AVALIAÇÃO ANÁLISE MATEMÁTICA(MAT27)_UNIASSELVI_11_07_2020

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AVALIAÇÃO ANÁLISE MATEMÁTICA_(MAT27)_UNIASSELVI_11_07_2020 
 
01) – Muitas vezes pensamos que a Análise Matemática procura provar fatos que 
intuitivamente parecem ser bastante simples. É claro que a matemática que conhecemos hoje é 
fruto de uma grande quantidade de anos, onde estudos foram cada vez mais aperfeiçoados, sendo 
que, hoje ainda existem problemas matemáticos ainda não resolvidos. Logo, partindo de um fato 
simples, a multiplicação de números naturais, analise as sentenças que são provadas 
matematicamente: 
 
I- Dados três números naturais m, n e p, m . (n + p) = m . n + m . p. 
II- Dados três números naturais m, n e p, m . (n . p) = (m . n) . p. 
III- Sejam m, n, temos que m . n = m . (-n). 
IV- Seja m natural, temos que m é sucessor de algum número. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
a) As sentenças I e II estão corretas. 
b) As sentenças II e III estão corretas. 
c) As sentenças I, II e IV estão corretas. 
d) Somente a sentença I está correta. 
 
 
02) – Ao realizar-se uma prova matemática, é necessário ter muito claro o fato de qual modalidade 
de demonstração que será utilizada. Para tanto, um conhecimento teórico de qual sistemática que 
cada método possui é fundamental. Baseado nisto, acerca da demonstração por indução, assinale 
a alternativa CORRETA: 
a) Contradiz-se uma das hipóteses contidas na afirmação. 
b) É aplicado quando o resultado a ser provado envolve indexação por números naturais (índices 
naturais). 
c) Nega-se o que deve ser provado. 
d) A partir das hipóteses contidas na afirmação a ser provada, utilizam-se argumentos lógicos 
válidos para se chegar à tese. 
 
03) – Analisando a matemática, as operações realizadas são pautadas em conjuntos numéricos. 
Verifique as sentenças a seguir: 
 
I- {-1, 0, 1} pertence ao conjunto dos números naturais. 
II- {1, 2, 3, 4} pertence ao conjunto dos números inteiros. 
III- {-2; -1/2; 0; 0,5; 1} pertence ao conjunto dos números reais. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
a) Apenas I está correta. 
b) Apenas I e II estão corretas. 
c) Apenas II e III estão corretas. 
d) Apenas II e IV estão corretas. 
 
 
04) – Os conjuntos numéricos foram surgindo à medida que certas operações aritméticas não eram 
fechadas dentro dos conjuntos em que eram realizadas. Assinale a alternativa CORRETA: 
a) A subtração de dois números irracionais sempre resulta em um número irracional. 
b) Os números naturais são fechados com relação à divisão. 
c) Os números inteiros são fechados com relação à divisão. 
d) Os números inteiros são fechados com relação à adição. 
 
 
05) – De uma maneira bem intuitiva, a multiplicação é uma forma simples de se adicionar uma 
quantidade finita de números iguais. Ao lado da adição, da divisão e da subtração, a multiplicação 
é uma das quatro operações fundamentais da aritmética. Utilizando as propriedades da 
multiplicação sobre os números naturais, assinale a alternativa que apresenta o conjunto correto 
de propriedades: 
a) A multiplicação é monotônica, tricotômica e invertível. 
b) A multiplicação é associativa, comutativa, monotônica e distributiva em relação à soma. 
c) A multiplicação é associativa, comutativa, tricotômica e distributiva em relação à soma. 
d) A multiplicação é invertível, fechada e distributiva em relação à soma. 
 
06) – Um dos mais icônicos escritos da matemática do século XIX foi o famoso Formulaire de 
Mathematiques, de Giuseppe Peano. 
 
Nele Peano, matemático italiano, formulou os famosos axiomas dos números naturais. Ferramenta 
que desenvolveu fortemente a Análise Matemática. São eles: 
 
? Zero é um número. 
? Se a é um número, o sucessor de a é um número. 
? Zero não é o sucessor de um número. 
? Dois números cujos sucessores são iguais são eles próprios iguais. 
? Se um conjunto S de números contém o zero e também o sucessor de todo número de S, então 
todo número está em S. 
 
