BINÔMIO DE NEWTON - ANÁLISE COMBINATÓRIA

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BINÔMIO 
BINÔMIO DE NEWTON 
 
 
 
https://youtu.be/9NLwWni0H7U 
 
 
 
 
https://youtu.be/xFT7WW29Aio 
 
 
1. (ESPCEX) Determine o valor numérico do polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥4 + 4𝑥3 + 6𝑥2 + 4𝑥 + 2017 para 𝑥 = 89. 
 
 53 213 009. 61 342 008. 67 302 100. 
 57 138 236. 65 612 016. 
 
2. (EPCAR) O menor dos possíveis coeficientes do termo em 𝑥8, no desenvolvimento de (2 + 𝑥2 +
3𝑥3)10 é igual a 
 11.240 13.440 
 12.420 14.720 
 
3. (IME) No desenvolvimento de (𝑥 ⋅ 𝑠𝑒𝑛   2𝛽 +
1
𝑥
𝑐𝑜𝑠   2𝛽)
10
 o valor do termo independente de 𝑥 é igual 
a 
63
256
. Considerando que 𝛽 é um número real, com 0 < 𝛽 <
𝜋
8
 e 𝑥 ≠ 0, o valor de 𝛽 é: 
 
𝜋
9
 
 
𝜋
12
 
 
𝜋
16
 
 
𝜋
18
 
 
𝜋
24
 
 
 
4. (G1-IFAL) O termo independente no desenvolvimento do binômio (2𝑥2 −
3
𝑥3
)
5
 é 
 −720. 0. 720. 
 −360. 360. 
 
5. (MACKENZIE) Sabendo que ∑ (
𝑛
𝑝) = 256,
𝑛
𝑝=0 então o valor de 𝑛 vale 
 8 6 4 
 7 5 
 
6. (ESPCEX) O valor da expressão 𝐸 = (999)5 + 5 ⋅ (999)4 + 10 ⋅ (999)3 + 10 ⋅ (999)2 + 5 ⋅ (999) + 1 é 
igual a 
 9 ⋅ 103 
 9 ⋅ 1015 
 1015 
 999.999 
 999 ⋅ 1015 
 
7. (MACKENZIE) O número de valores de 𝑥, para os quais os coeficientes binomiais (
6
2𝑥
) e (
6
𝑥2
) sejam 
iguais, é 
 1 
 2 
 3 
 4 
 5 
 
8. (UECE) O coeficiente de 𝑥6 no desenvolvimento de (2𝑥 +
1
𝑥2
)
3
⋅ (𝑥2 +
1
2𝑥
)
3
 é 
 18. 
 24. 
 34. 
 30. 
 
9. (FGV) O coeficiente de 𝑥12 na expansão de (1 + 𝑥4+𝑥5)10 é igual a 
 120. 
 90. 
 81. 
 60. 
 54. 
 
10. (FGVRJ) Um grupo de oito aluno estão sendo liderado em um passeio por dois professores e, em 
determinado momento, deve se dividir em dois subgrupos. Cada professor irá liderar um dos subgrupos 
e cada aluno deverá escolher um professor. A única restrição é que cada subgrupo deve ter no mínimo 
um aluno. O número de maneiras distintas de essa subdivisão ser feita é 
 128. 
 64. 
 248. 
 254. 
 256. 
 
11. (UPF) Desenvolvendo o binômio (2 𝑥 − 3𝑦)3𝑛, obtém-se um polinômio de 16 termos. O valor de 𝑛 é: 
 15 
 10 
 5 
 4 
 2 
 
 
 
 
12. (UECE) No desenvolvimento de 𝑥(2 𝑥 +1)10 o coeficiente de 𝑥3 é 
 480. 320. 260. 180. 
 
13. (UECE) Se n é um número natural maior do que dois, ao ordenarmos o desenvolvimento de 
(𝑥2 +
1
2𝑥
)
𝑛
 segundo as potências decrescentes de 𝑥, verificamos que os coeficientes dos três primeiros 
termos estão em progressão aritmética. Nessas condições, o valor de n é 
 8. 
 6. 
 4. 
 10. 
 
14. (IME) O valor da soma abaixo é: 
 
(
2016
5
) + (
2017
5
) + (
2018
5
) + (
2019
5
) + (
2020
5
) + (
2016
6
) 
 (
2020
6
) 
 (
2020
7
) 
 (
2021
5
) 
 (
2021
6
) 
 (
2022
5
) 
 
15. (UERN) Considere a seguinte equação: (
𝑥 + 2
2
) = (
3𝑥 + 1
1
) 
 
A partir dessa equação, conclui-se que o número binomial (
2𝑥 − 1
2
) equivale a 
 3. 
 10. 
 21. 
 60. 
16. (ESPCEX) O termo independente de 𝑥 no desenvolvimento de (𝑥3 −
1
𝑥2
)
10
 é igual a 
 110. 
 210. 
 310. 
 410. 
 510. 
 
