aula2

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CURSO DE 
ESPECIALIZAÇÃO EM 
ESTRUTURAS DE 
CONCRETO E FUNDAÇÕES
Módulo 1 Capítulo 3 
CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃOCAPÍTULO 3
3.2 TIPOS DE FLEXÃO 
Flexão normal
Flexão pura: 
Flexão oblíqua
Flexão Simples Flexão composta:
: Flexão não pura:
Nas Lajes e vigas, geralmente o esforço normal é desprezível (exceção às vigas 
protendidas) e, dessa forma, inicialmente irá se considerar apenas a flexão 
normal, simples e pura, em que N = 0 e V = 0. 
3.2 TIPOS DE FLEXÃO LIVRO página 112
3.3 PROCESSO DE COLAPSO DE SEÇÕES DE
VIGAS SOB TENSÕES NORMAIS PÁG. 113e 114
Após a observação das tensões na seção central
pode-se definir os Estádios
Estádio III Estádio I Estádio II
c
Rc
Rs
ESTÁDIO I
Rc,t
M
z I
b
d
As
c
Rc
z
Rs
ESTÁDIO III
Mu
 III
Rc
z
Rs
ESTÁDIO II
M>M r
c
 II
Pode-se dizer, simplificadamente, que:
Estádios I e II  correspondem às situações de serviço (quando atuam as ações reais);
Estádio III  corresponde ao estado limite último (ações majoradas, resistências minoradas), que só 
ocorre em situações extremas.
O cálculo de dimensionamento das estruturas de concreto armado será feito no estado limite último ( III)
3.4 HIPÓTESES BÁSICAS PARA O CÁLCULO
As seções transversais permanecem planas após o início da deformação até o 
estado limite último; as deformações são, em cada ponto, proporcionais à sua 
distância até a linha neutra da seção (hipótese de Bernoulli).
pag 115
Solidariedade dos materiais: admite-se solidariedade perfeita entre o concreto 
e a armadura; dessa forma, a deformação específica de uma barra da 
armadura, em tração ou compressão, é igual à deformação específica do 
concreto adjacente.
As tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, devem ser 
desprezadas no ELU.
A ruína da seção transversal (peça sob ações majoradas e materiais com 
resistências minoradas fcd e fyd) para qualquer tipo de flexão no estado limite 
último fica caracterizada pelas deformações específicas de cálculo do concreto 
(c) na fibra menos tracionada e do aço (s) próxima à borda mais tracionada, 
que atingem (uma delas ou ambas) 
domínios de deformação
 para concretos de classes até C50: 
 c2 = 2,00/00;u cu = 3,50/00 
 
 para concretos de classes de C50 até C90: 
c2 = 20/00 + 0,0850/00.(fck - 50)0,53;  cu = 2,60/00 + 350/00.[(90 - fck)/100]4 
 
Página 41 
Diagramas de tensões no concreto no estado limite
último para concretos até a classe C50.
pág 117
Md
VISTA
LATERAL FRONTAL
VISTA
sA
h d
bw
s s
c
y= x x
c
fcd
DEFORMAÇÕES
cF
Fs
zy= xAs
s
c
c
c-
TENSÃO
 
xy  
 
 
A tensão atuante pode ser admitida constante até a profundidade y e tomada igual a: 
 
 no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a 
partir desta para a borda comprimida; 
 para concretos de classes até C50: 
85,0c  
 
 para concretos de classes de C50 até C90: 
]200/)50f(0,1[85,0 ckc  
Páginas 117 E 118 CASO GERAL
 
8,0 para MPa500fck  
400/)50f(8,0 ck  para MPa50fck  (fck em MPa) 
cdc f 
 no caso contrário 
 
cdc f9,0  
 
Observa-se que tensão de compressão do concreto, adotada no diagrama, é de 0,8 ou 0,85 de 
fcd no caso dos concretos de classes até C50, ou c e c9,0  para os concretos de classes
C50 a C90. Porque uma nova redução do valor da resistência, uma vez que fcd já é uma 
redução de fck ( 4,1
f
cd
ckf  )? Há três motivos: 
O primeiro diz respeito ao modo como é obtido o valor de fck: o 
ensaio é feito com um corpo de prova cilíndrico,
O segundo motivo é que o concreto tem uma resistência maior para 
cargas aplicadas rapidamente, Efeito Rusche
A terceira razão, como já destacado, é que o 
concreto 
aumenta de resistência com a idade
. A primeira parcela 0,95 é devida ao fato de a resistência ser obtida com ensaios de 
corpos de prova; a segunda 0,75 considera o efeito Rusch e a terceira 1,2 leva em conta 
o ganho de resistência dos concretos após os 28 dias de idade
Há três motivos:
pág 119
fcd cF
Fs
zy= x
TENSÃO
d  altura útil: distância entre o centro de gravidade da armadura longitudinal tracionada até a fibra
mais comprimida de concreto.
d  distância entre o centro de gravidade da armadura transversal comprimida e a face mais próxima
do elemento estrutural (fibra mais comprimida de concreto).
MSd  momento fletor solicitante de cálculo na seção(na continuação será chamado apenas de Md): no
dimensionamento, quando há um só tipo de carga acidental, é obtido multiplicando o momento
em serviço (atuante) pelo coeficiente de ponderação f. No caso geral usa-se a expressão 1.23.
(checar)
MRd  momento fletor resistente de cálculo (calculado com fcd e fyd): máximo momento fletor que a
seção pode resistir (deve-se ter sempre MSd  MRd).
bw  largura da seção transversal de vigas de seção retangular ou da nervura (parte mais estreita da
seção transversal), também chamada de alma, das vigas de seção em forma de T.
h  altura total da seção transversal de uma peça.
z  braço de alavanca: distância entre o ponto de aplicação da resultante das tensões normais de
compressão no concreto e da resultante das tensões normais de tração no aço (distância entre o
centro de gravidade da armadura de tração e o centro de gravidade da região comprimida de
concreto).
x  altura (profundidade) da linha neutra: distância da borda mais comprimida do concreto ao ponto
que tem deformação e tensão nulas (distância da linha neutra ao ponto de maior encurtamento da
seção transversal de uma peça fletida).
y  altura da linha neutra convencional: altura do diagrama retangular de tensões de compressão no
concreto, na seção transversal de uma peça fletida; é uma idealização que simplifica o
equacionamento do problema e conduz a resultados bem próximos daqueles que seriam obtidos
com o diagrama parábola-retângulo (y = 0,8x, Figura 3.4).
3.5 DEFINIÇÕES E NOMENCLATURA
Antes de apresentar toda a teoria que possibilita o dimensionamento das peças de concreto armado, é 
conveniente repetir as principais definições e nomenclatura das grandezas envolvidas no cálculo, empregadas pela 
NBR 6118: 2003 e pela maioria das normas internacionais.
3.5 DEFINIÇÕES E NOMENCLATURA
PÁG. 119
3.6 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA SEÇÃO TRANSVERSAL (página 121)
página 121
Geral
Até C50
Pág. 122 a 125
NBR 6118:2003 estabelece, no item 14.6.4.3, que para melhorar a dutilidade das estruturas nas 
regiões de apoio das vigas (regiões de momentos negativos) ou de ligações com outros 
elementos estruturais, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites: 
 
