Resolução de Questão sobre Copa do Mundo

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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em 
Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística 
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Aula 2 - Questões Comentadas e Resolvidas 
Conjuntos e Funções. 
 
Vamos começar a aula resolvendo mais algumas questões da aula 1? É isso aí! 
Você deve estar preparado para tudo. Agora, é prova surpresa. Risos. 
 
(Técnico Administrativo-BNDES-2010-Cesgranrio) 
1. A 19a Copa do Mundo de Futebol foi disputada na África do Sul, do dia 11 de 
junho ao dia 11 de julho de 2010. Em todas as edições da Copa, durante a 1ª 
fase da competição, cada seleção joga somente contra as equipes do grupo 
que integra, uma única vez apenas contra cada uma delas. Na África do Sul, as 
32 seleções participantes foram divididas em 8 grupos de 4 equipes. Portanto, 
cada equipe jogou uma única vez contra cada uma das outras 3 equipes de seu 
grupo. Assim, ao final da 1ª fase, foram realizados, ao todo, 48 jogos. Se a 
competição vier a ser disputada por 35 seleções divididas em 7 grupos de 5 
equipes, ao final da 1ª fase, o número total de jogos realizados será de 
 
(A) 35 
(B) 70 
(C) 92 
(D) 105 
(E) 140 
 
Resolução 
 
Gosta de futebol? Futebol também é matemática! Risos. 
 
Vamos interpretar a questão: 
 
I - A 19a Copa do Mundo de Futebol foi disputada na África do Sul, do 
dia 11 de junho ao dia 11 de julho de 2010. Em todas as edições da 
Copa, durante a 1ª fase da competição, cada seleção joga somente 
contra as equipes do grupo que integra, uma única vez apenas contra 
cada uma delas. Na África do Sul, as 32 seleções participantes foram 
divididas em 8 grupos de 4 equipes. Portanto, cada equipe jogou uma 
única vez contra cada uma das outras 3 equipes de seu grupo. Assim, 
ao final da 1ª fase, foram realizados, ao todo, 48 jogos. 
 
Não faz parte da resolução, mas, para entender o raciocínio, vamos verificar 
como a banca examinadora poderia ter chegado ao valor de 48 jogos na 
primeira fase da Copa do Mundo. 
 
São 32 seleções divididas em 8 grupos de 4. Portanto, qual seria a quantidade 
de jogos por grupo? Para facilitar o entendimento, vamos dar “nome aos bois”. 
 
Suponha que o grupo A seja formado por Brasil, Camarões, Japão e Holanda. 
 
 
 
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Os jogos do Brasil seriam: 
Brasil x Camarões (1) 
Brasil x Japão (2) 
Brasil x Holanda (3) 
 
Os jogos dos Camarões seriam: 
Brasil x Camarões (já considerado acima) 
Camarões x Japão (4) 
Camarões x Holanda (5) 
 
Os jogos do Japão seriam: 
Brasil x Japão (já considerado acima) 
Camarões x Japão (já considerado acima) 
Japão x Holanda (6) 
 
Os jogos da Holanda seriam: 
Brasil x Holanda (já considerado acima) 
Camarões x Holanda (já considerado acima) 
Japão x Holanda (já considerado acima) 
 
Portanto, em 1 grupo, o total de jogos seria igual 6. 
 
Em 8 grupos, teríamos: 
Total de Jogos = 8 x 6 = 48 jogos 
 
Nota: Também poderíamos resolver por combinação, mas veremos questões 
sobre o assunto em aula posterior. Por isso, optamos por resolver esta questão 
de outro modo, para que você veja que é possível outra resolução. 
 
II - Se a competição vier a ser disputada por 35 seleções divididas em 
7 grupos de 5 equipes, ao final da 1ª fase, o número total de jogos 
realizados será de? 
 
Houve uma mudança. Agora, são 35 seleções divididas em 7 grupos de 5 
equipes. 
 
Suponha que o grupo A seja formado por Brasil, Camarões, Japão, Holanda e 
Dinamarca. 
 
Os jogos do Brasil seriam: 
Brasil x Camarões (1) 
Brasil x Japão (2) 
Brasil x Holanda (3) 
Brasil x Dinamarca (4) 
 
 
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Os jogos dos Camarões seriam: 
Brasil x Camarões (já considerado acima) 
Camarões x Japão (5) 
Camarões x Holanda (6) 
Camarões x Dinamarca (7) 
 
Os jogos do Japão seriam: 
Brasil x Japão (já considerado acima) 
Camarões x Japão (já considerado acima) 
Japão x Holanda (8) 
Japão x Dinamarca (9) 
 
Os jogos da Holanda seriam: 
Brasil x Holanda (já considerado acima) 
Camarões x Holanda (já considerado acima) 
Japão x Holanda (já considerado acima) 
Holanda x Dinamarca (10) 
 
Os jogos da Dinamarca seriam: 
Brasil x Dinamarca (já considerado acima) 
Camarões x Dinamarca (já considerado acima) 
Japão x Dinamarca (já considerado acima) 
Holanda x Dinamarca (já considerado acima) 
 
Portanto, em 1 grupo, o total de jogos seria igual 10. 
 
Em 7 grupos, teríamos: 
Total de Jogos = 7 x 10 = 70 jogos 
GABARITO: B 
 
2. Certa marca de café é comercializada exclusivamente em embalagens de 
250 g ou de 400 g. Se um consumidor dessa marca comprar uma embalagem 
de cada, gastará, ao todo, R$ 3,30. Se, em vez disso, esse consumidor 
comprar o correspondente a 900 g em embalagens desse café, pagará, ao 
todo, R$ 4,60. A diferença, em reais, entre os preços das embalagens de 400 g 
e de 250 g é 
 
(A) 0,40 
(B) 0,50 
(C) 0,60 
(D) 0,70 
(E) 0,80 
 
 
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Resolução 
 
Calma! Não é difícil. Vamos interpretar a questão: 
 
I - Certa marca de café é comercializada exclusivamente em 
embalagens de 250 g ou de 400 g. 
 
Portanto, temos dois tipos de embalagens para o café: 
Embalagem 1 (E1) = de 250 gramas 
Embalagem 2 (E2) = de 400 gramas 
 
II - Se um consumidor dessa marca comprar uma embalagem de cada, 
gastará, ao todo, R$ 3,30. 
 
Vamos considerar que o preço da embalagem 1 é P1 e o preço da embalagem 2 
é P2. Portanto, se o consumidor comprar uma embalagem de cada, teríamos: 
 
1 x P1 + 1 x P2 = R$ 3,30 ⇒ P1 + P2 = R$ 3,30 (A) 
 
III - Se, em vez disso, esse consumidor comprar o correspondente a 
900 g em embalagens desse café, pagará, ao todo, R$ 4,60. 
 
Repare que, aqui, o consumidor comprou 900 gramas em embalagens. Temos 
que uma embalagem é de 250 gramas e que outra embalagem é de 400 
gramas. 
 
Como saber a quantidade comprada de cada embalagem para chegar a 900 
gramas? Bom, vejamos: 
 
Suponha que o consumidor tenha comprado uma embalagem de 250 gramas e 
uma embalagem de 400 gramas. Nesse caso, ele comprou 650 gramas de café 
(250 + 400). 
 
Epa, epa, epa, professor! Quero saber a quantidade de embalagens que dê 900 
gramas. Calma! Repare que a quantidade de embalagens compradas deve ser 
um número inteiro (não é possível comprar metade de uma embalagem, por 
exemplo). Vamos fazer uma tabela: 
 
Quantidade de E1 
(250 gramas) 
Quantidade de E2 
(400 gramas) 
Total de Gramas 
1 1 = 1 x 250 + 1 x 400 = 250 + 400 = 650 
2 1 = 1 x 250 + 1 x 400 = 500 + 400 = 900 
1 2 = 1 x 250 + 2 x 400 = 250 + 800 = 1.050 
2 2 = 2 x 250 + 2 x 400 = 500 + 800 = 1.300 
 
Repare que a linha 2 da tabela já é a nossa solução, ou seja, para comprar 900 
gramas de café, o consumidor precisa comprar duas embalagens de 250 
gramas e uma embalagem de 400 gramas. 
 
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Portanto, teríamos a seguinte equação, considerando que essa compra teve 
um custo total de R$ 4,60. 
 
2 x P1 + P2 = R$ 4,60 (B) 
 
Ou seja, temos um sistema para resolver: 
 
P1 + P2 = R$ 3,30 (A) 
2 x P1 + P2 = R$ 4,60 (B) 
 
Fazendo (B) – (A) (para simplificar o P2): 
2 x P1 + P2 – (P1 + P2) = 4,60 – 3,30 ⇒ 
⇒ 2 x P1 + P2 – P1 – P2 = 1,30 ⇒ 
⇒ 2 x P1 – P1 = 1,30 ⇒ 
⇒ P1 = 1,30 
 
Substituindo o valor de P1 na equação (A): 
P1 + P2 = R$ 3,30 ⇒ 
⇒ 1,30 + P2 = 3,30 ⇒ 
⇒ P2 = 3,30 – 1,30 ⇒ 
⇒ P2 = 2,00 
 
Repare que aqui você também poderia resolver o sistema por substituição, 
caso não observasse que a subtração de uma equação pela outra eliminaria a 
variável P2. Vejamos: 
 
P1 + P2 = R$ 3,30 ⇒ P2 = R$ 3,30 – P1 (A) 
2 x P1 + P2 = R$ 4,60 (B) 
 
Substituindo o valor de P2 na equação (B): 
2 x P1 + 3,30 – P1 = 4,60 ⇒ 
⇒ 2 x P1 – P1 = 4,60 – 3,30 ⇒ 
⇒ P1 = 1,30 
 
Substituindo o valor de P1 na equação (A): 
P1 + P2 = R$ 3,30 ⇒ 
⇒ 1,30 + P2 = 3,30 ⇒ 
⇒ P2 = 3,30 – 1,30 ⇒ 
⇒ P2 = 2,00 
 
III - A diferença, em reais, entre os preços das embalagens de 400 g e 
de 250 g é? 
P1 = 1,30 
P2 = 2,00 
P2 – P1 = 2,00 – 1,30 = R$ 0,70 
GABARITO: D 
 
 
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3. Quatro bombas d’água idênticas, trabalhando simultânea e 
ininterruptamente, são capazes de encher completamente uma piscina em 5 h. 
Quando a piscina está totalmente vazia, as quatro bombas são postas em 
funcionamento. Após 2 h de trabalho contínuo, uma enguiça. As outras três 
permanecem trabalhando, até que a piscina esteja totalmente cheia. Quanto 
tempo, ao todo, é necessário para que a piscina fique cheia? 
 
