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Probabilidade
• Experimento: ensaio cient́ıfico objetivando a verifica-
ção de um fenômeno.
– Experimentos determińısticos: as condições sob
as quais um experimento é executado determinam o
resultado do experimento.
– Experimentos não determińısticos ou probabi-
ĺısticos: o resultado do experimento é aleatório, ou
seja, existe a incerteza do resultado.
• Fenômeno aleatório: situação ou acontecimento cu-
jos resultados não podem ser determinados com certeza.
– Exemplos:
1. Resultado do lançamento de um dado;
2. Hábito de fumar de um estudante sorteado em sala;
3. Condições climáticas do próximo domingo;
4. Taxa de inflação do próximo mês;
5. Resultado de um exame de sangue.
Teoria dos Conjuntos
• Evento: resultado ou conjunto de resultados de um
experimento.
– Um único lançamento de uma moeda.
– Eventos: A : {cara}; B : {coroa}.
• O conjunto sem elementos é denotado por φ e é chamado
de conjunto vazio.
• Espaço amostral: o conjunto Ω de todos os resul-
tados posśıveis de um experimento é chamado espaço
amostral.
– Exemplos:
1. Lançamento de um dado;
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. Exame de sangue (tipo sangúıneo);
Ω = {A, B, AB, O}
3. Habito de fumar;
Ω = {Fumante, Não Fumante}
4. Tempo de duração de uma lâmpada;
Ω = {t : t ≥ 0}
• Exerćıcio: Supor um único lançamento de um dado,
observa-se o número impresso na face voltada para cima.
1. Definir o espaço amostral Ω.
2. Definir os seguintes eventos:
A: observar um número par;
B: observar um número ı́mpar;
C: observar um número maior do que 4;
D: Observar o número 8.
Operações Básicas Entre Conjuntos
• União: representa os elementos de Ω que pertencem a
pelo menos um dos eventos.
– Notação: A1
⋃
A2
⋃
. . .
⋃
An ou
n⋃
i=1
Ai.
– Exemplo: Considerando o experimento aleatório de
lançar um dado com seis faces numeradas de 1 a 6,
e sejam dois eventos, A = {1, 3, 5} e B = {4, 5, 6},
logo,
A
⋃
B = {1, 3, 4, 5, 6} .
• Intersecção: representa os elementos de Ω que ocor-
rem simultaneamente nos eventos.
– Notação: A1
⋂
A2
⋂
. . .
⋂
An ou
n⋂
i=1
Ai.
– Exemplo: Considerando o experimento aleatório de
lançar um dado com seis faces numeradas de 1 a 6,
e sejam dois eventos, A = {1, 2, 6} e B = {1, 2, 5},
logo,
A
⋂
B = {1, 2} .
• Complementar: representa todos os elementos de Ω
exceto os de um evento de interesse.
– Notação: Ac ou A.
– Exemplo: Considerando o experimento aleatório de
lançar um dado com seis faces numeradas de 1 a 6, e
seja o evento A = {1, 3, 5}, logo,
A = {2, 4, 6} .
– Resultados: A
⋃
Ac = Ω e A
⋂
Ac = φ.
• Eventos Disjuntos ou Mutuamente Exclusivos:
dois eventos são disjuntos se sua intersecção é vazia, ou
seja,
A
⋂
B = ∅,
– Exemplo: Considerando o experimento aleatório de
lançar um dado com seis faces numeradas de 1 a 6,
e sejam dois eventos, A = {1, 3, 6} e B = {2, 4, 5},
como A
⋂
B = ∅, então, A e B são eventos disjun-
tos.
• Exerćıcio: Seja o seguinte espaço amostral,
Ω = {1, 3, 6, 8, 9, 11, 13}
e sejam três eventos desse espaço amostral,
A = {1, 11, 13} , B = {1, 3, 6, 9, 11} e C = {3, 6, 8, 9}
1. Definir a união entre os eventos A e B, comentar o
resultado.
