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1. Uma lâmina de aço de espessura (ou altura) t = 3 mm, comprimento L = 300 mm, largura b = 20 mm, módulo 
de elasticidade E = 210 x 109 Pa tem a sua face plana paralela ao plano horizontal e é usada como uma 
mola simplesmente apoiada nas duas extremidades para suportar uma massa na metade de seu 
comprimento. 
(a) Determinar a constante de mola para a força e deslocamento na direção vertical, na posição da massa. 
(b) Quais as modificações que se fariam nas dimensões da viga para duplicar a sua constante de mola? 
(c) Determinar a constante de mola se duas lâminas são usadas uma em cima da outra com lubrificante 
entre elas (não há atrito). 
(d) Encontrar a constante de mola se duas lâminas são usadas uma em cima da outra e soldadas juntas. 
 
2. Uma máquina de massa m = 500 kg é montada em uma viga de aço bi-apoiada, de comprimento L = 2 m, 
que possui uma seção transversal retangular (espessura = 0,1 m, largura = 1,2 m) e E = 210 x 109 N/m2. 
Para reduzir a flecha no centro da viga foi colocada uma mola de rigidez k, como mostra a Fig. 2.1. 
Determinar o valor de k necessário para reduzir a flecha da viga para um terço do seu valor original (sem a 
mola). Assumir que a massa da viga é desprezível. 
 
 
3. Um sistema de barra de torção de uma suspensão automotiva possui comprimento L = 1,5 m e diâmetro d 
= 18 mm. O módulo de elasticidade transversal é G = 85 GPa. 
(a) Determinar a rigidez torsional da barra para torques aplicados em ambas extremidades. 
(b) Determinar a rigidez torsional se o material da barra for bronze com G = 41 GPa. 
 
4. O eixo de um elevador em uma mina está suspenso por dois cabos de comprimento L = 150 m e diâmetro 
d = 20 mm cada. Os cabos são feitos de aço com módulo de elasticidade E = 210 x 109 Pa. 
(a) Determinar a constante de mola do sistema se for aplicada uma carga vertical na extremidade inferior do 
eixo para deslocamento na direção vertical. 
(b) Determinar como a constante de mola irá variar se o número de cabos for aumentado para quatro. 
(c) Determinar como a constante de mola irá variar se o diâmetro do cabo mudar para 30 mm (com dois 
cabos). 
 
5. Uma mola de lâminas múltiplas consiste de três lâminas de aço de comprimento L = 0,3 m, largura b = 0,10 
m e espessura t = 0,005 m (Fig. 2.2). Determinar a constante de mola para deflexão vertical se o módulo de 
elasticidade é E = 210 x 109 Pa e o bloco de conexão é rígido. Notar que as extremidades das lâminas 
permanecem sempre horizontais. 
 
 
6. Uma mola torsional conectando dois eixos, consiste de oito barras de d = 8 mm, conectadas como mostrado, 
em um círculo de um raio R = 100 mm, na Fig. 2.3. Se o seu comprimento é l = 250 mm e o módulo de 
elasticidade do material na mola é E = 210 GPa, calcular a constante de mola torsional e notar que cada 
barra está carregada em flexão com a sua extremidade permanecendo perpendicular aos discos. 
 
Figura3 
 
7. Uma barra de torção consiste de três segmentos com diâmetros de 30, 40, e 50 mm e comprimentos de 
400, 600, e 500 mm, respectivamente, conectados em série de forma a formar um eixo reto. Se G = 105 
GPa, determinar a constante de mola torsional. 
 
8. Uma mola helicoidal usada em uma transmissão de caminhão tem diâmetro do arame d = 10 mm, diâmetro 
D = 100 mm e tem 15 espiras, módulo de elasticidade transversal G = 81 GPa. 
(a) Encontrar a constante de mola axial. 
(b) Encontrar a constante de mola axial se for dobrado o número de espiras. 
(c) Encontrar a constante de mola se duas molas estão conectadas em paralelo. 
(d) Encontrar a constante de mola se duas molas são conectadas em série. 
 
