Questões Calculo Aplicado

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28/06/2020 Blackboard Learn
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resposta:
A regra de L’Hospital pode ser aplicada diretamente quando as indeterminações são do tipo   ou    .
Portanto, é necessário, inicialmente, avaliar o tipo de indeterminação. Após essa verificação deve-se aplicar
a regra de L’Hospital para obter o valor do limite. Se a indeterminação persistir deve-se aplicar a regra
sucessivamente até obter um valor real. 
 
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido ao calcular  .
Resposta correta. A alternativa está correta, pois inicialmente foi verificado que o tipo de
indeterminação é  . Logo após aplicou-se a regra de L’Hospital, derivando-se o
numerador e denominador, separadamente, e assim obteve-se o valor de   para o limite.
Verifique os cálculos a seguir:
.
Pergunta 2
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resposta:
A derivada de uma função  aplicada a um ponto P é igual ao coeficiente angular da reta
tangente à curva   no ponto P. Sendo assim, é possível encontrar as equações da reta
tangente e da reta normal . Nesse contexto, encontre as equações da reta tangente e da reta normal à
curva  , no ponto  e analise as afirmativas a seguir. 
 
I. A equação da reta tangente é igual a  
II. A equação da reta normal é igual a    
III. O coeficiente angular da reta normal é o valor inverso do coeficiente angular da reta normal.
IV. A derivada da função  é igual à  , portanto, o coeficiente angular da
reta normal é igual a  .
 
Está correto o que se afirma em:
I e IV, apenas.
I e IV, apenas.
Resposta correta. De acordo com os cálculos a seguir: 
, a equação da reta tangente é igual a
 Como o coeficiente da reta normal é
igual ao valor oposto inverso do valor do coeficiente angular da reta tangente, a
equação da reta normal é igual a 
Pergunta 3
Em relação à derivada de uma função, podemos classificá-la da seguinte forma:   funções
contínuas não deriváveis,  funções contínuas, que só admitem até 1ª derivada,   funções
contínuas, que só admitem até 2ª derivada e assim sucessivamente até a função de classe 
 . Toda função polinomial racional é uma função de classe  , ou seja admite as
derivadas de todas as ordens. 
LIMA, E. L. Curso de análise. 9. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. v. 1.
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Nesse contexto, encontre a derivada da função  , sabendo que  , e assinale a
alternativa que indique qual é o resultado obtido para  .
Resposta correta. A derivada correta é igual a  . Inicialmente,   deve-se
utilizar a regra do quociente para obter a primeira derivada, que é igual a:
. Daí, deriva-se novamente para obter a segunda
derivada, aplicando novamente a regra do quociente. Portanto, temos:  
  
Pergunta 4
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Em relação ao estudo de máximo e mínimos de funções, pontos críticos, pontos de inflexão e de
assíntotas é necessário utilizar como ferramenta a primeira e a segunda derivada da função. Nesse
contexto, considere a função  , em que  e  e analise o
gráfico da  , na Figura a seguir. 
 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
Após levantamento dos dados e análise gráfica, avalie as alternativas a seguir. 
 
I.  possui valor mínimo local em  .
II. Existe ponto de inflexão em  .
III. Existe assíntota vertical em  porque  .
IV. Existe assíntota vertical em  porque  . 
 
É correto o que se afirma apenas em:
 
I e IV apenas.
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I e IV apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a alternativa I é verdadeira, porque 
 e  .  A alternativa II  é falsa, porque  . A
alternativa III  é falsa, porque existe assíntota vertical em  porque 
E por fim, a alternativa IV é verdadeira, porque existe assíntota
vertical em  porque  .
Pergunta 5
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resposta:
Ao calcular limites, pode ocorrer uma indeterminação matemática do tipo 0/0. Nesse caso, para
determinar o limite, devemos utilizar artifícios matemáticos para simplificar a função. Para funções
racionais polinomiais de grau 2, é recomendável utilizar a fatoração do polinômio, através da regra
prática em que  . Assim, basta encontrar as raízes do polinômio
por Bhaskara. Isso facilita bastante os cálculos. Nesse sentido, encontre o limite   e
assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para o limite.
-2.
-2.
Resposta correta. O valor correto para o limite é igual a -2 . Para fatorar o polinômio 
, utiliza-se o quadrado da diferença, portanto:  . Para
fatorar o polinômio de grau 2, por Bhaskara, as raízes são -1 e -2, portanto
. Assim, 
.
Pergunta 6
Dadas as curvas   e  e as retas verticais   e  , é necessário verificar
qual dessas funções está limitando a região superiormente. Observe a região limitada ao gráfico da
figura abaixo, que serve como suporte para o cálculo da área dessa região. Nesse sentido, encontre a
área proposta e assinale a alternativa correta.
 