a) 50,0d/x  para concretos com 35fck  MPa 
b) 40,0d/x  35f ck  MPa 
Porque ?
 
“A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no 
ELU. Quanto menor for x/d, tanto maior será essa capacidade. Para proporcionar o adequado 
comportamento dútil em vigas e lajes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos 
seguintes limites: 
a) 45,0d/x  para concretos com MPa50fck  (3.13) 
b) 35,0d/x  para concretos com MPa90fMPa50 ck  (3.14) 
 
Esses limites podemser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armaduras, como 
por exemplo os que produzem confinamento nessas regiões”. 
 
Página 126 
Na norma antiga 
Na nova norma 
Cálculo da armadura longitudinal em vigas com flexão normal simples
Pág. 126
IMPRESSO
Página 126
3.7 CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL EM VIGAS SOB FLEXÃO 
NORMAL ATÉ C50
VISTA
LATERAL FRONTAL
VISTA
M
A
d
s
s
-3,5%00
c
0,85fc cd
DEFORMAÇÕES
POSSÍVEIS
F
F
s
c
z
y=0,8x x
y=0,8xAs
 2
3
00 10%
c
s
bw
dh
yd
 
 
 F = 0  F
 
 Fs - Fc = 0  F Fs = Fc 
 
  dMM  M
 
zFM cd  zFM sd  
s
d
s fz
M
A


As
sssd AfFzM 
Dados: Md, fck, fyd, bw e d pede-se 
3.7 CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL EM VIGAS SOB FLEXÃO NORMAL
VISTA
LATERAL FRONTAL
VISTA
M
A
d
s
s
-3,5%00
c
0,85fc cd
DEFORMAÇÕES
POSSÍVEIS
F
F
s
c
z
y=0,8x x
y=0,8xAs
 2
3
00 10%
c
s
bw
dh
yd
 
s
d
s fz
M
A

 zFM cd  
 
     x8,0bf85,0F wcdc  
 
 
x4,0dz  
 
     x4,0dx68,0fbx4,0dx8,0bf85,0zFM cdwwcdcd  
   cdw2d fbx272,0dx68,0M 
Obtêm-se x
 
0,544
fb
M0,27240,68dd0,68
cdw
d2






x
 
x4,0dz  
 s
d
s fz
M
A

Com x têm-se z E finalmente As
Página 126 e 127
 
sc
c
scc d
xdx





 (3.10)
Página 129
Exemplo 1 
Para uma seção retangular de concreto armado com bw = 0,12 m e d = 0,29 m sob a ação de 
um momento fletor M = 12,2 kNm (Md = 1,4M = 1,412,2 = 17,08 kNm), determinar a 
quantidade de armadura longitudinal necessária (As). Dados: fck = 20 MPa (20.000 kN/m2); 
Aço CA-50 ( 2ykyd cm/kN478,43MPa78,43415,1/50015,1/ff  ). 
 
 
a) Colocando na equação 3.21 os valores conhecidos, determina-se x: 
  cdw2d fbx272,0dx68,0M     4,1
2000012,0x272,029,0x68,008,17 2 
 
 
544,0
4,1/2000012,0
08,17272,0429,068,029,068,0
x
2 







 
resultando x1 = 0,6705 m e x2 = 0,0545 m. 
 
544,0
fb
M272,04d68,0d68,0
x cdw
d2







Página 130 e 131
A primeira solução, x = 0,6705 m, indica que a linha neutra passa fora da seção 
transversal, não atendendo ao caso de flexão simples; assim o valor correto é x = 0,0545 m. 
 
A primeira solução, x = 0,6705 m, indica que a linha neutra passa fora da seção 
transversal, não atendendo ao caso de flexão simples; assim o valor correto é x = 0,0545 m. 
 