17. (PUCPR) Considere a função 𝑓(𝑥) = (𝑠𝑒𝑛𝑥  +  2 𝑐𝑜𝑠 𝑥)16. Segundo o desenvolvimento com os expo-
entes decrescente do termo 2  𝑐𝑜𝑠 𝑥, é CORRETO afirmar que: 
 o valor numérico do 11º termo para 𝑥 =
𝜋
4
 é igual a 22 ⋅ 𝐶16
10. 
 𝑓(0) = 0 
 𝑓 (
𝜋
2
) = 0 
 o valor numérico do 11º termo para 𝑥 = 0 é igual a 1. 
 o valor numérico do 11º termo para 𝑥 =
𝜋
2
 é igual a 1. 
 
18. (UECE) As soluções, em ℝ, da equação 𝑐𝑜𝑠4 𝑥 − 4 𝑐𝑜𝑠3 𝑥 + 6𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 4 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 1 = 0 são 
Sugestão: use o desenvolvimento do binômio (𝑝 − 𝑞)4. 
 𝑥 = 2𝑘𝜋, onde 𝑘 é um inteiro qualquer. 
 𝑥 = (2𝑘 + 1)𝜋, onde 𝑘 é um inteiro qualquer. 
 𝑥 = 𝑘𝜋, onde 𝑘 é um inteiro qualquer. 
 𝑥 = (4𝑘 + 1)𝜋, onde 𝑘 é um inteiro qualquer. 
 
 
 
 
Resposta da questão 1: [D] 
𝑝(𝑥) = 𝑥4 + 4𝑥3 + 6𝑥2 + 4𝑥 + 2017 
𝑝(𝑥) = 𝑥4 + 4𝑥3 + 6𝑥2 + 4𝑥 + 1 + 2016 
𝑝(𝑥) = (
4
0
) 𝑥4 ⋅ 10 + (
4
1
) 𝑥3 ⋅ 11 + (
4
2
) 𝑥2 ⋅ 12 + (
4
3
) 𝑥1 ⋅ 13 + (
4
4
) 𝑥0 ⋅ 14 + 2016 
𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1)4 + 2016 
𝑝(89) = (89 + 1)4 + 2016 
𝑝(89) = 904 + 2016 
𝑝(89) = 65610000 + 2016 
𝑝(89) = 65612016 
 
Resposta da questão 2: [C] 
 
Pelo Teorema Multinomial, temos 
31 2
3 31 2
2 3 10 2 3
1 2 3
2 3
1 2 3
10!
(2 x 3x ) 2 (x ) (3x )
! ! !
10!
2 3 x .
! ! !
αα α
α αα α
α α α
α α α
+
+ + =   
 
=   
 


 
 
Logo, queremos encontrar os valores de 𝛼1,  𝛼2 e 𝛼3 que satisfazem o sistema 
{
𝛼1 + 𝛼2 + 𝛼3 = 10
2𝛼2 + 3𝛼3 = 8
 . 
 
Vejamos a tabela abaixo com as possíveis soluções e o respectivo termo 𝑇. 
𝛼1 𝛼2 𝛼3 𝑇 
6 4 0 13440𝑥8 
7 1 2 414720𝑥8 
A resposta é 13440. 
 
Resposta da questão 3: [E] 
 
Utilizando o Binômio de Newton: 
(𝑥 ⋅ 𝑠𝑒𝑛   2𝛽 +
1
𝑥
𝑐𝑜𝑠   2𝛽)
10
= (
10
𝑝
) ⋅ (𝑥 ⋅ 𝑠𝑒𝑛   2𝛽)10−𝑝 ⋅ (
1
𝑥
𝑐𝑜𝑠   2𝛽)
𝑝
 
 
Como 𝑥 está multiplicando no primeiro termo e dividindo no segundo, para obter o termo inde-
pendente é necessário que os expoentes de 𝑥 sejam iguais. Ou seja: 
10 − 𝑝 = 𝑝 → 𝑝 = 5 
𝑇𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 = (
10
5
) ⋅ (𝑥 ⋅ 𝑠𝑒𝑛   2𝛽)5 ⋅ (
1
𝑥
𝑐𝑜𝑠   2𝛽)
5
 