(A) 5 horas e 30 minutos. 
(B) 5 horas e 45 minutos. 
(C) 6 horas. 
(D) 6 horas e 30 minutos. 
(E) 7 horas. 
 
Resolução 
 
Vamos interpretar a questão: 
 
I - Quatro bombas d’água idênticas, trabalhando simultânea e 
ininterruptamente, são capazes de encher completamente uma piscina 
em 5 h. 
Considerando que as 4 bombas são idênticas, pode-se concluir que possuem a 
mesma vazão (a mesma quantidade de água é jogada na piscina por cada uma 
das bombas). 
 
Portanto, temos que 4 bombas de vazão “V” enchem a piscina em 5 horas. 
Considere que o volume de água para encher toda a piscina seja igual a “X”. 
 
II - Quando a piscina está totalmente vazia, as quatro bombas são 
postas em funcionamento. Após 2 h de trabalho contínuo, uma 
enguiça. 
Para continuar a questão, precisamos saber qual o volume de água da piscina 
após duas horas com as quatro bombas funcionando. Portanto, teríamos: 
 
5 horas ==� X (piscina cheia) 
2 horas ==� Y 
5 . Y = 2 . X ⇒ Y = 
2
5
.X 
Portanto, em 2 horas, as quatro bombas encheram dois quintos da piscina. 
Nesse exato momento (após 2 horas), uma das bombas enguiça. 
 
Ficamos, então, com três bombas para encher três quintos da piscina: 
Quantidade de água para encher a piscina (Q) = X – 
2
5
.X ⇒ 
⇒ Q = 
5
5
.X – 
2
5
.X = 
3
5
.X 
 
 
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III - As outras três permanecem trabalhando, até que a piscina esteja 
totalmente cheia. Quanto tempo, ao todo, é necessário para que a 
piscina fique cheia? 
 
Vamos fazer uma regra de três composta: 
 
Bombas Tempo Volume de Água 
4 5 horas X 
3 T 3
5
.X 
 
As grandezas “bombas” e “tempo” são inversamente proporcionais, pois 
quanto maior o número de bombas, menor o tempo para encher a piscina. Por 
outro lado, quanto menor o número de bombas, maior o tempo para encher a 
piscina. 
 
As grandezas “volume da piscina” e “tempo” são diretamente proporcionais, 
pois quanto maior o tempo, maior o volume de água colocado na piscina. Por 
outro lado, quanto menor o tempo, menor o volume de água colocado na 
piscina. 
 
Portanto, teríamos: 
 
5 3
34
5
X
T
X
= × ⇒
⋅
 
5 3 5
4 3
5 5
4
1 1
4
T
T
T
⇒ = × ⇒
⇒ = ⇒
⇒ = ⇒
 
 
⇒T = 4 horas (tempo que as três bombas levariam para encher a piscina 
após o enguiço de uma bomba). 
 
Logo, o tempo total para encher a piscina será igual a 6 horas (2 horas com 
as quatro bombas mais 4 horas com as três bombas). 
GABARITO: C 
 
 
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(Assistente Administrativo-EPE-2010-Cesgranrio) 
4. Na maioria dos aviões, a distância entre duas poltronas em filas 
consecutivas da classe econômica é 79 cm. Para oferecer mais conforto aos 
seus passageiros, uma empresa aérea decidiu aumentar essa distância para, 
no mínimo, 86 cm. Desse modo, o espaço antes ocupado por 25 filas de 
poltronas passará a ter n filas. Sendo assim, o maior valor de n será 
 
(A) 20 
(B) 21 
(C) 22 
(D) 23 
(E) 24 
 
Resolução 
 
Vamos interpretar a questão: 
 
I - Na maioria dos aviões, a distância entre duas poltronas em filas 
consecutivas da classe econômica é 79 cm. 
Portanto, temos que a distância entre duas poltronas em filas consecutivas da 
classe econômica é 79 cm. 
 
II - Para oferecer mais conforto aos seus passageiros, uma empresa 
aérea decidiu aumentar essa distância para, no mínimo, 86 cm. Desse 
modo, o espaço antes ocupado por 25 filas de poltronas passará a ter n 
filas. Sendo assim, o maior valor de n será? 
Repare que, para uma distância de 79 cm (centímetros), conseguimos formar 
25 filas de poltronas. Logo, o tamanho total do avião será: 
 
Tamanho do Avião = 79 cm x 25 filas = 1.975 cm 
 
Agora, aumentaremos distância entre as poltronas para 86 cm. Como o 
número n de filas deve ser inteiro (não é possível existir metade de uma fila 
em um avião, por exemplo), basta dividirmos o tamanho total do avião pela 
nova distância entre as poltronas para acharmos o novo número de filas (que 
corresponderá a parte inteira do resultado da divisão): 
 
Número de Filas (n) = 
1.975
86
=22,96 
 
Teremos, portanto, 22 filas. 
GABARITO: C 
 
 
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5. A razão entre as potências instaladas das Hidrelétricas de Água Limpa e de 
Torixoréu é 
40
51
 e, juntas, as duas hidrelétricas têm potência instalada de 728 
MW. Qual é, em MW, a potência instalada da Hidrelétrica de Torixoréu? 
 
(A) 160 
(B) 204 
(C) 320 
(D) 366 
(E) 408 
 
Resolução 
 
Vamos interpretar a questão: 
 
I - A razão entre as potências instaladas das Hidrelétricas de Água 
Limpa e de Torixoréu é 
40
51
... 
 
Potência de Água Limpa = P1 
Potência de Torixoréu = P2 
 
1
2
P
P
 = 
40
51 
 
⇒P1 = P2 x 
40
51
 (A) 
 
II - ... e, juntas, as duas hidrelétricas têm potência instalada de 728 
MW. 
P1 + P2 = 728 MW (megawatts) (B) 
 
III - Qual é, em MW, a potência instalada da Hidrelétrica de Torixoréu? 
 
Substituindo (A) em (B): 
P1 + P2 = 728 MW ⇒ 
⇒ P2 x 
40
51
 + P2 = 728 ⇒ 
⇒ P2 x 
40
51
 + P2 x 
51
51
 = 728 ⇒ 
⇒ P2 x 
91
51
 = 728 ⇒ 
 
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⇒ P2 = 
728
91
51
⇒ 
⇒P2 = 
51
728
91
× ⇒ 
 
Repare que o resultado da divisão de 728 por 91 é igual a 8 (8 x 91 = 728): 
⇒ P2 = 8 x 51 = 408 MW 
GABARITO: E 
 
6. “A Empresa de Pesquisa Energética – EPE entregou à Agência Nacional de 
Energia Elétrica – Aneel na última quarta-feira, dia 7 de abril, a revisão dos 
Estudos de Inventário Hidrelétrico da Bacia Hidrográfica do Rio Araguaia. A 
alternativa de divisão de quedas selecionada apresenta 2.483 MW de potência 
instalada total, incluindo os aproveitamentos considerados pontos fixos no 
estudo: hidrelétricas de Santa Isabel, Couto Magalhães, Torixoréu, Toricoejo e 
Água Limpa.” 
 
Disponível em: http://www.epe.gov.br/imprensa/PressReleases/20100409_1.pdf 
 
Dentre as hidrelétricas citadas no texto, a de menor potência instalada é a de 
Toricoejo, com 76 MW. A potência instalada dessa hidrelétrica corresponde, 
aproximadamente, a que percentual da potência instalada total da Bacia 
Hidrográfica do Rio Araguaia? 
 
(A) 3% 
(B) 7% 
(C) 12% 
(D) 19% 
(E) 30% 
 
Resolução 
 
Bacia Hidrográfica do Rio Araguaia = 2.483 MW 
Hidrelétrica de Toricoejo = 76 MW 
Percentual = 
76
2.483
= 0,03 = 3% 
GABARITO: A 
 
 
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7. Demanda das indústrias verificada no mês passado indica retomada do 
patamar pré-crise. A indústria liderou a expansão do consumo de eletricidade 
na rede em fevereiro de 2010, com crescimento de 14% em relação ao mesmo 
mês de 2009. (...) Em fevereiro de 2010, a indústria brasileira demandou da 
rede 14.438 GWh. 
 
Disponível em: http://www.epe.gov.br/ResenhaMensal/20100324_1.pdf (Adaptado). 
 
De acordo com as informações apresentadas, o consumo de eletricidade da 
indústria brasileira, em GWh, no mês de fevereiro de 2009, 
 
(A) foi inferior a 11.500. 
(B) ficou entre 11.500 e 12.000. 
(C) ficou entre 12.000 e 12.500. 
(D) ficou entre 12.500 e 13.000. 
(E) foi superior a 13.000. 
 
Resolução 
 
Vamos interpretar a questão: 
 
De acordo com o texto, houve um crescimento de 14% no consumo de 
eletricidade em fevereiro de 2010, em relação a mesmo mês de 2009. 
 
Consumo de Fevereiro de 2009 = C2009 
 
Em fevereiro de 2010, a indústria brasileira demandou da rede 14.438 GWh. 
 
Consumo de Fevereiro de 2010 = C2010 = 14.438 GWh 
 
Portanto, podemos escrever a seguinte expressão: 
 
C2010 = C2009 + 14% x C2009 ⇒ 
⇒ C2010 = C2009 + 0,14 x C2009 ⇒ 
⇒ C2010 = 1,14 x C2009 ⇒ 
⇒ 14.438 = 1,14 x C2009 ⇒ 
⇒ C2009 = 
14.438
1,14
⇒ 
⇒ C2009 = 12.664,91 GWh 
GABARITO: D 
 
 
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8. No Brasil, os setores industrial e comercial consumiram, juntos, 231.199 
GWh de energia em 2009. Sabendo que o consumo do setor industrial 
correspondeu ao dobro do consumo do setor comercial, mais 34.498 GWh, 
quantos GWh de energia foram consumidos pelo setor comercial brasileiro em 
2009? 
 
(A) 56.885 
(B) 65.567 
(C) 88.565 
(D) 124.656 
(E) 165.632 
 
Resolução 
 
Vamos interpretar a questão: 
 
I - No Brasil, os setores industrial e comercial consumiram, juntos, 
231.199 GWh de energia em 2009. 
Setor Industrial = I 
Setor Comercial = C 
 
I + C = 231.199 ⇒ I = 231.199 – C (A) 
 
II - Sabendo que o consumo do setor industrial correspondeu ao dobro 
do consumo do setor comercial, mais 34.498 GWh, .... 
I = 2 x C + 34.498 (B) 
 
III - ... quantos GWh de energia foram consumidos pelo setor 
comercial brasileiro em 2009? 
 