Figura 4.2 - Região limitada pelas funções  e  e a reta  
 
  
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resposta:
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para encontrar a área proposta,
resolvemos a integral 
. Verifique que a função que limita superiormente é a exponencial, portanto, a função
integranda é  . Verifique, também, que a função exponencial não zera
quando  .
Pergunta 7
O deslocamento depende apenas das condições finais e iniciais de uma partícula em movimento, pois
o deslocamento é a medida da linha reta que une a posição inicial e a posição final em que a partícula
se encontra nesses instantes. Portanto, o valor do deslocamento só depende dessas posições, não
depende da trajetória. Tomando-se como base essa informação, resolva a situação problema a seguir. 
Considere a função velocidade   de um ponto material que se desloca ao
longo de uma reta, em que a velocidade é expressa em metros por segundo e o tempo em segundos.
A condição inicial do espaço-tempo é  . Com essas informações e o gráfico da figura a
seguir, analise as asserções e a relação proposta entre elas. 
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Fonte: Elaborada pela autora.
 
I. O deslocamento do ponto material do tempo inicial   até   é igual a - 60 m
Pois:
II. O deslocamento é igual a integral a 
  
  
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a asserção I é uma proposição
verdadeira, uma vez que o deslocamento do ponto material é dado por: 
 Consequentemente, a asserção II é verdadeira e justifica a I.
Pergunta 8
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Um avião levanta vôo, formando um ângulo de 30º com o chão. Mantendo essa inclinação, ele estará
a uma distância x, em km, do ponto de partida, quando atingir 4,5 km de altura. Nessas condições, o
valor de x, é:
9.
9.
Resposta correta. No triângulo retângulo o x é a hipotenusa, assim, sen30 
=4,5/x. Logo, x=4,5/0,5=9.
Pergunta 9
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Dois trens deixam a mesma direção num mesmo instante. Um deles em direção norte à razão de 80
km/h. O outro trem vai em direção leste à razão de 60 km/h, como mostra a Figura. Verifique que as
três grandezas, x, y e z variam com o tempo à medida que os trens se afastam. 
 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
A respeito da situação-problema apresentada, analise as afirmativas a seguir:
 
I. Por Pitágoras, é possível relacionar as variáveis x, y e z.
II. Os valores de x, y e z 1 hora depois que os trens deixaram a estação são iguais a 80, 60 e 120,
respectivamente.
III. Para encontrar a taxa de variação dz/dt é necessário derivar a equação da relação entre as
variáveis implicitamente.
IV. A velocidade com que os dois trens se afastam 1 hora depois de terem deixado a estação é igual a
100 km/h.
 
É correto o que se afirma apenas em:
I, III e IV apenas.
I, III e IV apenas.
Resposta correta.  A sequência está correta, pois por Pitágoras,
  
=   .
Pergunta 10
 Sabendo-se que a distância percorrida por uma partícula em um dado instante é a medida sobre a
trajetória descrita no movimento, o seu valor depende da trajetória. Com essa informação, resolva a
seguinte situação-problema.
 
Considere a função velocidade   de uma partícula que se desloca ao longo de
uma reta, em que a velocidade é expressa em metros por segundo e o tempo em segundos. Utilize o
gráfico da figura a seguir como suporte para ajudar na resolução da questão. Nesse contexto, analise
as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
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Fonte: Elaborada pela autora.
 
I. A distância percorrida da partícula do tempo inicial   até   é igual a 100 m.
Pois:
II. A distância percorrida é igual a área da região hachurada do gráfico da Figura 7. 
  
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a asserção I é uma proposição
verdadeira, uma vez que a distância percorrida é igual à área dada por
. Consequentemente, a asserção II também é verdadeira e justifica a I.