análise matemática AV1

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21/05/2020 UNIASSELVI - Centro Universitário Leonardo Da Vinci - Portal do Aluno - Portal do Aluno - Grupo UNIASSELVI
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Acadêmico: Vicente Tomé do Nascimento Filho (1791112)
Disciplina: Análise Matemática (MAT27)
Avaliação: Avaliação I - Individual FLEX ( Cod.:455182) ( peso.:1,50)
Prova: 14517266
Nota da Prova: 7,00
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. Ao realizar-se uma prova matemática, é necessário ter muito claro o fato de qual modalidade de demonstração que
será utilizada. Para tanto, um conhecimento teórico de qual sistemática que cada método possui é fundamental.
Baseado nisto, acerca da demonstração por indução, assinale a alternativa CORRETA:
 a) Nega-se o que deve ser provado.
 b) Contradiz-se uma das hipóteses contidas na afirmação.
 c) A partir das hipóteses contidas na afirmação a ser provada, utilizam-se argumentos lógicos válidos para se
chegar à tese.
 d) É aplicado quando o resultado a ser provado envolve indexação por números naturais (índices naturais).
2. Existem alguns métodos de demonstração conhecidos. Porém, os mais importantes da matemática são os
métodos da indução, a demonstração direta e a redução ao absurdo. Baseado nestes casos, assinale a alternativa
CORRETA que pode ser provada pelo método da demonstração por absurdo:
 a) Para todo número real a não nulo, temos que a . 0 = 0.
 b) Se m é um número inteiro e m² é um número par, então m também é um número par.
 c) Teorema de Tales.
 d) Prove que 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n² para todo número natural n.
3. Normalmente, o ato de somar nos remete a um processo simples. Contudo, na analise matemática, podem ser
provadas várias propriedades da adição dos números naturais. Estas provas podem ser feitas por indução, e não
são tão simples quanto o usual ato de somar números. Sobre as propriedades da adição dos números naturais,
analise as opções a seguir:
I- Comutatividade.
II- Associatividade.
III- Elemento inverso.
IV- Lei do corte.
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) As sentenças III e IV estão corretas.
 b) As sentenças I, II e IV estão corretas.
 c) As sentenças I e III estão corretas.
 d) As sentenças II e III estão corretas.
4. Os Números Naturais são apresentados de forma axiomática pelos postulados de Peano. Isto significa que, ao
invés de considerar a existência dos números naturais, Peano considerou a existência dos postulados e, a partir
daí, construiu o conjunto dos números naturais. De uma forma coloquial, podemos apresentar os três postulados
de que forma?
 a) I- Se dois elementos possuem o mesmo sucessor, então eles são iguais.
II- Todo elemento é sucessor de algum outro elemento.
III- Se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X = N.
 b) I- Se dois elementos possuem o mesmo sucessor, então eles são iguais.
II- O número 1 é o único elemento que não possui sucessor.
III- Se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X = N.
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 c) I- Se dois elementos possuem dois sucessores diferentes, então eles são iguais.
II- Todo elemento é sucessor de algum outro elemento.
III- Se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X = N.
 d) I- Se dois elementos possuem o mesmo sucessor, então eles são iguais.
II- O número 1 é o único elemento que não é sucessor de nenhum outro.
III- Se o elemento 1 pertence ao conjunto X e se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é
elemento de X, então X = N.
5. Muitas vezes, para provar que um conjunto é enumerável, precisamos construir uma função que associe cada um
dos elementos do conjunto a um número natural, em seguida provamos que esta função é injetora e assim
concluímos que o conjunto é enumerável. Qual das seguintes funções dos naturais em X é a função que prova que
o conjunto X={1, 5, 14, 30, ...} é enumerável?
 a) (n+1)n(2n+1)/6
 b) (n+1)n²(2n+1)/6
 c) (n+1)n(2n²+1)/6
 d) (n²+1)n(2n+1)/6
6. Quanto ao método de demonstração por redução ao absurdo, sabemos que a teoria é muito curta e intuitiva, porém
a pratica pode ser muito complicada. Para demonstrar alguma proposição por absurdo você deve assumir que a
negação dela é verdadeira e com isso mostrar que a veracidade da negação implica que a negação é falsa, que de
acordo com a hipótese inicial, torna a negação falsa e a afirmação verdadeira. Baseado nesta técnica, analise as
sentenças a seguir que podem ser provadas por redução ao absurdo:
I- Se x + x = x, obrigatoriamente x = 0.
II- Mostrar que o conjunto dos racionais é enumerável.
III- Mostrar que a soma dos primeiros n números pares é n + n².
IV- Provar que raiz de 3 é irracional.
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) As sentenças II e III estão corretas.
 b) As sentenças I e II estão corretas.
 c) As sentenças I, II e IV estão corretas.
 d) As sentenças I e IV estão corretas.
7. Os conjuntos numéricos foram surgindo à medida que certas operações aritméticas não eram fechadas dentro dos
conjuntos em que eram realizadas. Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Os números inteiros são fechados com relação à adição.
 b) A subtração de dois números irracionais sempre resulta em um número irracional.
 c) Os números inteiros são fechados com relação à divisão.
 d) Os números naturais são fechados com relação à divisão.
8. Os conjuntos com uma infinidade de elementos, também chamados de conjuntos infinitos, têm propriedades que
muito intrigaram e surpreenderam os matemáticos ao longo da história. Por este motivo, várias são as
possibilidades dentro da análise matemática para comprovar que um conjunto é infinito. Sendo assim, classifique V
para as sentenças verdadeiras e F para as falsas para concluir que um conjunto é infinito e a seguir assinale a
alternativa CORRETA:
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 a) V - F - F - F.
 b) F - V - F - V.
 c) V - V - V - F.
 d) F - V - V - F.
9. Um dos mais icônicos escritos da matemática do século XIX foi o famoso Formulaire de Mathematiques, de
Giuseppe Peano.
Nele Peano, matemático italiano, formulou os famosos axiomas dos números naturais. Ferramenta que
desenvolveu fortemente a Análise Matemática. São eles:
? Zero é um número.
? Se a é um número, o sucessor de a é um número.
? Zero não é o sucessor de um número.
? Dois números cujos sucessores são iguais são eles próprios iguais.
? Se um conjunto S de números contém o zero e também o sucessor de todo número de S, então todo número
está em S.
Baseado nisto, assinale a opção de uma proposição que pode ser provada a partir do uso destes axiomas:
 a) Sejam m, n e p três números naturais quaisquer. Então (m + n) + p = m + (n + p).
 b) Seja X um conjunto finito e Y um subconjunto de X. Então Y também é finito e possui no máximo o mesmo
número de elementos de X.
 c) Todo subconjunto dos números naturais é enumerável.
 d) Raiz de 2 é um número irracional.
10. Existe uma técnica de demonstração muito parecida com a demonstração por absurdo, chamada de contrapositiva.
Ela consiste em negar a tese e concluir a negação da hipótese. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a
contrapositiva da seguinte sentença:
Se Paulo come pouco, então Paulo é magro.
 a) Se Paulo é gordo, então Paulo come muito.
 b) Paulo não come pouco, e nem é magro.
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 c) Paulo é gordo e come muito.
 d) Paulo é magro e, portanto, come pouco.
Prova finalizada com 7 acertos e 3 questões erradas.