Metodos_de_Energia_2

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fonte: Resistência dos Materiais (5ª. edição), R. C. Hibbeler, Pearson, 2006 
MÉTODOS DE ENERGIA (cont.) 
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA 
- cargas externas aplicadas lentamente a um corpo 
 → deformação do corpo, com realização simultânea de trabalho externo eU 
 → realização correspondente de trabalho interno iU , com armazenamento equivalente de 
energia de deformação no corpo 
- desconsidera-se: energia cinética e dissipação de energia 
- na faixa elástica, quando as cargas são removidas, corpo retorna à posição não-deformada 
→ conservação da energia do corpo: e iU U= (eq. 14.25) 
- uso na determinação de deslocamentos em pontos de elementos ou estruturas deformáveis 
 
 
fonte: Resistência dos Materiais (5ª. edição), R. C. Hibbeler, Pearson, 2006 
CASO 1 – TRELIÇA 
 
- carga conhecida P, aplicada gradualmente 
- cf. eq. 14.2, trabalho externo eU P 2= Δ , onde Δ = deslocamento vertical do nó onde P é aplicada 
- para força axial jN , desenvolvida por P em um elemento j, cf. eq. 14.16, ( ) 2i jjU N L 2AE= 
- somando-se as energias de deformação de todos os elementos da treliça, tem-se, cf. eq. 14.25 
 
2
j
j
N L1 P
2 2AE
Δ =∑ (eq. 14.26) 
- determinadas as forças jN e somadas as contribuições acima, pode-se determinar Δ 
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CASO 2 – VIGA SIMPLESMENTE APOIADA 
 
- carga conhecida P, produzindo deslocamento Δ no ponto de aplicação 
- cf. eq. 14.2, trabalho externo eU P 2= Δ 
- caso se despreze a contribuição da força cortante (razão?) e se considere apenas a do momento 
fletor, tem-se, cf. eqs. 14.17 e 14.25, que 
 
L 2
0
1 MP dx
2 2EI
Δ = ∫ (eq. 14.27) 
- obtido M, que decorre da ação de P, e avaliada a integral acima, pode-se determinar Δ 
 
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CASO 3 – VIGA EM BALANÇO 
 
- momento conhecido 0M , provocando deslocamento angular θ no ponto de aplicação 
- cf. eq. 14.5, trabalho externo 0e
MU
2
θ
= 
- assim sendo, cf. eqs. 14.17 e 14.25, chega-se a 
 
L 2
0
0
1 MM dx
2 2EI
θ = ∫ (eq. 14.28) 
- obtido M, que decorre da ação de 0M , e avaliada a integral acima, pode-se determinar θ 
 
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COMENTÁRIOS ADICIONAIS 
- abordagem via conservação da energia, apresentada anteriormente, é limitada ao caso em que uma 
única força ou momento externo está atuando, ou seja, 
 → cálculo de um único deslocamento! 
- caso várias cargas estejam atuando, serão vários deslocamentos desconhecidos, mas apenas uma 
única equação disponível 
- abordagem válida, contudo, como introdução para análises mais gerais 
 → princípio do trabalho virtual 
 
 
 
 
 
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PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL 
- baseado na conservação de energia, possui várias aplicações na Mecânica em geral 
- na Mecânica dos Sólidos, em particular, 
→ uso na obtenção do deslocamento e da inclinação em pontos quaisquer de um corpo deformável 
- ponto de partida: para um corpo em equilíbrio estático, relacionam-se, de forma única, 
 - cargas externas P e cargas internas u → condições de equilíbrio 
 - deslocamentos externos Δ e deslocamentos internos δ → condições de compatibilidade 
 → validade para corpos de forma arbitrária! 
- pela conservação de energia, tem-se que 
 e iU U ou P u= Δ = δ∑ ∑ (eq. 14.35) 
 
 
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PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL (cont.) 
- corpo de forma arbitrária, sob acão de cargas externas ‘reais’ 1 2 3P , P e P 
- deseja-se o deslocamento Δ no ponto A, onde nenhuma força externa atua 
 → ou seja, Δ não aparece em nenhuma equação de trabalho externo! 
- imagina-se a existência de uma força ‘virtual’ externa P′ 
 → P′ age no ponto A, na mesma direção do deslocamento Δ 
- imagina-se ainda que P′ seja aplicada antes das cargas reais 
 → por conveniência (evidenciada a seguir), P 1′ = 
- P′ cria carga virtual interna u em elemento representativo do corpo 
 → P′ e u podem ser relacionadas por condições de equilíbrio 
 → P′ e u causam deslocamentos virtuais no corpo e no elemento 
- após P′ , são aplicadas as cargas 1 2 3P , P e P , com o ponto A deslocando-se 
 de Δ, enquanto o elemento deforma-se de dL (ambos são reais!) 
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PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL (cont.) 
- P′ e u deslocam-se, simultânea e respectivamente, de Δ e dL 
 → trabalho virtual externo sobre o corpo: 1.Δ 
 → trabalho virtual interno sobre o elemento: u.dL 
- considerando-se apenas a conservação da energia virtual, tem-se que: 
 trabalho virtual externo = 
 = trabalho virtual interno em todos os elementos do corpo, ou 
 1. u.dLΔ =∑ (eq. 14.36) 
onde P′ = 1 = carga unitária virtual externa, na direção de Δ 
 u = carga virtual interna sobre um elemento representativo 
 Δ = deslocamento externo, provocado pelas cargas reais (solução direta!) 
 dL = deslocamento interno do elemento na direção de u, provocado 
 pelas cargas reais 
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PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL (cont.) 
- caso se deseje o deslocamento angular (inclinação) θ num certo ponto do corpo, similarmente, 
 1. u .dLθθ =∑ (eq. 14.37) 
onde M′ = 1 = conjugado unitário virtual externo na direção de θ 
 uθ = carga virtual interna sobre um elemento representativo 
 θ = deslocamento angular externo, provocado pelas cargas reais (solução direta!) 
 dL = deslocamento interno do elemento na direção de uθ , provocado pelas cargas reais 
- carga virtual externa de magnitude unitária simplifica a determinação do que se deseja 
→ método das forças virtuais: força virtual para determinação de deslocamento externo real 
- pode-se também aplicar o princípio do trabalho virtual como 
→ método dos deslocamentos virtuais: deslocamentos virtuais para determinação de carga real 
 (externa ou interna) 
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TRABALHO VIRTUAL INTERNO 
- trabalho virtual interno desenvolvido no corpo → termos do lado direito da eq. 14.36 e eq. 14.37 
- para comportamento linear-elástico do material do corpo em análise, 
→ expressões de trabalho virtual interno via expressões de energia de deformação elástica 
 