Com x = 0,0545 m na equação 3.5, resulta: 
0,27=0,022-0,29=0,05454,029,0x4,0dz 
d) Cálculo de A : 
m0,27=0,022-0,29=0,05454,029,0x4,0dz  
d) Cálculo de As: 
Com os valores de Md = 17,08 kNm, z = 0,27 m e fyd = 43,478 kN/cm2 na equação 3.24, 
tem-se As: s
74,11
08,17
3,478427,0
08,17
fz
M
A
yd
d
s 


  As = 1,46 cm2 
0,0545/0,29=0,187<<0,45!!Lembrar que x/d<0,45
De fato
Questão da prova
MATERIAL primeiras páginas 
PROVA EXERCÍCIO 4
Le
R
g1+g2 kN/m
a Rb
A B
 
Figura 1 corte EXEMPLO 1 
corte
sA
h d
b w
 
Dados 
M=25,6 
kN.m 
b=20 
d=37,2 cm 
fck=20 
CA50 
 
Pede-se As 
PÁG. 
130 
 
c
L
est
d'=c+ + /2est L
h=d-d'
Questão da prova
MATERIAL primeiras páginas 
Figura 1 corte EXEMPLO 1 
corte
sA
h d
b w
 
Dados 
M=25,6 
kN.m 
b=20 
d=37,2 cm 
fck=20 
CA50 
 
Pede-se As 
PÁG. 
130 
 
xdz  4,0
yd
d
s fz
MA


mz 3509,00525,4,0372,0  2348,2
15,1
503509,0
6,254,1 cmAs 


Fórmulas adimensionais para dimensionamento
de seções retangulares C50
 
 dividindo ambos os membros da equação de Md por cd2w fdb  tem-se: 
 
 







 2
2
cd
2
w
cdw
2
cd
2
w
d
d
x272,0
d
x68,0
fdb
fbx272,0dx68,0
fdb
M 
 
 
2)KX(272,0)KX(68,0KMD  
 
 a equação 3.20 contém apenas termos adimensionais, e KX só pode variar entre 0 e 1 (x
 
d
x4,01
d
x4,0d
d
z  
 
 
d)KZ(z como e, 
fz
M
A
s
d
s 
 , resulta: 
M
s
s
d
s fd)KZ(
M
A

 
Fórmulas Adimensionais
página 140
CONCRETO ARMADO
Tabela 3.1 Valores para cálculo de armadura longitudinal de seções retangulares. 
 
KMD KX KZ c s KMD KX KZ c s 
0,0100 0,0148 0,9941 0,1502 10,000 0,2050 0,3506 0,8597 3,5000 6,4814 
0,0200 0,0298 0,9881 0,3068 10,000 0,2100 0,3609 0,8556 3,5000 6,1971 
0,0300 0,0449 0,9820 0,4704 10,000 0,2150 0,3714 0,8515 3,5000 5,9255 
0,0400 0,0603 0,9759 0,6414 10,000 0,2200 0,3819 0,8473 3,5000 5,6658 
0,0500 0,0758 0,9697 0,8205 10,000 0,2250 0,3925 0,8430 3,5000 5,4170 
0,0550 0,0836 0,9665 0,9133 10,000 0,2300 0,4033 0,8387 3,5000 5,1785 
0,0600 0,0916 0,9634 1,0083 10,000 0,2350 0,4143 0,8343 3,5000 4,9496 
0,0650 0,0995 0,9602 1,1056 10,000 0,2400 0,4253 0,8299 3,5000 4,7297 
0,0700 0,1076 0,9570 1,2054 10,000 0,2450 0,4365 0,8254 3,5000 4,5181 
0,0750 0,1156 0,9537 1,3077 10,000 0,2500 0,4479 0,8208 3,5000 4,3144 
0,0800 0,1238 0,9505 1,4126 10,000 0,2550 0,4594 0,8162 3,5000 4,1181 
0,0850 0,1320 0,9472 1,5203 10,000 0,2600 0,4711 0,8115 3,5000 3,9287 
0,0900 0,1403 0,9439 1,6308 10,000 0,2650 0,4830 0,8068 3,5000 3,7459 
0,0950 0,1485 0,9406 1,7444 10,000 0,2700 0,4951 0,8020 3,5000 3,5691 
0,1000 0,1569 0,9372 1,8611 10,000 0,2750 0,5074 0,7970 3,5000 3,3981 
0,1050 0,1654 0,9339 1,9810 10,000 0,2800 0,5199 0,7921 3,5000 3,2324 
0,1100 0,1739 0,9305 2,1044 10,000 0,2850 0,5326 0,7870 3,5000 3,0719 
0,1150 0,1824 0,9270 2,2314 10,000 0,2900 0,5455 0,7818 3,5000 2,9162 
0,1200 0,1911 0,9236 2,3621 10,000 0,2950 0,5586 0,7765 3,5000 2,7649 
0,1250 0,1998 0,9201 2,4967 10,000 0,3000 0,5721 0,7712 3,5000 2,6179 
0,1300 0,2086 0,9166 2,6355 10,000 0,3050 0,5858 0,7657 3,5000 2,4748 
0,1350 0,2175 0,9130 2,7786 10,000 0,3100 0,5998 0,7601 3,5000 2,3355 
0,1400 0,2264 0,9094 2,9263 10,000 0,3150 0,6141 0,7544 3,5000 2,1997 
0,1450 0,2354 0,9058 3,0787 10,000 0,3200 0,6287 0,7485 3,5000 2,0672 
0,1500 0,2445 0,9022 3,2363 10,000 0,3300 0,6590 0,7364 3,5000 1,8100 
0,1550 0,2536 0,8985 3,3391 10,000 0,3400 0,6910 0,7236 3,5000 1,5652 
0,1600 0,2630 0,8948 3,5000 9,8104 0,3500 0,7249 0,7100 3,5000 1,3283 
0,1650 0,2723 0,8911 3,5000 9,3531 0,3600 0,7612 0,6955 3,5000 1,0983 
0,1700 0,2818 0,8873 3,5000 8,9222 0,3700 0,8003 0,6799 3,5000 0,8732 
0,1750 0,2913 0,8835 3,5000 8,5154 0,3800 0,8433 0,6627 3,5000 0,6506 
0,1800 0,3009 0,8796 3,5000 8,3106 
0,1850 0,3106 0,8757 3,5000 7,7662 
0,1900 0,3205 0,8718 3,5000 7,4204 
0,1950 0,3305 0,8678 3,5000 7,0919 
0,2000 0,3405 0,8638 3,5000 6,7793 
 