Substituindo (A) em (B): 
 
I = 2 x C + 34.498 ⇒ 
⇒ 231.199 – C = 2 x C + 34.498 ⇒ 
⇒ 231.199 – 34.498 = 2 x C + C ⇒ 
⇒ C + 2 x C = 196.701 ⇒ 
⇒ 3 x C = 196.701 ⇒ 
⇒ C = 
196.701
3
 ⇒ 
⇒ C = 65.567 GWh 
GABARITO: B 
 
 
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9. Uma pousada que dispõe de 60 quartos, alguns duplos (para duas pessoas) 
e outros, triplos (para três pessoas), pode acomodar, no máximo, 162 
hóspedes. Quantos quartos duplos há nessa pousada? 
 
(A) 18 
(B) 22 
(C) 28 
(D) 36 
(E) 42 
 
Resolução 
 
Vamos interpretar a questão: 
 
I - A pousada possui 60 quartos, sendo alguns duplos e outros triplos. 
Vamos considerar que são “D” quartos duplos e “T” quartos triplos. 
 
D + T = 60 ⇒ T = 60 – D (A) 
 
II - A pousada acomoda, no máximo, 162 hóspedes. 
Portanto, é possível escrever a seguinte expressão: 
 
2 x D + 3 x T = 162 (B) 
 
Repare que o número de quartos duplos é multiplicado por 2 (duas pessoas) e 
o número de quartos triplos é multiplicado por 3 (três pessoas). 
 
Substituindo (A) em (B): 
2 x D + 3 x T = 162 ⇒ 
⇒ 2 x D + 3 x (60 – D) = 162 ⇒ 
⇒ 2 x D + 3 x 60 – 3 x D = 162 ⇒ 
⇒ 2 x D – 3 x D = 162 – 3 x 60 ⇒ 
⇒ – D = 162 – 180 ⇒ 
⇒ – D = – 18 ⇒ 
⇒ D = 18 quartos duplos 
GABARITO: A 
 
(Petrobras-Nível Médio-2010-Cesgranrio) 
10. Dentre os números complexos abaixo, aquele cujo módulo é igual ao dobro 
do módulo de z = 4 + 6i é 
 
(A) 3 + 17i 
(B) 8 - 6i 
(C) 4 3 + 2i 
(D) 6 3 - 10i 
(E) 20 - 4 3 i 
 
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Resolução 
 
Vamos ver uma questão de números complexos? Primeiro, vamos estudar os 
conceitos principais: 
 
z = x + y.i ⇒ forma algébrica de escrever o número complexo. 
x (número real) = denominado “parte real” de z. 
y (número real) = denominado “parte imaginária” de z. 
 
x = Re(z) 
y = Im(z) 
 
Nota: Chama-se real todo número complexo cuja parte imaginária é nula e 
chama-se imaginário puro todo número complexo cuja parte real é nula e a 
imaginária não. 
 
z = x + 0.i ⇒ z = x é real 
z = 0 + y.i ⇒ z = y.i é imaginário puro 
 
Operações: 
 
Igualdade: a + b.i = c + d.i ⇒ a = c e b = d. 
 
Adição: (a + b.i) + (c + d.i) = (a + c) + (b + d).i 
 
Multiplicação: (a + b.i) . (c + d.i) = a.c + a.d.i + b.c.i + b.d.i2 
 
Como i2 = -1 (por definição) 
(a + b.i) . (c + d.i) = a.c + a.d.i + b.c.i + b.d.(-1) = (a.c – b.d) + (a.d + b.c).i 
 
Exemplo: Dados z1 = 1 + 2.i e z2 = 2 – i e z3 = 3 + i, calcule z1.z2.z3. 
 
z1.z2.z3 = (1 + 2.i).(2 – i).(3 + i) = (1.2 – 1.i + 2.2.i – 2.i2).(3 + i) ⇒ 
⇒ z1.z2.z3 = (2 – 1.i + 4.i – 2.(-1)). (3 + i) = (4 + 3.i).(3 + i) ⇒ 
⇒ z1.z2.z3 = (4.3 + 4.i + 3.3.i + 3.i2) = (12 + 4.i + 9.i + 3.(-1)) ⇒ 
⇒ z1.z2.z3 = 9 + 13.i 
 
Nota: Complexo Conjugado 
Se z = x + y.i, o seu complexo conjugado é: .z x y i= − 
Logo, pode-se deduzir que o conjugado de .z x y i= − é z = x + y.i. 
. .z x y i z x y i= + ⇔ = − 
 
Propriedades do Conjugado: 
I) z + z= 2.Re(z) 
II) z - z = 2.Im(z).i 
 
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III) z = z z⇔ ∈ℝ 
IV) 1 2 1 2z z z z+ = + 
V) 1 2 1 2. .z z z z= 
 
Exemplos: z = 1 + 2.i. Logo, z= 1 – 2.i 
I) z + z= 1 + 2.i + 1 – 2.i = 2 = 2.Re(z) 
II) z - z = 1 + 2.i – (1 - 2.i) = 1 + 2.i – 1 + 2.i = 4.i = 2.Im(z).i 
 
Módulo de um Número Complexo: o módulo do número completo a + b.i é 
igual a: 
Módulo = 2 2a b+ 
 
Vamos relembrar mais alguns conceitos: 
 
Uma raiz quadrada é representada pelo símbolo (também conhecido 
como radical). Portanto, para calcular a raiz quadrada de X teríamos: 
 
Y = X . Em português, Y é igual a raiz quadrada de X ou Y multiplicado por 
ele mesmo é igual X. Portanto: 
 
Y = X ⇒Y2 = X. Como cheguei a esse resultado? 
 
A raiz quadrada de um número também é representada por este número 
elevado ao expoente 
1
2
 (o denominador 2 indica, justamente, que é raiz 
quadrada). 
X = 
1
2X 
Portanto, teríamos: 
1
2Y X= . 
 
Se elevarmos os dois termos ao quadrado, não alteramos a igualdade: 
2
1 1 1
2
2 2 22 2 2Y X Y X Y X Y X
× 
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = 
 
 
 
Uma raiz quadrada de um número elevada ao quadrado é igual ao próprio 
número: 
1 1
2
2 2 12 2( ) ( )X X X X X
×
= = = = = 
1
2X 
 
 
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Vamos resolver a questão: Qual é o número complexo cujo módulo é igual ao 
dobro do módulo de z = 4 + 6i? 
 
Vamos calcular o módulo de z = 2 24 6 16 36 52+ = + = 
 
Fatorando 52, temos: 52 = 2 x 2 x 13 
 
Módulo de z = 22 2 13 2 13 2. 13× × = × = 
 
O dobro do módulo de z é: 2 x 2. 13= 4. 13 
 
Vamos analisar as alternativas: 
 
(A) 3 + 17i 
Módulo = 2 23 7 21 49 70 2 5 7+ = + = = × × 
(não é o dobro do módulo de z). 
 
(B) 8 - 6i 
Módulo = 2 28 ( 6) 64 36 100 10+ − = + = = 
(não é o dobro do módulo de z). 
 
(C) 4 3 + 2i 
Módulo = 2 2 2 2 2(4. 3) 2 4 .( 3) 2 16 3 4 48 4 52+ = + = × + = + = 
(é igual ao módulo de z). 
 
(D) 6 3 - 10i 
Módulo = 
2 2 2 2
2
(6. 3) ( 10) 6 .( 3) 100 36 3 100 108 100
208 4 52 2 52 2. 52
+ − = + = × + = + =
= = × = × =
 
(é igual ao dobro do módulo de z) 
 
(E) 20 - 4 3 i 
Módulo = 
= 2 2 2 2(20) ( 4. 3) 400 4 ( 3) 400 16 3 400 48 448+ − = + × = + × = + = 
(não é o dobro do módulo de z). 
GABARITO: D 
 
 
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(Petrobras-Nível Médio-2010-Cesgranrio) 
11. A Europa (...) é o único continente onde a população vem diminuindo. 
Segundo o Fundo de População das Nações Unidas (FNUAP), ela encolherá a 
uma taxa de 0,1% ao ano entre 2005 e 2010. 
Disponível em: www.pt.wikipedia.org 
 
Levando-se em conta a informação acima, se, em 2005, a população europeia 
correspondesse a P habitantes, a população de 2010 corresponderia a 
 
(A) P • (0,9999)5 
(B) P • (0,999)5 
(C) P • (0,909)5 
(D) P • (0,99)5 
(E) P • (0,90)5 
 
Resolução 
 
De acordo com a questão, a população europeia encolherá 0,1% ao ano entre 
2005 e 2010. Ainda de acordo com a questão, a população européia 
corresponde a P habitantes em 2005. 
 
Vamos calcular a população em 2010: 
 
P2006 = P – 0,1% x P ⇒ 
⇒ P2006 = P – 0,001 x P ⇒ 
⇒ P2006 = P x (1 – 0,001) ⇒ 
⇒ P2006 = P x 0,999 (A) 
 
P2007 = P2006 – 0,1% x P2006 ⇒ 
⇒ P2007 = P2006 – 0,001 x P2006 ⇒ 
⇒ P2007 = P2006 x (1 – 0,001) ⇒ 
⇒ P2007 = P2006 x 0,999 (B) 
 
Substituindo (A) em (B): 
P2007 = P2006 x 0,999 ⇒ 
⇒ P2007 = P x 0,999 x 0,999 ⇒ 
⇒ P2007 = P x (0,999)2 (C) 
 
P2008 = P2007 – 0,1% x P2007 ⇒ 
⇒ P2008 = P2007 – 0,001 x P2007 ⇒ 
⇒ P2008 = P2007 x (1 – 0,001) ⇒ 
⇒ P2008 = P2007 x 0,999 (D) 
 
Substituindo (D) em (C): 
P2008 = P2007 x 0,999 ⇒ 
⇒ P2008 = P x (0,999)2 x 0,999 ⇒ 
⇒ P2008 = P x (0,999)3 (E) 
 
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Por dedução: P2010 = P x (0,999)5 
 
Ainda duvida? Então, vamos continuar a resolução: 
 
P2009 = P2008 – 0,1% x P2008 ⇒ 
⇒ P2009 = P2008 – 0,001 x P2008 ⇒ 
⇒ P2009 = P2008 x (1 – 0,001) ⇒ 
⇒ P2009 = P2008 x 0,999 (F) 
 
Substituindo (E) em (F): 
P2009 = P2008 x 0,999 ⇒ 
⇒ P2009 = P x (0,999)3 x 0,999 ⇒ 
⇒ P2009 = P x (0,999)4 (G) 
 
P2010 = P2009 – 0,1% x P2009 ⇒ 
⇒ P2010 = P2009 – 0,001 x P2009 ⇒ 
⇒ P2010 = P2009 x (1 – 0,001) ⇒ 
⇒ P2010 = P2009 x 0,999 (H) 
 
Substituindo (G) em (H): 
P2010 = P2009 x 0,999 ⇒ 
⇒ P2010 = P x (0,999)4 x 0,999 ⇒ 
⇒ P2010 = P x (0,999)5 
GABARITO: B 
 
12. A pontuação da Fórmula 1 mudou. A partir de 2010, as vitórias serão mais 
valorizadas, como mostra a tabela a seguir. 
 