2. Definir a intersecção entre os eventos A e B, comen-
tar o resultado.
3. Definir a intersecção entre os eventos A e C, comen-
tar o resultado.
4. Definir o Complementar dos eventos A, B e C, co-
mentar os resultados.
Diagrama de Venn
• Exerćıcio: Sombreie no diagrama de Venn os eventos:
1. A; B e C.
2. A
⋂
B; B
⋂
C e A
⋂
B
⋂
C.
3. A
⋃
B; B
⋃
C e A
⋃
B
⋃
C.
4. Cc; (A
⋃
B)c e (A
⋃
B
⋃
C)c.
Definição Clássica de Probabilidade
P (A) = número de elementos em Anúmero total de elementos em Ω.
• Exerćıcio: Considerando o experimento aleatório de
lançar um dado não viciado com seis faces numeradas de
1 a 6. Definir a probabilidade de ocorrência dos seguintes
eventos:
1. A: observar um número par.
2. B: observar um número ı́mpar.
3. C: observar um número maior que 4.
4. D: observar o número 8.
Definição Frequêntista de Probabilidade
P (A) = número de ocorrências Anúmero de realizações do experimento.
• Exerćıcio: Considerar o experimento de lançar uma mo-
eda não viciada. Supor que essa moeda foi lançada 1500
vezes, no qual retornaram 768 caras e 732 coroas. Defi-
nir a probabilidade de ocorrência dos seguintes eventos:
1. A: observar cara na moeda.
2. B: observar coroa na moeda.
Axiomas de Probabilidade
• Kolmogorov apresentou um conjunto de axiomas mate-
máticos para definir probabilidade, são eles,
1. Axioma 1: para qualquer evento A, P (A) ≥ 0.
2. Axioma 2: P (Ω) = 1.
3. Axioma 3: Para qualquer seqüência de eventos, dis-
juntos, tem-se,
P
⎛
⎝ ∞⋃
i=1
Ai
⎞
⎠ = ∞∑
i=1
P (Ai) .
• Ou seja, uma função P (·) é denominada probabilidade
se satisfaz as condições apresentadas nesses Axiomas.
Propriedades de Probabilidade
1. P (∅) = 0.
2. Para qualquer evento A, P
(
A
)
= 1 − P (A).
3. Para qualquer evento A, 0 ≤ P (A) ≤ 1.
4. Se A ⊂ B, então P (A) < P (B).
5. Para dois eventos A e B quaisquer,
P
(
A
⋃
B
)
= P (A) + P (B) − P
(
A
⋂
B
)
(Regra de adição de probabilidades)
• Exerćıcio: Em uma comunidade, 20% dos indiv́ıduos
adultos são hipertensos, 40% são diabéticos e 15% são
hipertensos e diabéticos. Se um indiv́ıduo for escolhido
ao acaso, qual a probabilidade dele:
1. Ser diabético, mas não hipertenso?
2. Ser hipertenso ou diabético?
3. Não ser hipertenso e nem diabético?
• Exerćıcios da Seção 2.1 (Magalhães, 2008): 1, 2, 3, 4 e
5
Probabilidade Condicional e Independência
• Em muitas situações práticas, o fenômeno aleatório com
o qual se trabalha pode ser separado em etapas. A infor-
mação do que ocorreu em uma determinada etapa pode
influenciar nas probabilidades de ocorrências das etapas
seguintes.
• Sejam A e B dois eventos quaisquer, tal que P (B) > 0,
logo,
P (A | B) = P (A
⋂
B)
P (B)
.
• No caso de P (B) = 0, alguns autores preferem igualar
a probabilidade P (A | B) a zero ou mesmo considerá-la
indefinida.
• Regra do produto de probabilidade
Sejam A e B eventos de Ω. Então,
P
(
A
⋂
B
)
= P (A | B) P (B) ,
com P (B) > 0
• Exerćıcio: Em uma comunidade, 20% dos indiv́ıduos
adultos são hipertensos, 40% são diabéticos e 15% são
hipertensos e diabéticos. Se um indiv́ıduo for escolhido
ao acaso, qual a probabilidade dele ser hipertenso, dado
que ele é diabético?