 
0,0850 0,1320 0,9472 1,5203 10,000 
0,0900 0,1403 0,9439 1,6308 10,000 
0,0950 0,1485 0,9406 1,7444 10,000 
0,1000 0,1569 0,9372 1,8611 10,000 
0,1050 0,1654 0,9339 1,9810 10,000 
0,1100 0,1739 0,9305 2,1044 10,000 
0,1150 0,1824 0,9270 2,2314 10,000 
0,1200 0,1911 0,9236 2,3621 10,000 
0,1250 0,1998 0,9201 2,4967 10,000 
0,1300 0,2086 0,9166 2,6355 10,000 
0,1350 0,2175 0,9130 2,7786 10,000 
0,1400 0,2264 0,9094 2,9263 10,000 
0,1450 0,2354 0,9058 3,0787 10,000 
0,1500 0,2445 0,9022 3,2363 10,000 
0,1550 0,2536 0,8985 3,3391 10,000 
0,1600 0,2630 0,8948 3,5000 9,8104 
0,1650 0,2723 0,8911 3,5000 9,3531 
0,1700 0,2818 0,8873 3,5000 8,9222 
Voltar Voltar VoltarVoltar
Exemplo 6
Para a seção retangular (concreto armado) do 
Exemplo 1 (bw = 0,12 m, M = 12,2 kNm), 
determinar a quantidade de armadura longitudinal 
necessária (As), admitindo, primeiramente, altura 
útild = 0,29 m, e, em seguida, que ela não seja 
conhecida. Utilizar fórmulas adimensionais e 
quadro para dimensionamento. Considerar 
fck = 20 MPa (20000 kN/m2) e aço CA-50.
Página 143
Exemplo 6
(bw = 0,12 m, M = 12,2 kNm), determinar (As), d = 0,29 m, fck = 20 MPa 
(20000 kN/m2) e aço CA-50.
 
 Cálculo de KMD 
 
12,0
4,1
000.2029,012,0
08,17
fdb
M
KMD
2cd
2
w
d 



 
Página 143
 
Com KMD = 0,12 (Quadro 3.1): KX = 0,1911; KZ = 0,9236; c = 2,3621‰; 
s = 10,00‰. 
 
Como KX = x/d < 0,45, portanto abaixo do limite imposto pela norma, pode-se 
continuar os cálculos. 
 
 
 Domínio em que a peça atingirá o estado limite último: 
 
s = 10,00‰ e C = 2,3621‰ < 3,5‰  domínio 2 
 
 
 Cálculo de As (equação 3.46): 
 
1,15
)/cm(kN 50)m( 0,299236,0
)kNm(08,17
fd)KZ(
MA 2
s
d
s



  As = 1,46 cm2 
ir
 
cs FF  
 
zFM cd  
 
zFM sd  
 
     xbfF wcdcc  
 
x5,0dz  
 
 x5,0dxfbM cdcwd  
 
  cdcw22d fbx5,0dxM  
 
 







 cdcw
d2
fb
M2dd
x 
 
yd
d
s fz
MA

 
 
scu
cu
d
x

 
 
Pág. 131
3.7.2 Equacionamento para concretos de qualquer classe
Em princípio o equacionamento para o cálculo da 
armadura longitudinal é feito da mesma forma que no 
caso anterior; apenas irão aparecer os termos αc e λ. 
Página 131 e 132
Exemplo 2 (é o exemplo 1 com resistência característica do concreto fck = 90 MPa) 
Para uma seção retangular de concreto armado com bw = 0,12 m e d = 0,29 m sob a ação de 
um momento fletor M = 12,2 kNm (Md = 1,4M = 1,412,2 = 17,08 kNm), determinar a 
quantidade de armadura longitudinal necessária (As). Dados: fck = 90 MPa (90.000 kN/m2);
Aço CA-50 ( 2ykyd cm/kN478,43MPa78,43415,1/50015,1/ff  ). 
a) Cálculo de λ e αc (expressões 3.8 e 3.12): 
7,0400/)5090(8,0400/)50f(8,0 ck  
68,0]200/)5090(0,1[85,0]200/)50f(0,1[85,0 ckc  
 
b) Com os valores conhecidos na equação 3.34, determina-se x: 
7,0
4,1/9000068,012,0
08,17229,029,0
fb
M2dd
x
2
cdcw
d2 














 
resultando x1 = 0,812 m e x2 = 0,0164 m 
A primeira solução, x = 0,812 m, indica que a linha neutra passa fora da seção 
resultando x1 = 0,812 m e x2 = 0,0164 m 
A primeira solução, x = 0,812 m, indica que a linha neutra passa fora da seção 
transversal, não atendendo ao caso de flexão simples; assim o valor correto é x = 0,0164 m. 
 