(
10
5
) ⋅ (𝑠𝑒𝑛   2𝛽)5 ⋅ (𝑐𝑜𝑠   2𝛽)5 =
63
256
→
10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5!
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 5!
⋅ (𝑠𝑒𝑛   2𝛽 ⋅ 𝑐𝑜𝑠   2𝛽)5 =
7 ⋅ 9
23 ⋅ 25
 
(𝑠𝑒𝑛   2𝛽 ⋅ 𝑐𝑜𝑠   2𝛽)5 ⋅ 25 =
1
32
→ (2 𝑠𝑒𝑛   2𝛽 ⋅ 𝑐𝑜𝑠   2𝛽)5 =
1
32
→ (𝑠𝑒𝑛   4𝛽)5 =
1
25
 
𝑠𝑒𝑛   4𝛽 =
1
2
→ 0 < 𝛽 <
𝜋
8
→ 4𝛽 =
𝜋
6
→ 𝛽 =
𝜋
24
 
 
Resposta da questão 4: [E] 
 
Utilizando a fórmula do termo geral temos: 
𝑇𝑘+1 = (
𝑛
𝑘
) ⋅ 𝑎𝑛−𝑘 ⋅ 𝑏𝑘 = (
5
𝑘
) ⋅ (2𝑥2)5−𝑘 ⋅ (
3
𝑥3
)
𝑘
= 
 
 
 
= (
5
𝑘
) ⋅ 25−𝑘 ⋅ 𝑥10−2𝑘 ⋅ 3𝑘 ⋅ 𝑥−3𝑘 = (
5
𝑘
) ⋅ 3𝑘 ⋅ 25−𝑘 ⋅ (𝑥)10−5𝑘 
 
Igualando o expoente a zero, pois procuramos o termo independente de 𝑥 temos: 
10 − 5𝑘 = 0 ⇒ 𝑘 = 2 
 
Logo, o termo independente é o terceiro termo, pois 𝑇𝑘+1 = 𝑇2+1 = 𝑇3 e dessa maneira: 
𝑇3 = (
5
2
) ⋅ 32 ⋅ 25−2 ⋅ (𝑥)0 = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720 
 
Resposta da questão 5: [A] 
∑(
𝑛
𝑝) = (
𝑛
0
) + (
𝑛
1
) + (
𝑛
2
)+. . . + (
𝑛
𝑛
) = 2𝑛
𝑛
𝑝=0
 
 
Assim, 
2𝑛 = 256 
2𝑛 = 28 
𝑛 = 8 
 
Resposta da questão 6: [C] 
 
𝐸 = (999)5 + 5 ⋅ (999)4 + 10 ⋅ (999)3 + 10 ⋅ (999)2 + 5 ⋅ (999) + 1 = (1 + 999)5 = 10005 = 
𝐸 = (103)5 = 1015 
 
Resposta da questão 7: [B] 
 
Sendo 𝑥 um número natural, tem-se que (
6
2𝑥
) = (
6
𝑥2
) se, e somente se, 
 
|
𝑥2 = 2𝑥
 ou
𝑥2 + 2𝑥 = 6
⇔ |
𝑥(𝑥 − 2) = 0
 ou
𝑥2 + 2𝑥 − 6 = 0
 
   ⇒ 𝑥 = 0 ou 𝑥 = 2. 
 
Portanto, a igualdade se verifica para dois valores naturais de 𝑥. 
 
Resposta da questão 8: [B] 
 
Sendo 
𝑇𝑝+1 = (
3
𝑝
) ⋅ (2𝑥)3−𝑝 ⋅ (
1
𝑥2
)
𝑝
= (
3
𝑝
) ⋅ 23−𝑝 ⋅ 𝑥3−3𝑝, 
 
o termo geral de (2𝑥 +
1
𝑥2
)
3
, e 
 
𝑇𝑞+1 = (
3
𝑞
) ⋅ (𝑥2)3−𝑞 ⋅ (
1
2𝑥
)
𝑞
= (
3
𝑞
) ⋅ 2−𝑞 ⋅ 𝑥6−3𝑞 , 
 
o termo geral de (𝑥2 +
1
2𝑥
)
3
, e 
 
𝑇𝑝+1 ⋅ 𝑇𝑞+1 = (
3
𝑝
) ⋅ (
3
𝑞
) ⋅ 23−(𝑝+𝑞) ⋅ 𝑥9−3(𝑝+𝑞). 
 
Logo, deve-se ter 𝑝 + 𝑞 = 1, o que implica em (𝑝,  𝑞) = (0,  1) ou (𝑝,  𝑞) = (1,  0). Em consequên-
cia, a resposta é 
(
3
0
) ⋅ (
3
1
) ⋅ 22 + (
3
1
) ⋅ (
3
0
) ⋅ 22 = 24. 
 