Independência de Eventos
• Dois eventos A e B são independentes se a informação
da ocorrência ou não de B não altera a probabilidade da
ocorrência de A, ou seja,
P (A | B) = P (A) , P (B) > 0,
• Resultado: Se dois eventos A e B são independentes,
então,
P
(
A
⋂
B
)
= P (A) P (B) .
• Se dois eventos são independentes, eles também são dis-
juntos?
• Exemplo: Uma empresa produz peças em duas má-
quinas I e II, que podem apresentar desajustes com
probabilidade 0, 05 e 0, 10, respectivamente. No ińıcio
do dia de operação um teste é realizado e caso a má-
quina esteja fora de ajuste, ela ficará sem operar nesse
dia passando por revisão técnica. Para cumprir o ńıvel
ḿınimo de produção pelo menos uma das máquinas deve
operar. Você diria que a empresa corre o risco de não
cumprir com suas metas de produção?
Partição do Espaço Amostral
• Os eventos C1, C2, . . . , Ck formam uma partição do es-
paço amostral se eles não têm intersecção entre si e se
sua união é igual ao espaço amostral. Isto é,
Ci
⋂
Cj = φ para i �= j e
k⋃
i=1
Ci = Ω
• Teorema de Bayes: Suponha que os eventos
C1, C2, . . . , Ck formem uma partição de Ω e que suas
probabilidades sejam conhecidas. Suponha ainda que
para um evento A, se conheçam as probabilidades
P (A | Ci) para todo i = 1, 2, . . . , k. Então, para qual-
quer j,
P (Cj | A) = P (A | Cj) P (Cj)∑k
i=1 P (A | Ci) P (Ci)
, j = 1, 2, . . . , k.
• Exerćıcio: Supor que um fabricante de sorvetes recebe 20% de
todo o leite que utiliza de uma fazenda F1, 30% de uma outra
fazendaF2 e 50% de F3. Um órgão de fiscalização inspecionou as
fazendas de surpresa, e observou que 20% do leite produzido por
F1 estava adulterado por adição de água, enquanto que para F2
e F3, essa proporção era 5% e 2%, respectivamente. Na indústria
de sorvetes os galões de leite são armazenados em um refrigerador
sem identificação das fazendas. Um galão foi escolhido ao acaso e
o leite estava adulterado. Qual a probabilidade de que a amostra
adulterada tenha sido obtida do leite fornecido pela fazenda F1?
• Exerćıcios da Seção 2.2 (Magalhães, 2008): 1, 3, 4, 5, 6.
• 2.3 Exerćıcios (Magalhães, 2008): 1, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14,
15, 17, 18, 19, 21, 23.
Variáveis Aleatórias Discretas
• Uma quantidade X é denominada variável aleatória dis-
creta se assume valores num conjunto enumerável, com
certa probabilidade.
• Função Discreta de Probabilidade: A função que
atribui a cada valor da variável aleatória sua probabili-
dade é denominada função de probabilidade (f.p.),
P (X = xi) = p (xi) = pi, i = 1, 2, . . .
ou ainda,
X x1 x2 x3 · · ·
pi p1 p2 p3 · · ·
em que, 0 ≤ pi ≤ 1 e
∑
i pi = 1.
• Exerćıcio: Com dados do último censo, a assistente
social de um Centro de Saúde constatou que para as fa-
ḿılias da região, 20% não têm filhos, 30% têm um filho,
35% têm dois filhos e as restantes se dividem igualmente
entre três, quatro ou cinco filhos. Supor que uma faḿı-
lia será escolhida aleatoriamente nessa região e o número
de filhos averiguado. Definir a função de probabilidade
para a variável aleatória número de filhos.
