do número complexo iz .
Sabe-se que a área do triângulo fOPQg é 8 (O é a origem do referencial). Determina: 
a) 0z 0 4 b) 0z + z 0 2 + 0z - z 0 2 64
Condições em C e sua representação no plano complexo
Para cada tipo de condição apresentada, indica-se a respetiva representação no plano 
complexo. 
Re 1z2 = a " Reta paralela ao eixo imaginário que interseta o eixo real no ponto de 
abcissa a .
Im 1z2 = b " Reta paralela ao eixo real que interseta o eixo imaginário no ponto de 
ordenada b .
0z - z1 0 = r 1r > 02 " Circunferência de centro no afixo de z1 e raio r .0z - z1 0 = 0z - z2 0 " Mediatriz do segmento de reta cujos extremos são os afixos de z1 
e de z2 .
Arg 1z2 = a 1aå g- p, pg2 " Semirreta de origem na origem do referencial e que é o 
lado extremidade do ângulo generalizado de amplitude a cujo lado origem é o se-
mieixo positivo real.
Arg 1z - z12 = a 1aå g- p, pg2 " Semirreta que é imagem da semirreta anterior pela 
translação associada ao vetor OZ1
22"
 (sendo Z1 o afixo de z1).
90. Representa, no plano complexo, o conjunto de pontos definido por cada uma das seguin-
tes condições.
a) Re 1z2 = - 2 b) 2 ≤ Re 1z2 ≤ 4 c) z + z = 8
d) Im 1z2 = 3 e) - 3 ≤ Im 1z2 < - 2 f) 2z - 2z
i
= - 4
g) 2 < Re 1z2 < 4 ‹ - 2 ≤ Im 1z2 ≤ 3 h) 0- 3Re 1z2 0 ≤ 6 ‹ 0 i Im 1z2 0 ≤ 3
91. Representa, no plano complexo, o conjunto de pontos definido por cada uma das seguin-
tes condições.
a) 0z - 11 - 2i2 0 = 3 b) 2 0z - 3 + i 0 + 5 = 9 c) 02z 0 = 6
d) 0z - 12 + i2 0 < 2 e) 0z - i 0 ≤ 3 ‹ 0z + 1 0 ≤ 3 f) 0z + 1 + i 0 ≤ 2 ‹ Re 1z2 = - 1
g) a ` z
2
` ≥ 1 › Re 1z2 ≥ 1b‹ 0z 0 ≤ 4 h) 1z - i2 1z - i2 = 9
127
Tema 7 | Números Complexos
92. Representa, no plano complexo, o conjunto de pontos definido por cada uma das seguin-
tes condições.
a) 0z - 12 - 2i2 0 = 0z - 1- 4 + 4i2 0 b) 0z - 3 + 4i 0 < 0z + 3 + i 0
c) 0z + 2 + 2i 0 ≥ 0z 0‹ 0z 0 ≤ 3 ‹ Re 1z2 * Im 1z2 ≥ 0
93. Representa, no plano complexo, o conjunto de pontos definido por cada uma das seguin-
tes condições.
a) Arg 1z2 = p
3
b) - p
2
≤ Arg 1z2 ≤ - p
6
c) 0Arg 1z2 0 ≤ Arg 13 + 3i2‹ Re 1z2 ≤ 4
d) Arg 18i2 ≤ Arg fz - 13 + 2i2g ≤ 3p
4
‹ Im 1z2 ≤ 4
e) 0 ≤ Arg 1z + 12 ≤ Arg Q1 +"3 i R‹ 0z - 4 - 3i 0 ≥ 0z 0
f) ap
2
≤ Arg 1z2 ≤ 3p
4
‹ 1 ≤ 0z 0 ≤ 3b› 1 0z 0 ≥ 0z - 2 - 2i 0‹ 0 ≤ Re 1z2 ≤ 2 ‹ Im 1z2 ≤ 42
94. Define, por uma condição C , cada uma das regiões representadas.
a) b) 
95. Considera os seguintes números complexos: 
z1 = 5 + 6i z2 = 13 + 12i
a) Determina a distância, no plano complexo, entre o afixo de z1 e o afixo de z2 . 10
b) Determina o valor de 
z1 - i
"2 ei p12
- 5
"3
2
+ z2 +
i
2
 . 13 - 9i
c) Determina a área do polígono cujos vértices são as raízes de índice 4 de z41 . 122
d) Na figura estão representados, no plano complexo:
o ponto A , afixo do número complexo z1 ;
o ponto B , afixo do número complexo z2 ;
o ponto P , ponto médio do segmento de reta fABg ;
a circunferência de centro em A e que passa por P ;
a circunferência de centro em B e que passa por P ;
o diâmetro da circunferência de centro em B parale-
lo ao eixo imaginário;
a reta t , tangente às duas circunferências no ponto P .
Define, por uma condição em C , a região colorida, incluindo a fronteira.
1
1
O Re (z)
Im (z)
1
1
O Re (z)
Im (z)
O
A
B
P
t
Re (z)
Im (z)
fRe 1z2 ≥ 0 ‹ Im 1z2 ≥ 0 ‹ 0z - 15 + 6i2 0 ≤ 0z - 113 + 12i2 0‹ 0z - 15 + 6i2 0 ≥ 5g ›
› f 0 z - 113 + 12i2 0 ≤ 5 ‹ Re 1z2 ≤ 13g (por exemplo)128
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ISBN 978-972-47-5486-4
9 7 8 9 7 2 4 7 5 4 8 6 4
	PÁGINAS INICIAIS
	TEMA 1 - CÁLCULO COMBINATÓRIO
	TEMA 2 - PROBABILIDADES
	TEMA 3 - FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
	TEMA 4 - FUNÇÕES EXPONENCIAIS E FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
	TEMA 5 - TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
	TEMA 6 - PRIMITIVAS E CÁLCULO INTEGRAL
	TEMA 7 - NÚMEROS COMPLEXOS
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