Baseado nisto, assinale a opção de uma proposição que pode ser provada a partir do uso destes 
axiomas: 
a) Todo subconjunto dos números naturais é enumerável. 
b) Seja X um conjunto finito e Y um subconjunto de X. Então Y também é finito e possui no 
máximo o mesmo número de elementos de X. 
c) Raiz de 2 é um número irracional. 
d) Sejam m, n e p três números naturais quaisquer. Então (m + n) + p = m + (n + p). 
 
 
07) – Os Números Naturais são apresentados de forma axiomática pelos postulados de Peano. Isto 
significa que, ao invés de considerar a existência dos números naturais, Peano considerou a 
existência dos postulados e, a partir daí, construiu o conjunto dos números naturais. De uma forma 
coloquial, podemos apresentar os três postulados de que forma? 
a) I- Se dois elementos possuem o mesmo sucessor, então eles são iguais. 
II- Todo elemento é sucessor de algum outro elemento. 
III- Se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X = N. 
 
b) I- Se dois elementos possuem dois sucessores diferentes, então eles são iguais. 
II- Todo elemento é sucessor de algum outro elemento. 
III- Se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X = N. 
 
c) I- Se dois elementos possuem o mesmo sucessor, então eles são iguais. 
II- O número 1 é o único elemento que não possui sucessor. 
III- Se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X = N. 
 
d) I- Se dois elementos possuem o mesmo sucessor, então eles são iguais. 
II- O número 1 é o único elemento que não é sucessor de nenhum outro. 
III- Se o elemento 1 pertence ao conjunto X e se para qualquer elemento n de X o sucessor de n 
também é elemento de X, então X = N. 
 
 
08) – Durante o aprendizado em matemática, e em particular no estudo da analise matemática, 
faz-se necessário construir os raciocícios ligados aos métodos de transformação. A parte mais 
importante e mais complicada talvez seja o processo de decidir qual estratégia será utilizada para 
demonstrar certo teorema, propriedade ou proposição. Baseado nisto, para mostrar que a raiz de 
2 é irracional, o tipo mais aconselhado de demonstração a ser utilizado é a por: 
a) Contradição. 
b) Absurdo. 
c) Indução. 
d) Prova direta. 
 
 
09) – O Princípio da Indução é um eficiente instrumento para a demonstração de fatos referentes 
aos números naturais. Por outro lado, é importante também conhecer seu significado e sua posição 
dentro do campo da Matemática, pois entender o Princípio da Indução é praticamente o mesmo 
que entender os números naturais. Sendo assim, analise as sentenças a seguir a respeito dos 
procedimentos do método indutivo: 
 
I) Verificar se P(1) é verdadeira. 
II) Negar P(n). 
III) Supor válida P(n). 
IV) Concluir P(n+1) válida. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
a) As sentenças II, III e IV estão corretas. 
b) As sentenças I, III e IV estão corretas. 
c) As sentenças II e IV estão corretas. 
d) As sentenças I, II e III estão corretas. 
 
10) – Em matemática, uma prova é uma demonstração de que, dados certos axiomas, algum 
enunciado de interesse é necessariamente verdadeiro. Utiliza como base premissas intrínsecas a 
um modelo conceitual e um silogismo que, a partir de uma série de operações, chega ao resultado. 
Historicamente, a matemática foi construída através de demonstrações que constituíram os 
alicerces até hoje conhecidos. A figura anexa faz a alusão a um dos teoremas mais intrigantes de 
todos os tempos, o famoso Último Teorema de Fermat. Ele, apesar de ter sido enunciado no século 
XVII, apenas há poucas décadas, através do matemático Andrew Willes, conseguiu ser 
demonstrado. 
 
FONTE DA IMAGEM: Disponível em: <http://www.editions-
harmattan.fr/index.asp?navig=catalogue&obj=livre&no=12972>. Acesso em: 24 jul. 2018. 
 
a) Demonstração direta, indução e absurdo. 
b) Indução, demonstração direta e absurdo. 
c) Absurdo, demonstração direta e indução. 
d) Indução, absurdo e demonstração direta.