• Função Distribuição de Probabilidade: A Função
Distribuição de Probabilidade ou Função Acumulada de
Probabilidade de uma variável aleatória discreta X é de-
finida por,
F (x) = P (X ≤ x)
• Exerćıcio: Uma população de 1000 crianças foi analisada num
estudo para determinar a efetividade de uma vacina contra tipo
de alergia. No estudo, as crianças recebiam uma dose de vacina
e após um mês passavam por um novo teste. Caso ainda tivesse
tido alguma reação alérgica, recebiam outra dose da vacina. Ao fim
de 5 doses todas as crianças foram consideradas imunizadas. Os
resultados completos estão na tabela a seguir.
Doses 1 2 3 4 5
Freq. 245 288 256 145 66
Definir a função de probabilidade, a função acumulada de probabi-
lidade e fazer um gráfico da função acumulada de probabilidade.
• Exerćıcios da Seção 3.1 (Magalhães, 2008): 1, 3, 4, 5, e 6.
Medidas de Tendência Central Para Variáveis
Aleatórias Discretas
• Média:
μ = E (X) =
k∑
i=1
pixi
• Mediana:
Md : P (X ≥ Md) ≥ 0, 5 e P (X ≤ Md) ≥ 0, 5
• Moda:
Mo = valor com maior probabilidade
• Exerćıcio: Considerar uma v.a. X com função de den-
sidade discreta dada por
X 2 5 8 15 20
pi 0, 1 0, 3 0, 2 0, 2 0, 2
Encontrar a média, a mediana e a moda dessa variável
aleatória.
• Exerćıcios da Seção 4.2 (Magalhães, 2008): 4, 5, e 6.
Variância Para Variáveis Aleatórias Discretas
• Variância:
σ2 = V ar (X) =
k∑
i=1
pi (xi − μ)2
• Variância (alternativa):
V ar (X) =
k∑
i=1
pix
2
i − μ2 = E
(
X2
) − [E (X)]2
• Exerćıcio: Considerar uma v.a. X com função de densidade dis-
creta dada por
X 2 5 8 15 20
pi 0, 1 0, 3 0, 2 0, 2 0, 2
Encontrar a variância dessa variável aleatória.
Propriedades da Média e Variância
• Y = aX + b
• E (Y ) = aE (X) + b
• V ar (Y ) = a2V ar (X)
• Exerćıcios da Seção 4.3 (Magalhães, 2008): 4 e 5.
Principais Modelos Discretos
• Modelo Uniforme Discreto: Seja X uma variável aleatória cujos
posśıveis valores são representados por x1, x2, x3, . . . , xk. A variável
aleatória X vai seguir distribuição Uniforme Discreta se atribui a
mesma probabilidade 1/k a cada um desses k valores, isto é, sua
função de probabilidade é dada por,
P (X = xi) =
1
k
, i = 0, 1, 2, . . . , k.
• Exerćıcio: Uma rifa tem 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Tenho
5 bilhetes consecutivos numerados de 21 a 25, e meu colega tem
outros 5 bilhetes, com os números 1, 11, 29, 68 e 93. Quem tem
maior probabilidade de ser sorteado?
• Modelo Bernoulli: Uma variável aleatória X segue distribuição
Bernoulli se seus valores são dicotômicos (0 ou 1) e representam a
ocorrência de fracasso ou sucesso. Com p representando a probabi-
lidade de sucesso, 0 ≤ p ≤ 1, sua função de probabilidade é dada
por,
P (X = x) = px (1 − p)1−x , x = 0, 1.
• Modelo Binomial: Considerando a repetição de n ensaios de
Bernoulli independentes e todos com a mesma probabilidade de
sucesso p. A variável aleatória que conta o número total de sucessos
k é denominada Binomial com parâmetros n e p, X ∼ b (n, p), se
sua função de probabilidade é dada por,
P (X = k) =
(
n
k
)
pk (1 − p)n−k , k = 0, 1, 2, . . . , n
em que, (
n
k
)
=
n!
k! (n − k)!.