 
 
Resposta da questão 9: [A] 
 
Sendo 𝛼1,  𝛼2 e 𝛼3 números naturais, temos 
31 2
32
4 5 10 4 5
1 2 3
54
1 2 3
10!
(1 x x ) 1 (x ) (x )
! ! !
10!
x .
! ! !
αα α
αα
α α α
α α α
+
+ + =   
 
= 
 


 
 
A fim de calcularmos o coeficiente de 𝑥12, devemos resolver o sistema 
{
𝛼1 + 𝛼2 + 𝛼3 = 10
4𝛼2 + 5𝛼3 = 12
. 
 
Portanto, como tal sistema possui solução única (𝛼1,  𝛼2,  𝛼3) = (7,  3,  0), segue que a resposta 
é 
10!
7! ⋅3! ⋅0!
= 120. 
 
Resposta da questão 10: [D] 
 
Considerando dois grupos A e B. 
Portanto, onúmero de maneiras de se formar os grupos A ou B será dado por: 
(
8
1
) + (
8
2
) + (
8
3
) + (
6
4
) + (
8
5
) + (
8
6
) + (
8
7
) = 28 − (
8
0
) − (
8
8
) = 256 − 1 − 1 = 254 
 
Portanto, o número de maneiras de se realizar a divisão pedida será dada por 254. 
 
Resposta da questão 11: [C] 
 
(2 𝑥 −3𝑦)3𝑛 possui 16 termos, então: 3𝑛 + 1 = 16 ⇒ 𝑛 = 5 
 
Resposta da questão 12: [D] 
 
O termo geral de 𝑥(2𝑥 + 1)10 é dado por 
 
𝑇𝑝+1 = 𝑥 ⋅ (
10
𝑝
) ⋅ (2𝑥)𝑝 ⋅ 110−𝑝 = (
10
𝑝
) ⋅ 2𝑝 ⋅ 𝑥𝑝+1. 
 
 Assim, temos 𝑝 = 2 e, portanto, a resposta é (
10
2
) ⋅ 22 =
10!
2! ⋅8!
⋅ 4 = 180. 
 
Resposta da questão 13: [A] 
 
O termo geral do desenvolvimento de (𝑥2 +
1
2𝑥
)
𝑛
, segundo as potências decrescentes de 𝑥, é 
 
𝑇𝑘+1 = (
𝑛
𝑘
) ⋅ (𝑥2)𝑛−𝑘 ⋅ (
1
2𝑥
)
𝑘
=
1
2𝑘
⋅ (
𝑛
𝑘
) ⋅ 𝑥2𝑛−3𝑘. 
 
Assim, os coeficientes dos três primeiros termos são: 1, 
𝑛
2
 e 
𝑛⋅(𝑛−1)
8
. 
 
Portanto, segue que 
 
2 ⋅
𝑛
2
= 1 +
𝑛 ⋅ (𝑛 − 1)
8
⇔ 𝑛2 − 9𝑛 + 8 = 0 ⇒ 𝑛 = 8. 
 
Resposta da questão 14: [D] 
 
Utilizando a Relação de Stifel, pode-se escrever: 
𝑅𝑒 𝑙 𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑆𝑡𝑖𝑓𝑒𝑙 → (
𝑛
𝑝) + (
𝑛
𝑝 + 1) = (
𝑛 + 1
𝑝 + 1
) 
 
 
 
(
2016
5
) + (
2017
5
) + (
2018
5
) + (
2019
5
) + (
2020
5
) + (
2016
6
) = 
(
2016
5
) + (
2016
6
) + (
2017
5
) + (
2018
5
) + (
2019
5
) + (
2020
5
) = 
(
2017
6
) + (
2017
5
) + (
2018
5
) + (
2019
5
) + (
2020
5
) = 
(
2018
6
) + (
2018
5
) + (
2019
5
) + (
2020
5
) = (
2019
6
) + (
2019
5
) + (
2020
5
) = (
2020
6
) + (
2020
5
) = (
2021
6
) 
 
Resposta da questão 15: [B] 
 
Desenvolvendo a equação dada: 
(
𝑥 + 2
2
) = (
3𝑥 + 1
1
) →
(𝑥 + 2)!
2!   ⋅ ((𝑥 + 2) − 2)!
=
(3𝑥 + 1)!
1!   ⋅ ((3𝑥 + 1) − 1)!
→
(𝑥 + 2) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ 𝑥!
2!   ⋅ 𝑥!
=
(3𝑥 + 1) ⋅ (3𝑥)!
1!   ⋅ (3𝑥)!
 