Colocação Pontuação 
Como era em 2009 Como será em 2010 
1o 10 25 
2o 8 18 
3o 6 15 
4o 5 12 
5o 4 10 
6o 3 8 
7o 2 6 
8o 1 4 
9o 0 2 
10o 0 1 
 
Imagine que, nas últimas cinco corridas de 2009, um piloto da Fórmula 1 
tenha chegado uma vez em primeiro lugar, duas em segundo, uma em quarto 
e outra, em sexto. Obtendo os mesmos resultados em 2010, quantos pontos a 
mais esse piloto faria nessas cinco corridas? 
 
 
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(A) 37 
(B) 47 
(C) 53 
(D) 63 
(E) 81 
 
Resolução 
 
De acordo com a questão, nas últimas cinco corridas de 2009, um piloto da 
Fórmula 1 chegou uma vez em primeiro lugar, duas em segundo, uma em 
quarto e outra, em sexto. Obtendo os mesmos resultados em 2010, quantos 
pontos a mais esse piloto faria nessas cinco corridas? Vamos calcular por meio 
de uma tabela 
 
Colocação das 
últimas cinco 
corridas 
Pontuação Diferença 
Como era 
em 2009 
Como será 
em 2010 
 
1o 10 25 = 25 – 10 = 15 
2o 8 18 = 18 – 8 = 10 
2o 8 18 = 18 – 8 = 10 
4o 5 12 = 12 – 5 = 7 
6o 3 8 = 8 – 3 = 5 
Diferença Total 47 
GABARITO: B 
 
Vamos resolver as questões relativas a essa aula. 
 
(Técnico em Metrologia e Qualidade–Área: Eletrônica-Inmetro-2010-
Cespe) 
Texto para as questões 13 e 14 
Em uma classe de 20 alunos, foi realizada uma pesquisa de opinião relativa às 
práticas de futebol e de vôlei. Do total de alunos da classe, 5 afirmaram 
praticar apenas vôlei e 9 afirmaram praticar futebol. 
QUESTÃO 54 
13. De acordo com a situação exposta no texto, o número de alunos que não 
praticam vôlei nem futebol é igual a 
 
A 4. 
B 5. 
C 6. 
D 9. 
E 14. 
 
 
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Resolução 
 
Vamos interpretar a questão: 
 
I - Em uma classe de 20 alunos, foi realizada uma pesquisa de opinião 
relativa às práticas de futebol e de vôlei. 
 
Portanto, temos um universo de 20 alunos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
X = número de alunos que praticam apenas vôlei 
Y = número de alunos que praticam vôlei e futebol 
Z = número de alunos que praticam apenas futebol 
W = número de alunos que não praticamnem vôlei e nem futebol 
X + Y + Z + W = 20 (A) 
 
II - Do total de alunos da classe, 5 afirmaram praticar apenas vôlei e 9 
afirmaram praticar futebol. 
 
Repare que 5 afirmaram que praticam somente (apenas) vôlei... 
 
Logo, X = 5 (B) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
... e 9 afirmaram praticar futebol. Aqui, não temos a palavra “apenas”. 
Portanto, o total de praticantes de futebol (incluindo aqueles que praticam 
vôlei e futebol), é igual a 9. 
 
Logo, Y + Z = 9 (C) 
 
20 alunos 
 
 
 Vôlei Futebol 
 
 X Y Z W 
 
 
20 alunos 
 
 
 Vôlei Futebol 
 
 5 Y Z W 
 
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O número de alunos que não praticam vôlei e nem futebol (W) será: 
 
X + Y + Z + W = 20 (A) 
X = 5 (B) 
Y + Z = 9 (C) 
 
Substituindo (B) e (C) em (A): 
X + Y + Z + W = 20 ⇒ 
⇒ 5 + 9 + W = 20 ⇒ 
⇒ 14 + W = 20 ⇒ 
⇒ W = 6 (não praticam vôlei e nem futebol) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO: C 
ÃO 55 
14. Considerando a situação apresentada no texto, se exatamente 2 alunos 
praticam tanto futebol quanto vôlei, então o número de alunos que praticam 
exclusivamente futebol é igual a 
 
A 9. 
B 7. 
C 5. 
D 4. 
E 2. 
 
Resolução 
 
De acordo com a questão, exatamente 2 alunos praticam tanto futebol quanto 
vôlei. Logo, Y = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 alunos 
 
 
 Vôlei Futebol 
 
 5 2 Z 6 
20 alunos 
 
 
 Vôlei Futebol 
 
 5 Y Z 6 
 
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Portanto, temos: 
5 + 2 + Z + 6 = 20 ⇒ 
⇒ 13 + Z = 20 ⇒ 
⇒ Z = 20 – 13 ⇒ 
⇒ Z = 7 alunos (praticam somente futebol) 
GABARITO: B 
 
15. Uma pesquisa a respeito do crescimento populacional de certa comunidade 
constatou que esse crescimento varia segundo a lei P(t) = P0 e0,1155t, em que e 
é a base do logaritmo natural, P0 é a população da comunidade no início da 
pesquisa e P(t) é a população t anos depois do início da pesquisa. Tomando 
0,693 como valor aproximado de ln 2, é correto afirmar que, 6 anos depois do 
início da pesquisa, a população inicial foi multiplicada por 
 
A 6. 
B 5. 
C 4. 
D 3. 
E 2. 
 
Resolução 
 
Mais essa agora, que história é essa de logaritmo natural! Vamos aos 
conceitos: 
 
Logaritmo Neperiano ou Logaritmo Natural ⇒ é o logaritmo na base “e”, 
onde e é igual 2,718281... (número de Euler). 
 
Represtanção: ln a = x ⇒ a = ex 
 
Exemplos: 
ln e2 = 2 
ln (1/e) = -1 
 
Vamos resolver a questão: 
I - Uma pesquisa a respeito do crescimento populacional de certa 
comunidade constatou que esse crescimento varia segundo a lei P(t) = 
P0 e0,1155t, em que e é a base do logaritmo natural, P0 é a população da 
comunidade no início da pesquisa e P(t) é a população t anos depois 
do início da pesquisa. 
Temos, a seguinte função: P(t) = P0 e0,1155t 
 
II - Tomando 0,693 como valor aproximado de ln 2, é correto afirmar 
que, 6 anos depois do início da pesquisa, a população inicial foi 
multiplicada por: 
 
Ln 2 = 0,693 
t = 6 anos 
 
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Substituindo na fórmula, teríamos: 
P(t) = P0 e0,1155t ⇒ 
⇒ P(t) = P0 e0,1155x6 ⇒ 
⇒ P(t) = P0 e0,693 
 
De acordo com a questão, ln 2 = 0,693. Portanto, vamos subsituir na função: 
 
⇒ P(t) = P0 eln 2 (A) 
 
E agora? Como calcular eln 2? Vamos relembrar alguns conceitos: 
 
Logaritmo 
x = logb a (em “português”, teríamos que o logartimo de a na base b é igual a 
x). 
 
a = logaritmando, a > 0. 
b = base, b ≠ 1 e b > 0. 
x = logaritmo 
 
x = logb a ⇒ a = bx (se o logaritmo de a na base b é igual a x, então, a igual 
a b elevado a x, ou seja, você deve pegar a base do logaritmo e elevar ao 
logartimo para achar o logaritmando). 
Nota: Quando não aparecer o valor da base, a base é igual a 10. 
 
Vamos retornar à questão: 
a = eln 2 
 
Se calcularmos o logaritmo natural de ambos os lados, a igualdade não se 
altera. 
ln a = ln (eln 2) 
 
Pela propriedade dos logaritmos: Logaritmo da potência: logb xn = n . logb x 
 
ln a = ln (eln 2) ⇒ 
⇒ ln a = ln 2 x ln e = ln 2 x 1 ⇒ 
⇒ ln a = ln 2 ⇒ 
⇒ a = 2 (B) 
 
Repare que ln e (logaritmo natural de e) é igual a 1, tendo em vista que: 
ln e = x ⇒ ex = e1 ⇒ x = 1 
 
Substituindo (B) em (A): 
P(t) = P0 eln 2 ⇒ P(t) = 2 . P0 
 
Guarde esta propriedade importante: eln a = a ou blogba = b 
Onde b representa qualquer base logaritma. 
GABARITO: E 
 
 
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(Contador-Instituto de Previdência dos Servidores do Estado do 
Espírito Santo-2010-Cespe) 
16. Os 120 alunos que iniciaram o curso de administração de uma 
universidade contrataram os serviços de uma empresa organizadora de 
eventos para preparar a festa de formatura da turma ao final do curso. Para se 
resguardar de possíveis prejuízos com reprovação ou desistência de alunos, o 
contrato previa que cada formando que participaria da festa pagaria à empresa 
a quantia de R$ 3.000,00, acrescido de R$ 50,00 para cada colega que, por 
qualquer motivo, não participasse da festa. A partir da situação hipotética 
apresentada acima, assinale a opção correta, considerando que x dos 120 
alunos participarão da festa de formatura. 
 
A Se 40 alunos não participarem da festa, então a despesa com a empresa de 
eventos para cada um daqueles que participar será superior a R$ 6.000,00. 
B A função, em termos da variável x, que descreve a despesa de cada um dos 
alunos que participarão da festa é uma função polinomial do 1.º grau, 
crescente. 
C A empresa receberá a quantia de R$ 360.000,00 somente se todos os 120 
alunos participem da festa. 
D A função que descreve, em termos da quantidade de participantes da festa, 
a quantia que a empresa receberá dos alunos é uma função polinomial do 2.º 
grau, com concavidade para cima. 
E O valor máximo que a empresa poderá receber dos alunos é igual a R$ 
405.000,00. 
 