• Exerćıcio: O escore em um teste internacional de proficiência na
ĺıngua inglesa varia de 0 a 700 pontos, com mais pontos indicando
um melhor desempenho. Informações coletadas durante vários anos,
permitem estabelecer o seguinte modelo para o desempenho no
teste:
Pontos [0, 200) [200, 300) [300, 400) [400, 500) [500, 600) [600, 700)
pi 0,06 0,15 0,16 0,25 0,28 0,10
Várias universidades americanas, exigem um escore ḿınimo de 600
pontos para aceitar candidatos de páıses de ĺıngua não inglesa. De
um grande grupo de estudantes brasileiros que prestam o último
exame, escolhe-se ao acaso 20 deles. Qual seria a probabilidade de
no máximo 3 atenderem ao requisito ḿınimo mencionado?
• Exerćıcios da Seção 3.2 (Magalhães, 2008): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
• Modelo Geométrico: Seja p a probabilidade de sucesso de um
experimento, a distribuição geométrica pode ser pensada como o
número de ensaios de Bernoulli que precedem o primeiro sucesso.
Uma variável aleatória X tem distribuição geométrica de parâmetro
p, X ∼ G (p), se sua função de probabilidade é dada por,
P (X = k) = p (1 − p)k , 0 ≤ p ≤ 1 e k = 0, 1, 2, . . .
• Exerćıcio: Uma linha de produção está sendo analisada para efeito
de controle da qualidade das peças produzidas. Tendo em vista o
alto padrão requerido, a produção é interrompida para regulagem
toda vez que uma peça defeituosa é observada. Admitindo que cada
peça processada tem a mesma probabilidade 0, 01 de ser defeitu-
osa, independente da qualidade das demais, qual a probabilidade da
vigésima peça observada ser defeituosa?
• Modelo Poisson: Seja λ a freqüência média ou esperada de ocor-
rências de um evento de interesse num determinado intervalo de
tempo, uma variável aleatória X tem distribuição de Poisson com
parâmetro λ > 0, X ∼ P (λ), se sua função de probabilidade é
dada por,
P (X = k) =
e−λλk
k!
, k = 0, 1, 2, . . .
• Exerćıcio: A emissão de part́ıculas radioativas tem sido modelada
através de uma distribuição de Poisson, com o valor do parâmetro
dependendo da fonte utilizada. Suponha que o número de part́ıcu-
las alfa, emitidas por minuto, seja uma variável aleatória seguindo
o modelo de Poisson com parâmetro 5, isto é, a taxa média de
ocorrência é de 5 emissões a cada minuto. Calcular a probabilidade
de haver mais de 2 emissões em um minuto.
• Modelo Hipergeométrico: Considerar um conjunto
de n objetos dos quais m são do tipo I e n − m são do
tipo II. Para um sorteio de r objetos (r < n) feito ao
acaso e sem reposição, X é o número de objetos selecio-
nados do tipo I. A variável aleatória X segue distribuição
Hipergeométrica se sua função de probabilidade é dada
por,
P (X = k) =
(
m
k
) (
n − m
r − k
)
(
n
r
) , k = 0, 1, 2, . . . , min (r,m) .
• Exerćıcio: Uma fábrica produz peças que são embaladas em cai-
xas com 25 unidades. Para aceitar o lote enviado para a fábrica, o
controle de qualidade de uma empresa procede da seguinte forma.
Sorteia uma caixa do lote e, em seguida, sorteia cinco peças, sem
reposição, dessa mesma caixa. Se constatar no máximo duas de-
feituosas, aceita o lote fornecido pela fábrica. Se a caixa sorteada
tivesse 4 peçasdefeituosas, qual seria a probabilidade de rejeitar o
lote?
• Exerćıcios da Seção 3.3 (Magalhães, 2008): 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
• 3.4 Exerćıcios (Magalhães, 2008): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 e 27.