(𝑥 + 2) ⋅ (𝑥 + 1) = 2 ⋅ (3𝑥 + 1) → 𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 6𝑥 + 2 → 𝑥2 − 3𝑥 = 0 → 𝑥 ⋅ (𝑥 − 3) = 0 
𝑥 = 3   𝑜𝑢   𝑥 = 0 
 
Desenvolvendo o número binomial dado: 
(
2𝑥 − 1
2
) =
(2𝑥 − 1)!
2!   ⋅ ((2𝑥 − 1) − 2)!
=
(2𝑥 − 1) ⋅ (2𝑥 − 2) ⋅ (2𝑥 − 3)!
2!   ⋅ (2𝑥 − 3)!
=
(2𝑥 − 1) ⋅ (2𝑥 − 2)
2
 
 
Assim, se 𝑥 = 0 o número dado seria também igual a zero, o que não consta nas alternativas. Se 
𝑥 = 3, tem-se: 
(2 ⋅ 3 − 1) ⋅ (2 ⋅ 3 − 2)
2
=
5 ⋅ 4
2
=
20
2
= 10 
 
Resposta da questão 16: [B] 
 
Qualquer termo do desenvolvimento do binômio será dado por: 
(
10
𝑝
) ⋅ (𝑥3)10−𝑝 ⋅ (−𝑥−2)𝑝 = (
10
𝑝
) (−1)𝑝 ⋅ 𝑥30−5𝑝 
 
Para que o termo acima seja independente de x devemos ter: 
30 − 5𝑝 = 0 ⇒ 𝑝 = 6 
Fazendo agora p = 6, temos: 
(
10
6
) (−1)6 ⋅ 𝑥30−5⋅6 =
10!
4! ⋅ 6!
= 210 
 
Resposta da questão 17: [A] 
Observação: Para chegarmos ao gabarito oficial devemos desenvolver utilizando potências crescentes 
de 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥, e não decrescentes como aparece no enunciado. 
Analisando cada alternativa: 
[A] Verdadeira, pois 
𝑇11 = (
16
10
) ⋅ (𝑠𝑒𝑛 𝑥)16−10 ⋅ (2 𝑐𝑜𝑠 𝑥)10 
𝑇11 = (
16
10
) ⋅ (𝑠𝑒𝑛 𝑥)6 ⋅ (2 𝑐𝑜𝑠 𝑥)10 
𝑇11 = (
16
10
) ⋅ 210(𝑠𝑒𝑛 𝑥)6 ⋅ (𝑐𝑜𝑠 𝑥)10 
 
Fazendo 
𝜋
4
, temos: 
𝑇11 = (
16
10
) ⋅ 210(𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
)6 ⋅ (𝑐𝑜𝑠
𝜋
4
)10 
𝑇11 = (
16
10
) ⋅ 210 ⋅ (
√2
2
)
6
⋅ (
√2
2
)
10
 
𝑇11 ⋅= (
16
10
) ⋅ 210 ⋅ (
√2
2
)
16
 
 
 
𝑇11 = (
16
10
) ⋅ 210 ⋅
1
28
 
𝑇11 = (
16
10
) ⋅ 22 
 
[B] Falsa, pois 𝑓(0) = (𝑠𝑒𝑛 0 + 2𝑐𝑜𝑠 0)16 = 216. 
[C] Falsa, pois 𝑓 [
𝜋
2
] = (𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
+ 2 𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
)
16
= 116 = 1. 
[D] Falsa, pois 𝑇11 = (
16
10
) ⋅ 210(𝑠𝑒𝑛 0)6 ⋅ (𝑐𝑜𝑠 0)10 = 0. 
[E] Falsa, pois 𝑇11 = (
16
10
) ⋅ 210 (𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
)
6
⋅ (𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
)
10
= 0. 
 
Resposta da questão 18: [A] 
 
Substituindo 𝑐𝑜𝑠 𝑥 por 𝑎, tem-se: 
 
𝑎4 − 4𝑎3 + 6𝑎2 − 4𝑎 + 1 = 0, o qual é o polinômio resultante de 
(𝑎 − 1)4 = (𝑎 − 1) ⋅ (𝑎 − 1) ⋅ (𝑎 − 1) ⋅ (𝑎 − 1) = 0 
 
Assim, percebe-se facilmente que a raiz de tal polinômio é 1. Ou seja, 
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1 
𝑥 = 360° = 2𝜋 
Como a função cosseno é periódica, podemos dizer que a cada 360° tem-se uma nova raiz da função, 
ou seja, a cada 2𝑘𝜋, onde 𝑘 é um inteiro qualquer. 
 
 
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