Resolução 
 
Vamos interpretar a questão: 
 
I - Os 120 alunos que iniciaram o curso de administração de uma 
universidade contrataram os serviços de uma empresa organizadora 
de eventos para preparar a festa de formatura da turma ao final do 
curso. Para se resguardar de possíveis prejuízos com reprovação ou 
desistência de alunos, o contrato previa que cada formando que 
participaria da festa pagaria à empresa a quantia de R$ 3.000,00, 
acrescido de R$ 50,00 para cada colega que, por qualquer motivo, não 
participasse da festa. 
 
Total de Alunos (A) = 120 
Valor = R$ 3.000,00 + R$ 50,00 para cada colega que não participasse 
 
II - A partir da situação hipotética apresentada acima, assinale a 
opção correta, considerando que x dos 120 alunos participarão da 
festade formatura. 
 
 
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Vamos analisar as alternativas: 
 
A Se 40 alunos não participarem da festa, então a despesa com a empresa de 
eventos para cada um daqueles que participar será superior a R$ 6.000,00. 
 
De acordo com a alternativa, 40 alunos não participarão da festa. Portanto, 
teremos o seguinte valor pago por cada aluno que participar: 
 
Valor Pago por Aluno = R$ 3.000,00 + R$ 50,00 x 40 alunos ⇒ 
⇒ Valor Pago por Aluno = R$ 3.000,00 + R$ 2.000,00 = R$ 5.000,00 
A alternativa está incorreta. 
 
B A função, em termos da variável x, que descreve a despesa de cada um dos 
alunos que participarão da festa é uma função polinomial do 1.º grau, 
crescente. 
 
Considerando que x é o número de alunos que participará da festa, o número 
de alunos que não participará será igual a (120 alunos – x). Portanto, a função 
para calcular o valor pago por cada aluno será: 
 
Valor Pago por Aluno = R$ 3.000,00 + R$ 50,00 . (120 – x) 
 
Portanto, como a variável x está com sinal negativo, está função representa 
uma função polinomial de 1o grau decrescente. É de 1o grau, pois o maior 
expoente de x na função é 1 (x1 = x). 
A alternativa está incorreta. 
 
C A empresa receberá a quantia de R$ 360.000,00 somente se todos os 120 
alunos participem da festa. 
 
Se todos os alunos participarem da festa, o valor pago por aluno será: 
Valor Pago por Aluno = R$ 3.000,00 
 
Como são 120 alunos, a empresa receberá: 
Valor Recebido pela Empresa = R$ 3.000,00 x 120 alunos = R$ 360.000,00 
 
E aí? A alternativa está correta? Repare que a alternativa fala que a empresa 
receberá R$ 360.000,00 somente se todos os 120 alunos participarem da 
festa e é aí que está a pegadinha da examinadora. Vejamos: 
 
Considere que x alunos participem da festa. Portanto, o valor recebido pela 
empresa será: 
 
Valor Recebido pela Empresa = x . Valor Pago por Aluno ⇒ 
⇒ Valor Recebido pela Empresa = x . [3.000 + 50 . (120 – x)] ⇒ 
⇒ Valor Recebido pela Empresa = x . [3.000 + 6.000 – 50.x] ⇒ 
⇒ Valor Recebido pela Empresa = x . [9.000 – 50x] ⇒ 
⇒ Valor Recebido pela Empresa = 9.000x – 50x2 
 
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Considerando um valor recebido pela empresa de R$ 360.000,00: 
 
360.000 = 9.000x – 50x2 
 
Se dividirmos os dois lados da igualdade por 50: 
7.200 = 180x – x2 ⇒ – x2 + 180x – 7.200 = 0 
 
Portanto, temos uma equação do segundo grau que, normalmente, indica a 
existência de duas raízes (soluções). Uma das soluções nós já conhecemos (x 
= 120 alunos), mas ainda há outra. Portanto, a alternativa está incorreta em 
virtude do “somente”. 
 
Vamos calcular a outra raiz? Temos a seguinte equação do segundo grau: 
– x2 + 180x – 7.200 = 0 
 
Vamos aos conceitos: 
ax2 + bx + c = 0 ⇒ x2 + (
b
a
)x + (
c
a
) = 0 (I), ou 
a (x – x´).(x – x´´) = 0 ⇒ (x – x´).(x – x´´) = 0 ⇒ 
⇒ x2 – x´´.x – x´.x + x´.x´´ = 0 ⇒ x2 – (x´+ x´´) x + x´x´´ = 0 (II) 
 
Comparando (II) com (I), temos as Relações de Girard: 
b
a
= – (x´+ x´´) ⇒ menos a soma das raízes 
c
a
= x´x´´ ⇒ produto das raízes 
 
No caso da questão, temos: 
a = – 1 
b = 180 
c = – 7.200 
 
b
a
= – (x´+ x´´) ⇒ 
180
1−
= – (x´ + x´´) ⇒ 180 = x´ + x´´ 
 
Como uma das raízes é 120, a outra será: 
180 = 120 + x´´⇒ 
⇒ x´´ = 180 – 120 = 60 
 
Vamos conferir? 
Valor Pago por Aluno = R$ 3.000,00 + R$ 50,00 . (120 – x) ⇒ 
⇒ Valor Pago por Aluno = R$ 3.000,00 + R$ 50,00 . (120 – 60) ⇒ 
⇒ Valor Pago por Aluno = R$ 3.000,00 + R$ 50,00 x 60 ⇒ 
⇒ Valor Pago por Aluno = R$ 3.000,00 + R$ 3.000,00 ⇒ 
⇒ Valor Pago por Aluno = R$ 6.000,00 
 
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Valor Recebido pela Empresa = x . Valor Pago por Aluno ⇒ 
⇒ Valor Recebido pela Empresa = 60 x R$ 6.000,00 ⇒ 
⇒ Valor Recebido pela Empresa = R$ 360.000,00 
A alternativa está incorreta. 
 
D A função que descreve, em termos da quantidade de participantes da festa, 
a quantia que a empresa receberá dos alunos é uma função polinomial do 2.º 
grau, com concavidade para cima. 
 
Vamos aos conceitos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, se a < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo. Por outro 
lado, se a > 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo. Vejamos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função que descreve o valor recebido pela empresa é: 
⇒ Valor Recebido pela Empresa = 9.000x – 50x2 
 
Portanto, é uma função polinomial do 2o grau, com concavidade para baixo, 
pois a = – 50. A alternativa está incorreta. 
 
E O valor máximo que a empresa poderá receber dos alunos é igual a R$ 
405.000,00. 
 
Um ponto importante no gráfico da parábola com concavidade para baixo é o 
seu máximo, que ocorre quando x é igual a –b/2a. E como calculamos este 
x 
y 
y = f(x) = ax2 + bx + c, a < 0 
x2 < x < x1 ⇒ y > 0 
x < x2 ou x > x1 ⇒ y < 0 
x = x1 ou x = x2 ⇒ y = 0 
-b/2a 
c 
x2 x1 
x 
y 
y = f(x) = ax2 + bx + c, a > 0 
x2 < x < x1 ⇒ y < 0 
x < x2 ou x > x1 ⇒ y > 0 
x = x1 ou x = x2 ⇒ y = 0 
-b/2a 
c 
x2 x1 
 
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ponto máximo? Simples! Basta derivar a função quadrática e igualar a zero. 
Lembra da derivada? Vejamos: 
 
Suponha que: F(X) = a.xn + b.xn-1 + c.xn-2 + ....+ w.x + z 
 
Se eu fosse fazer a derivada desta expressão (F´(x)), eu teria: 
 
F´(X) = a.n.xn-1 + b.(n-1).xn-2 + c.(n-2).xn-3 + ....+ w + 0, 
 
No caso, temos: 
 
f(x) = ax2 + bx + c 
 
Derivada de f(x) = f´(x) = 2.a.x2-1 + 1.b.x1-1 + 0 = 2ax + b 
 
Se igualarmos a derivada a zero: 
2ax + b = 0 ⇒ 2ax = - b ⇒ x = 
2
b
a
−
 
 
A função que descreve o valor recebido pela empresa é: 
Valor Recebido pela Empresa = 9.000x – 50x2 
a = – 50 
b = 9.000 
c = 0 
Ponto Máximo: x = 
2
b
a
−
 ⇒ x = 
9.000 9.000
90
2.( 50) 100
−
= =
−
 
 
Substituindo x (ponto máximo) na função: 
⇒ Valor Recebido pela Empresa = 9.000x – 50x2 
 
⇒ Valor Recebido pela Empresa (x = 90) = 9.000 x 90 – 50 x 902 ⇒ 
⇒ Valor Recebido pela Empresa (x = 90) = 810.000 – 50 x 8.100 ⇒ 
⇒ Valor Recebido pela Empresa (x = 90) = 810.000 – 405.000 ⇒ 
⇒ Valor Recebido pela Empresa (x = 90) = 405.000 
A alternativa está CORRETA. 
GABARITO: E 
 
 
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(Administrativa-MPS-2010-Cespe) 
Em determinado órgão, o recadastramento de 1.600 servidores será feito em, 
exatamente, 8 horas. Na equipe responsável pelo recadastramento, os 
membros são igualmente eficientes e cada um deles leva três minutos para 
recadastrar um servidor. Julgue os itens a seguir, acerca dessa equipe. 
 
17 A equipe conta com 12 membros. 
 
Resolução 
 
Vamos interpretara questão: 
 
I - Em determinado órgão, o recadastramento de 1.600 servidores será 
feito em, exatamente, 8 horas. 
 
Total de Servidores Recadastrados = 1.600 
Tempo de Duração = 8 horas = 8 x 60 minutos = 480 minutos 
 
II - Na equipe responsável pelo recadastramento, os membros são 
igualmente eficientes e cada um deles leva três minutos para 
recadastrar um servidor. 
 
Cada membro leva 3 minutos para recadastrar um servidor e os membros são 
igualmente eficientes. Se dividirmos o tempo total de duração do 
recadastramento pelo tempo que um membro da equipe leva para recadastrar 
um servidor, acharemos o número de membros da equipe de 
recadastramento: 
 
Número de Membros da Equipe de Recadastramento = 
480
3
 = 120 membros 
GABARITO: Errado 
 
18 Em 2 horas e 24 minutos, 5 membros da equipe recadastrarão 15% dos 
servidores. 
 
Resolução 
 
Tempo de Duração = 2 horas + 24 minutos = 2 x 60 minutos + 24 minutos 
Tempo de Duração = 120 minutos + 24 minutos = 144 minutos 
 
Sabemos que cada membro leva 3 minutos para recadastrar um servidor. 
Portanto, é possível calcular o número de servidores cadastrados por um 
membro: 
Número de Servidores Cadastrados por um Membro = 
144
3
 = 48 servidores 
 
 
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Considerando que somente 5 membros da equipe efetuarão o 
recadastramento: 
 
Número de Servidores Recadastrados = 5 membros x 48 servidores ⇒ 
⇒ Número de Servidores Recadastrados = 240 servidores 
 
Calculando o percentual de servidores em relação ao total de servidores: 
Percentual = 
240
1.600
 = 0,15 = 15% 
GABARITO: Certo 
 
19 Para recadastrar 520 servidores, 8 membros da equipe demorarão 3 horas 
e 15 minutos. 
 
Resolução 
 
Recadastramento de 520 servidores por 8 membros. 
 