 
9. Uma mola de retorno de uma manivela Fig. 2.4 possui seis espiras e é feita de aço com E = 2,1 x 1011 Pa, 
d =3 mm e de Di = 30 mm. Determinar a constante torsional da mola. 
 
 
 
 
 
 
10. Determinar a constante de mola equivalente para o sistema mostrado na Fig. 2.5, na direção de θ. 
 
11. Determinar a constante de mola equivalente torsional para o sistema mostrado na Fig. 2.6 
 
12. Determinar o comprimento do eixo vazado uniforme de diâmetro interno d e espessura t que possui a mesma 
constante de mola axial que o eixo sólido cônico mostrado na Fig. 2.7. 
 
 
 
 
 
 
 
13. Determinar a massa equivalente referente à coordenada x para o balancim mostrado na Fig. 2.8. 
 
 
14. Duas massas, com momentos de inércia de massa J1 e J2, são colocadas em eixos rígidos rotativos que 
são ligados por engrenagens, como mostra a Fig. 2.9. Se o número de dentes nas engrenagens 1 e 2 são 
n1 e n2, respectivamente, determinar o momento de inércia de massa equivalente correspondente a θ1. 
 
15. Determinar o momento de inércia de massa equivalente do trem de engrenagens mostrado na Fig. 2.10, 
com referência ao eixo de acionamento. Na Fig. 2.10, Ji e ni são os momentos de inércia de massa e os 
números de dentes, respectivamente, das engrenagens i, i=1,2, ... , 2N. 
 
16. Um oscilador harmônico possui massa m = 1,2 kg e constante de rigidez k = 8,5 kN/m. Determinar 
a frequência natural em rad/s, Hz, cpm (ciclos por minuto). 
 
17. Um oscilador harmônico possui massa m = 10 kg e período de vibração natural, medido em um 
osciloscópio, igual a 35 ms. Determinar a constante de mola. 
 
18. Um automóvel com massa de 2000 kg deforma suas molas da suspensão 0,02 m sob condições 
estáticas. Determinar a freqüência natural do automóvel na direção vertical assumindo que o 
amortecimento seja desprezível. 
 
19. Uma prensa industrial está montada sobre uma camada de borracha para isolá-la de sua base. Se 
a borracha está comprimida 5 mm pelo peso próprio da prensa, determinar a freqüência natural do 
sistema. 
 
20. Um sistema massa-mola possui um período natural de 0,21 seg. Qual será o período se a constante 
de mola é 
(a) aumentada em 50 % ? 
(b) reduzida em 50 % ? 
 
 
21. Um sistema massa-mola tem uma freqüência natural de 10 Hz. Quando a constante de mola é 
reduzida em 800 N/m, a freqüência natural é alterada em 45 % (a diferença). Determinar a massa 
e a constante de mola do sistema original. 
 
22. Um oscilador harmônico de massa m = 1 kg e rigidez k = 40 kN/m possui uma freqüência natural 
próxima à freqüência excitadora. Decidiu-se que se deveria mudar a massa ou a rigidez para 
diminuir a freqüência natural em 30% (a diferença). Determinar as possíveis mudanças requeridas. 
 
23. Uma mola helicoidal, quando fixada em uma extremidade e carregada na outra, requer uma força 
de 100 N para produzir um alongamento de 10 mm. As extremidades da mola estão agora 
rigidamente fixadas e uma massa de 10 kg é colocada no ponto médio de seu comprimento. 
Determinar o tempo necessário para completar um ciclo de vibração quando a massa vibra. 
 
24. O cilindro de um servo-mecanismo mostrado na Fig. 11 possui um pistão com m = 0,3 kg e está 
suportado por uma mola helicoidal de d = 1 mm, D = 10 mm, 10 espiras e G = 105 GN/m2. 
Determinar a frequência natural da vibração do pistão se não há óleo no cilindro. 
 
