Gabarito prova 2 estruturas algébricas

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1.
	A teoria do resto é uma proposição matemática que generaliza o resto, ou a quantia restante depois de um processo de divisão, apresentando uma relação entre os valores do divisor e do dividendo. Considerando o Teorema do Resto, quanto aos possíveis restos da divisão de P(x) por D(x), analise as sentenças a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	Somente a sentença III está correta.
	 b)
	Somente a sentença II está correta.
	 c)
	Somente a sentença I está correta.
	 d)
	Somente a sentença IV está correta.
	2.
	Um polinômio é formado por vários monômios separados por operações, então o grau de um polinômio corresponde ao monômio de maior grau. Sendo assim, se dois polinômios P(x) e Q(x) não nulos têm graus m e n, respectivamente, então gr(P.Q) será igual a:
	 a)
	m + n.
	 b)
	m - n.
	 c)
	m · n.
	 d)
	n - m.
	3.
	O conjunto dos polinômios de grau n possui estrutura de anel, ou seja, existem duas operações binárias definidas sobre ele que obedecem a certas propriedades. Neste contexto, analise as sentenças a seguir e assinale a alternativa que corresponde a P(x) + Q(x), onde:
	
	 a)
	Somente a opção III está correta.
	 b)
	Somente a opção I está correta.
	 c)
	Somente a opção II está correta.
	 d)
	Somente a opção IV está correta.
	4.
	O conhecimento que hoje utilizamos para resolver problemas contendo valores desconhecidos não é exclusividade da nossa época. Conta-se que no Egito, desde 1800 a. C. já se utilizava métodos de resolução desses problemas. No entanto, nos dias atuais, a prática destas resoluções é muito mais dinâmica do que em outras épocas. Portanto, se 2 é raiz da equação x³ + 2x² - 5x + k = 0, então analise as opções a seguir:
I) k = -3.
II) k = 6.
III) k = -2.
IV) k = -6.
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o valor de k:
	 a)
	Somente a opção IV está correta.
	 b)
	Somente a opção I está correta.
	 c)
	Somente a opção III está correta.
	 d)
	Somente a opção II está correta.
	5.
	Podemos encontrar as raízes de uma determinada equação através da sua fatoração em equações de graus menores do que o grau da equação original. Aplicando este conceito na equação x³ - 4x² + 3x = 0, concluímos que o conjunto de suas raízes é:
	 a)
	S = {-1, 0, 1}.
	 b)
	S = {0, 1, 3}.
	 c)
	S = {-3, 0, 1}.
	 d)
	S = {-3, -1, 0}.
	6.
	O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer polinômio pode ser reescrito como um produto de polinômios de grau 1, onde suas raízes ocupam um lugar de destaque. O polinômio P(x) = 2x³ - 6x² + 8x - 24, possui -2i, 2i e 3 como raízes. Então, pelo Teorema da Decomposição, podemos escrever P(x) como:
	 a)
	2·(x² + 4)·(x - 3).
	 b)
	2·(x² - 4)·(x + 3).
	 c)
	2·(x² - 4)·(x - 3).
	 d)
	2·(x² + 4)·(x + 3).
	7.
	A determinação de todas, ou de algumas raízes de um polinômio é um problema importante, o qual tem sido estudado nos últimos quatro séculos. Além disso, podemos recair no uso de aritmética complexa, pois mesmo um polinômio com coeficientes reais, por exemplo, z² + 1 , pode ter apenas raízes complexas. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta uma das raízes do polinômio complexo P(x) = - i·x³ + 2·x² - 2 + i ?
	 a)
	O número complexo 2·i.
	 b)
	O número inteiro -1.
	 c)
	O número inteiro 1.
	 d)
	O número complexo i.
	8.
	O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer equação algébrica pode ser escrita em função de suas raízes. Quanto à equação algébrica de 3º grau, cujas raízes são 1, 3, e 4 e o coeficiente dominante é igual a 1, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) x³ - 8x² + 19x - 12 = 0
(    ) x³ - 7x² + 16x - 12 = 0
(    ) x³ - 5x² + 2 = 0
(    ) x³ - 2x² + 3x - 12 = 0
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	F - F - V - V.
	 b)
	V - F - F - F.
	 c)
	F - V - F - V.
	 d)
	F - F - F - V.
	9.
	Em matemática, muitas vezes nos deparamos com problemas envolvendo polinômios de grau 3. Uma das formas de resolvê-los é diminuindo o seu grau, fatorando-o por meio de divisões de polinômios. Baseado nisto, dividindo x³ - 4x² + 7x - 3 por um certo polinômio D(x), obtemos quociente Q(x) = x - 1 e resto R(x) = 2x - 1. Quanto ao valor do polinômio D(x), analise as opções a seguir:
I) 2x² - 3x + 2
II) x² - 3x + 2
III) x² - x + 1
IV) 3x² - 4x + 1
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	Somente a opção II está correta.
	 b)
	Somente a opção IV está correta.
	 c)
	Somente a opção I está correta.
	 d)
	Somente a opção III está correta.
	10.
	Achar as soluções de equações polinomiais foi um dos grandes desafios da Álgebra Clássica. As primeiras contribuições vieram com o matemático árabe AL-Khowarizmi no século IX, com importantes conclusões sobre a resolução de equações de 1º e 2º graus. Mais tarde, soube-se que as soluções de uma equação algébrica nem sempre se encontra totalmente dentro do conjunto dos números reais. Sendo assim, o conjunto solução da equação algébrica x³ + x = 0 é:
	 a)
	S = {-i, i, 1}.
	 b)
	S = {1, -1, i}.
	 c)
	S = {0, 1, i}.
	 d)
	S = {0, -i, i}.