Vamos calcular o número de servidores cadastrados por cada membro: 
 
Número de Servidores Cadastrados por Cada Membro = 
520
8
 = 65 servidores 
 
Como cada servidor é recadastrado em 3 minutos por cada membro da equipe, 
o tempo total seria: 
 
Tempo Total = 65 servidores x 3 minutos = 195 minutos ⇒ 
⇒ Tempo Total = 180 minutos + 15 minutos ⇒ 
⇒ Tempo Total = 3 x 60 minutos + 15 minutos = 3 horas e 15 minutos 
 
Repare que 180 minutos correspondem a 3 horas (3 x 60 minutos). 
GABARITO: Certo 
 
A partir das funções f(x) = x2 - 2x - 3 e g(x) = m(x - 1), em que a variável x e 
a constante m são reais, julgue os itens subsequentes, a respeito de seus 
gráficos em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy. 
 
20 Independentemente do valor de m, os gráficos dessas funções se 
interceptam em 2 pontos distintos. 
 
Resolução 
 
Para calcular a interseção de duas funções, devemos igualar as funções: 
 
f(x) = x2 - 2x – 3 
g(x) = m(x - 1) 
 
 
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x2 – 2x – 3 = m.(x – 1) ⇒ 
⇒ x2 – 2x – 3 = mx – m ⇒ 
⇒ x2 – 2x – mx – 3 + m = 0 ⇒ 
⇒ x2 – (2 + m)x + (m – 3) = 0 
 
Para que a interseção seja em dois pontos distintos, a equação acima (de 
segundo grau) deve possuir duas raízes reais e diferentes, independentemente 
do valor de m. 
 
Vamos aos conceitos principais: 
Uma equação de segundo grau é representada da seguinte maneira: 
 
ax2 + bx + c = 0; a,b e c ∈ ℝ , com a ≠ 0. 
 
Exemplo: 2x2 + 3x + 5 = 0; a = 2, b = 3 e c = 5. 
 
Raízes de uma equação do segundo grau: serão calculadas pela Fórmula 
de Bhaskara: 
 
ax2 + bx + c = 0 
 
2 4
2
b b ac
x
a
− ± −= 
2 4b ac∆ = − 
∆ = 0 ⇒ a equação possui uma raiz real dupla: x´= x´´; 
∆ > 0 ⇒ a equação possui duas raízes reais distintas: x´e x´´; e 
∆ < 0 ⇒ a equação não possui raiz real. 
 
Voltando à questão: 
x2 – (2 + m)x + (m – 3) = 0 
 
a = 1 
b = – (2 + m) 
c = m – 3 
 
2 4b ac∆ = − ⇒ 
⇒ ∆ = [– (2 + m)]2 – 4 x 1 x (m – 3) ⇒ 
⇒ ∆ = (2 + m)2 – 4 x (m – 3) ⇒ 
 
Repare que: 
(2 + m)2 = (2 + m).(2 + m) = 2 x 2 + 2 x m + 2 x m + m x m ⇒ 
⇒ (2 + m)2 = 4 + 4m + m2 
 
⇒ ∆ = 4 + 4m + m2 – 4m + 12 ⇒ 
⇒ ∆ = m2 + 16 
 
 
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Como qualquer número real ao quadrado é sempre maior que zero (Duvida? 
Veja abaixo!), m2 é sempre maior que zero. Consequentemente, o ∆ (delta) é 
sempre maior que zero e a equação do segundo grau do item possui sempre 
duas raízes reais distintas. 
 
Nota: Qualquer número real ao quadrado é maior que zero. 
Número real positivo ao quadrado: 42 = 16 > 0 
Número real negativo ao quadrado: (–4)2 = 16 > 0 
 
Portanto, independentemente do valor de m, os gráficos dessas 
funções se interceptam em 2 pontos distintos 
GABARITO: Certo 
 
21 Se m = 3, então os gráficos dessas funções se interceptam em pontos 
cujas abscissas são números racionais não inteiros. 
 
Resolução 
 
Vamos aos conceitos: 
Quando a equação for do tipo: ax2 + bx = 0, ou seja, o termo independente c 
for igual a zero, para calcular a raízes, basta colocar o x em evidência: 
 
ax2 + bx = 0 ⇒ x . (ax + b) = 0 
 
Raiz 1: x =0 
Raiz 2: ax + b = 0 
 
Vamos à resolução do item. Substituindo m = 3 na equação: 
 
x2 – (2 + m)x + (m – 3) = 0 ⇒ 
⇒ x2 – (2 + 3)x + (3 – 3) = 0 ⇒ 
⇒ x2 – 5x = 0 
 
Colocando x em evidência: x . (x – 5) = 0 
 
Portanto, para que equação acima seja igual zero, ou o primeiro termo da 
multiplicação é igual a zero (x = 0), ou segundo termo da multiplicação é igual 
a zero (x – 5 = 0), ou os dois termos são iguais a zero. 
 
Logo, as raízes da equação são: 
x = 0 
x – 5 = 0 ⇒ x = 5 
 
Ou seja, as duas raízes são números inteiros. 
GABARITO: Errado 
 
 
 
 
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As quantidades de empregados de três empresas são números positivos 
distintos que satisfazem, simultaneamente, às inequações x2 - 5x + 4 > 0 e 2x 
- 16 < 0. Nesse caso, é correto afirmar que 
 
22 o produto dos números correspondentes às quantidades de empregados 
dessas três empresas é igual 240. 
 
Resolução 
 
Primeiramente, vamos aprender o que são inequações. 
 
Inequações de Primeiro Grau 
Uma inequação de primeiro grau é representada da seguinte maneira: 
 
ax + b > 0; ou 
ax + b < 0; ou 
ax + b ≤ 0; ou 
ax + b ≥ 0. 
 a,b ∈ ℝ , com a ≠ 0. 
 
Para determinar a solução de uma inequação de primeiro grau devemos 
calcular sua raiz e também conhecer o gráficos da função de primeiro grau, 
que será assunto de aula posterior. Contudo, adiantando um pouco este 
assunto, teríamos os seguintes gráficos: 
 
f(x) = ax + b, a ≠ 0 
f(x) = y = 0 = ax + b ⇒ x = -b/a 
x = 0 => f(0) = y = b 
Quando a > 0 ⇒ a função é crescente 
Quando a < 0 ⇒ a função é decrescente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
y = f(x) = ax + b, a > 0 
-b/a 
b 
x 
y = f(x) = ax + b, a < 0 
-b/a 
b 
y 
 
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Exemplos: 
f(x) = 3x – 10 
f(x) = -2x + 1 
 
Exemplo: 2x + 3 < 0; a = 2 e b = 3. 
 
2x + 3 < 0 ⇒2x < -3 ⇒ x < 
3
2
−
 
Logo, teremos: 
Se x < 
3
2
−
, então 2x + 3 < 0 
Se x = 
3
2
−
, então 2x + 3 = 0 
Se x > 
3
2
−
, então 2x + 3 > 0 
Nota: Quando multiplicamos a inequação por um número k negativo, a 
desigualdade da inequação também inverte. 
 
Exemplo: 
- 2x + 3 < 0 ⇒ – 2x < -3 
Multiplicando por (–1) ⇒ (–1).( –2x) > (–1). (–3) ⇒ 2x > 3 ⇒ x > 
3
2
 
Inequações de Segundo Grau 
Uma inequação de segundo grau é representada da seguinte maneira: 
 
ax2 + bx + c < 0; ou 
ax2 + bx + c > 0; ou 
ax2 + bx + c ≤ 0; ou 
ax2 + bx + c ≥ 0. 
a,b e c ∈ ℝ , com a ≠ 0. 
 
Para determinar a solução de uma inequação de segundo grau devemos 
calcular suas raízes e também conhecer os gráficos da função de segundo 
grau, que será assunto de aula posterior. Contudo, adiantando um pouco este 
assunto, teríamos os seguintes gráficos: 
 
f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 
 
O gráfico será sempre uma parábola. 
a > 0 ⇒ parábola com concavidade para cima. 
a < 0 ⇒ parábola com concavidade para baixo. 
x1 e x2 ⇒ raízes da equação de segundo grau. 
 
 
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Nota: Se x1 = x2 => y ≥ 0, qualquer que seja x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: Se x1 = x2 => y ≤ 0, qualquer que seja x. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
f(x) = 3x2 – 10 
f(x) = -2x2 + x + 1 
 
x 
y 
y = f(x) = ax2 + bx + c, a < 0 
x2 < x < x1 ⇒ y > 0 
x < x2 ou x > x1 ⇒ y < 0 
x = x1 ou x = x2 ⇒ y = 0 
-b/2a 
c 
x2 x1 
x 
y 
y = f(x) = ax2 + bx + c, a > 0 
x2 < x < x1 ⇒ y < 0 
x < x2 ou x > x1 ⇒ y > 0 
x = x1 ou x = x2 ⇒ y = 0 
-b/2a 
c 
x2 x1 
x 
y 
c 
x1 = x2 
x 
y 
c 
x1 = x2 
 
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Exemplos: 
I) 2( ) 2 1 0f x x x= − + ≤ 
 
Primeiramente, precisamos calcular as raízes da equação do segundo grau: 
 
Calculando as raízes da equação: f(x) = x2 – 2x + 1 = 0 
⇒ (x – 1)2 = 0 (repare que (x – 1).(x – 1) = x2 – x – x + 1 = x2 – 2x + 1) 
⇒ x = 1 (raiz dupla). Portanto, esta equação nunca é menor que zero, mas 
será igual a zero em x = 1. Veja o gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2( ) 2 1 0f x x x= − + ≤ ⇒ Solução = {1}. 
 