Página 132
Com x = 0,0545 m na equação 3.5, resulta:
 
34,12
08,17
3,4784284,0
08,17
fz
MA
yd
d
s 


  As = 1,39 cm2 
 
c) Verificação do domínio: 
No limite entre os domínios 2 e 3 (c = 3,5‰, s = 10‰), a posição da linha neutra é 
x = 0,259d = 0,2590,29 = 0,0751 m, maior que o valor encontrado para x na equação 3.34, 
indicando que o problema ocorre no domínio 2 e, portanto, de fato, o aço já escoou e 
fs = fyd = 50/1,15 = 43,478 kN/cm2. 
 
d) Cálculo do valor do braço de alavanca z: 
Com x = 0,0164 m na equação 3.31, resulta: 
x5,0dz  
m0,284=0,00570,29=0,01640,75,029,0x5,0dz  
e) Cálculo de As: 
Com os valores de Md = 17,08 kNm, z = 0,284 m e fyd = 43,478 kN/cm2 na equação 3.24 ou 
3,36, tem-se As: 
 As = 1,46 cm2 
Página 133
  cdw2d fbx272,0dx68,0M  
 
  0fbx54,0d68,0
dx
)M(d
cdw
d   d25,1x  
3.7.3 Cálculo do máximo momento resistente da seção
Página 133
O momento máximo é dado pelo valor máximo de x permitido
Assim, antes da imposição da ductilidade mínima pela norma, o máximo 
momento resistente era determinado para εs = εyd e εc = εcu (limite entre os 
domínios 3 e 4). Na situação agora exigida, o momento máximo, para 
concretos até a classe C50, é obtido quando x=0,45d (ABNT NBR 6118:2014, 
item 14.6.4.3). E nos demais casos para x=0,35 d
Desta forma o aço CA50 sempre trabalhará escoando
Página 133
Desta forma o aço CA50 sempre trabalhará escoando
Exemplo 3 
Para uma viga de seção retangular de concreto armado, com largura bw = 12 cm, e altura útil 
d = 17,65 cm, determinar o momento resistente da seção e o valor da área de aço necessária 
correspondente a esse momento. Considerar fck = 20 MPa (20000 kN/m2) e aço CA-50. 
b) Cálculo para x/d = 0,45, pois a resistência do concreto é menor que 50 MPa: 
 

Página 134
 
 Momento resistente: 
 
Colocando x/d = 0,45 (x = 0,45∙d) na equação 3.20 resulta: 
 
 
)d45,04,0d(d45,068,0fb)x4,0d(x68,0fbzFM cdwcdwcd  
 
  mkN40,131765,045,04,01765,01765,045,068,0
4,1
2000012,0Md  
 
O máximo momento, em serviço, que pode atuar na viga é: 
 
mkN57,9
4,1
40,13
4,1
MM d  Armadura
 Armadura 
A armadura necessária pode ser obtida com a equação 3.24, com x = 0,45∙d e fs = fyd, 
pois a seção trabalha no domínio 3, no qual a deformação específica do aço corresponde 
à resistência de escoamento de cálculo do aço: 
 
   
2
15,1
50
yd
d
yd
d
s cm13,21765,045,04,01765,0
40,13
fd45,04,0d
M
fz
MA 





 
De 2003 a 2014 o que 
mudou????
a) Cálculo para o limite entre os domínios 3 e 4: 
 Momento resistente: 
Não pode mais é só para ver a 
diferença 
 Momento resistente: 
O limite entre os dominios 3 e 4, para o CA-50 que tem yd = 0,00207 é: 
m1109,01765,06283,01765,0
00207,00035,0
0035,0d
0035,0
0035,0x
yd
34 


 
Com esse valor, na equação 3.20, obtém-se M : 
 3434 4,068,0 xdxfbzFM cdwcd 
Com esse valor, na equação 3.20, obtém-se Md:
  mkN08,171109,04,01765,01109,068,0
4,1
2000012,0Md 
 O máximo momento que pode atuar na viga, sabendo que Md = 1,4M, é: 
 
mkN20,12
4,1
08,17
4,1
M
M d  
   
2
15,1
50
yd34
d
yd
d
s cm97,21109,04,01765,0
08,17
fx4,0d
M
fz
M
A 






Norma 
Md, max kN.m 
As cm2 
 
2003 
17,8 
2,97 
2014 
13,40 
2,13 
 
0,75 
0,71 
Material anexo início
 cd
2
R fdb0,251M
Figura 1 corte EXEMPLO 2 
corte
sA
h d
b w
 
Dados 
b=20 
d=37,2 cm 
fck=20 
CA50 
Pede-se 
Mmáximo 
Resistido e 
As 
 
PÁG. 134
      iteitewcdcd xdxbfzFM limlim 4,08,085,0
  cdwd dddfbM  45,04,045,068,0
Com xlim=0,45d
 mkNfdbM cdwd  24,994,1
20000372,02,0251,0251,0 22
mkNMM d  9,704,1/24,99
4,1
 
  yd
d
yd
d
yd
d
s fd
M
fdd
M
fz
MA






82,045,04,0
 





15,1
59372,082,0
2,99
82,0 yd
d
s fd
MA 7,48 cm2 
3.7.5 Cálculo do máximo momento resistente da seção, conhecida a 
armadura longitudinal página 136
y dss fAF  
     x8,0bf85,0F wcdc  
 
 
e, como Fc = Fs, ou seja: 
 
      ydswcd fAx8,0bf85,0  
 
 
resulta para x: 
 
cdw
yds
fb68,0
fA
x


 
página 136
página 137
Exemplo 4
Determinar o momento resistente de uma viga de seção retangular de concreto 
armado, com largura bw = 12 cm e altura útil d = 17,65 cm, para as seguintes 
situações: a) As = 0,5 cm2; b) As = 2,0cm2. Dados: Aço CA-50; 
fck = 20 MPa (20.000 kN/m2).
 