Figura 11 
 
 
25. O cilindro de uma válvula mostrado na Fig.12 tem um pistão com m = 0,2 kg e é suportado por uma 
mola helicoidal de 6 espiras com d = 2 mm, D = 30 mm, G = 105 GN/m2, determinar a freqüência 
natural de vibração do pistão se não há fluido na válvula. 
Figura 12 
 
26. Uma unidade de ar-condicionado está ligada ao solo por quatro molas de borracha. A massa da 
unidade é 300 kg e se deseja que a freqüência natural para vibração vertical esteja entre 32 e 40 
Hz. Determinar a faixa permissível da constante de cada mola. 
 
 
 
27. Um desumidificador de ar está suspenso no teto por 4 barras de meio metro de comprimento, 
posicionadas fixamente. A massa da unidade é de 200 kg e se deseja que a freqüência natural para 
vibração vertical seja maior do que 30 Hz e para vibração horizontal esteja entre 10 e 15 Hz. 
Determinar a faixa permissível para os diâmetros das barras. E = 210 GN/m2. 
 
 
 
28. Um coletor de lixolimpo está fixado no solo por 4 colunas de seção tubular retangular de espessura 
5 cm e comprimento 0,5 m. A massa da unidade é 500 kg e se deseja que a freqüência natural para 
vibração horizontal esteja entre 32 e 40 Hz. Determinar a faixa permissível para a largura da sessão 
tubular. E = 210 GN/m2. 
 
 
 
29. Um purificador de ar está fixado no solo por 6 pilares sólidos de ferro de forma retangular, com 100 
mm de largura por 50 mm de espessura, com comprimento 2 m, fixados tanto no solo como na 
unidade. A massa da unidade é 800 kg. Determinar as freqüências naturais horizontais nas duas 
direções. E = 210 GN/m2. 
 
 
30. Um pequeno compressor está apoiado em quatro molas de borracha que possuem constantes de 
rigidez 3,0 kN/m cada uma, na direção vertical, e 4,0 kN/m na direção horizontal. A massa da 
unidade é 30 kg. Determinar as freqüências naturais para vibrações horizontal e vertical. 
 
 
 
31. O núcleo móvel de um relé eletromagnético mostrado na Fig. 13 possui massa m = 12 gr, e está 
suportado por uma mola com k = 3,0 kN/m. Quando energizado, fecham-se os contatos, que estão 
montados em lâminas flexíveis de espessura 0,8 mm e 6 mm de largura. A lâmina móvel possui 
comprimento de 20 mm e as estacionárias possuem comprimentos de 15 mm cada. Determinar a 
freqüência natural com o relé aberto e fechado. E = 210 GN/m2. 
Figura 13 
 
32. Achar a freqüência natural de vibração do sistema massa-mola montado em um plano inclinado, 
como mostrado na Fig. 14. 
Figura 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33. Determinar a expressão para a freqüência natural do sistema mostrado na Fig. 15, considerando 
desprezíveis as massas das plataformas. 
Figura 15 
 
 
34. Uma mola helicoidal de rigidez k é cortada em duas metades e uma massa m é conectada às duas 
metades como mostra a Fig. 16(a). O período natural deste sistema é 0,5 seg. Se uma mola idêntica 
é cortada de forma que uma das partes tenha ¼ de seu comprimento enquanto que a outra parte 
tenha ¾, com a massa sendo conectada às duas partes como mostra a Fig. 16(b), qual será o 
período natural do sistema? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35. Para o pêndulo invertido mostrado na Fig. 20 que modela um tipo de sismógrafo: 
(a) Determinar a freqüência natural. 
(b) Se a mola k1 é removida para que o valor da constante de mola k2 a freqüência natural será 
zero? 
Figura 20 
 
36. Para o pêndulo controlado mostrado na Fig. 22 modelando um relógio: 
(a) Determinar a freqüência natural. 
(b) Para que valor da massa m2 a freqüência natural será zero? 
 
 
 
37. Resolver o problema 35 usando o método de Energia. 
 
38. Resolver o problema 36 usando o método de Energia. 
 
39. O sistema mostrado na Figura modela o braço de um sismógrafo vertical. 
(a) Determinar sua freqüência natural de oscilação em torno do pivô. 
(b) Determinar o valor da rigidez k que resultará no dobro da sua freqüência natural. 
 