Valor Esperado e Variância Para Modelos
Discretos
Modelos Discretos Valor Esperado Variância
Uniforme (1, k) 1+k2
k2−1
12
Bernoulli (p) p p (1 − p)
Binomial (n, p) np np (1 − p)
Geométrica (p) 1−pp
1−p
p2
Poisson (λ) λ λ
Hipergeométrica (n, m, r) rmn
r(r−1)m(m−1)
n(n−1)
• Exerćıcios da Seção 4.3 (Magalhães, 2008): 6.
• 4.4 Exerćıcios (Magalhães, 2008): 14, 15, 16, 17, 18,
19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 e 31.
Variáveis Aleatórias Cont́ınuas
• Uma quantidade X é denominada variável aleatória con-
t́ınua se assume valores num conjunto não enumerável,
ou seja, seus valores pertencem a um intervalo dos nú-
meros reais.
• Função Densidade de Probabilidade: Uma função
f (x) é uma função cont́ınua de probabilidade ou função
densidade de probabilidade (f.d.p.) para uma variável
aleatória cont́ınua X, se satisfaz duas condições.
– f (x) ≥ 0, para todo x ∈ (−∞,∞).
– A área definida por f (x) é igual a 1.
• Ou seja, ∫ ∞
−∞
f (x) dx = 1
• Para a ≤ b,
P (a ≤ X ≤ b) =
∫ b
a
f (x) dx
• Para qualquer valor de k,
P (X = k) = 0
• Exerćıcio: Em um teste educacional com crianças, o tempo para a
realização de uma bateria de questões de racioćınio verbal e lógico
é medido e anotado para ser comparado com um modelo teórico.
Este teste é utilizado para identificar o desenvolvimento das crianças
e auxiliar a aplicação de medidas corretivas. O modelo teórico con-
sidera T : tempo de teste em minutos, como uma variável aleatória
cont́ınua com função densidade de probabilidade dada por,
f (t) =
⎧⎪⎨
⎪⎩
1
40 (t − 4) , se 8 ≤ t ≤ 10
3
20, se 10 ≤ t ≤ 15
0, caso contrário
Verificar se a função f (t) satisfaz a definição de densidade e calcular
a probabilidade do tempo do teste estar entre 9 e 12 minutos.
Medidas de Tendência Central Para Variáveis
Aleatórias Cont́ınuas
• Média:
μ = E (X) =
∫ ∞
−∞
xf (x) dx
• Mediana:
Md : P (X ≥ Md) ≥ 0, 5 e P (X ≤ Md) ≥ 0, 5
• Moda:
Mo = max
x
f (x)
Variância Para Variáveis Aleatórias Cont́ınuas
• Variância:
σ2 = V ar (X) =
∫ ∞
−∞
(x − μ)2 f (x) dx
• Variância (alternativa):
V ar (X) =
∫ ∞
−∞
x2f (x) dx − μ2 = E (X2) − [E (X)]2
• Exerćıcio: Arqueólogos estudaram uma certa região e estabelece-
ram um modelo teórico para a variável C: comprimento de fósseis
da região (cm). Supor que C é uma variável aleatória cont́ınua com
a seguinte função densidade de probabilidade,
f (c) =
{
1
40
(
c
10 + 1
)
, se 0 ≤ c ≤ 20
0, caso contrário
Determinar a média, a mediana, a moda e a variância da v.a. C.
Propriedades da Média e Variância
• Y = aX + b
• E (Y ) = aE (X) + b
• V ar (Y ) = a2V ar (X)
• Exerćıcios da Seção 6.1 (Magalhães, 2008): 1, 2, 3, 4 e
5.
Principais Modelos Cont́ınuos
• Modelo Uniforme Cont́ınuo: Uma variável aleatória X segue
distribuição uniforme cont́ınua no intervalo [a, b], a < b, se sua
função densidade de probabilidade é dada por,
f (x) =
1
b − a, a ≤ x ≤ b.
• Notação: X ∼ U [a, b].