II) 2( ) 2 3 2 0g x x x= − + + ≥ 
 
Calculando as raízes da equação: -2x2 + 3x + 2 = 0 
a = -2, b = 3 e c = 2 
22 3 3 4.( 2).24 3 9 16 3 5
2 4
2.( 2) 4
b b ac
x
a
− ± − −− ± − − ± + − ±
= = = =
−− −
 
Raízes: 
x = (-3 + 5)/-4 = -1/2 
x = (-3 – 5)/-4 = 2 
 
Logo, como a é negativo (-2), o gráfico seria da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2( ) 2 3 2 0g x x x= − + + ≥ ⇒ Solução = 
1
{ | 2}
2
x x
−
∈ ≤ ≤ℝ 
x 
y 
1 
x 
g 
-1/2 2 
 
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Nota: Quando multiplicamos a inequação por um número k negativo, a 
desigualdade da inequação também inverte. 
 
Exemplo: x2 - 2x + 3 < 0 
Multiplicando por (-1) ⇒ (-1). x2 - 2x + 3 < 0 ⇒ - x2 + 2x - 3 > 0 
 
Ufa! Agora vamos resolver o item. 
 
I - As quantidades de empregados de três empresas são números 
positivos distintos ... 
 
Vamos chamar as empresas de A, B e C e as quantidades de empregados de: 
 
Quantidade de Empregados da Empresa A = QA 
Quantidade de Empregados da Empresa B = QB 
Quantidade de Empregados da Empresa C = QC 
 
Como estamos tratando de quantidades de empregados, elas devem ser 
positivas (como informado na questão) e inteiras (não podemos dividir um 
empregado em dois ou três pedaços – risos). 
 
II - ... que satisfazem, simultaneamente, às inequações x2 - 5x + 4 > 0 
e 2x - 16 < 0. 
 
A) x2 – 5x + 4 > 0 
 
Vamos, inicialmente, calcular as raízes da equação: x2 – 5x + 4 = 0 
 
a = 1 
b = – 5 
c = 4 
 
Pela Fórmula de Bhaskara: 
2 4
2
b b ac
x
a
− ± −= 
 
2( 5) ( 5) 4.1.4
2.1
5 25 16 5 9 5 3
2 2 2
x
x
⇒
⇒ = =
− − ± − −
=
± − ± ±=
 
 
x1 = 
5 3 8
4
2 2
+
= = 
x2 = 
5 3 2
1
2 2
−
= = 
 
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Como a = 1 é maior que zero, a parábola tem a concavidade voltada para cima 
e será maior zero quando x > x1 ou x < x2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, x2 – 5x + 4 > 0 quando: x > 4 ou x < 1. 
 
B) 2x – 16 < 0 
 
a = 2 
b = – 16 
 
Primeiramente, vamos calcular a raiz da equação de primeiro grau: 
2x – 16 = 0 ⇒ 2x = 16 ⇒ x = 
16
2
 ⇒ x = 8 
Como a = 2 é maior, a inequação será menor que zero quando x < 8. Veja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, como as quantidades empregados das três empresas devem 
satisfazer as duas inequações, teríamos: 
 
x2 – 5x + 4 > 0 ⇒ x < 1 ou x > 4 
2x – 16 < 0 ⇒ x < 8 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
-b/2a 
c 
x2 x1 
x 
y 
y = f(x) = ax + b, a > 0 
-b/a 
b 
y 
1 4 8 
 
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Como a solução deve satisfazer as duas inequações, temos que considerar as 
duas interseções: 
 
1) x < 1 e x < 8 
2) x > 4 e x < 8 
 
Já vimos que: A quantidade de empregados deve ser inteira e positiva. 
 
Portanto, para x < 1 e x < 8 não há possibilidade, pois os números inteiros 
possíveis seriam 0, -1, -2, -3, .... (todos inteiros não positivos). 
 
Por outro lado, na interseção de x > 4 e x < 8, teríamos os números inteiros 
positivos 5, 6 e 7, que são, portanto, as quantidades de empregados das 
empresas A, B e C. 
 
III - o produto dos números correspondentes às quantidades de 
empregados dessas três empresas é igual 240? 
 
QA = 5 
QB = 6 
QC = 7 
 
Produto = 5 x 6 x 7 = 210 
GABARITO: Errado 
 
23 as três empresas têm, juntas, 18 empregados. 
 
Resolução 
 
QA + QB + QC = 5 + 6 + 7 = 18 empregados 
GABARITO: Certo 
 
(Polícia Civil do Espírito Santo -Nível Médio-2010-Cespe) 
No ano de 2002, o estado do Espírito Santo registrou um total de 953 vítimas 
de acidentes de trânsito, sendo que 177 eram do sexo feminino e 331 eram 
jovens de 15 a 29 anos de idade. Entre os jovens de 15 a 29 anos de idade, o 
número de vítimas do sexo masculino totalizava 283 pessoas. 
Internet: <www.ipeadata.gov.br> (com adaptações). 
 
De acordo com as informações do texto acima, julgue os itens que se seguem. 
 
24 O número de vítimas do sexo feminino que tem menos de 15 anos ou mais 
de 29 anos de idade é maior que 125. 
 
 
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Resolução 
 
Vamos interpretar a questão. 
 
I - No ano de 2002, o estado do Espírito Santo registrou um total de 
953 vítimas de acidentes de trânsito, sendo que 177 eram do sexo 
feminino... 
 
Total de Vítimas = 953 
Vítimas do Sexo Feminino = 177 
 
É possível calcular as vítimas do sexo masculino: 
 
Vítimas do Sexo Masculino = Total de Vítimas – Vítimas do Sexo Feminino 
Vítimas do Sexo Masculino = 953 – 177 = 776 
 
Vamos fazer uma tabela para nos auxiliar na resolução do item: 
 
Vítimas de 
Acidentes de 
Trânsito 
Sexo 
Feminino 
Sexo 
Masculino 
Total 
 177 776 953 
Total 
 
II - ...e 331 eram jovens de 15 a 29 anos de idade. Entre os jovens de 
15 a 29 anos de idade, o número de vítimas do sexo masculino 
totalizava 283 pessoas. 
 
Vítimas entre 15 e 29 anos de idade = 331 
Vítimas entre 15 e 29 anos de idade do sexo masculino = 283 
 
É possível calcular as vítimas do sexo feminino entre 15 e 29 anos: 
 
Vítimas entre 15 e 29 anos de idade do sexo feminino = 
= Vítimas entre 15 e 29 anos de idade - Vítimas entre 15 e 29 anos de idade 
do sexo masculino = 331 – 283 = 48 
 
Vítimas de 
Acidentes de 
Trânsito 
Sexo 
Feminino 
Sexo 
Masculino 
Total 
Entre 15 e 29 anos 48 283 331 
Mais de 29 anos 
Total 177 776 953 
 
 
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III - O número de vítimas do sexo feminino que tem menos de 15 anos 
ou mais de 29 anos de idade é maior que 125? 
 
Como temos o número total de vítimas do sexo feminino e o número de 
vítimas do sexo feminino entre 15 e 29 anos, é possível calcular o número de 
vítimas do sexo feminino com mais de 29 anos: 
 
Vítimas de 
Acidentes de 
Trânsito 
Sexo 
Feminino 
Sexo 
Masculino 
Total 
Entre 15 e 29 anos 48 283 331 
Mais de 29 anos = 177 – 48 
= 129 
 
Total 177 776 953 
 
Como 129 é maior que 125, o item está correto. 
GABARITO: Certo 
 
25 O número de vítimas do sexo feminino ou de jovens de 15 a 29 anos de 
idade é inferior a 500. 
 
Resolução 
 
Vamos calcular pela tabela novamente: 
 
Vítimas de 
Acidentes de 
Trânsito 
Sexo 
Feminino 
Sexo 
Masculino 
Total 
Entre 15 e 29 anos 48 283 331 
Mais de 29 anos = 177 – 48 
= 129 
 
Total 177 776 953 
 
O item pede: 
 
A) Número de Vítimas do Sexo Feminino = 177 
ou 
B) Número de Vítimas entre 15 a 29 anos = 331 
 
O “ou” representa a união dos dois conjuntos (letras “A” e “B”). 
 
Contudo, dentro do número de vítimas entre 15 e 29 anos, há vítimas do sexo 
feminino, que já consideramos na letra “A”, que justamente a interseção entre 
o número de vítimas do sexo feminino e o número de vítimas entre 15 e 29 
anos. 
 
 
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Portanto, teríamos: 
 
Número de Vítimas do Sexo Feminino 177 
(+) Número de Vítimas entre 15 e 29 anos 331 
(-) Número de Vítimas do Sexo Feminino entre 15 e 29 anos (48) 
(=) Número de Vítimas do Sexo Feminino ou entre 15 e 29 anos 460 
 
Como 460 é menor que 500, o item está correto. 
GABARITO: Certo 
 
26 O número de vítimas jovens de 15 a 29 anos de idade do sexo masculino é 
maior que seis vezes o número de vítimas do sexo feminino da mesma faixa 
etária. 
 
Resolução 
 
Vítimas entre 15 e 29 anos de idade do sexo masculino = 283 
Vítimas entre 15 e 29 anos de idade do sexo feminino = 48 
 
Se dividirmos um pelo outro = 
283
48
 = 5,89 
Portanto, o número de vítimas jovens de 15 a 29 anos de idade do sexo 
masculino é menor que seis vezes o número de vítimas do sexo feminino da 
mesma faixa etária. 
 
Caso você não quisesse fazer a divisão, poderia multiplicar o número de 
vítimas entre 15 e 29 anos do sexo feminino por 6 e verificar se é menor ou 
maior que o número de vítimas entre 15 e 29 anos do sexo masculino. 
Vejamos: 
 
6 x 48 = 288 > 283. Portanto, o item está errado. 
GABARITO: Errado 
 
27 Considere que os conjuntos A, B e C tenham o mesmo número de 
elementos, que A e B sejam disjuntos, que a união dos três possuia 150 
elementos e que a interseção entre B e C possuía o dobro de elementos da 
interseção entre A e C. Nesse caso, se a interseção entre B e C possui 20 
elementos, então B tem menos de 60 elementos. 
 
Resolução 
 
Vamos interpretar a questão: 
 
I - Considere que os conjuntos A, B e C tenham o mesmo número de 
elementos, ... 
 
Os três conjuntos possuem o mesmo número de elementos. 
 
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II - ...que A e B sejam disjuntos, ... 
 
Conjuntos Disjuntos são conjuntos que não possuem interseção. Portanto, 
teríamos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III - ...que a união dos três possuia 150 elementos e que a interseção 
entre B e C possuía o dobro de elementos da interseção entre A e C. 
 