 
40. Uma massa m é montada na extremidade de uma barra de massa desprezível e pode assumir três 
diferentes configurações como mostra a Figura. Determinar a configuração que proporciona a maior 
freqüência natural. 
 
 
 
 
 
 
41. A velocidade máxima atingida pela massa de um oscilador harmônico simples é 10 cm/s, e o período 
de oscilação é 2 s. Se a massa vibra livremente com deslocamento inicial de 2 cm, achar: 
(a) a velocidade inicial; 
(b) a amplitude do deslocamento; 
(c) a aceleração máxima e 
(d) o ângulo de fase. 
 
 
 
42. Uma máquina possui massa m = 250 kg e seu suporte tem rigidez k = 130 kN/m. Se a máquina em 
sua base é modelada como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, determinar: 
(a) a freqüência natural e 
(b) a equação do movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm na direção vertical. 
 
 
 
 
43. Uma máquina possui massa m = 250 kg e possui freqüência natural para vibração vertical ωn = 5140 
rad/s. Se a máquina em sua fundação é modelada como sistema de um grau de liberdade em 
vibração vertical, determinar: 
(a) a rigidez k do suporte elástico e 
(b) a equação do movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direção vertical 
provocada por um impacto. 
 
 
 
 
44. Uma máquina possui uma rigidez dos suportes k = 5,5 x 104 N/m e tem freqüência natural de 
vibração vertical ωn = 550 rad/s. Se a máquina em sua fundação é modelada como um sistema de 
um grau de liberdade em vibração vertical, determinar: 
(a) a massa da máquina e 
(b) a equação do movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial 
de 130 mm/s na direção vertical. 
 
 
 
 
45. Um instrumento eletrônico tem massa m = 3,4 kg e é suportado por 4 coxins de elastômero com 
uma rigidez k = 5400 N/m cada. Se o instrumento no seu suporte é modelado como um sistema de 
um grau de liberdade para vibração vertical, determinar: 
(a) a freqüência natural e 
(b) se uma ferramenta pesando 0,5 kgf cai sobre o instrumento medindo-se máxima amplitude de 
vibração do movimento resultante, igual a 1,7 mm, determinar a velocidade do conjunto 
imediatamente após o impacto da ferramenta. 
 
 
 
46. Um instrumento eletrônico tem massa m = 3,4 kg e é suportado por 4 coxins de elastômero com 
rigidez desconhecida. O instrumento no seu suporte é modelado como um sistema de um grau de 
liberdade para vibração vertical. Durante um teste, uma massa m1 = 0,5 kg cai sobre ele com 
velocidade desconhecida. O impacto foi plástico e a amplitude de vibração medida foi 2,2 mm com 
freqüência do movimento vertical resultante igual a 325 rad/s. Determinar: 
(a) a rigidez de cada um dos quatro coxins elásticos e 
(b) a velocidade da massa em queda, imediatamente antes do impacto. 
 
47. A massa m cai, de uma altura h, sobre um anteparo de massa desprezível, como mostra a Figura, 
e a colisão é plástica. Determinar a resposta do sistema. 
 
 
 
 
 
48. A massa m cai, de uma altura h, sobre uma massa m1, como mostra a Figura, e a colisão é plástica. 
Determinar a resposta do sistema. 
 
 
 
 
49. Uma locomotiva de massa 60000 kg trafegando a uma velocidade de 20 m/s é parada no final dos 
trilhos por uma sistema massa-mola-amortecedor. Se a rigidez da mola é 40 kN/mm e a constante 
de amortecimento é 20 kN.s/m determinar: 
(a) o deslocamento máximo da locomotiva após atingir o sistema e 
(b) o tempo gasto para atingir o seu deslocamento máximo. 
 
