Aula01_Fundamentos

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Referências
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Dinâmica das Máquinas
Capítulo 01 - Conhecimentos preliminares para o estudo de dinâmica
Introdução
Conceitos fundamentais Fundamentos de álgebra de vetores
Metodologia Newton-Euler para análise dinâmica Referências
Mecânica: corpos em movimento ou repouso
· Estática: estudo dos esforços do corpo em repouso;
· Dinâmica: estudo dos aspectos geométricos do movimento (cinemática), bem como a relação com suas causas (cinética, ou também chamada de "dinâmica").
Introdução
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Simpli cações na análise de corpos:
· Partícula: corpo de dimensões desprezíveis comparado ao problema em análise;
· Corpo rígido: corpo de dimensões signi cativas que não sofre deformações.
Conceitos fundamentais
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Graus de liberdade (GDL): número mínimo de coordenadas para descrever o movimento do sistema
· Quantos GDL têm cada sistema abaixo?;
Conceitos fundamentais
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Graus de liberdade (GDL): número mínimo de coordenadas para descrever o movimento do sistema
· Quantos GDL têm cada sistema abaixo?;
Conceitos fundamentais
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Sistemas de coordenadas
· Sistema retangular (cartesiano) de coordenadas: em boa parte das aplicações utilizaremos o sistema cartesiano, mas
existem outras formas de se representar movimento
(coordenadas cilíndricas, polares, tangencial-normal, etc):
Conceitos fundamentais
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Sistemas de coordenadas
· Sistema inercial de coordenadas: sistema de referência
(podendo ser retangular, polar, cilíndrico,...) que não possui translação ou rotação signi cativas. Para engenharia normalmente o mesmo é xado em algum local na superfície terrestre (embora o planeta se movimente).
· Sistema móvel de coordenadas: em alguns problemas, especialmente quando existe movimento relativo, é
interessante de nir um sistema móvel solidário ao movimento de partes do sistema em análise. Esses sistemas móveis podem ser transladados e/ou rotacionados.
Sistemas de coordenadas
Exemplo: sistema inercial xo no Sol, sistema móvel solidário à Terra no qual se acompanha movimento de satélite.
Conceitos fundamentais
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Vetor: possui módulo, direção e sentido:
· Representação matemática:
vx 	
˙	˙	˙
˙v =	vy	= vx i + vy j + vz k	(1)
vz
sendo ˙i , ˙j e ˙k os vetores unitários ortogonais. O módulo do vetor pode ser fornecido por:2
z
2
y
2
x
.
˙v | =	v + v + v
|
(2)
Operações vetoriais:
Considerando: P˙ = Px˙i + Py˙j + Pz ˙k e Q˙ = Qx˙i + Qy˙j + Qz ˙k.
Adição de vetores
· Feita somando os termos de cada eixo individualmente:
P˙ + Q˙ = (Px + Qx )˙i + (Py + Qy )˙j + (Pz + Qz )˙k	(3)
Multiplicação de vetor por escalar
· Feita multiplicando os termos de cada eixo individualmente pelo escalar α:
αP˙ = (αPx )˙i + (αPy )˙j + (αPz )˙k	(4)
Produto escalar
· O produto escalar entre dois vetores com um ângulo θ entre eles que retorna um escalar:
P˙ · Q˙ = |P˙||Q˙| cos θ	(5)
· Note que o produto escalar entre vetores normais retorna 0,
sendo assim, o produto escalar entre P˙ e Q˙ pode ser dado por:
P˙ · Q˙ = Px Qx + Py Qy + Pz Qz	(6)
Produto vetorial
· O produto vetorial entre dois vetores P˙ e Q˙
com um ângulo θ
entre eles retorna um vetor normal ao plano formado pelos
mesmos:
P˙ × Q˙ = |P˙||Q˙| sin θn˙
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· É possível provar que isso implica que o produto vetorial pode ser calculado montando uma matriz com os componentes dos vetores e calculando o seu determinante:
˙i		˙j		˙k P˙ × Q˙ = . Px	Py	Pz
(8).
. Qx	Qy	Qz .
Derivada de vetores
· A derivada de um vetor pode ser feita derivando cada
componente do vetor. Importante notar que em casos onde os vetores unitários ˙i , ˙j e ˙k não rotacionarem (são portanto
constantes), a derivada do vetor P˙ será:
d P˙
= dPx ˙i + dPy ˙j + dPz ˙k	(9)
dt	dt	dt	dt
· Em casos onde os vetores unitários rotacionam, veremos que:
d P˙j
= dPx ˙i + dPy ˙j + dPz ˙k + P
˙i + P
˙ + P ˙k
	
dt	dt	dt	dt
x dt
y dt
z dt
Integração de vetores
· De modo análogo à derivada, a integração de P˙ no tempo t
pode ser dada por:
∫ P˙dt = .∫ Px dtΣ ˙i + .∫ Py dtΣ ˙j + .∫ Pz dtΣ ˙k	(10)
Fundamentos de álgebra de vetores
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Considere o vetor posição ˙x e calcule os vetores de velocidade e aceleração ao longo do tempo. Ilustre os vetores gra camente para t = 0 segundos, t = 1 segundo, e t = 2 segundos.
 t3 
˙x = −5t2	(11)0
O método Newton-|Euler é uma ferramenta para análise cinética do
movimento. A mesma é composta pelas 3 leis de Newton do movimento, juntamente com a lei de rotação de Euler.
Leis de Newton do movimento:
· 1a lei de Newton: um ponto material permanecerá em repouso ou movimento retilíneo uniforme se nenhuma força agir sobre ele.
· 2a lei de Newton: um ponto material submetido à força F˙
sofre uma aceleração ˙a de mesma direção e sentido de F˙ dada por:
F˙ = m˙a	(12)
sendo m a massa da partícula.
· 3a lei de Newton: forças mutuas de ação e reação entre dois pontos materiais tem mesma intensidade e direção mas com direções contrárias.
Metodologia Newton-Euler para análise dinâmica
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Leis de Newton do movimento:
Fonte: adaptado de https://extra.globo.com/esporte/lutas/
boxeador-perde-protetor-bucal-apos-levar-soco-em-luta-nos-jogos-de-glasgow-na-escocia-13458998. html
Metodologia Newton-Euler para análise dinâmica
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Lei de rotação de Euler:
· Equação análoga à 2a lei de Newton para descrever o efeito de
um momento M˙ aplicado no corpo rígido em termos de
Metodologia Newton-Euler para análise dinâmica
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aceleração angular α˙:
M˙ = I α˙
(13)
sendo I o momento de inércia de massa do corpo.
Abordagem geral para problemas de dinâmica:
Os seguintes procedimentos podem ser adotados para solução de problemas de dinâmica (cinemática + cinética):
1. De nição dos sistemas de coordenadas inercial e móveis (se necessário);
2. Análise cinemática: analisar os aspectos geométricos dos movimentos bem como suas restrições. Com base nisso conseguir expressões para deslocamento, velocidade e aceleração;
3. Diagrama de corpo livre (DCL): analisar forças atuantes em cada componente do sistema através de um DCL;
4. Análise cinética: usar informações extraídas da cinemática e do DCL para aplicar a 2a lei de Newton e a lei de Euler (se houver rotações envolvidas).