m0186,0
)4,1/20000(12,068,0
)15,1/50(5,0
fb68,0
fA
x
cdw
yds 




 
 
cdw
yds
fb68,0
fA
x



 
 Profundidade da linha neutra, considerando inicialmente que a seção trabalhe nos 
domínios 2 ou 3 (fs = fyd), determina-se a posição da linha neutra (equação 3.40): 
 
página 137
 
 Verificação da posiçãoda linha neutra (domínio) em que a viga trabalha: 
Com os limites entre os domínios 2 e 3 (x23) e entre 3 e o limite x = 0,45·d, verifica-se a 
posição da linha neutra para o valor encontrado de x = 0,0186 m. O valores de x23 pode 
ser determinados com a expressão 3.25 (ou 3.26), lembrando que entre os domínios 2 e 
3 o aço tem deformação específica de 1,0%; o limite x = 0,45·d (x0,45) é obtido 
diretamente:: 
 
m0457,01765,0259,0d
1,0035,0
035,0dx
sc
c
23 


 
 
m0794,01765,045,0d45,0x 45,0  
 
Como o valor encontrado x = 0,0186 m é menor que x23 = 0,0457 m, trata-se do 
domínio 2, confirmando a suposição inicial. domínio 2, confirmando a suposição inicial. 
 Cálculo do momento 
 
Como a viga trabalha no domínio 2, calcula-se o momento resistente com a equação 
3.41: 
 
    mkN675,3)0186,04,01765,0(
15,1
505,0x4,0dfAx4,0dFM ydssd  
e, portanto, o máximo momento que pode atuar na viga é: 
 
mkN625,2
4,1
675,3
4,1
MM d  
X=0,0186m
Material anexo início
PÁG. 136
Figura 1 corte EXEMPLO 3 
corte
sA
h d
b w
 
Dados 
b=20 
d=37,2 cm 
fck=20 
CA50 
As = 1 cm 2 
 
Pede-se MRmáx 
 
 
cdw
yds
fb68,0
fA
x



  xdFzFM ssd 4,0 
  mkN .78,1502237,04,0372,0
15,1
501 
M=15,78/1,4=11,27 kN.m
m02237,0
4,1
2000020,068,0
15,1
501




3.7.6 Cálculo da altura mínima de uma seção com armadura simples
PAGINA 138
  cdw2d fbx272,0dx68,0M 
sc
c
d
x


Equação 3.21:
Equação 3.25: 
sc
c
d
x


  cdwd fbddM  222 272,068,0 
 2cdw
d
272,068,0fb
M
d


 
  cdw
d
cdw
d
2
cdw
d
min fb
M0,2
25092,0fb
M
45,0272,045,068,0fb
Md





 
 
Exemplo 5 página 139
Para a seção retangular de concreto armado do Exemplo 1, determinar a altura 
mínima (dmín) e a quantidade de armadura longitudinal necessária (As). Dados 
nas unidades necessárias:
Aço CA-50: ; fck = 20 MPa = 20.000 kN/m2 = 2 kN/cm2;
Md = 1,4M = 1,412,2 = 17,08 kNm .
A altura mínima é obtida para 45,0d/x  ; para isso pode ser empregada diretamente 
a equação 3.43.) 
 
m1996,0
4,1/2000012,0
08,170,2
fb
M0,2d
cdw
d
min 


  dmín = 19,96 cm 
 
Cálculo da armadura necessária para dmín = 19,96 cm (nessa situação fs = fyd): 
 
96,1945,0d45,0x   cm98,8x  
 
98,84,096,19x4,0dz   cm34,16z  
 
15,1/501634,0
08,17
fz
M
fz
MA
yd
d
s
d
s 




  As = 2,40 cm2 
Material anexo início
PÁG. 138/139
Figura 1 corte EXEMPLO 4 
corte
sA
h d
b w
 
Dados 
M=25,6 kN.m 
b=20 
fck=20 
CA50 
 
Pede-se dmn 
As 
correspondente 
 
 
md 224,0
4,1
2000020,0
6,254,10,2min 


 
  82,045,04,0 fd
M
fdd
M
fz
MA
yd
d
yd
d
yd
d
s 





2487,4
15,1
50224,082,0
6,254,1 cm


 
fb
M0,2d
cdw
d
min 

 
3.7.6 Cálculo de seções com armadura dupla Página 145
Podem ocorrer situações em que, por imposições de projeto, 
arquitetônicas, etc., seja necessário utilizar para a viga uma altura 
menor que a altura mínima exigida pelo momento fletor atuante de 
cálculo Md.
Nesse caso, determina-se o momento (Mlim) que a seção consegue resistir com a sua 
altura real e armadura apenas tracionada (armadura simples As1), trabalhando no 
limite da relação x = 0,45·d (domínio 3); 
a diferença entre o momento atuante Md e o momento Mlim, que será chamada de M2
(M2 = Md – Mlim), será resistida por uma armadura de compressão, e para que seja 
mantido o equilíbrio, por uma adicional de tração. 
 
3.7.6 Cálculo de seções com armadura dupla 
 
    cd2wlimlimwcdlimclim fdb251,0x4,0dx8,0bf85,0zFM 
  ydlim
lim
ydlim
lim
yd
lim
1s fd)KX(4,01
M
f)x4,0d(
M
fz
MA






    yd
limd
yd
2
2s f'dd
MM
f'dd
MA



      yd
limd
ydlim
lim
s f'dd
MM
fdKX4,01
MA




Pág. 145
Md
As
As´ As´
As
d
h
 d´
b
 s´
yd
As1
Mlimite
Fc
Fs
z
As´
As2
M2
F´ =A´ f´s s s
F =A fs2 s2 yd
d-d´
 
