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Os elementos algébricos de um espaço vetorial são os vetores. A partir daí, podem ser especificadas diversas propriedades que podem servir para o desenvolvimento de diversas aplicações dos vetores em Rn. A respeito das operações elementares que os espaços vetoriais devem respeitar, assinale a alternativa CORRETA: a) Subtração e Divisão. b) Elemento simétrico e Elemento neutro. c) Adição e Multiplicação. d) Adição e Subtração. 2. A Geometria Analítica, também denominada de coordenadas geométricas, se baseia nos estudos da Geometria através da utilização da Álgebra. Os estudos iniciais estão ligados ao matemático francês René Descartes (1596 -1650), criador do sistema de coordenadas cartesianas. Com base nos pontos A(3, -5) e B(-2, 7), analise as opções, determinando qual dos itens compõe o vetor formado pelo segmento AB e a sua norma respectivamente e, em seguida, assinale a alternativa CORRETA: a) Somente a opção II está correta. b) Somente a opção I está correta. c) Somente a opção IV está correta. d) Somente a opção III está correta. 3. Ao analisar os Espaços Vetoriais, podemos realizar a análise de sua dimensão. Nesse sentido, é possível relacioná-la com a quantidade de vetores LI que geram este espaço. As aplicações deste conceito são puramente utilizadas na matemática, nas provas de teoremas e propriedades. Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) A dimensão do conjunto de matrizes de ordem n x n é igual a n². ( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômio de grau 3 é igual a 3. ( ) A dimensão do R² é igual a 3. ( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3 é igual a 4. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: a) V - F - F - F. b) F - F - V - V. c) V - F - F - V. d) F - V - F - V. 4. A figura anexa apresenta a representação de um cubo de vértices nos pontos do espaço A, B, C, D, E, F, G e H. Neste cubo, imagine, vetores, todos com origem no vértice A, e com extremidades em todos os outros vértices (excetuando-se A). a) AB. b) AC. c) AE. d) AD. 5. Ao falarmos do Produto Interno, podemos nos confundir, muitas vezes. Por exemplo, em física, em particular nas aplicações da teoria da Relatividade, o produto interno tem propriedades um pouco diferentes do que as usuais. Podemos ter equívocos quanto ao produto escalar, comumente usado na geometria euclidiana, que é um caso especial de produto interno. Portanto, quanto à necessidade de definirmos Produto Interno corretamente, analise as sentenças a seguir: I- O produto interno se faz necessário por facilitar e tornar mais coerente, num espaço vetorial qualquer, noções como comprimento e distância. II- O produto interno se faz necessário para a generalização dos conceitos de autovalor e autovetor. III- O produto interno se faz necessário porque facilita o cálculo do determinante. IV- O produto interno se faz necessário porque determina se a transformação linear é um operador linear. Assinale a alternativa CORRETA: a) Somente a sentença IV está correta. b) Somente a sentença II está correta. c) Somente a sentença III está correta. d) Somente a sentença I está correta. 6. A normalização de um vetor é a simples transformação dele em um vetor unitário caso não seja. Este é um dos processos utilizados para delimitar vetores que são ortonormais (como nos estudos no Processo de GRAM-SCHMIDT), ou seja, além de serem ortogonais entre si, possuem comprimento igual a 1. Determine qual dos itens a seguir apresenta a normalização do vetor v = (6, 2, -3) e assinale a alternativa CORRETA: a) Somente a opção III está correta. b) Somente a opção IV está correta. c) Somente a opção I está correta. d) Somente a opção II está correta. 7. A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida, então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por elementos deste conjunto. A respeito das propriedades dos espaços vetoriais, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) Os espaços vetoriais preservam as operações de subtração e multiplicação por escalar. ( ) Os espaços vetoriais podem ser imaginados como domínio de contradomínio de operações lineares. ( ) A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço. ( ) A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: a) F - V - V - F. b) F - F - F - F. c) V - F - V - F. d) V - V - F - V. 8. As operações vetoriais existentes são a soma e a multiplicação por um escalar. Combinando estas operações, podemos realizar uma série de outros vetores que podem ser aplicados em diversas áreas. Sendo assim, dados os vetores u = (1, -2) e v = (3,-3), assinale a alternativa CORRETA que apresenta o vetor resultante da operação w = 2u - v: a) w = (1,1). b) w = (-1,-1). c) w = (2,-1). d) w = (4,-5). 9. Quando trabalhamos em geometria, analisar o comportamento de duas retas ou ainda como estas retas estão situadas no espaço é uma simples tarefa, pois basta fazer uma simples visualização. Porém, quando falamos de retas na geometria analítica ou de vetores representados por coordenadas, determinar a posição destas retas não é uma tarefa tão simples. Sobre o ângulo formado pelos pares de vetores, quais das opções a seguir apresentam somente os itens que são ortogonais: I - u = (2, -3, -2) e v = (1, 2, -2) II - u = (4, -2, 3) e v = (0, 2, 1) III - u = (-2, -1, 2) e v = (2, 1, 3) IV - u = (0, 2, -1) e v = (-3, -2, -4) V - u = (-2, 2, 0) e v = (-1, 1, -3) Assinale a alternativa CORRETA: a) As opções I e IV estão corretas. b) As opções III e V estão corretas. c) As opções I, III e IV estão corretas. d) Somente a opção II está correta. 10. A Geometria Analítica, também denominada de coordenadas geométricas, se baseia nos estudos da Geometria através da utilização da Álgebra. Os estudos iniciais estão ligados ao matemático francês René Descartes (1596 -1650), criador do sistema de coordenadas cartesianas. Com base nos pontos A(1, -2) e B(-2, -6), determine o vetor formado pelo segmento AB e a sua norma respectivamente. Analise as seguintes opções e assinale a alternativa CORRETA: a) Somente a opção II está correta. b) Somente a opção III está correta. c) Somente a opção I está correta. d) Somente a opção IV está correta.
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