- para energia de deformação, pressupõe-se que a tensão cresce gradualmente de zero a valor total 
→ trabalho elementar é igual à metade do produto tensão x deformação (vide eqs. 14.6 e 14.9) 
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TRABALHO VIRTUAL INTERNO (cont.) 
- carga virtual externa é aplicada antes das cargas reais, gerando cargas virtuais internas 
- quando ocorrem as deformações reais, as cargas virtuais internas já se encontram no valor final 
→ trabalho elementar de carga virtual é igual ao produto da carga virtual pelo deslocamento real 
- representando-se as cargas virtuais internas u por n, v, m e t, tem-se que as seguintes 
expressões de trabalho virtual interno 
 
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MÉTODO DAS FORÇAS VIRTUAIS APLICADO A TRELIÇAS 
- determinação do deslocamento num nó de uma treliça 
 
 → ação de cargas reais 1 2P e P 
 → deslocamento vertical Δ no nó A? 
- apenas forças axiais atuam internamente → trabalho virtual interno de cargas axiais 
- assume-se que cada elemento (j) da treliça tenha área de seção transversal constante jA 
- assume-se também que a carga virtual jn e a real jN são constantes ao longo de cada elemento (j) 
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MÉTODO DAS FORÇAS VIRTUAIS APLICADO A TRELIÇAS (cont.) 
- dessaforma, pela tabela anterior, o trabalho virtual interno no elemento (j) é 
 
L
j j j j j
j j0
n N n N L
 dx
A E A E
=∫ 
- aplicando-se o princípio do trabalho virtual para toda a treliça 
 j j j
jj
n N L
1.
A E
Δ =∑ (eq. 14.39) 
onde 1 = carga unitária virtual externa que atua na direção de Δ 
 Δ = deslocamento do nó A, provocado pelas cargas reais 
 jn = força virtual interna no elemento (j) da treliça, provocada pela carga unitária virtual 
 jN = força interna no elemento (j) da treliça, provocada pelas cargas reais 
 jL = comprimento do elemento (j) 
 jA = área da seção transversal do elemento (j) 
 E = módulo de elasticidade dos elementos da treliça 
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COMENTÁRIOS SOBRE O CASO DE TRELIÇAS 
 
→ carga unitária virtual externa cria cargas virtuais internas jn nos elementos da treliça 
→ cargas reais provocam deslocamento Δ na direção da carga unitária virtual 
→ cada elemento da treliça sofre um deslocamento ( )j j jN L A E na direção de sua carga virtual jn 
→ trabalho virtual externo = soma de todos os trabalhos virtuais internos, ou seja 
 j j j
jj
n N L
1.
A E
Δ =∑ (eq. 14.39) 
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MUDANÇA DE TEMPERATURA NOS ELEMENTOS DA TRELIÇA 
- elementos da treliça podem mudar de comprimento com a temperatura 
- mudança de comprimento de um elemento (j) é dada por 
 j j jL . T .LΔ = α Δ 
- assim, o deslocamento de um nó face à mudança de temperatura é 
 j j j
j
1. n T LΔ = αΔ∑ (eq. 14.40) 
onde 1 = carga unitária virtual externa que atua na direção de Δ 
 Δ = deslocamento do nó, provocado pela mudança de temperatura 
 jn = força virtual interna no elemento (j) da treliça, provocada pela carga unitária virtual 
 α = coeficiente de dilatação térmica dos elementos 
 jTΔ = mudança de temperatura do elemento (j) 
 jL = comprimento do elemento (j) 
 
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ERROS DE FABRICAÇÃO NOS ELEMENTOS DA TRELIÇA 
- elementos da treliça podem apresentar erros de fabricação jLΔ no comprimento 
- assim, o deslocamento de um nó face a erros de fabricação é 
 j j
j
1. n LΔ = Δ∑ (eq. 14.41) 
onde 1 = carga unitária virtual externa que atua na direção de Δ 
 Δ = deslocamento do nó, provocado por erros de fabricação 
 jn = força virtual interna no elemento (j) da treliça, provocada pela carga unitária virtual 
 jLΔ = diferença, por erro, no comprimento do elemento (j), em relação ao especificado 
 
Observação: 
Caso se tenha cargas externas + mudança de temperatura ou erros de fabricação 
→ combinar lados direitos da eqs. 14.39 a 14.41! 
 
fonte: Resistência dos Materiais (5ª. edição), R. C. Hibbeler, Pearson, 2006