União dos Três Conjuntos = 150 
Interseção entre B e C possui o dobro de elementos da interseção entre A e C 
 
A união conjuntos é formada por: 
 
X: número de elementos que pertencem somente ao conjunto A 
W: interseção entre os conjuntos A e C 
Y: número de elementos que pertencem somente ao conjunto C 
T: interseção entre os conjuntos B e C, que, de acordo com o enunciado é 
igual a 2W. 
Z: número de elementos que pertencem somente ao conjunto B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X + W + Y + T + Z = 150 ⇒ X + W + Y + 2W + Z = 150 ⇒ 
⇒ X + Y + Z + 3W = 150 (1) 
 
Além disso, como o número de elementos dos três conjuntos é igual, temos: 
 
Número de Elementos de A = X + W 
Número de Elementos de B = T + Z = 2W + Z 
Número de Elementos de C = W + Y + T = W + Y + 2W = 3W + Y 
 
 
 
 A B 
 
 
 A C B 
 W T 
 X Y Z 
 
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Número de Elementos de A = Número de Elementos de B ⇒ 
⇒ X + W = 2W + Z ⇒ X = 2W + Z – W ⇒ X = W + Z (2) 
 
Número de Elementos de A = Número de Elementos de C ⇒ 
⇒ X + W = 3W + Y ⇒ X = 3W + Y – W ⇒ X = 2W + Y (3) 
 
Número de Elementos de B = Número de Elementos de C ⇒ 
⇒ 2W + Z = 3W + Y ⇒ Z = 3W + Y – 2W ⇒ Z = W + Y (4) 
 
Substituindo (3) e (4) em (1): 
X + Y + Z + 3W = 150 ⇒ 
⇒ 2W + Y + Y + W + Y + 3W = 150 ⇒ 
⇒6W + 3Y = 150 
 
Dividindo os lados da igualdade por 3 (para simplificar): 
⇒2W + Y = 50 (5) 
 
IV - Nesse caso, se a interseção entre B e C possui 20 elementos, 
então B tem menos de 60 elementos? 
 
Considerando que a interseção entre B e C é igual a 20: 
T = 20 = 2W ⇒ W = 
20
2
 ⇒ W = 10 (6) 
 
Substituindo (6) em (5): 
2W + Y = 50 ⇒ 20 + Y = 50 ⇒ Y = 50 – 20 ⇒ Y = 30 (7) 
 
Substituindo (7) em (4): 
Z = W + Y ⇒ Z = 10 + 30 ⇒ Z = 40O número de elementos de B é igual a T + Z. 
Número de Elementos de B = T + Z = 20 + 40 = 60 
GABARITO: Errado 
 
(Polícia Militar-ES-2010-Cespe) 
Julgue os itens que se seguem, a respeito de operações com logaritmos. 
 
28 Se log5 b = 0,1, em que b é um número positivo, então logb 25 = 0,01. 
 
Resolução 
 
Vamos relembrar os conceitos: 
x = logb a (em “português”, teríamos que o logartimo de a na base b é igual a 
x). 
a = logaritmando, a > 0. 
b = base, b ≠ 1 e b > 0. 
x = logaritmo 
 
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x = logb a ⇒ a = bx (se o logaritmo de a na base b é igual a x, então, a igual 
a b elevado a x, ou seja, você deve pegar a base do logaritmo e elevar ao 
logartimo para achar o logaritmando). 
Nota: Quando não aparecer o valor da base, a base é igual a 10. 
 
Além disso, se bx = a ⇒ b = 
1
xa 
Exemplo: b2 = 25 ⇒ b = 
1 1
2.
2 225 5 5= = 
 
Vamos resolver a questão: 
log5 b = 0,1 ⇒ b = 50,1 
 
logb 25 = 0,01 ⇒ b0,01 = 25 = 52 ⇒ b = 
2
2000,015 5= 
 
Como b não é igual, nos dois cálculos acima, se log5 b = 0,1, em que b é um 
número positivo, então logb 25 é diferente de 0,01. 
GABARITO: Errado 
 
29 Tomando 0,301 e 0,477 como os valores aproximados de log10 2 e log10 3, 
respectivamente, é correto inferir que log10 72 = 1,578. 
 
Resolução 
 
Antes de resolver a questão, vamos relembrar algumas propriedades dos 
logaritmos: 
 
1) Logaritmo do produto: logb xy = logb x + logb y. 
Exemplo: 
log3 (9.27) = log3 243 = x ⇒ 3x = 243 = 35 ⇒ x = 5 
 
ou aplicando a propriedade do logaritmo do produto: 
log3 (9.27) = log3 9 + log3 27 = log3 32 + log3 33 = 2 + 3 = 5 
 
Logo, log3 (9.27) = log3 9 + log3 27 
 
2) Logaritmo do quociente: logb 
x
y
= logb x - logb y 
Exemplo: 
log3 (
9
27
) 
(como 27 e 9 são divisíveis por 9, podemos dividir o numerador e o 
denominador por 9 sem alterar a fração) 
log3 (
9
27
) = log3 (
1
3
) = x ⇒ 3x = 
1
3
= 3-1 ⇒ x = -1 
 
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ou aplicando a propriedade do logaritmo do quociente: 
log3 (
9
27
) = log3 9 - log3 27 = 2 - 3 = -1 
 
Logo, log3 (
9
27
) = log3 9 - log3 27 
 
3) Logaritmo da potência: logb xn = n . logb x 
 
Exemplo: 
log3 32 = x ⇒ 3x = 32 ⇒ x = 2 
 
ou aplicando a propriedade do logaritmo da potência: 
log3 32 = 2 . log3 3 = 2 . 1 = 2 
 
Logo, log3 32 = 2. log3 3 
 
Nota: logb x1/n = (
1
n
) . logb x 
 
Vamos resolver a questão. 
 
Vamos fatorar o número 72: 
72 2 
36 2 
18 
9 
3 
1 
2 
3 
3 
 
 
72 : 2 = 36 
36 : 2 = 18 
18 : 2 = 9 
9 : 3 = 3 
3 : 3 = 1 
Fatoração de 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 23 x 32 
 
log10 72 = log10 23.32 ⇒ 
 
Aplicando a propriedade do logaritmo do produto: 
⇒ log10 72 = log10 23 + log10 32 
 
Aplicando a propriedade do logaritmo da potência: 
⇒ log10 72 = 3 . log10 2 + 2 . log10 3 
 
 
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Substituindo os valores informados no item: 
 
log10 2 = 0,301 
log10 3 = 0,477 
 
⇒ log10 72 = 3 . log10 2 + 2 . log10 3 = 3 x 0,301 + 2 x 0,477 ⇒ 
⇒ log10 72 = 0,903 + 0,954 = 1,857 
GABARITO: Errado 
 
Considerando que 5 indivíduos tenham idades, em anos, correspondentes aos 
números inteiros positivos a1, a2, a3, a4 e a5, que os números a1, a2 e a5 
estejam, nessa ordem, em progressão geométrica com soma igual a 26 e que 
os números a1, a3 e a4 estejam, nessa ordem, em progressão aritmética de 
razão 6 e soma igual a 24, julgue os itens a seguir. 
 
30 A soma a2 + a3 + a4 é igual a 28. 
 
Resolução 
 
É uma questão que trata de progressão aritmética e progressão geométrica. 
Vamos aos conceitos principais. 
 
Progressão Aritmética (PA) 
É toda seqüência numérica cujos termos, a partir do segundo, são iguais ao 
anterior somado com um valor constante denominado razão. 
 
Exemplos: 
PA1 = (1, 5, 9, 13, 17, 21, ...) ⇒ razão = 4 (PA crescente) 
PA2 = (15,15, 15, 15, 15, 15, 15, ...) ⇒ razão = 0 (PA constante) 
PA3 = (100, 90, 80, 70, 60, 50, ...) ⇒ razão = -10 (PA decrescente) 
 
Seja a PA (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r. 
De acordo com a definição: 
a2 = a1 + 1.r 
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r 
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r 
(...) 
an = a1 + (n – 1) . r ⇒ Termo Geral da PA 
 
n ⇒ termo de ordem n (n-ésimo termo) 
r ⇒ razão 
a1 ⇒ primeiro termo 
 
Exemplo: Determine o milésimo termo da PA abaixo. 
PA = (1, 3, 5, 7, 9, ...) 
a1= 1 
r = 3 – 1 = 2 
a1000 (n = 1.000) = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999 
 
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Considere: 
aj ⇒ termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA 
ak ⇒ termo de ordem k (k-ésimo termo) da PA 
 
aj = ak + (j - k).r 
 
Exemplo: Se numa PA, o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a 
sua razão? 
a5 = 30 
a20 = 60 
a20 = a5 + (20 - 5) . r ⇒ 60 = 30 + (20 - 5).r ⇒ 
⇒ 60 - 30 = 15.r ⇒ r = 2 
 
Propriedades: 
I. Cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos 
deste. 
Exemplo: 
PA : (x, y, z) ⇒ y = (x + z) / 2 
Sabe-se que: x = y – r e z = y + r => (x + z)/2 = (y - r + y + r)/2 = 2y/2 = y 
 
II. A soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante. 
Exemplo: 
PA : (m, n, r, s, t) ⇒ m + t = n + s = r + r = 2r 
 
Soma dos n primeiros termos de uma PA 
Considere a seguinte PA = (a1, a2, a3, ..., an-1, an) 
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an = 
1 .
2
na a n
+
 
Exemplo: Calcule a soma dos 200 primeiros termos da PA abaixo. 
PA= (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ...) 
a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399 
Sn = 
1 1 399. .200 40.000
2 2
na a n
+ +
= = 
 
Progressão Geométrica (PG) 
É toda seqüência numérica cujos termos, a partir do segundo, são iguais ao 
anterior multiplicado por um valor constante denominado razão (q). 
 
Exemplos: 
PG1 = (1, 3, 9, 27, 81,...) ⇒ razão = 3 (PG crescente) 
PG2 = (15,15, 15, 15, 15, ...) ⇒ razão = 1 (PG constante ou estacionária) 
PG3 = (128, 64, 32, 16, 8, 4, ...) ⇒ razão = 1/2 (PG decrescente) 
PG4 = (1, -3, 9, -27, 81,...) ⇒ razão = -3 (PG alternante) 
 
 
 
 
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Seja a PG (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r. 
De acordo com a definição: 
a2 = a1 . q 
a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2 
a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3 
(...) 
an = a1 . qn-1 ⇒ Termo Geral da PG 
n ⇒ termo de ordem n (n-ésimo termo) 
q ⇒ razão 
a1 ⇒ primeiro termo 
 
Exemplo: Determine o milésimo termo da PG abaixo. 
PA = (1, 3, 9, 27, 81, ...) 
a1= 1 
q = 3/1 = 3 
a1000 (n = 1.000) = a1 .qn-1 = 1.31000-1 = 3999 
 
Considere: 
aj ⇒ termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA 
ak ⇒ termo