3.7.6 Cálculo de seções com armadura dupla 
 
'
s
limd'
s
s
2'
s f)'dd(
MMA
'f)'dd(
MA




lim
lim
s
lim
s
lim x
)'dx(35,0'
)'dx(
'
x
35,0 


Pág. 145
c
L
est
d'=c+ + /2est L
h=d-d'
L N
c =0,35%
s'
x
d'
lim
Md
As
As´ As´
As
d
h
 d´
b
 s´
yd
As1
Mlimite
Fc
Fs
z
As´
As2
M2
F´ =A´ f´s s s
F =A fs2 s2 yd
d-d´
Exemplo 7
Para um momento M = 45 kNm, calcular a armadura necessária de uma 
seção retangular com largura bw = 0,12 m e d = 0,29 m, com aço CA-50 e 
fck = 20 MPa. Considerar estribos de  = 6 mm e barras longitudinais 
(comprimidas ou tracionadas) de  = 10 mm, e cobrimento de 2,5 cm, de 
acordo com tabela 7.2 da ABNT NBR 6118:2014, para vigas em ambientes 
com classe de agressividade ambiental I (Quadro 4.4, Capítulo 4).
a) Cálculo da altura mínima da seção para M = 45 kNm, conforme a equação 3.43, em que 
x/d = 0,45: 
 
  383,04,1/2000012,0
454,10,2
fb
M0,2
45,0272,045,068,0fb
Md
cdw
d
2
cdw
d
min 





 
Como d = 0,29 m  dmím = 0,383 m  armadura dupla! 
 
Página 147
Exemplo 7
Para um momento M = 45 kNm, calcular a armadura necessária de uma seção retangular com 
largura bw = 0,12 m e d = 0,29 m, com aço CA-50 e fck = 20 MPa. Considerar estribos de  = 6 mm 
e barras longitudinais (comprimidas ou tracionadas) de  = 10 mm, e cobrimento de 2,5 cm, de 
acordo com tabela 7.2 da ABNT NBR 6118:2014, para vigas em ambientes com classe de 
agressividade ambiental I (Quadro 4.4, Capítulo 4).
 
a) Cálculo de momento limite (Mlim) com a equação 3.48: 
 
mkN19,364,1/2000029,012,0251,0dfb251,0M 22cdwlim  
 
 
b) Cálculo de M2: 
 
mkN81,26=36,19544,1MMM limd2  
 
 
c) Cálculo de As1 (KXlimite = xlimite/d = 0,45), com a expressão 3.51: 
 
d = 29 cm e cm6,32/0,16,05,2'd  (distância da armadura comprimida à borda 
comprimida em que 0,6 cm é o diâmetro dos estribos, e 1,0 cm é o diâmetro da armadura 
longitudinal): 
 
   
43,250,3
1,15
50036,029,0
36,19544,1
1,15
500,290,454,01
19,36As 



  As = 5,93 cm
 
 
d) Cálculo de 'sA , sendo necessário conhecer antes 
'
sf e, portanto, 
'
s , com a equação 3.53: 
 
    0025,0
0,2945,0
0,0360,2945,00035,0
x
'dx0035,0'
lim
lim
s 
 
 
como 's  yd (yd = 0,00207 para CA-50)  'sf = fyd 
 
   
15,1
50036,029,0
36,19544,1
f'dd
MMA
yd
itelimd'
s



  'sA =2,43 cm
2 
Md
As
As´ As´
As As1
As´
As2
d
h
 d´
b
Mlimite M2
Fc
Fs
F´ =A´ f´s s s
F =A fs2 s2 yd
d-d´z
 s´
yd
Material anexo inicial
Figura 1 corte EXEMPLO 
5 
 
corte
sA
h d
bw
 
Dados 
M=134.6 
kN.m 
b=20 
d=37,2; 
d´=2,8 
cm 
fck=20 
CA50 
Pede-se 
As e ,sA 
c
L
est
d'=c+ + /2est L
h=d-d'
L N
c=0,35%
s'
x
d'
lim
 
 
PÁG. 145/146
 
fb
Md
cdw
d 20,2min 
 Como d=0,372<0,513 armadura duplam513,0
4,1
2000020,0
6,1344,10,2 


Material anexo inicial
 
fdbM cdw251,0
2
lim 
 MMM d lim2 
 ddxdxdzz  )/4,01(4,0 limlimlim
mk.24,99
4,1
20000372,020,0251,0 2 
mk.198,8924,996,1344,1
Figura 1 corte 
corte
sA
h d
b w
 
 
EXEMPLO 5 
Dados 
M=134.6 kN.m 
b=20 
d=37,2; d´=2,8 cm 
fck=20 
CA50 
Pede-se As e ,sA 
 
 
2446,13963,5483,7
15,1
50028,0372,0
198,89
15,1
50372,082,0
24,99 cmAs 




 
    yd
d
yd
s fdd
MM
fz
MA




'
lim
lim
lim
  ddKXd  82,045,04,01])(4,01[ lim
Material anexo inicial
Figura 1 corte 
corte
sA
h d
b w
 
 
EXEMPLO 5 
Dados 
M=134.6 kN.m 
b=20 
d=37,2; d´=2,8 cm 
fck=20 
CA50 
Pede-se As e ,sA 
 
escoas 
 207,0%29,0
372,045,0
)028,0372,045,0(35,0'
c =0,35%
s'
x
d'
lim
 
lim
lim
limlim
)'(35,0'
)'(
'35,0
x
dx
dxx s
s 

 
 


s
s Afdd
MA
')'(
2'
sA'   
15,1
50028,0372,0
198,89

=5,963cm2 


yd
d
s fdd
MMA
)'(
lim' ydsse  ,
15,1
,
´, s
ssyds Efse
    ´´
lim´
s
d
s fdd
MMA


sA
h d
b w
Resumo
d cm
Md
kN.m
As cm2
A´s cm2
37,2
35,84
2,34
--------
37,2
99,24
7,48
--------
37,2
15,78
1,0
37,2
188,4
13.446
5,963
37,2
35,84
2,34
--------
22,4 
4,49 
bw=20 cm
fck=20 MPa
3.7.9 Cálculo de armadura em vigas 
de seção transversal em forma de "T“ pag 147
a (viga simplesmente apoiada) 
 75,0a (tramo com momento em uma só extremidade) 
 60,0a (tramo com momentos nas duas extremidades) 
 2a (viga em balanço) 
 