• Exerćıcio: Com o objetivo de verificar a resistência à
pressão de água, os técnicos de qualidade de uma em-
presa inspecionam os tubos de PVC produzidos. Os tu-
bos inspecionados têm 6 metros de comprimento e são
submetidos a grandes pressões até o aparecimento do
primeiro vazamento, cuja distância a uma das extremi-
dades (fixada a priori) é anotada para fins de análise
posterior. Escolhe-se um tubo ao acaso para ser inspeci-
onado. Admitindo igual probabilidade de ocorrência de
vazamento em todos os pontos, determinar a probabili-
dade de que o vazamento esteja, no máximo, a 1 metro
das extremidades.
• Modelo Exponencial: Uma variável aleatória cont́ınua X, as-
sumindo valores não negativos, segue distribuição exponencial com
parâmetro α > 0 se sua densidade é
f (x) = αe−αx, x ≥ 0.
• Notação: X ∼ Exp (α).
• Exerćıcio: O intervalo de tempo em minutos entre
emissões consecutivas de uma fonte radioativa é uma
variável aleatória com distribuição exponencial de parâ-
metro α = 0, 2. Qual a probabilidade de haver uma
emissão em um intervalo superior ou igual a 7, sabendo-
se que ele é superior ou igual a 5 minutos.
• Modelo Normal: Uma variável aleatória cont́ınua X segue dis-
tribuição normal com parâmetros −∞ ≤ μ ≤ ∞ e σ2 > 0 se sua
densidade é dada por,
f (x) =
1
σ
√
2π
exp
[
−(x − μ)
2
2σ2
]
, −∞ ≤ x ≤ ∞.
• Notação: X ∼ N (μ, σ2).
• A variância σ2 é responsável pela forma da curva.
• A média μ é responsável pela locação (posição) da curva. • Exerćıcio: Seja X uma variável aleatória que representa a pressão
sangúınea sistólica. Considerar que, para a população de homens de
18 a 74 anos de um certo páıs, a pressão sistólica segue distribuição
aproximadamente normal com média de 129mmHg e desvio pa-
drão de 19, 8mmHg. Qual é a probabilidade, de nesta população,
ser selecionado um indiv́ıduo com pressão sangúınea sistólica entre
90, 2mmHg e 167, 8mmHg?
• A integral a baixo só pode ser resolvida de modo apro-
ximado e por métodos numéricos,
f (x) =
∫ b
a
1
σ
√
2π
exp
[
−(x − μ)
2
2σ2
]
, −∞ ≤ x ≤ ∞.
• Considerando a variável aleatória,
Z =
X − μ
σ
• Se X ∼ N (μ, σ2) então Z ∼ N (0, 1), ou seja,
E (Z) = E
(
X − μ
σ
)
= 0 e V ar (Z) = V ar
(
X − μ
σ
)
= 1.
• Os valores da distribuição normal padrão, Z ∼ N (0; 1),
são tabelados.
• Portanto,
P (a ≤ X ≤ b) = P (a − μ ≤ X − μ ≤ b − μ)
= P
(
a − μ
σ
≤ X − μ
σ
≤ b − μ
σ
)
= P
(
a − μ
σ
≤ Z ≤ b − μ
σ
)
• Exerćıcio: Seja X uma variável aleatória que representa a pressão
sangúınea sistólica. Considerar que, para a população de homens de
18 a 74 anos de um certo páıs, a pressão sistólica segue distribuição
aproximadamente normal com média de 129mmHg e desvio pa-
drão de 19, 8mmHg. Qual é a probabilidade, de nesta população,
ser selecionado um indiv́ıduo com pressão sangúınea sistólica entre
90, 2mmHg e 167, 8mmHg?
Valor Esperado e Variância Para Modelos
Cont́ınuos
Modelos Cont́ınuos Valor Esperado Variância
Uniforme [a, b] a+b2
(b−a)2
12
Exponencial (α) 1α
1
α2
Normal
(
μ, σ2
)
μ σ2
• Exerćıcios da Seção 6.2 (Magalhães, 2008): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e
9.
• 6.3 Exerćıcios (Magalhães, 2008): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31,
32 e 33.