Avaliação II NOTA 10 - Estruturas Algébricas

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1. A determinação de todas, ou de algumas raízes de um polinômio é um problema importante, o qual tem sido 
estudado nos últimos quatro séculos. Além disso, podemos recair no uso de aritmética complexa, pois mesmo 
um polinômio com coeficientes reais, por exemplo, z² + 1 , pode ter apenas raízes complexas. Assinale a 
alternativa CORRETA que apresenta uma das raízes do polinômio complexo P(x) = - i·x³ + 2·x² - 2 + i ? 
 
a) O número inteiro 1. 
 
b) O número complexo i. 
 
c) O número complexo 
2·i. 
 
d) O número inteiro -1. 
 
 
2. O conhecimento que hoje utilizamos para resolver problemas contendo valores desconhecidos não é 
exclusividade da nossa época. Conta-se que no Egito, desde 1800 a. C. já se utilizava métodos de resolução 
desses problemas. No entanto, nos dias atuais, a prática destas resoluções é muito mais dinâmica do que em 
outras épocas. Portanto, se 2 é raiz da equação x³ + 2x² - 5x + k = 0, então analise as opções a seguir: 
 
I) k = -3. 
II) k = 6. 
III) k = -2. 
IV) k = -6. 
 
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o valor de k: 
 
a) Somente a opção III está 
correta. 
 
b) Somente a opção II está correta. 
 
c) Somente a opção IV está 
correta. 
 
d) Somente a opção I está correta. 
 
 
3. Achar as soluções de equações polinomiais foi um dos grandes desafios da Álgebra Clássica. As primeiras 
contribuições vieram com o matemático árabe AL-Khowarizmi no século IX, com importantes conclusões 
sobre a resolução de equações de 1º e 2º graus. Mais tarde, soube-se que as soluções de uma equação 
algébrica nem sempre se encontra totalmente dentro do conjunto dos números reais. Sendo assim, o conjunto 
solução da equação algébrica x³ + x = 0 é: 
 
a) S = {0, 1, i}. 
 
b) S = {0, -i, i}. 
 
c) S = {-i, i, 1}. 
 
d) S = {1, -1, 
i}. 
 
 
4. O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer equação algébrica pode ser escrita em função de suas 
raízes. Quanto à equação algébrica de 3º grau, cujas raízes são 1, 3, e 4 e o coeficiente dominante é igual a 1, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) x³ - 8x² + 19x - 12 = 0 
( ) x³ - 7x² + 16x - 12 = 0 
( ) x³ - 5x² + 2 = 0 
( ) x³ - 2x² + 3x - 12 = 0 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
a) F - V - F - 
V. 
 
b) V - F - F - F. 
 
c) F - F - V - 
V. 
 
d) F - F - F - V. 
 
 
5. A teoria do resto é uma proposição matemática que generaliza o resto, ou a quantia restante depois de um 
processo de divisão, apresentando uma relação entre os valores do divisor e do dividendo. Considerando o 
Teorema do Resto, quanto aos possíveis restos da divisão de P(x) por D(x), analise as sentenças a seguir e 
assinale a alternativa CORRETA: 
 
 
a) Somente a sentença IV está 
correta. 
 
b) Somente a sentença III está 
correta. 
 
c) Somente a sentença I está correta. 
 
d) Somente a sentença II está correta. 
 
 
6. Albert Girard (1590-1633) foi um matemático belga que estabeleceu relações de soma e produto entre as 
raízes de uma equação do 2º grau. Também criou uma estrutura que relacionava os coeficientes numéricos de 
uma equação de grau 3 com suas raízes. Baseado nisto, considerando as relações de Girard, analise as 
sentenças a seguir quanto à soma e ao produto das raízes da equação 5x³ + 10x² + 20x - 15 = 0: 
 
I) -2 e 3. 
II) 2 e -3. 
III) -2 e -3. 
IV) 2 e 3. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 
a) Somente a opção I está correta. 
 
b) Somente a opção III está 
correta. 
 
c) Somente a opção IV está 
correta. 
 
d) Somente a opção II está correta. 
 
 
7. Podemos encontrar as raízes de uma determinada equação através da sua fatoração em equações de graus 
menores do que o grau da equação original. Aplicando este conceito na equação x³ - 4x² + 3x = 0, concluímos 
que o conjunto de suas raízes é: 
 
a) S = {-1, 0, 1}. 
 
b) S = {-3, -1, 
0}. 
 
c) S = {0, 1, 3}. 
 
d) S = {-3, 0, 1}. 
 
 
8. Em matemática, na divisão de polinômios, utilizamos duas regras matemáticas fundamentais: realizar a 
divisão entre os coeficientes numéricos e divisão de potências de mesma base (conservar a base e subtrair os 
expoentes). Sendo assim, tomando as soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) é o quociente do polinômio 
x^4 - 10x³ + 24x² + 10x - 24 por x² - 6x + 5, analise as opções a seguir que procuram apresentar a solução 
desta equação, e classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) -1 e 5 
( ) -1 e -5 
( ) 1 e -5 
( ) 1 e 5 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
a) V - F - F - 
F. 
 
b) F - V - F - 
F. 
 
c) F - F - F - 
V. 
 
d) F - F - V - 
F. 
 
 
9. No estudo das estruturas algébricas, para verificar se um dado subconjunto de um grupo é um subgrupo, 
precisamos mostrar que ele é fechado para a operação do grupo e provar as três condições da definição de 
grupo. Quanto às possíveis definições para SUBGRUPO, analise as sentenças a seguir e assinale a alternativa 
CORRETA: 
 
 
a) Somente a sentença III está 
correta. 
 
b) Somente a sentença I está correta. 
 
c) Somente a sentença IV está 
correta. 
 
d) Somente a sentença II está correta. 
 
10. Em matemática, muitas vezes nos deparamos com problemas envolvendo polinômios de grau 3. Uma das 
formas de resolvê-los é diminuindo o seu grau, fatorando-o por meio de divisões de polinômios. Baseado 
nisto, dividindo x³ - 4x² + 7x - 3 por um certo polinômio D(x), obtemos quociente Q(x) = x - 1 e resto R(x) = 
2x - 1. Quanto ao valor do polinômio D(x), analise as opções a seguir: 
 
I) 2x² - 3x + 2 
II) x² - 3x + 2 
III) x² - x + 1 
IV) 3x² - 4x + 1 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 
a) Somente a opção II está correta. 
 
b) Somente a opção IV está 
correta. 
 
c) Somente a opção III está correta. 
 
d) Somente a opção I está correta.