 
50. Um oscilador harmônico possui massa m = 1,2 kg, constante de amortecimento c = 12 N.s/m e 
constante de mola k = 0,5 kN/m. Determinar: 
(a) A freqüência natural amortecida. 
(b) O fator de amortecimento e o decremento logarítmico. 
51. A razão entre duas amplitudes sucessivas de um sistema de um grau de liberdade amortecido é 
18:1.Determinar a mesma relação de amplitudes se a quantidade de amortecimento é 
(a) dobrada, ou 
(b) reduzida para a metade. 
 
 
52. Um corpo vibrando com amortecimento viscoso completa 5 oscilações por segundo e em 50 ciclos 
sua amplitude diminui para 10 % de seu valor inicial. Determinar o decremento logarítmico e o fator 
de amortecimento. Qual será o percentual de diminuição do período de oscilação se o 
amortecimento for removido? 
 
 
53. Um sistema viscosamente amortecido tem uma rigidez de 5000 N/m, constante de amortecimento 
crítico de 20 N.s/m, e um decremento logarítmico de 2,0. Se o sistema recebe uma velocidade inicial 
de 1 m/s, determinar o deslocamento máximo do mesmo. 
 
 
54. Um oscilador harmônico possui massa m = 30 kg e constante de rigidez k = 100 kN/m. Determinar: 
(a) A constante de amortecimento para um fator de amortecimento ζ = 0,1. 
(b) O decremento logarítmico e a freqüência natural amortecida. 
 
 
55. Um oscilador harmônico amortecido possui massa m = 45 gr, constante de amortecimento c = 3,8 
N.s/m, e constante de rigidez k = 1500 N/m. Determinar: 
(a) O fator de amortecimento, o decremento logarítmico, e a freqüêncianatural amortecida. 
(b) A resposta a um deslocamento inicial de 1 mm. 
 
 
56. Um oscilador harmônico amortecido possui massa m = 3 kg e constante de rigidez k = 500 N/m. O 
decremento logarítmico medido foi 2,5. Determinar: 
(a) O fator de amortecimento. 
(b) A freqüência natural amortecida. 
 
 
57. Um oscilador harmônico amortecido possui massa m = 8 kg e constante de rigidez k = 1,2 MN/m. 
Determinar: 
(a) O fator de amortecimento e a freqüência natural amortecida para um decremento logarítmico 
0,05. 
(b) A constante de amortecimento. 
 
 
58. Uma máquina possui massa m = 250 kg e seu suporte tem constante de amortecimento c = 1,45 
kN.s/m e rigidez k = 130 kN/m. Se a máquina e sua base é modelada para vibração vertical como 
um sistema de um grau de liberdade, determinar: 
(a) A freqüência natural amortecida. 
(b) A expressão para o movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm na direção 
vertical. 
 
 
59. Uma máquina possui massa m = 250 kg e freqüência natural amortecida para vibração vertical d 
= 5140 rad/s. Através da medição do decremento logarítmico achou-se um fator de amortecimento 
 = 0,12. Se a máquina e sua base é modelada como um sistema de um grau de liberdade para 
vibração vertical, determinar: 
(a) A rigidez k do suporte elástico. 
(b) O movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direção vertical, imposta por um 
impacto. 
60. Uma máquina possui uma base com rigidez k = 55 kN/m e uma freqüência natural de vibração 
vertical amortecida ωd = 255 rad/s. Medindo-se o decremento logarítmico, determinou-se um fator 
de amortecimento ζ = 0,18. Se a máquina e sua base são modeladas como um sistema de um grau 
de liberdade em vibração vertical, determinar: 
(a) A massa da máquina. 
(b) O movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 
mm/s na direção vertical. 
 
61. Um instrumento eletrônico possui massa m = 3,4 kg e está apoiada em quatro coxins de elastômero 
com rigidez k = 5400 N/m cada um. O fator de amortecimento, medido a partir do decremento 
logarítmico, é ζ = 0,20. Se o instrumento e seus apoios é modelado como um sistema de um grau 
de liberdade em vibração vertical, determinar: 
(a) A freqüência natural. 
(b) Uma ferramenta pesando 0,5 kg cai sobre o instrumento resultando em uma amplitude de 
vibração de 1,7 mm. Determinar a velocidade inicial devido ao impacto da ferramenta.