Deverão ser respeitados os limites de b1 e b3 conforme a Figura 3.22: 
 






a10,0
b5,0
b 21 




a10,0
b
b 43 
 
 
wb wb
2b
4b c
b1
fb
b3
1bwb
f
3b
 
pag 147, 148
 
 Calcula-se inicialmente o momento resistido pelas abas (M1): 
 
  



 



 
2
hdbbhf85,0
2
hdFM fwffcde1c1 
 
(3.54) 
 
 
 O momento restante (M2) é absorvido pela nervura (alma), como nas seções 
retangulares: 
 




 
2
ydFMMM 2c1d2 
 
(3.55 
 
 A armadura é obtida somando-se a necessária para resistir a cada um dos momentos: 
 
  yd
2
ydf
1
s fd)KZ(
M
f2/hd
MA



 (3.56 
 
pag 149
Página 150
Exemplo 8 
Calcular a armadura para a viga simplesmente apoiada, de vão  igual 30 m, cuja seção é a 
da Figura 3.27 e está submetida a um momento Md = 6770 kNm. Considerar aço CA-50 e 
fck = 30 MPa. 
Página 150
a) Determinação da largura colaborante bf: 
 
1bwb
f
3b
 
 
 3wf b2bb  ; 
 bw = 18 cm; 
cm300300010,010,0a10,0   (viga simplesmente apoiada, a = ); 
cm76)2/)18170( 





a10,0
b
b 43
 cm76)2/)18170(b4  ; 
 
 300010,010,0a10,0b3  
 cm76)2/)18170(b4  ; 
 cm76)2/)18170(b4 ; 
 76300bb 43  ; 
 
 cm17076218bf  . 
 
b) Determinação da posição da linha neutra, supondo inicialmente que passe na mesa da 
viga (seção retangular, nesse caso bw = bf): 
 
0607,0
4,1/300001,757,1
6770
fdb
MKMD 2
cd
2
w
d 



 
 
 Será tomado, no Quadro 3.1, KMD = 0,0650, maior valor mais próximo ao 
calculado. 
 
 
KMD = 0,0650  KX = 0,0995 
 
 m0,174=1,750,0995d)KX(x   hf = 0,20 m 
 
Página 151 
CA50 e fck=30 MPa
link
A hipótese adotada inicialmente é válida, ou seja, a linha neutra está na mesa e a seção é 
retangular. 
 
 
c) Cálculo da armadura: 
 
KMD = 0,0650  Quadro 3.1  KZ = 0,9602 e s = 10‰  yd  fs = fyd 
 
 
15,1/501,759602,0
6770
fd)KZ(
MA
yd
d
s 


  As = 92,7 cm2 
Página 151 
Página 152
Exemplo 9
Calcular a armadura necessária para a seção do Exemplo 8 supondo 
Md = 10000 kNm, com aço CA-50 e fck =30 MPa.
a) Determinação da largura colaborante bf
A largura colaborante é a mesma do exemplo 
anterior, ou seja .
b) Determinação da posição da linha neutra, supondo inicialmente que passe na mesa da 
viga (seção retangular, nesse caso bw = bf) 
 
0900,00896,0
4,1/300001,757,1
10000
fdb
MKMD 2
cd
2
w
d 



 
 
Ir
cdw
 
KMD = 0,0900  Quadro 3.1  KX = 0,1403 
 
m0,246=1,75,14030d)KX(x   hf = 0,20 m 
 
 
Portanto, a hipótese inicial não é válida, pois a linha neutra está fora da mesa, 
tratando-se de seção "T". Será necessário, assim, determinar a parcela do momento resistido 
pelas abas e pela alma da seção (Figura 3.28) e a armadura total necessária. 
 
m0,246=1,75,14030d)KX(x   hf = 0,20 m 
 
Portanto, a hipótese inicial não é válida, pois a linha neutra está fora da mesa, 
tratando-se de seção "T". Será necessário, assim, determinar a parcela do momento resistido 
pelas abas e pela alma da seção (Figura 3.28) e a armadura total necessária. 
 
 
Figura 3.28 Momento resistido pelas abas e pela alma de uma viga "T". 
 
 
c) Momento resistido pelas abas (M1) 
 
  



 



 



 



 
2
hdbbhf85,0
2
hd
2
bb2hf85,0
2
hdFM fwffcdfwffcdf1c1 
 
kNm 30,9136
2
2,075,1)18,070,1(20,0
4,1
3000085,0M1 


  
d) Momento resistido pela alma (M2) 
 
M2 = Md – M1 = 10000 – 9136,30 = 863,70 kNm 
e) Cálculo da armadura As que é a soma das parcelas referentes ao momento resistido pelas 
abas(M1) e ao momento resistido pela mesa (M2); a segunda parcela refere-se a uma seção 
retangular, com bw = 0,18 cm, cortada pela LN, e pode ser calculada com o uso d
Quadro 3.1. 
 
yd
2
yd
f
1
s fd)KZ(
M
f
2
hd
MA






 
 
 
0730,0
4,1/300001,750,18
863,70=KMD 2 
 
 Será tomado KMD = 0,0750, maior valor mais próximo ao calculado. 
 
KMD = 0,0750  KZ = 0,9537, s = 10‰  yd = 2,07‰  fs = fyd 
 
  90,1135,12715,1/501,759537,0
70,863
15,1/502/20,075,1
30,9136As 


  As = 139,25 cm2 
ir
Prova viga contínua